Die Relativitätstheorie vom Standpunkte der Physik und Erkenntnislehre

Die

Relativitätstheorie

vom Standpunkte der Physik und Erkenntnislehre

von

W. Wien

Professor der Physik an der Universität München

1921

Leipzig · Verlag von Johann Ambrosius Barth

Vortrag

gehalten im Verwaltungsgebäude der Firma Siemens & Halske in Siemensstadt bei Berlin am 18. März 1921

Druck von Metzger & Wittig in Leipzig.

Vorwort.

Der hiermit dem Druck übergebene Vortrag über die Relativitätstheorie ist auf Veranlassung des Direktoriums der Firma Siemens & Halske in ihrem Verwaltungsgebäude in Siemensstadt bei Berlin gehalten.

Er soll eine objektive Darstellung der Theorie, des für und wider, geben, über die vielfach in wenig wissenschaftlicher Weise in der Öffentlichkeit verhandelt ist. Ich glaube die Fragen sine ira et studio besprochen zu haben und möchte allen, die sich mit ihr beschäftigen, empfehlen, sich nicht als Anhänger oder Gegner der Theorie auszubilden, sondern sie so zu betrachten, wie es allein der Wissenschaft angemessen ist, nämlich als einen Weg Eigenschaften der Naturgesetze zu erkennen, der ebensowohl richtig wie falsch sein kann. Die Entscheidung hierüber kann man nicht auf dogmatischem Wege erreichen, sondern muß sie den Ergebnissen der Erfahrung überlassen.

München, Juni 1921.

W. Wien.

Es gereicht mir zur besonderen Freude, daß ich an dieser Stelle über eine Frage der reinen theoretischen Physik sprechen darf, ja sogar über ihre erkenntnistheoretische Bedeutung. Ich erblicke darin ein Interesse für die reine Physik, das ich lebhaft begrüße und ich freue mich darüber, daß auch die technischen Kreise, die sich die Aufgabe gestellt haben, die Anwendungen der Physik zu bearbeiten, sich mit Fragen beschäftigen, bei denen vorläufig jede Anwendungsmöglichkeit ausgeschlossen ist. Während wir Physiker die Ergebnisse der Technik hoch schätzen und wohl wissen, wie sehr unsere Arbeit durch technische Leistungen erleichtert und zum Teil erst ermöglicht wird, freuen wir uns natürlich, wenn auch die Techniker zu der Überzeugung kommen, daß die physikalische Wissenschaft nur fortschreiten kann, wenn sie sich als reine Wissenschaft ohne Rücksicht auf die möglichen Anwendungen entwickelt, die sich dann immer von selbst einstellen. Die physikalische Einsicht hat aber auch stets einen besonderen Erkenntniswert, der den menschlichen Geist befriedigt und ihn in ähnlicher Weise wie die Kunst über den Alltag hinaushebt.

Die Freude heute über Relativitätstheorie zu Ihnen zu sprechen, wird nur etwas durch die Überzeugung beeinträchtigt, daß diese Lehre in wesentlichen Teilen sich der gemeinverständlichen Darlegung entzieht. Ich muß sogar behaupten, daß von Physikern selbst nur ein kleiner Teil die Relativitätstheorie so weit kennt um sich ein selbständiges Urteil über sie bilden zu können. Bei dieser Lage kann ich mir auch nichts ersprießliches von den vielen Vorträgen und Aufsätzen versprechen, welche das Ziel verfolgen wissenschaftlich ungeschulte in die Relativitätstheorie einführen zu wollen.

Wenn ich daher der Überzeugung bin, daß die Besprechung der Relativitätstheorie in Volksversammlungen zu nichts anderem als zu einer Verwirrung der Geister führt, so darf ich nun meinerseits nicht dasselbe tun, was ich hier als unzulässig zu bezeichnen mich verpflichtet fühle. Ich muß mich von vornherein beschränken und mir nicht die Aufgabe stellen Ihnen wirklich die Relativitätstheorie auseinanderzusetzen. Ich möchte mir nur vornehmen Ihnen in möglichst einfacher Weise darzustellen, wie man zur Relativitätstheorie gelangt ist, welche Ziele sie verfolgt, was sie leistet und welcher Erkenntniswert ihr zuzuschreiben ist.

Die Relativitätstheorie ist, wie alle physikalischen Theorien, ein Ergebnis der Erfahrung.^[1] Wenn auch dem unbefangenen Beobachter die Einführung einer absoluten Bewegung, ohne Beziehung auf andere Körper, fernlag, so hat doch schon die Newtonsche Mechanik von einem absoluten Raum, gegen den die Bewegung eines materiellen Körpers möglich sei, Gebrauch gemacht. Es ist dies eine Folge der Anwendung der analytischen Geometrie, bei der die Ortsbestimmungen durch die Abstände von einem im Raume festen Koordinatensystem festgesetzt werden. Die Festlegung der Linien des Koordinatensystems ist im absolut leeren Raum unmöglich und hat daher einen im Raume befindlichen Körper zur Voraussetzung, auf den alle übrigen Körper bezogen werden. So hatte sich schon früh die Erkenntnis durchgesetzt, daß trotz der Einführung der absoluten Bewegung in der Mechanik nur relative Bewegungen beobachtbar seien. Aber anders lag die Frage für das Licht, seitdem die Wellenlehre das Vorhandensein eines Trägers der Lichtwellen, des Äthers, gefordert hatte.

Es war klar, daß eine absolute Bewegung im Raume gegenüber dem Lichtäther wohl eine physikalische Bedeutung haben mußte und daß es möglich sein sollte, eine solche absolute Bewegung durch die Beobachtung nachzuweisen. Mannigfaltige Versuche wurden nun angestellt um solche Beobachtungen anzustellen, aber immer mit negativem Erfolg. Von diesen Versuchen ist der von A. A. Michelson angestellte der bekannteste geworden.

Ein parallel der Erdbewegung laufender Lichtstrahl fällt auf eine unter 45° geneigte Glasplatte, geht teilweise durch sie hindurch und wird teilweise senkrecht zur Erdbewegung reflektiert. Beide Teile des ursprünglichen Lichtstrahls werden von einem Spiegel genau rückwärts geworfen und kehren zu der geneigten Glasplatte zurück, von wo sie den Weg gemeinsam zum Beobachter nehmen. Wenn diese beiden Lichtstrahlen bei ruhender Erde gleiche Wege zurücklegen, so werden die Wege ungleich sobald sich die Erde bewegt, wie eine einfache Rechnung zeigt, der nichts anderes zugrunde liegt als das bekannte Problem der Eleaten, wann Achilles eine von ihm verfolgte Schildkröte einholen wird. Die Schildkröte ist hier der mit der Erde forteilende Spiegel, Achilles ist der den Spiegel einholende Lichtstrahl. Die Annahme eines ruhenden Äthers hätte unbedingt einen Unterschied in dem Wege beider Lichtstrahlen zur Folge, der allerdings nur vom Quadrate des Verhältnisses der Erdgeschwindigkeit zur Lichtgeschwindigkeit abhängt, also einer Größe von der Ordnung einhundertmillionstel.

Eine so außerordentliche kleine Größe läßt sich aber doch beobachten, wenn man die beiden Lichtstrahlen zur Interferenz bringt, weil man hierbei noch Bruchteile einer Wellenlänge, die ein halbes tausendstel Millimeter beträgt, messen kann. Wählt man den Weg beider Lichtstrahlen gleich einem Meter, so kann man in der Tat noch so kleine Größen beobachten, wie sie hier in Betracht kommen.

