Seite:Das Relativitätsprinzip und seine Anwendung.djvu/3

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von P entspricht nach den Transformationsgleichungen ein Zeitpunkt t' in dem andern Bezugssystem, und jeder Punkt, der zur Zeit t in dS liegt, hat für diesen festgesetzten Wert von t' bestimmte x', y', z'. Die Punkte x', y', z' erfüllen ein Raumelement dS', welches mit dS so zusammenhängt:

dS'=\frac{dS}{\omega}.

Denken wir uns mit den Punkten ein Agens (Materie, Elektrizität etc.) verbunden, und nehmen wir an, daß der Beobachter B Anlaß habe, mit jedem Punkte dieselbe Menge des Agens zu verbinden wie der Beobachter A, so müssen sich offenbar die Raumdichten umgekehrt verhalten wie die Volumelemente, d. h.

\varrho'=\omega\varrho.

Alle diese Beziehungen sind reziprok, d. h. man kann die gestrichenen und ungestrichenen Buchstaben vertauschen, wenn man gleichzeitig b durch -b ersetzt.

Die Grundgleichungen des elektromagnetischen Feldes behalten bei der Transformation ihre Gestalt, wenn man folgende Größen einführt[1]:

\begin{array}{ccc}
\mathfrak{d}'_{x}=a\mathfrak{d}_{x}-b\mathfrak{h}_{y}, & \mathfrak{d}'_{y}=a\mathfrak{d}_{y}+b\mathfrak{h}_{x}, & \mathfrak{d}'_{z}=\mathfrak{d}_{z},\\
\mathfrak{h}'_{x}=a\mathfrak{h}_{x}+b\mathfrak{d}_{y}, & \mathfrak{h}'_{y}=a\mathfrak{h}_{y}-b\mathfrak{d}_{x}, & \mathfrak{h}'_{z}=\mathfrak{h}_{z};
\end{array}

zwischen diesen, der transformierten Raumdichte \varrho' und der transformierten Geschwindigkeit \mathfrak{v}' gelten also im System x', y', z', t' die Gleichungen:

\begin{array}{l}
\operatorname{div}\ \mathfrak{d}'=\varrho',\\
\operatorname{div}\ \mathfrak{h}'=0,\\
\operatorname{rot}\ \mathfrak{h}'=\frac{1}{c}\left(\mathfrak{\dot{d}}'+\varrho'\mathfrak{v}'\right),\\
\operatorname{rot}\ \mathfrak{d}'=-\frac{1}{c}\mathfrak{\dot{h}}'.
\end{array}

Soweit genügen die Feldgleichungen der Elektronentheorie dem Relativitätsprinzip; es wird sich aber noch darum handeln, die Bewegungsgleichungen der Elektronen selbst mit dem Prinzip in Einklang zu bringen.

Wir werden, etwas allgemeiner, die Bewegung eines beliebigen materiellen Punktes betrachten. Hierbei ist die Einführung des Begriffs „Eigenzeit“, einer schönen Erfindung Minkowskis, von Nutzen. Danach gehört jedem Punkte gewissermaßen eine eigene Zeit zu, die vom gewählten Bezugssystem unabhängig ist; ihr Differential wird definiert durch die Gleichung:

d\tau=\sqrt{1-\frac{\mathfrak{v}^{2}}{c^{2}}}dt.

  1. Vgl., was die Bezeichnungen betrifft, Mathematische Encyklopädie V 14.