Über die Konstitution des Elektrons (1905)

Über die Konstitution des Elektrons.

Von W. Kaufmann.

(Vorgelegt von Hrn. Warburg.)

In einigen früheren Mitteilungen^[1] hatte ich gezeigt, daß die Masse der in den $\beta$-Strahlen des Radiums bewegten Elektronen mit zunehmender Annäherung an die Lichtgeschwindigkeit bedeutend wächst, und daß das Gesetz des Anwachsens mit den von Hrn. M. Abraham^[2] berechneten Formeln übereinstimmt. Die von Hrn. Abraham bei der Berechnung gemachte Voraussetzung lautete:

Das Elektron ist als eine über ihre Oberfläche oder ihr Volumen gleichmäßig geladene starre Kugel zu betrachten.

Die gute Übereinstimmung meiner bisherigen Messungen mit den aus dieser Annahme durch Anwendung der Maxwell-Lorentzschen Gleichungen gezogenen Folgerungen schien zunächst zu dem Schlusse zu berechtigen, daß die Frage nach der Konstitution des Elektrons endgültig gelöst sei.

Eine neuere Untersuchung von Hrn. H. A. Lorentz^[3] führte jedoch zu dem überraschenden Ergebnis, daß auch bei gänzlich anderen Annahmen über das Elektron eine Übereinstimmung mit meinen bisherigen Versuchen zu erzielen sei. Hr. Lorentz zeigte nämlich, daß die Schwierigkeiten, die sich einer Erklärung des negativen Erfolges gewisser Versuche zum Nachweise eines Einflusses 2. und höherer Ordnung der Erdbewegung auf optische und elektrische Erscheinungen entgegenstellten, völlig beseitigt wurden, wenn man annahm, daß alle Körper, eingeschlossen das Elektron, sich in ganz bestimmter Weise bei ihrer Bewegung durch den Äther deformierten.

Ist $q$ die Geschwindigkeit des bewegten Systems, $c$ die Lichtgeschwindigkeit, und setzt man $\beta =q/c$, so sollten sich alle Abmessungen parallel zur Bewegungsrichtung im Verhältnis $(1-\beta ^{2})^{\frac {1}{2}}$ verkürzen, die Abmessungen senkrecht zur Bewegungsrichtung sollten unverändert bleiben.

Durch diese Dimensionsänderung wird, wie Hr. Lorentz zeigte, jeder Einfluß der Absolutbewegung auf optische und elektromagnetische Erscheinungen bis zu beliebig hoher Ordnung, d. h. streng beseitigt.

Obgleich nun die Gleichung für die Abhängigkeit der elektromagnetischen Masse des Elektrons von der Geschwindigkeit, wie sie Hr. Lorentz aus seiner Annahme des deformierbaren Elektrons erhält, von der Abrahamschen Gleichung für das starre Elektron sehr verschieden ist, so ließen sich doch meine Versuchsresultate auch der Lorentzschen Gleichung anpassen. Der einzige Unterschied bestand darin, daß die Werte von $\beta$ für ein und denselben Kurvenpunkt sich nach Lorentz um 5 bis 7 Prozent kleiner ergaben, und daß für das Verhältnis:

${\frac {\varepsilon }{\mu _{0}}}={\frac {\text{Ladung}}{{\text{Masse fuer:}}\ \beta =0}}$

ebenfalls ein kleinerer Wert herauskam.

Da nun bei meinen bisherigen Messungen die $beta$-Werte nicht aus den Apparatkonstanten, sondern aus den Kurven selbst unter Zugrundelegung der Abrahamschen Formel nach der Methode der kleinsten Quadrate so bestimmt waren, daß ein möglichst guter Anschluß an die photographierte Kurve herauskam, so war eine Entscheidung nicht möglich, denn der mittlere Fehler der beobachteten Kurve gegen die berechnete war auch bei Anwendung der Lorentzschen Formel kein wesentlich anderer.