Der negative Ausfall des Michelsonschen Versuchs^[2] ist die Erfahrungstatsache, auf der die Relativitätstheorie beruht. Dieser Versuch ist für diese Theorie von gleicher Bedeutung wie das perpetuum mobile für das Gesetz von der Erhaltung der Energie oder des perpetuum mobile zweiter Art für den zweiten Hauptsatz der mechanischen Wärmetheorie. Diese beiden Gesetze haben in ihrer Entdeckungsgeschichte viel Ähnlichkeit mit dem Relativitätsprinzip. Aus der Erfahrung wird allmählich die Einsicht geschöpft, daß es unmöglich ist eine beabsichtigte Wirkung zu erzielen und diese Unmöglichkeit wird als Folge eines allgemeinen Naturgesetzes erkannt.

Bei der Aufstellung der Naturgesetze muß man jedoch solche unterscheiden, die nur eine Erweiterung und Verallgemeinerung der bekannten Gesetze bilden und solche, bei denen bisherige einfache Voraussetzungen aufgegeben werden müssen. Von der ersten Art ist das Gesetz von der Erhaltung der Energie, von der zweiten der zweite Hauptsatz der Wärmelehre. Das Gesetz von der Erhaltung der Energie war seit der Aufstellung des Begriffs der lebendigen Kraft durch Leibniz für die Mechanik bekannt und die Leistungen von Robert Mayer, Helmholtz und Joule bestanden darin, die Gültigkeit des Satzes über die gewöhnliche Mechanik hinaus zu beweisen und sie auf die ganze Physik auszudehnen. Wenn auch die Einsicht gewonnen wurde, daß das perpetuum mobile, die Möglichkeit Energie ohne Zufuhr unbeschränkt zu verbrauchen, ausgeschlossen sei, so war doch nichts von dem aufzugeben, was bisher an physikalischer Erkenntnis gewonnen war und an physikalischen Grundlagen gesichert schien.

Anders lag es beim zweiten Hauptsatz der mechanischen Wärmelehre. Die Behauptung der Unmöglichkeit des perpetuum mobile zweiter Art, durch welches man unbeschränkt die Wärmeenergie in nutzbare Arbeit umsetzen könnte, schien zunächst etwas ganz ähnliches auszusagen, wie das Gesetz von der Erhaltung der Energie. Die nähere Untersuchung zeigte aber, daß der zweite Hauptsatz, der die Möglichkeit des perpetuum mobile zweiter Art ausschließt, solche Vorgänge einführt, die man als nicht umkehrbar bezeichnet. Die Umkehrbarkeit der Zeit in allen physikalischen Vorgängen war aber einer der allgemeinsten Grundsätze der ganzen Physik, einschließlich der elektromagnetischen Vorgänge, gewesen. Wenn später die Nichtumkehrbarkeit auf die Unregelmäßigkeit der Molekularbewegungen zurückgeführt und an Stelle der strengen Kausalität die Statistik^[3] in die Physik eingeführt wurde, so schien das vielen als eine Preisgabe der wichtigsten physikalischen Grundsätze zu sein und strenge Erkenntnistheoretiker wie Mach haben die statistischen Methoden überhaupt abgelehnt.

Wenn eine neue Theorie die Preisgabe bisheriger Grundsätze verlangt, so wird immer die Frage aufzuwerfen sein, ob der Gewinn größer ist als der Verlust. Beim zweiten Hauptsatz ist die Frage längst zu seinen Gunsten entschieden. Das Eindringen der Physik in die molekulare und atomistische Struktur der Materie fordert gebieterisch die Anwendung statistischer Methoden, ohne die eine theoretische Bewältigung des ganzen Gebietes ausgeschlossen gewesen wäre. Das Herausheben der atomistischen Vorgänge in der Physik hat den Wahrscheinlichkeitsbetrachtungen eine ganz außerordentliche Bedeutung verliehen. Insbesondere stellt sich die neuere Quantentheorie auf den Standpunkt, daß die Naturgesetze nur statistisch, d. h. beim Zusammenwirken vieler einzelner Atome gelten, während die wirklichen, für die Naturelemente geltenden Gesetze noch größtenteils unbekannt sind. Da das Gesetz von der Erhaltung der Energie eine Folge der mechanischen und elektromagnetischen Gesetze ist, so muß die weittragende Frage aufgeworfen werden, ob die Erhaltung der Energie auch nur statistischen Charakter hat. Es ist nicht zu leugnen, daß die Gefahr einer Überwucherung der Statistik besteht und daß das Endziel der theoretischen Physik, das Erkennen der endlichen kausalen Zusammenhänge außer Acht gelassen wird.

Das Aufgeben bisher als sicher angenommener Voraussetzungen fordert nun auch die Relativitätstheorie. Um nämlich das negative Ergebnis des Michelsonschen Versuchs zu erklären, muß sie eine Abhängigkeit der Länge eines festen Körpers von seiner Geschwindigkeit annehmen, die aber nur ein ruhender Beobachter bemerken kann. Es ist das die sogenannte Lorentz-Verkürzung^[4] durch die zum ersten Male jene eigentümliche Relativität der Maßstäbe eingeführt wurde, die dann in der Relativitätstheorie eine so große Rolle gespielt hat. Es läßt sich nicht leugnen, daß die Einführung solcher Annahmen etwas künstliches hat, woran die natürliche Denkweise Anstoß nehmen muß. Man fragt sich unwillkürlich weshalb der Natur soviel an der Relativität gelegen sei, daß sie so künstliche Einrichtungen getroffen habe.

Wenn man diese Verkürzung eines Maßstabs durch die Bewegung einem ruhenden Beobachter gegenüber zugibt, so findet der Michelsonsche Versuch seine Erklärung d. h. die Verkürzung wird so angenommen, daß das Ergebnis des Versuchs ein negatives sein muß.

Die Abhängigkeit der Länge eines Maßstabs von der Geschwindigkeit genügt indessen noch nicht um das Relativitätsprinzip für gleichförmige Bewegungen allgemein durchzuführen. Auch die Zeitmessung muß von der Geschwindigkeit abhängen, so daß für einen ruhenden Beobachter eine Uhr einen anderen Gang hat, wenn sie sich bewegt. Diese Annahme muß gemacht werden um die Möglichkeit auszuschließen, eine absolute Bewegung durch die Beobachtung von Zeitsignalen festzustellen. Trotz der Einführung so merkwürdiger Annahmen, wie der Abhängigkeit der Länge eines Maßstabs und des Ganges einer Uhr von der Bewegung durch den Raum, ist die Relativitätstheorie, die man als die spezielle bezeichnet, ziemlich allgemein angenommen, weil sie durch die Erfahrung bestätigt ist. Nicht nur die Unmöglichkeit, die absolute Bewegung nachzuweisen, spricht für sie. Auch die Beobachtungen der Ablenkung sehr schneller Elektronen stimmen mit ihr überein.

Man kann, um zu solchen Ergebnissen zu gelangen, die Theorie in der Weise aufstellen, daß man fordert, daß alle Naturgesetze in einem bewegten System für einen mitbewegten Beobachter genau dieselben sein sollen, wie in einem ruhenden System für einen ruhenden Beobachter. Die Erfüllung dieser Bedingung ist an bestimmte mathematische Operationen^[5] gebunden, und das Ergebnis ist dieses, daß ganz allgemein der Einfluß festgestellt wird, den die Bewegung auf irgendwelche physikalische Vorgänge hat.

Ein wesentliches Ergebnis dieser Relativitätstheorie ist die Unmöglichkeit eine größere Geschwindigkeit zu beobachten als die Lichtgeschwindigkeit. Die Verkürzung des Maßstabs durch die Bewegung ist nämlich eine solche, daß seine Länge bereits verschwindend klein wird, wenn die Geschwindigkeit die Lichtgeschwindigkeit erreicht. Würde diese überschritten werden, so erhielt man eine negative Länge, was physikalisch sinnlos wäre.

