Seite:RiemannPrim1859.djvu/5

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Bezeichnet man durch \alpha jede Wurzel der Gleichung \xi(\alpha)=0\,, so kann man \log\xi(t)\, durch

\sum\log\left(1-\frac{tt}{\alpha\alpha}\right)+\log\xi(0)

ausdrücken; denn da die Dichtigkeit der Wurzeln von der Größe t mit t nur wie \log\frac t{2\pi} wächst, so convergirt dieser Ausdruck und wird für ein unendliches t nur unendlich wie t\log t\,; er unterscheidet sich also von \log\xi(t)\, um eine Function von tt, die für ein endliches t stetig und endlich bleibt und mit tt dividirt für ein unendliches t unendlich klein wird. Dieser Unterschied ist folglich eine Constante, deren Werth durch Einsetzung von t=0 bestimmt werden kann.

Mit diesen Hülfsmitteln läßt sich nun die Anzahl der Primzahlen, die kleiner als x sind, bestimmen.

Es sei F(x)\,, wenn x nicht gerade einer Primzahl gleich ist, gleich dieser Anzahl, wenn aber x eine Primzahl ist, um \tfrac12 größer, so daß für ein x, bei welchem F(x)\, sich sprungweise ändert,

F(x)=\frac{F(x+0)+F(x-0)}2.

Ersetzt man nun in

\log\zeta(s)=-\sum\log(1-p^{-s})=\sum p^{-s}+\frac12\sum p^{-2s}+\frac13\sum p^{-3s}+\ldots

p^{-s}\, durch s\int_p^\infty x^{-s-1}dx, p^{-2s}\, durch s\int_{p^2}^\infty x^{-s-1}dx, \ldots,

so erhält man

\frac{\log\zeta(s)}s=\int\limits_1^\infty f(x)x^{-s-1}dx,

wenn man

F(x)+\frac12F(x^\frac12)+\frac13F(x^\frac13)+\ldots

durch f(x)\, bezeichnet.

Diese Gleichung ist gültig für jeden complexen Werth a+bi\, von s, wenn a>1\,. Wenn aber in diesem Umfange die Gleichung

g(s)=\int\limits_0^\infty h(x)x^{-s}d\log x
Empfohlene Zitierweise:

Bernhard Riemann: Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe. Monatsberichte der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1860, Seite 675. Digitale Volltext-Ausgabe in Wikisource, URL: http://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:RiemannPrim1859.djvu/5&oldid=1874607 (Version vom 11.09.2012)