Eine Entscheidung zwischen den beiden genannten und eventuell auch noch anderen Theorien über die Konstitution des Elektrons war nur möglich, wenn es gelang, die beiden Konstanten der erhaltenen Kurve (die Zahl der Kurvenkonstanten ist stets gleich 2) in absolutem Maße aus den Dimensionen des Apparates und der Stärke des ablenkenden magnetischen bzw. elektrischen Feldes zu berechnen und diese „Apparatkonstanten“ mit den „Kurvenkonstanten“ zu vergleichen.

Aus der Geringfügigkeit der Unterschiede in den Werten für $\beta$ und für ${\frac {\varepsilon }{\mu _{0}}}$ ging jedoch hervor, daß zur Erreichung dieses Zieles die Beobachtungen mit weit größerer Genauigkeit ausgeführt werden mußten als bisher. Nachdem mir die hierzu nötigen Mittel von der Königlichen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, der ich auch hier meinen besten Dank ausspreche, gütigst zur Verfügung gestellt worden waren, habe ich die Versuche im Laufe des letzten Jahres ausgeführt und berichte im folgenden kurz über die allgemeine Versuchsanordnung und die Resultate; eine ausführliche Mitteilung mit genauer Angabe der Versuchsanordnung, der Resultate sämtlicher Hilfsmessungen usw. soll in den Annalen der Physik erscheinen.

Die Versuchsanordnung war im Prinzip dieselbe wie früher; die Hauptunterschiede bestanden in folgendem:

An Stelle des früher benutzten Elektromagneten wurden zwei übereinandergelegte sehr kräftige Hufeisenmagnete benutzt, die ein innerhalb ± 2 Prozent längs der Strahlenbahn homogenes und infolge des hohen Alters der Magnete auch zeitlich völlig konstantes Feld erzeugten ($H$ etwa 140 C. G. S. E.).

Der das Radiumkörnchen, die zur Erzeugung des elektrischen Feldes dienenden Kondensatorplatten und die photographische Platte enthaltende kleine Apparat hatte etwa dieselben Dimensionen wie früher (gesamte Strahlenbahn = 4 cm). Alle Teile waren jedoch mit äußerster Präzision hergestellt, und die photographischen Platten waren besonders für meine Versuche auf Spiegelglas gegossen, so daß die Länge der Strahlenbahn in ihren einzelnen Teilen und die für die Ablenkung in Betracht kommenden „Feldintegrale“ auf 1/100 mm bzw. auf Bruchteile eines Prozentes sicher ermittelt werden konnten. Die Entfernung der beiden optisch eben geschliffenen Kondensatorplatten wurde dadurch bestimmt, daß sie durch zwei isolierte Schräubchen gegen vier zwischengeschobene Quarzplättchen gedrückt wurden, die aus einer einzigen planparallelen Platte geschnitten waren, und deren Dicke von der Firma Zeiß zu 1.242 mm ± 1 µ bestimmt war.

Der Verlauf des elektrischen Feldes längs der Strahlenbahn wurde dadurch bestimmt, daß von dem ganzen Kondensatorapparat eine Kopie in 29facher Vergrößerung hergestellt wurde, in der die Feldverteilung mittels eines schwingenden Metallspiegelchens von 5 mm Durchmesser durch Beobachtung der Schwingungsdauer bestimmt wurde.

Die Potentialdifferenz am wirklichen Apparat wurde mittels einer Hochspannungsbatterie erzeugt; die maximale Spannung betrug etwa 1600 Volt. Durch eine automatische Wippe wurden zwei mit den Kondensatorplatten verbundene Leidener Flaschen auf einer konstanten Spannung von $+V$ bzw. $-V$ Volt gehalten, so daß die ganze Potentialdifferenz der Platten $2V$ betrug, wenn $V$ die verfügbare Batteriespannung. Die letztere wurde vor und nach jeder etwa zwei Tage dauernden Exposition mittels Kompensationsapparates und Westonnormalelements gemessen.