Will man einem schweren Körper eine sehr große Geschwindigkeit erteilen, so macht sich die Lichtgeschwindigkeit in der Weise geltend, daß es für einen bestimmten Geschwindigkeitszuwachs einer um so größeren Arbeitsleistung bedarf, je näher man der Lichtgeschwindigkeit kommt. Es wirkt also eine Kraft auf eine bereits große Geschwindigkeit eines Körpers wie auf einen Körper von größerer Masse bei kleinerer Geschwindigkeit ein. Es erscheint daher die Masse von der Geschwindigkeit abhängig^[6], wie es sich bei der Beobachtung der spezifischen Ladung der $\beta$-Strahlen bestätigt hat. Die Lichtgeschwindigkeit spielt in der Relativitätstheorie die Rolle einer unendlich großen Geschwindigkeit.

Eine weitere Folge ist das Aufhören der Zusammensetzung zweier Geschwindigkeiten nach dem Satz vom Parallelogramm der Kräfte. Nach der gewöhnlichen Anschauung fügt sich eine Geschwindigkeit einer bereits in gleicher Richtung vorhandenen einfach hinzu. Das darf nun nicht mehr gelten, da dann aus zwei Geschwindigkeiten, die kleiner sind wie die Lichtgeschwindigkeit, sich eine solche ergeben könnte die größer ist. Die Zusammensetzung von Geschwindigkeiten muß daher so erfolgen, daß die Lichtgeschwindigkeit niemals überschritten wird.^[7]

Eine sehr bedeutsame und weittragende Folgerung der Relativitätstheorie ist die, daß man der Energie in derselben Weise wie der Masse Trägheit zuschreiben muß. Man kann sich dies merkwürdige Ergebnis dadurch in einfacher Weise klar machen, daß man sich Energie in der Form von Strahlung, also an keine Materie gebunden, vorstellt, die von einem allein im Raum befindlichen Körper einseitig in einer bestimmten Richtung ausgesandt wird. Eine solche Strahlung übt auf den Körper, den sie verläßt, einen Druck aus, so daß dieser in einer der Strahlung entgegengesetzten Richtung in Bewegung gesetzt wird. Es würde also hierdurch möglich sein, eine absolute Bewegung im Raume zu erzielen und ihre Größe zu bestimmen.

Wenn man aber der ausgestrahlten Energie Masse zuschreibt, so haben wir es nicht mehr mit einer absoluten Bewegung zu tun, weil hier die nach einer Richtung forteilende Strahlung und der nach der andern gehende Körper sich relativ wie zwei Körper zueinander bewegen. Der Energie muß also träge Masse zugeschrieben werden, deren Größe gleich ist der Energie geteilt durch das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit.^[8] Diese Auffassung hat zur Folge, daß man Energie und Masse nicht unterscheiden kann. Überall wo sich im Raume Energie befindet, ist auch eine entsprechende Menge träger Masse vorhanden und es steht nichts im Wege nur Energie als vorhanden anzunehmen, die in den Atomen der Körper in ungeheurer Konzentration vorzustellen wäre.

Bei der Aufstellung der mathematischen Form der Naturgesetze, die dieser Relativitätstheorie genügen, hat sich gezeigt, daß die Abmessungen des Raumes und die Zeit formal in vollkommen gleicher Weise auftreten, wenn man die Zeit mit der imaginären Einheit, der Quadratwurzel aus minus Eins, multipliziert.^[9] Diese Darstellung, bei der die imaginäre Zeit die Rolle der vierten Dimension des Raumes übernimmt, ist wohl die erste Veranlassung gewesen, der Relativitätstheorie allgemeinere Aufmerksamkeit zuzuwenden. Die Mystik der vierten Dimension schien hier in das helle Licht physikalischer Erkenntnis gerückt zu werden. So wichtig nun zweifellos die Beziehung von Raum und Zeit ist, welche durch die Relativitätstheorie aufgedeckt wurde, so muß doch immer wieder darauf hingewiesen werden, daß es sich hier zunächst nur um einen formalen Zusammenhang handelt, wie schon daraus hervorgeht, daß nicht die Zeit selbst diese Rolle spielt, sondern die imaginäre Zeit. An der Tatsache, daß die Zeit etwas völlig anderes ist als eine Raumabmessung vermag weder die Relativitätstheorie noch irgendeine andere Theorie etwas zu ändern.

Die bisher betrachtete, sogenannte spezielle Relativitätstheorie, die sich nur auf Bewegungen mit unveränderlicher Geschwindigkeit bezieht, hat, wie wir gesehen haben, eine wesentliche Umgestaltung grundlegender physikalischer Begriffe und Auffassungen eingeführt. Dabei möchte ich das Relativitätsprinzip nicht eigentlich als ein physikalisches sondern als ein erkenntnistheoretisches bezeichnen. Denn es wird auf der Grundlage aufgebaut, daß wir die absolute Bewegung nicht sollen erkennen können. Die nur aus der Physik fließenden Gesetze sind immer nur als solche anzusehen, die näherungsweise Gültigkeit haben, die bei fortschreitender Erkenntnis durch genauere zu ersetzen sind. Das sehen wir an dem Satze von der Unveränderlichkeit der Masse, an der Regel für Zusammensetzung von Geschwindigkeiten, am Dopplerschen Prinzip und anderm. Das Relativitätsprinzip verlangt aber strenge Gültigkeit und würde nicht als erste Näherung an die Wirklichkeit angesehen werden können. Denn man wird ohne weiteres zugeben, daß ein angenähert gültiges Relativitätsprinzip absurd ist. Sit ut est aut non sit kann man auch vom Relativitätsprinzip behaupten. Die bisherige Übereinstimmung mit der Erfahrung hat dem Prinzip fast allgemeine Anerkennung verschafft. Daß man den Einfluß der Bewegung allgemein durch die Relativitätstheorie ableiten kann, ist auch sicherlich eine anerkennenswerte Leistung.

Trotzdem darf nicht verschwiegen werden, daß mit der Relativitätstheorie mancher früher möglich erscheinende Ausblick verschlossen ist. Die Lichtgeschwindigkeit, mit der sich die elektromagnetischen Wellen im Raum fortpflanzen, ist der Zurückführung auf andere beobachtbare Größen endgültig entzogen. Der Äther, welcher als Träger der elektromagnetischen Wellen zu gelten hatte, erscheint ausgeschaltet. Es sollen sich abstrakte Größen, wie elektrische oder magnetische Kräfte mit Lichtgeschwindigkeit im Raum fortbewegen. Es scheint mir sehr fraglich ob hiermit das letzte Wort gesprochen wurde. Die Neigung den Äther wieder einzuführen ist durch die Theorie der Strahlung wieder wachgerufen. Ist aber einmal der Äther wieder da, so werden Zweifel, ob nicht doch eine Bewegung relativ zu ihm physikalische Bedeutung hat, nicht zum Verschwinden zu bringen sein.

Wenn indessen die spezielle Relativitätstheorie allgemein in die Wissenschaft eingeführt wurde, so ist um die sogenannte allgemeine Relativitätstheorie ein Streit entbrannt, wie er in der Geschichte der Wissenschaften wohl noch nicht vorgekommen ist. Der Kampf hat den wissenschaftlichen Boden ganz verlassen und ist ins politische und dogmatische Gebiet übertragen worden, wobei naturgemäß die bei solchen Streitigkeiten sich einstellende Erbitterung nicht gefehlt hat. Man kann sowohl Anhängern wie Gegnern dieser Relativitätstheorie den Vorwurf nicht ersparen, daß sie die Auseinandersetzung nicht auf rein wissenschaftlicher Grundlage durchgeführt sondern den Meinungsstreit vor ein Forum gebracht haben, das nicht im entferntesten in der Lage sein konnte sich über diese, selbst den meisten Physikern nicht geläufigen Fragen ein Urteil zu bilden. Wenn schon die spezielle Relativitätstheorie hohe Anforderungen an abgezogenes Denken stellt, so daß selbst für diese eine gemeinverständliche Darstellung schwierig ist, so ist das bei der allgemeinen Relativitätstheorie in weit gesteigertem Maße der Fall.