Die Stärke des magnetischen Feldes wurde längs der ganzen Strahlenbahn mittels einer kleinen Induktionsspule gemessen und für einen Punkt mit dem Felde einer stromdurchflossenen, genau ausgemessenen Drahtspule verglichen. Der Strom in dieser wurde an einem Präzisionsamperemeter gemessen, dessen Angaben mittels Normalelements, Normalwiderstands und Kompensationsapparats geprüft wurden.

Zur Ausmessung der Kurven diente ein kleiner Abbescher Komparator, auf dessen Schlitten rechtwinklig zu seiner Bewegungsrichtung ein zweiter Schlitten montiert war, der die photographische Platte und ein auf sie gelegtes, in 1/10 mm geteiltes Glasmikrometer trug. Als Einstellmarke diente ein in der Brennebene des 6fach vergrößernden Mikroskopes befindlicher, auf eine Glasplatte geritzter Kreis von 0.2 mm Durchmesser. Die magnetische Ablenkung wurde an dem Glasmikrometer, die elektrische an dem Maßstabe des Hauptschlittens abgelesen; die Schrauben dienten nur zur Interpolation.

Zur Ausmessung gelangten im ganzen 5 Platten, wobei jeder einzelne Punkt das Mittel aus je 10 Messungen darstellt. Alle Kurven wurden auf gleichen Ordinatenmaßstab, einer Spannung von 2500 Volt an den Kondensatorplatten entsprechend, reduziert und dadurch zu einer einzigen Kurve vereinigt. Obgleich nun die mittleren Fehler jedes Punktes, wenn man sie aus den Einstellungsfehlern berechnet, nur 2 bis 4 Mikron betrugen, so waren doch die Abweichungen der von den verschiedenen Platten herrührenden Kurvenpunkte von einer durch alle hindurchgezogenen stetigen Kurve beträchtlich größer, bis zu etwa 30 Mikron. Der Grund dieser Abweichungen scheint einerseits in der sehr starken Verschleierung der Platten durch diffuse Strahlung zu liegen, die, wenn von räumlich variabler Intensität, die Schwerlinie der Kurve in unregelmäßiger Weise verschieben muß, andererseits in einer Verziehung der photographischen Schicht, die von Platte zu Platte unregelmäßig variiert und, wie besondere Versuche gezeigt haben, in der Nähe des Randes bis zu etwa 1/2 Prozent betragen kann, in den für die Messung in Betracht kommenden Teilen allerdings sicher kleiner ist und stets die beobachteten Ablenkungen zu groß erscheinen läßt.

Es wurde deshalb – was bei der schwachen Krümmung der Kurve durchaus zulässig erscheint – durch Vereinigung von durchschnittlich etwa 5, den verschiedenen Platten angehörigen Punkten zu einem Schwerpunkte unter Berücksichtigung der Gewichte der Einzelpunkte eine aus 9 Punkten bestehende ausgeglichene Kurve hergestellt, die von den Individualabweichungen der Einzelkurven möglichst befreit ist. Die so erhaltene Kurve wurde dann der Vergleichung der verschiedenen Theorien zugrunde gelegt.

Allgemeine Theorie der Kurve.^[4]

Sei $\varepsilon$ die Ladung des Elektrons in elektromagnetischem Maß, $\mu$ seine Masse bei der Geschwindigkeit $q$, $\mu _{0}$ dieselbe bei sehr kleiner Geschwindigkeit. Seien ferner $z'$ und $y'$ die auf Proportionalität mit den Ablenkbarkeiten reduzierten magnetischen bzw. elektrischen Ablenkungen; endlich seien $E$ und $M$ das „elektrische“ bzw. „magnetische Feldintegral“, d. h. zwei Größen, die gleich dem Produkte der mittleren Feldstärke mit je einem von den Apparatdimensionen abhängigen Faktor sind. Endlich sei $\beta =q/c$, wo $c$ die Lichtgeschwindigkeit.