Während bei der speziellen Relativitätstheorie es sich um die Aussage handelt, daß eine absolute gleichförmige Bewegung im Raum nicht nachweisbar sei, eine Behauptung, die von Erfahrungstatsachen gestützt wird, sucht die allgemeine Relativitätstheorie dasselbe auch von beliebigen Bewegungen zu behaupten. Diese Annahme wird indessen von der Erfahrung nicht gestützt, vielmehr haben wir mancherlei Hilfsmittel um z. B. die Drehung der Erde auch ohne Beobachtung des Fixsternhimmels nachzuweisen, nämlich das Foucaultsche Pendel und den Kreiselkompaß. Wenn nun trotzdem die Relativität auch der Erddrehung behauptet wird, so bedarf es besonderer eigens hierfür konstruierter Annahmen um jene Beobachtungsergebnisse zu erklären. Das ist schon ein wesentlicher Nachteil der allgemeinen Relativitätstheorie. Ein weiterer liegt darin, daß die mathematische Formulierung des Prinzips, die bei der speziellen Relativitätstheorie äußerst einfach und durchsichtig ist, bei der allgemeinen auf eine Reihe von Postulaten führt, deren Annahme möglich, aber keineswegs innerlich zwingend ist.

Der wesentliche Ausgangspunkt der allgemeinen Relativitätstheorie ist die Annahme, daß eine beschleunigte Bewegung, bei der sich also die Geschwindigkeit zeitlich ändert, durch eine entsprechende Einwirkung der Schwerkraft ersetzt werden könne. Dadurch gelangt man in der Tat zu einer Art von Relativität. Denn man kann dann nicht unterscheiden, ob eine Wirkung von der beschleunigten Bewegung oder von der anziehenden Kraft irgendwelcher Massen herrührt. Es ist aber doch ein deutlicher Unterschied gegenüber der speziellen Relativitätstheorie vorhanden. Nach dieser ist eine absolute Bewegung überhaupt nicht beobachtbar, bei einer Drehung wird aber etwas beobachtet, und es bleibt nur nach der allgemeinen Relativitätstheorie unsicher ob es eine Drehung oder die Wirkung einer Schwerkraft ist.

Als eine wesentliche Forderung aus der speziellen Relativitätstheorie war abgeleitet, daß die Energie die Trägheitseigenschaften der Materie besitzen müsse, so daß alle Materie auf große Energievorräte im Innern der Körper zurückgeführt werden könne. Wenn so Energie und Masse nicht voneinander unterschieden werden können, so ist eine weitere Folge, daß die Energie auch der Schwerkraft unterworfen sein muß. Wenn die Wirkung einer beschleunigten Bewegung vollständig durch die Schwerkraft ersetzt werden kann, so folgt hieraus die gravitierende Wirkung der Energie mit Notwendigkeit.

Man kann nämlich durch Strahlung Energie von einem Körper zum andern gelangen lassen während beide durch die Beschleunigung eine Geschwindigkeit erlangen. Dann tritt durch diese Bewegung eine Änderung der aufgenommenen Energie ein, weil der die Strahlung während der Bewegung aufnehmende Körper noch die in dem durchlaufenen Raum befindliche Strahlung aufnimmt. Genau dieselbe Änderung der Energie erhält man durch die Wirkung der jener Beschleunigung entsprechenden Schwerkraft, wenn diese auf die ruhenden Körper wirkt und der durch Strahlung übertragenen Energie die Eigenschaft der Schwere zugeschrieben wird^[10].

Unzweifelhaft hat die Annahme, daß die Schwerkraft auch auf die Energie wirkt viel für sich, wenn man sich einmal auf den Boden der speziellen Relativitätstheorie gestellt hat.

Wenn man diese auf beliebige Bewegungen auszudehnen sucht, so gelangt man sogleich zu verwickelten Maßverhältnissen. Am einfachsten ist das bei einem Körper zu erkennen, der sich um seine Achse dreht. Da die Geschwindigkeit von der Achse nach außen zunimmt, so muß auch die von der speziellen Relativitätstheorie geforderte Längenverkürzung eintreten, so daß auf dem sich drehenden Körper die Maßstäbe von Ort zu Ort veränderlich sind. Ebenso ist das Zeitmaß, das von der Geschwindigkeit abhängig ist, veränderlich, wenn man sich von der Drehungsachse entfernt. Eine Uhr geht um so langsamer je weiter man sie von der Drehungsachse fortbringt. Wenn wir so zu einer recht verwickelten Auffassung der geometrischen und Zeitverhältnisse gelangen, so bietet die allgemeine Relativitätstheorie, die wohl viele ihrer Künstlichkeit halber abzulehnen geneigt sein dürften, gewisse Anhaltspunkte für die Prüfung durch die Beobachtung.

Wenn ein in beschleunigter Bewegung sich entfernender Körper Lichtstrahlen aussendet, so wird die Schwingungszahl dieser Strahlen für einen ruhenden Beobachter nach dem Dopplerschen Prinzip verkleinert gerade so wie von einer sich entfernender Schallquelle ein tieferer Ton gehört wird wie von einer ruhenden. Wenn nun an Stelle der beschleunigten Bewegung die Schwerkraft treten kann, so muß die letztere auch dieselbe Einwirkung haben. Da, wo die Schwerkraft sehr groß ist, wie an der Sonne, müssen die Schwingungszahlen des Lichtes eine Verkleinerung erfahren gegenüber solchen Orten, wo die Schwerkraft geringer ist. Die Spektrallinien der Sonne müssen eine Verschiebung nach dem roten Ende des Spektrums erhalten, die mit den heutigen Beobachtungsmethoden nach gerade meßbar sein sollte. Diese Folgerung der allgemeinen Relativitätstheorie ist so zu deuten, daß die Zeitmessung von der Schwerkraft abhängig ist. Gerade so wie eine Schwingungszahl auf der Sonne sich verkleinert, muß eine Uhr dort langsamer laufen. Hieraus ist wiederum zu schließen, daß die Lichtgeschwindigkeit an der Sonne verkleinert erscheinen muß, da die Geschwindigkeit gleich einer Strecke dividiert durch die zu ihrer Überwindung verbrauchte Zeit ist.

Diese Veränderung der Lichtgeschwindigkeit hat zur Folge, daß ein Lichtstrahl in der Nähe der Sonne eine Brechung erfährt wie beim Übergang aus einem optisch dünneren Medium in ein optisch dichteres.

Berücksichtigt man diese Änderung der Lichtgeschwindigkeit, so erhält man in der Nähe der Sonne eine Ablenkung von 0,83 Bogensekunden.

In seiner neuern allgemein mathematisch formulierten Theorie hat Einstein einen Wert für die Ablenkung des Lichtstrahles durch die Sonne abgeleitet, der doppelt so groß ist. Dieser vergrößerte Betrag rührt daher, daß die Maßverhältnisse nicht nur der Zeit sondern auch des Raumes durch die Schwerkraft beeinflußt werden.

Die englischen Astronomen haben nun in der Tat eine Ablenkung des Lichtstrahls an der Sonne beobachtet von einer Größe wie ihn die Einsteinsche Theorie ergeben hat. Trotz diesem unzweifelhaften Erfolge der Theorie wird man weitere Beobachtungen abwarten, ehe von einer endgültigen Bestätigung gesprochen werden kann. Über die Rotverschiebung der Spektrallinien auf der Sonne herrscht noch heftiger Meinungsstreit. Während die amerikanischen Astronomen das Vorhandensein der Verschiebung leugnen, wird sie nun von zwei Deutschen, Grebe und Bachem, behauptet. Da indessen die Amerikaner unter weit günstigeren Bedingungen arbeiten, werden hier besonders erst die Beobachtungen abzuwarten sein.^[11] Es entspricht den Gepflogenheiten der deutschen Wissenschaft an alle wissenschaftlichen Ergebnisse den Maßstab strengster Kritik anzulegen und ich muß es daher als verfrüht bezeichnen, wenn schon häufig von einer endgültigen Bestätigung der allgemeinen Relativitätstheorie gesprochen wird. Einen zweifellosen Erfolg hat diese durch die Darstellung der Perihelbewegung der Planeten erzielt, der beim Merkur schon lange beobachtet war.

Sollten sich die Folgerungen der allgemeinen Relativitätstheorie tatsächlich bestätigen, so wird sie als wissenschaftliche Leistung hoch zu schätzen sein. Jede Auffindung neuer natürlicher Tatsachen, die durch theoretische Überlegungen vorausgesetzt wurde, stellt einen großen Triumph der logischen Kraft des menschlichen Geistes dar. Hier handelt es sich nun um Beziehungen physikalischer Vorgänge zur Schwerkraft, die bisher ohne Zusammenhang mit andern Gebieten der Physik zu stehen schien. Dadurch würde die Theorie noch eine besondere Bedeutung in der Physik beanspruchen können.

Vom physikalischen Standpunkt aus beurteilt liegt demnach die Bedeutung der Relativitätstheorie in folgendem.

Die spezielle Relativitätstheorie erlaubt den Einfluß der Bewegung auf beliebige physikalische Vorgänge zu bestimmen. Die allgemeine Relativitätstheorie bestimmt in gleicher Weise den Einfluß der Schwerkraft.

Aber gerade so wie wir nur bei sehr großen Geschwindigkeiten zu Einwirkungen kommen, bei denen die spezielle Relativitätstheorie überhaupt erst hervortritt, so wird die allgemeine erst dann merklich, wenn es sich um die Schwerkraft sehr großer Massen wie der Sonne handelt.

Daher ist die Bedeutung der Theorie für die Physik beschränkt und die Zahl der möglichen Anwendungen wird immer eine verhältnismäßig kleine bleiben.

Andrerseits hat die allgemeine Relativitätstheorie einen großen Vorteil für die Grundlagen der theoretischen Physik, daß sie nämlich die schon lange bekannte Tatsache, daß schwere und träge Massen sich nicht unterscheiden lassen, als notwendiges Naturgesetz aufnimmt, während bisher diese Erfahrungstatsache in den Ausdruck der Naturgesetze nicht aufgenommen war.

Die allgemeine Form, die die Relativitätstheorie angenommen hat, ist eine rein mathematische. Der Ausdruck der Naturgesetze darf sich in bestimmten mathematischen Operationen nicht ändern.

Schon in der speziellen Relativitätstheorie wurde die Zeitformel als vierte Dimension des Raums eingeführt, noch dazu als imaginäre Größe. Für die Darstellung ist dann weitgehend von den Methoden der nichteuklidischen Geometrie Gebrauch gemacht worden.

Vom erkenntnistheoretischen Standpunkt aus ist diesen Darstellungsweisen zu viel Bedeutung beigelegt. Die Mystik der vierten Dimension hat gleich begonnen auch in der Betrachtung der Relativitätstheorie eine Rolle zu spielen während sie doch nichts anderes als ein bequemes mathematisches Ausdrucksmittel ist. Auch ist die Anwendung der nichteuklidischen Geometrie nur als eine mathematische Darstellungsweise zu betrachten. Die Mathematiker hatten seit Riemann gezeigt, daß Geometrien logisch denkbar sind, bei denen andere Gesetze gelten als in der gewöhnlichen Geometrie. Die Möglichkeit solcher Geometrien hatte sich ergeben, als man vergebens versuchte den Satz zu beweisen, daß die Winkelsumme in einem Dreieck gleich zwei Rechten ist. Wir haben das in der Schule gelernt, aber beweisbar ist es nicht. Dieser Satz ist deshalb unbeweisbar, weil man logisch Geometrien konstruieren kann, bei denen die Winkelsumme von zwei rechten Winkeln abweicht. Nachdem einmal die logische Möglichkeit der nichteuklidischen Geometrien erkannt war, konnte man auf diesem Wege weiter gehen.

Eine Geometrie, bei der die Winkelsumme im Dreieck größer ist als zwei rechte Winkel, nannte man eine sphärische Geometrie weil die geraden Linien in ihr in sich zurücklaufen wie die größten Kreise einer Kugel. Die Möglichkeit, mit Hilfe der nichteuklidischen Geometrie ein endliches Weltall aufzunehmen ist schon von Bernhard Riemann erkannt. Sie ist von neueren Astronomen vielfach erörtert worden. Hier tritt aber die Frage auf, ob wirklich die einfachen Grundlagen der Geometrie aufgegeben werden dürfen.

Einstein^[12] hat nun den Versuch gemacht, den Nachweis zu führen, daß für die Anwendung der Gesetze der Massenanziehung auf das gesamte Weltall die mit der nichteuklidischen Geometrie operierende Relativitätstheorie Vorzüge vor der bisherigen Mechanik besitzt. Es war schon lange bekannt, daß eine das gesamte Weltall mit endlicher Dichte füllende Materie mit dem Newtonschen Gesetz der allgemeinen Schwere nicht vereinbar ist^[13]. Vielmehr muß man annehmen, daß die Dichte der Materie mit zunehmender Entfernung von einem Mittelpunkt immer weiter und zwar mindestens im umgekehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung abnimmt. Wir kommen dann zur Vorstellung des immer leerer werdenden Raumes. Man würde dieser erkenntnistheoretischen Schwierigkeit entgehen, wenn man eine nichteuklidische sphärische Geometrie annehmen würde, bei der die geraden Linien in sich selbst zurücklaufen. Ein solcher Raum ist endlich. Die Relativitätstheorie soll nun den Vorteil haben, daß sie ohnehin schon die nichteuklidische Geometrie einführt, so daß von selbst eine sphärische Geometrie aus der Relativitätstheorie folgen würde, und daß ein unendlich ausgedehnter Raum mit ihr nicht vereinbar ist.

Man muß indessen diese Betrachtungen mit großer Vorsicht anstellen. Alle Anwendungen der Naturgesetze auf das unendliche Weltall sind immer fragwürdig und wenn es auch von Interesse ist zu sehen, wie weit solche Anwendungen führen, so muß man sich doch klar darüber sein, daß man aus den sich ergebenden Schwierigkeiten keine bindenden Folgerungen ableiten kann.

Die mathematische Form der allgemeinen Relativitätstheorie ist nun eine solche, daß eine strenge und eindeutige Festsetzung dessen, was man unter dieser Theorie verstehen will, nicht möglich ist. Die Relativitätstheorie ist vielmehr ein System von mathematischen Gleichungen, welche Eigenschaften der umkehrbar wirkenden Naturgesetze darstellen sollen, und die bei gewissen mathematischen Umformungen sich nicht ändern.