Es ist:

$\mu =\mu _{0}\cdot \phi (\beta )$,

wobei $\phi (\beta )$ eine Funktion der Geschwindigkeit, deren Form je nach der Grundannahme über die Konstitution des Elektrons verschieden ist. Dann ist:

1.	$z'={\frac {\varepsilon }{\mu q}}M={\frac {\varepsilon }{\mu \beta }}\cdot {\frac {M}{c}}={\frac {\varepsilon }{\mu _{0}}}{\frac {M}{c}}\cdot {\frac {1}{\beta \phi (\beta )}}$,

2.	$y'={\frac {\varepsilon }{\mu q^{2}}}E={\frac {\varepsilon }{\mu \beta ^{2}}}\cdot {\frac {E}{c^{2}}}={\frac {\varepsilon }{\mu _{0}}}{\frac {E}{c^{2}}}\cdot {\frac {1}{\beta ^{2}\phi (\beta )}}$.

Setzt man zur Abkürzung:

3.	${\frac {\varepsilon }{\mu _{0}}}{\frac {M}{c}}=1/A$,

4.	${\frac {\varepsilon }{\mu _{0}}}\cdot {\frac {E}{c^{2}}}=B$,

5.	$1/\beta \phi (\beta )=u$,

6.	$1/\beta ^{2}\phi (\beta )=v=f(u)$,

so kann man schreiben:

7.	$y'=B\cdot v=B\cdot f(A\cdot z')$.

Ist also eine Hilfstabelle berechnet, die zu einer möglichst engen Reihe von $u$-Werten die zugehörigen $v$ angibt, so läßt sich, wenn die Konstanten $A$ und $B$ bekannt sind, zu jedem $z'$ nach Gleichung (7.) das zugehörige $y'$ berechnen und mit dem beobachteten vergleichen. Es gelingt leicht, für die beiden „Kurvenkonstanten“ $A$ und $B$ angenäherte Werte zu finden, und dann die noch anzubringenden Verbesserungen nach der Methode der kleinsten Quadrate zu berechnen.

Die so bestimmten Kurvenkonstanten kann man dann mit denjenigen Werten vergleichen, die sich teils aus den Apparatdimensionen allein, teils aus ihnen in Verbindung mit dem an Kathodenstrahlen gefundenen Wert von ${\frac {\varepsilon }{\mu _{0}}}$ ergeben. Der mehr oder weniger genaue Grad der Übereinstimmung entscheidet dann zugunsten oder zuungunsten der betreffenden Theorie.

Es wurden folgende drei Theorien über die Konstitution des Elektrons miteinander verglichen:

1. Starres Elektron (Abraham),

2. deformierbares Elektron (Lorentz),

3. deformierbares Elektron (Bucherer).

Nr. 1 und 2 sind bereits erwähnt; Bucherer^[5] nimmt an, daß das Elektron sich zwar wie bei Lorentz in ein abgeplattetes Ellipsoid mit dem Achsenverhältnis $(1-\beta ^{2})^{-{\frac {1}{2}}}:1$ (sog. „Heaviside-Ellipsoid“) deformiert, aber so, daß sich gleichzeitig die Querdimensionen vergrößern und das Volumen konstant bleibt.

Die die Abhängigkeit der Masse von der Geschwindigkeit ausdrückende Funktion $\phi (\beta )$ hat nach den genannten drei Theorien folgenden Wert:

1. $\phi (\beta )={\frac {3}{4}}{\frac {1}{\beta ^{2}}}\cdot \left({\frac {1+\beta ^{2}}{2\beta }}\cdot \lg {\frac {1+\beta }{1-\beta }}-1\right)$,

2. $\phi (\beta )=(1-\beta ^{2})^{-{\frac {1}{2}}}$,

3. $\phi (\beta )=(1-\beta ^{2})^{-{\frac {1}{3}}}$.

Endlich ist noch eine von Hrn. A. Einstein^[6] kürzlich publizierte Theorie der Elektrodynamik zu erwähnen, die zu Folgerungen führt, die mit denen der Lorentzschen Theorie formell identisch sind, und für die deshalb auch die zweite Gleichung in Anwendung kommt.