Herr Kretschmann hat verlangt, daß die in der Unabhängigkeit von diesen Umformungen ausgedrückte Relativität notwendig und bei jedem Ausdruck für die Naturgesetze eintritt während sie bei der allgemeinen Relativitätstheorie nur möglich ist. Er nennt deshalb die Einsteinsche allgemeine Relativitätstheorie eine Absoluttheorie^[14]. Hiermit ist schon gesagt, daß sehr verschiedene Bezeichnungen für das, was wir Relativitätstheorie nennen wollen möglich sind. Ob eine Form der allgemeinen Relativitätstheorie durchführbar ist, welche der Kretschmannschen Forderung genügt, ist fraglich. Die spezielle Relativitätstheorie genügt ihr.

Nun hat Einstein die Grundlagen seine allgemeine Relativitätstheorie in folgenden Grundsätzen aufgestellt^[15].

1. Relativitätsprinzip: Der Ausdruck der Naturgesetze bleibt gewissen mathematischen Umformungen gegenüber unverändert.
2. Trägheit und Schwere sind wesensgleich (Grundlage der sogenannten allgemeinen Relativitätstheorie); ferner: die Maßverhältnisse des Raums, das Trägheitsverhalten und die Schwerkraft sind durch denselben Zustand im Raume bedingt.
3. Dieser Zustand wird nur durch die Massen der Körper bestimmt.

Wir sehen hieraus, daß der Einsteinschen Theorie mehr enthalten ist als durch die Relativitätsforderung ausgesprochen wird. Aber selbst auf diese Weise ist das System der Gleichungen der Theorie noch nicht vollständig bestimmt. Einstein selbst hat seinen Gleichungen ein Zusatzglied angefügt, das die Forderung des Relativitätsprinzips unberührt läßt, aber gestattet eine endliche in einem sphärischen Raume befindliche Materie anzunehmen, die das Weltall bilden soll (vgl. ^[16]).

Wenn schon hieraus hervorgeht, daß die allgemeine Relativitätstheorie nicht die Abgeschlossenheit besitzt wie die spezielle, an der nichts zu ändern ist, die man nur annehmen oder verwerfen kann, so wird das noch deutlicher, wenn man an die Weiterbildungen der allgemeinen Relativitätstheorie denkt, wie sie z. B. von Weyl^[17] gemacht sind. Während bei Einstein Geometrie, Zeit, Trägheitswirkungen und Schwere ein zusammenhängendes System bilden, nimmt Weyl auch noch die elektromagnetischen Vorgänge auf. Die Weylsche Theorie hat schon mehr den Charakter eines nicht mehr zu ändernden Systems angenommen als die Theorie Einsteins.

Naturgemäß wird die Geometrie bei Weyl noch verwickelter und man muß sagen, daß diese Theorien schließlich darin bestehen, die in der Darstellung der Naturgesetze liegenden Schwierigkeiten auf die Geometrie abzuwälzen. Man muß wohl mit Sicherheit annehmen, daß durch eine genügend verwickelte Geometrie die Tatsachen der Wirklichkeit, wie sie auch sich durch die Beobachtungen ergeben mögen, dargestellt werden können. Es ist das eine Darstellung, bei der eben wieder die große in der bisherigen Geometrie liegende Einfachheit aufgegeben wird und die Frage ob wir wirklich zu einem Aufgeben der einfachsten Grundlagen der Naturbetrachtung gezwungen sind, wird immer wieder mit Recht erhoben werden.

Wenn wir nun die gesamte Relativitätstheorie kritisch betrachten so müssen wir zunächst die Forderungen festsetzen, die an eine solche Theorie zu stellen sind. Diese Forderungen sollten folgende sein.

1. Die Theorie muß aus einem Postulat aufgebaut werden können.
2. Die Theorie muß logisch widerspruchsfrei sein.
3. Die Folgerungen müssen mit den Tatsachen übereinstimmen.
4. Die Theorie muß einfach sein.

Die Forderung 1. wird wohl von der speziellen Relativitätstheorie unter Hinzunahme der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit, aber, wie wir gesehen haben, nicht von der allgemeinen erfüllt.

Der allgemeinen Theorie Einsteins liegen, wie wir gesehen haben, mehrere Postulate zugrunde.

Außer ihr sind aber noch andere möglich, ohne daß zwischen diesen verschiedenen Möglichkeiten die Entscheidung sich jetzt treffen läßt.

Was die Forderung 2. anlangt, so glaube ich, daß sie von beiden Relativitätstheorien erfüllt wird. Schon die Tatsache, daß sie sich durch das von den Mathematikern vollständig ausgebaute System der nichteuklidischen Geometrie und der Theorie der Kovarianten darstellen läßt, bietet Gewähr dafür, daß sie von innern logischen Widersprüchen frei ist.

Mir scheint, daß die Gegner der allgemeinen Relativitätstheorie bei den Versuchen logische Einwände gegen sie vorzubringen, nicht genügend auf den Unterschied zwischen der physikalischen Theorie, und ihrer mathematischen Gestalt unterschieden haben.

Die Forderung 3., daß die Beobachtungen mit den Folgerungen aus der Theorie übereinstimmen müssen, ist, wie wir gesehen haben, noch nicht erledigt.

Wir kommen nun zur Forderung 4. daß die Theorie einfach sein müsse.

Mir scheint, daß die eigentliche Gegnerschaft gegen die Relativitätstheorie und zwar nicht mit Unrecht aber großenteils unbewußt, daraus folgt, daß die Theorie zu verwickelt erscheint und zu sehr mit gänzlich abgezogenen Begriffen arbeitet.

Schon die spezielle Relativitätstheorie führt mit der Annahme, daß die Maßeinheiten von Länge und Zeit von der Bewegung abhängen sollen, eine Abstraktion ein, die dem physikalischen Denken zuwiderläuft. Daß zwei Geschwindigkeiten sich nicht einfach addieren sollen, erhöht auch nicht die Einfachheit der ganzen Theorie. Die allgemeine Relativitätstheorie gehört aber zu den abstraktesten Gebieten der Mathematik überhaupt und die Frage erscheint daher durchaus berechtigt, ob wir wirklich dazu genötigt sind, die bisherige einfache Geometrie als Grundpfeiler der Physik aufzugeben und zu Betrachtungen überzugehen, die mathematisch sicher einwandfrei sind aber die Physik auf unsichern Boden stellen. So leicht es dem Mathematiker wird, die Geometrie beliebig zu verallgemeinern, da er nur die Logik als Richtlinien gelten zu lassen braucht, so schwer wird es dem Physiker, die einfachen Grundlagen seiner Wissenschaft zu verändern, weil dann immer wieder neue Änderungen drohen. Wenn indessen sich die Folgerungen aus der Relativitätstheorie wirklich bestätigen sollten, so wird ihr immer eine große Bedeutung zukommen. Man wird versuchen, sie soviel als möglich zu vereinfachen und dabei zu neuen Auffassungen und Darstellungsmethoden gelangen.

Aber wir müssen nun noch etwas näher auf einen erkenntnistheoretischen Irrtum eingehen, der in der letzten Zeit entstanden und geeignet ist, in weiten Kreisen Verwirrungen hervorzurufen.

Es wird behauptet, durch die allgemeine Relativitätstheorie werde gezeigt, daß alle Beweise für das Kopernikanische Weltsystem hinfällig geworden seien und daß ebensogut das Ptolemäische System angenommen werden könne. Ich möchte nun an irgendeinem Mathematiker, Astronomen oder Physiker, sei er nun Anhänger der Relativitätstheorie oder nicht, die Frage richten, ob er im Ernst glaube, daß man jemals wieder annehmen könne, die Erde stehe still und die Sonne bewege sich um sie.

Wir müssen vom erkenntnistheoretischen Standpunkt das logisch mögliche und beweisbare vom wirklichen trennen. Rein logisch können wir die Existenz der Außenwelt überhaupt leugnen, jedenfalls läßt sich diese logisch nicht beweisen. Trotzdem glaubt doch Jeder an sie und zwar noch fester als an irgendeine logische Folgerung. Wenn auch rein logisch das Ptolemäische und Kopernikanische Weltsystem gleichberechtigt sein mögen, so spricht doch eins entscheidend für das letztere: die Einfachheit.

Als Kopernikus sein System aufstellte, konnte man die Beobachtungen, die später als Beweise für die Erddrehung gelten, das Foucaultsche Pendel, die Kreiselwirkungen, noch nicht. Kopernikus zeigte nun, daß die Bahnen der Himmelskörper außerordentlich viel einfacher werden, wenn wir die Erddrehung voraussetzen. Bekanntlich hat schon im griechischen Altertum Aristarch gelehrt, daß die Erde sich um die Sonne bewege. Spengler hat dies in seinem bekannten Buch „Der Untergang des Abendlandes“ so gedeutet, als ob diese Erkenntnis deshalb bei den Griechen nicht habe durchdringen können, weil sie der Weltanschauung der griechischen Kultur nicht entsprochen habe. Nach meiner Auffassung ist sie damals nicht angenommen weil es damals noch nicht möglich war, den ungeheuren Vorteil der neuen Annahme zu übersehen. Erst dreihundert Jahre später stellte Ptolemäos sein Weltsystem auf und es bedurfte erst sehr eingehender astronomischer Arbeiten bis man imstande war, die beiden Systeme wirklich zu vergleichen.

Das erlösende Wort des Kopernikus bestand darin, daß er zeigte, wie sich die verwirrten epizyklischen Bahnen der Planeten im Ptolomäischen System vereinfachen, wenn man die Annahme macht, daß sich die Erde dreht. Hieran ändert natürlich die Relativitätstheorie nicht das mindeste.

Der ungeheure Einfluß der kopernikanischen Lehre bestand darin, daß sie den bisherigen Glauben, daß die von Menschen bewohnte Erde den Mittelpunkt des Weltalls bilde, ein Ende bereitete. Der Einfluß dieser geistigen Leistung auf die Weltanschauung des Menschen ist unermeßlich gewesen, weil seine Stellung zum Weltall von Grund aus verändert wurde. Es ist natürlich ganz ausgeschlossen — und jeder Anhänger der Relativitätstheorie wird das zugeben — daß diese Wirkung der kopernikanischen Lehre wieder rückgängig gemacht werden kann.

Die Relativitätstheorie behauptet nur, daß aus ihrem System logisch auch die Möglichkeit, daß sich das Weltall um die Erde drehe, gefolgert werden könne. Sie bedarf zur Durchführung dieses Beweises der Voraussetzung, daß die bei der Erddrehung auftretenden Fliehkräfte durch die Einwirkung der Himmelskörper des Weltalls hervorgerufen werden können. Aber diese Möglichkeit, aus der sich physikalische Folgerungen ziehen lassen, ist für die Wirklichkeit bedeutungslos, weil die Einfachheit des kopernikanischen Systems dieses allein für unser Naturerkennen brauchbar erscheinen läßt.

Es muß deshalb auch bestritten werden, daß die Relativitätstheorie eine neue Weltanschauung begründen könne. Diese Theorie hat mit Weltanschauung nur insofern etwas zu tun, als sie, wenn sie sich erfahrungsmäßig bestätigen sollte, eine Bereicherung des physikalischen Wissens bildet. Da sie sich im übrigen der bewährten Methode der theoretischen Physik bedient, kann sie die Weltanschauung nur in dem Umfang beeinflussen, als dies die Physik überhaupt zu tun vermag. Wenn vielfach von einer relativistischen Weltanschauung gesprochen wird, die in Beziehung trete mit der von Spengler in seinem „Untergang des Abendlandes“ vertretenen Auffassung, so muß entschieden bestritten werden, daß eine solche mit der physikalischen Relativitätstheorie irgend etwas zu tun hat.

Die Neigung, physikalische Grundsätze zu verallgemeinern und auf fremde Gebiete zu übertragen hat schon oft zu unrichtigen Folgerungen geführt. Als Maupertuis das Gesetz der kleinsten Wirkung aufstellte, glaubte er ein besonderes teleologisches Gesetz der Natur erkannt zu haben. Erst Jacobi hat mit allem metaphysischen Beiwerk bei dem Prinzip der kleinsten Wirkung aufgeräumt und klar gezeigt, daß es sich um eine mathematische Formulierung der Gesetze der Mechanik handele. Auch die Relativitätstheorie ist nichts anderes als eine mathematische Darstellung von Eigenschaften, die den Naturgesetzen zukommen sollen. Ebensowenig wie wir aus dem Prinzip der kleinsten Wirkung besondere metaphysische Absichten der Natur erschließen können, können wir aus der Relativitätstheorie irgend etwas ableiten, das über das physikalische Geschehen hinausgeht.

Die Relativitätstheorie ist nichts anderes als ein mathematisches System der theoretischen Physik, aus dem sich durch die Erfahrung zu prüfende physikalische Folgerungen ergeben. Hieran wird auch dadurch nichts geändert, daß das Relativitätsprinzip selbst der Erkenntnistheorie entstammt.

Die Relativitätstheorie selbst ist eine physikalische. Schon bei der speziellen Theorie brauchen wir außer der Forderung, daß keine absolute Bewegung beobachtbar sein darf, noch die Annahme der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit, die dann aber in der allgemeinen Theorie gleich wieder aufgegeben werden muß. Diese selbst ist dann nichts anderes als ein System von Differentialgleichungen, wie die Mechanik und die elektromagnetische Theorie.

Wirkliche Einwände gegen die Relativitätstheorie können daher nur von dreierlei Art sein. Entweder man muß innerhalb des mathematischen Systems der Theorie Widersprüche aufdecken. Oder man muß zeigen, daß sie zu Folgerungen führt, die mit der Erfahrung nicht übereinstimmen oder schließlich muß man den Nachweis führen, daß sie sich wegen der Preisgabe einfacher Grundsätze zur endgültigen Darstellung der Naturvorgänge nicht eignet.

Die vielen erkenntnistheoretischen Einwände, die erhoben worden sind und noch erhoben werden, treffen die Theorie, als eine physikalische nicht. Nur die Physik kann entscheiden, ob sie richtig und für die Errichtung des physikalischen Weltbildes zweckmäßig ist.

Es kommt sehr darauf an, die physikalische Relativitätstheorie von ihrer mathematischen Gestalt zu trennen. Die letztere, die das Interesse der Mathematiker in hohem Grade erregt hat, wird als eine Anwendung und Weiterbildung der vierdimensionalen nichteuklidischen Geometrie ihre Bedeutung behalten, selbst wenn die physikalische Theorie wieder aufgegeben oder wesentlich verändert werden sollte.

Es besteht allerdings eine Gefahr, daß die mit der eigentlichen, auf die Physik beschränkten, Relativitätstheorie nicht genügend vertraut sind, mehr aus ihr zu folgern und eine allgemeine Relativität unseres Denkens überhaupt abzuleiten suchen. Wir würden damit um mehr als zweitausend Jahre rückwärts gehen und wieder bei den griechischen Sophisten anlangen. Die Relativität aller Urteile ist schon von Protagoras gelehrt worden, der schließlich bei dem echt sophistischen Standpunkt anlangte, daß man jeden Satz und ebensogut sein Gegenteil verfechten könne. Man müsse nur immer den geeigneten Standpunkt einnehmen. Ich weiß nicht, ob die Vertreter einer modernen relativistischen Anschauung soweit gehen wollen. Aber eins ist sicher, daß alle solche Gedankengänge der physikalischen Denkweise geradeswegs zuwiderlaufen. Die physikalischen Denker haben allmählich mit Aufwendung der größten Geistesschärfe erreicht, daß der geocentrische und anthropomorphe Standpunkt verlassen wurde. Jetzt kann man es geradezu als die Grundlage des physikalischen Denkens bezeichnen, die subjektive Auffassung des Menschen auszuschalten und zu den unveränderlichen, von menschlicher Betrachtungsweise unabhängigen, Naturgesetzen vorzudringen. Allerdings brauchen wir für die Naturerkenntnis die Vernunft, also eine menschliche Eigenschaft.