In den Fällen (1.) und (3.) ergeben sich aus den Gleichungen (1.) bis (3.) folgende Beziehungen zwischen den Apparatkonstanten, den Kurvenkonstanten und ${\frac {\varepsilon }{\mu _{0}}}$:

8.	${\frac {\varepsilon }{\mu _{0}}}=c/AM=Bc^{2}/E=c\cdot (Bc/AME)^{\frac {1}{2}}$,

9.	$AB=E/Mc=\beta \cdot y'/z'$.

Im Falle (2.) (Lorentz-Einstein) ist eine Trennung der Variablen möglich, so daß man als Gleichung der Bahnkurve erhält:

10.	$y'^{2}=C^{2}z'^{2}+D^{2}z'^{2}$,  wobei  11. $C=E/Mc$  und

12.	${\frac {\varepsilon }{\mu _{0}}}=cC/MD=c^{2}C^{2}/DE=cC/D\cdot (cC/ME)^{\frac {1}{2}}$.

Die Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate ergibt als Werte der Kurvenkonstanten für die ausgeglichene Kurve:

nach	Abraham:	$A=2.169\cdot {\tfrac {4}{3}}$	$B=0.08355\cdot {\tfrac {3}{4}}$,
„	Lorentz:	$C^{2}=0.02839$	$D^{2}=0.2672$,
„	Bucherer:	$A=2.9337$	$B=0.06234$.

Die folgende Tabelle I enthält eine Vergleichung der beobachteten und der berechneten elektrischen Ablenkungen, wobei die magnetischen Ablenkungen als unabhängige Variable betrachtet werden. Alle Zahlen bedeuten Zentimeter, bloß die Abweichungen sind in Mikron angegeben.

Tabelle I.

$z'$[7]	$y'$ beob.	Ge­wicht	$y'$ ber. $\overbrace {\qquad \qquad \qquad \qquad }$			$\delta$ in µ $\overbrace {\qquad \qquad \qquad \qquad }$			$\beta$ $\overbrace {\qquad \qquad \qquad \qquad }$
			(1)	(2)	(3)	(1)	(2)	(3)	(1)	(2)	(3)
0.1350	0.0246	½	0.0251	0.0246	0.0254	− 5	− 0	− 8	0.947	0.924	0.971
0.1919	0.0376	1	0.0377	0.0375	0.0379	− 1	+ 1	− 3	0.922	0.875	0.919
0.2400	0.0502	1	0.0502	0.0502	0.0502	0	0	0	0.867	0.823	0.864
0.2890	0.0545	1	0.0649	0.0651	0.0647	− 4	− 6	− 2	0.807	0.765	0.805
0.3359	0.0811	1	0.0811	0.0813	0.0808	0	− 2	+ 3	0.752	0.713	0.750
0.3832	0.1001	1	0.0995	0.0997	0.0992	+ 6	+ 4	+ 9	0.697	0.661	0.695
0.4305	0.1205	1	0.1201	0.1202	0.1200	+ 4	+ 3	+ 5	0.649	0.616	0.647
0.4735	0.1404	¼	0.1408	0.1405	0.1409	− 4	− 1	− 5	0.610	0.579	0.608
0.5252	0.1666	¼	0.1682	0.1678	0.1687	−16	−12	−21	0.566	0.527	0.564

Aus der Tabelle geht zunächst hervor, daß man aus der Gestalt der Kurven allein, ohne Berücksichtigung der Absolutwerte der Konstanten, schwer eine Entscheidung zugunsten der einen oder andern Theorie treffen kann. Der mittlere Fehler der einzelnen Kurvenpunkte beträgt:

Für	(1):	5	Mikron	(Abraham),
„	(2):	5	„	(Lorentz),
„	(3):	7	„	(Bucherer).

Eine endgültige Entscheidung ist nur möglich durch Vergleichung der Kurvenkonstanten mit den Apparatkonstanten und dem Kathodenstrahlwert von ${\frac {\varepsilon }{\mu _{0}}}$.

Dabei ergibt die dritte der Gleichungen (8.) und (12.), wie leicht ersichtlich, den Mittelwert zwischen den aus der ersten und zweiten berechneten Werten, die nur in dem Maße voneinander abweichen, als sich Gleichung (9.) nicht genau erfüllt zeigt.

Die Ausmessung des elektrischen und magnetischen Feldes ergab, daß:

$E=315\cdot 10^{10}$ El. Magn. Einh. (bei einer Potentialdifferenz von 2500 Volt),

$M=557$.

Somit ist:

$E/Mc=0.1884$.

Dagegen ergibt die Berechnung mittels der Kurvenkonstanten nach (9) und (11):

			Diff. (Kurvenapparatkonstante)
nach	Abraham:	$AB=0.1817$	− 3.5	Prozent
„	Lorentz:	$C=0.1689$	−10.4	„
„	Bucherer:	$AB=0.1831$	− 2.8	„

Die Differenzen stellen zugleich auch die Abweichung zwischen den aus den Kurvenkonstanten und den aus den Apparatkonstanten ermittelten $\beta$-Werten für einen beliebigen Kurvenpunkt dar.

Die Werte für ${\frac {\varepsilon }{\mu _{0}}}$ sind

a) Kathodenstrahlen[8]:				1.885 $\cdot 10^{7}$
b) $\beta$-Strahlen:					Diff. ($\beta$-Kathodenstrahlen)
nach	Abraham:	1.858;	1.788;	1.823	− 3.3	Prozent
„	Lorentz:	1.751;	1.569;	1.660	−11.9	„
„	Bucherer:	1.833;	1.780;	1.808	− 4.0	„

Die vorstehenden Ergebnisse sprechen entschieden gegen die Richtigkeit der Lorentzschen und somit auch der Einsteinschen Grundannahme. Erachtet man diese Grundannahme als hierdurch widerlegt, so würde der Versuch, die ganze Physik, einschließlich der Elektrodynamik und der Optik auf das Prinzip der Relativbewegung zu gründen, einstweilen als mißglückt zu bezeichnen sein.

Eine Entscheidung zwischen den Theorien von Abraham und Bucherer ist einstweilen unmöglich und scheint durch Beobachtungen der oben beschriebenen Art wegen der weitgehenden numerischen Übereinstimmung der Werte von $\phi (\beta )$ überhaupt nicht erreichbar. Ob die Bucherersche Formel für die Optik bewegter Körper im Bereiche der möglichen Beobachtungen dasselbe leistet, wie die Lorentzsche, muß erst ermittelt werden.

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Ausgegeben am 30. November.

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1. Gött. Nachr. 1901, Heft 1; 1902, Heft 5; 1903, Heft 3; Phys. Zeitschr. 4, 55, 1902.
2. Gött. Nachr. 1902, Heft 1; Ann. d. Phys. (4) 10, 105, 1903.
3. Versl. Akad. Amsterdam, 27. Mai 1904.
4. Vgl. die oben zitierten Abhandlungen des Verfassers und von C. Runge, Gött. Nachr. 1903, Heft 5.
5. Mathematische Einführung in die Elektronentheorie, Leipzig 1904.
6. Ann.d. Phys. (4) 17, 891; 1905.
7. Eine nachträgliche Vergleichung des Glasmikrometers mit dem Schlittenmaßstab des Komparators ergab einen Fehler im Abstand der Teilstriche von −2.5 Promille. Die $z'$-Werte sind also um diesen Betrag zu hoch, die Konstanten $A$ zu klein. Die entsprechenden Korrektionen sind an den weiter unten mitgeteilten Endresultaten bereits angebracht.
8. S. Simon, Ann. d. Phys. (3) 69, 589, 1899. Der dort angegebene Wert von ${\frac {\varepsilon }{\mu }}=1.865\cdot 10^{7}$ ergibt, auf $\infty$ kleine Geschwindigkeiten extrapoliert, die obige Zahl.