Aber durch die Erfolge der physikalischen Betrachtungsweise sind wir mit der Zeit zu der Einsicht gelangt, daß logische Folgerungen aus den Naturgesetzen und das wirkliche Geschehen soweit in Übereinstimmung stehen, daß eine objektive Naturerkenntnis möglich ist. Die psychologischen Gesetze, die letzten Endes auch natürliche sind, sind solche, daß zwischen Logik und Naturgeschehen Übereinstimmung herrscht. Wenn wir diese Erkenntnis aufgeben und wieder zur sophistischen Auffassung nur relativer Erkenntnis zurückkehren, so geben wir damit die Grundlage des physikalischen Denkens auf. Die Physiker müssen sich daher in erster Linie dagegen aussprechen, daß eine physikalische Relativitätstheorie, die möglicherweise gewisse Eigenschaften der Naturgesetze richtig darstellt, mißverständlich zu einer Relativität des Erkennens erweitert werden soll, die das ganze Gebäude physikalischer Naturerkenntnis und damit vor allem die Grundlagen der Relativitätstheorie selbst erschüttern würde.

Das allgemeine Interesse, dessen sich die Relativitätstheorie erfreut, scheint mir nicht ausschließlich sich dem zuzuwenden, wo sie wirklich von Bedeutung werden könnte, falls die Folgerungen aus ihr Bestätigung finden sollten. So sehr man sich zu freuen Anlaß hätte, falls Interesse und Verständnis sich auf ein physikalisches Gebiet richten, so läßt sich doch die Besorgnis nicht unterdrücken, daß es nicht der physikalische, allein wissenschaftliche, Gedanke der Relativitätstheorie ist, der die Gemüter und Geister beschäftigt und anzieht.

Ich kann mich eines gewissen Zweifels nicht erwehren, ob die für die Physik bedeutungsvolle Frage der Ablenkung des Lichtstrahls durch die Sonne und der Verschiebung der Spektrallinien wirklich allein ein so großes Interesse hervorruft und ob nicht mehr gefühlsmäßige und unbestimmte Erwartungen dazu geführt haben, daß die Relativitätstheorie so viel in Volksversammlungen behandelt und daß so viel völliger Unsinn über sie geredet und gedruckt wird.

So sehr man wünschen muß, daß die wissenschaftlichen Ergebnisse, so weit sie sicher gestellt sind, Verbreitung finden und zur Kenntnis weiter Volkskreise gelangen, muß ich es doch offen aussprechen, daß mir hierfür bei der Relativitätstheorie die Zeit noch nicht gekommen scheint. Weder ist die Theorie noch sind ihre Ergebnisse durch die Erfahrung endgültig bestätigt. Eine allgemeine Erörterung von allem für und wider die Relativitätstheorie verbietet sich dadurch, daß dazu ungemein mannigfache Fachkenntnisse gehören. Mehr noch als für die platonische Schule gilt für die Relativitätstheorie

Μηδεὶς ἀγεωμετριϰὸς εἰσίτω.

Jedem Nichtmathematiker ist der Eintritt verwehrt.

Anmerkungen

1. 1) Daß die Relativitätstheorie zunächst für gleichförmige Bewegungen auch für die elektromagnetischen Vorgänge durchführbar ist, hat zuerst H. A. Lorentz durch die mathematische Form der sogenannten Lorentztransformation nachgewiesen. Zu ihrer konsequenten Durchbildung müssen die Begriffe der absoluten Zeit und des starren Körpers aufgegeben werden. Die Abplattung eines kugelförmigen Elektrons durch die Bewegung ist nur die allgemein von der Relativitätstheorie geforderte Änderung der Raumdimension in der Translationsrichtung. Da die Geschwindigkeit des Lichts im leeren Raum eine absolute Geschwindigkeit ist, so müssen, falls trotzdem nur relative Bewegungen in den Naturphänomenen in die Erscheinung treten sollen, die Begriffe von Raum und Zeit so gefaßt werden, daß eine absolute Bewegung in keiner Weise erkennbar wird. Der Interferenzversuch von Michelson würde die Möglichkeit des Nachweises der absoluten Bewegung liefern, wenn nicht die erwähnte Änderung der Lineardimensionen einträte. Ein auf die durchsichtige Glasplatte G fallender Lichtstrahl durchsetzt diese und geht weiter, bis er vom Spiegel S in seiner eigenen Richtung zurückreflektiert

   Fig.1

   Fig.2

   wird. Ein zweiter Strahl wird von der Glasplatte G reflektiert und gelangt zum Spiegel S’, von dem er in die eigene Richtung zurückreflektiert wird. Er fällt dann wieder auf die Glasplatte, wird zum zweitenmal reflektiert und gelangt nun mit dem von S zurückkehrenden ersten Strahl zur Interferenz. Sind die Entfernungen von S und S’ von G gleich l, so ist die Zeit, die die beiden Lichtstrahlen brauchen, um wieder nach G zurückzukehren, ${\tfrac {2l}{c}}$ ($c$ = Lichtgeschwindigkeit). Ist das System in der Richtung GS in gleichförmiger Translation mit der Geschwindigkeit $v$ begriffen, so ist die Zeit, die der erste Strahl braucht, um wieder nach G zurückzukehren,

   ${\frac {1}{c-v}}+{\frac {1}{c+v}}={\frac {2lc}{c^{2}-v^{2}}}={\frac {2l}{1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}.$

   Von S wird bei der Bewegung nicht mehr der rechtwinklig zur Bewegungsrichtung ausgehende Strahl nach G reflektiert, sondern, weil G während der eine Strahl bis zur Rückkunft gebrauchten Zeit sich fortbewegt hat, ein etwas geneigter Strahl. (Fig. 2.) Dabei ist ${\frac {x}{a}}={\frac {v}{c}}\ ,\ a^{2}=l^{2}+x^{2}=l^{2}+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}a^{2},$ so daß $a={\frac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$ ist.

   Die von diesem Strahl zur Rückkehr gebrauchte Zeit ist demnach

   ${\frac {2l}{c{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}.$

   Man sieht hieraus, daß durch die Translation die ursprüngliche gleiche Zeit der beiden Lichtstrahlen verschieden geworden ist. Wenn man also die Spiegel und die Glasplatte auf einem drehbaren starren System montiert und einmal die Richtung GS, dann die Richtung GS’, mit der Richtung der Erdbewegung zusammenfallen läßt, so muß hierbei eine Verschiebung der Interferenzstreifen eintreten, die dem veränderten Gangunterschied der beiden Strahlen entspricht. Die Theorie der Relativität verlangt, daß dies nicht eintritt, und es muß demnach die Strecke in der Translationsrichtung ihre Länge im Verhältnis $1:{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$ verkürzt haben, damit beide Lichtstrahlen wieder gleiche Wege zurücklegen. Dies ist die sogenannte Lorentzverkürzung.

   Man kann also sagen, daß alle Dimensionen in der Translationsrichtung sich durch die Bewegung in dem angegebenen Verhältnis verkürzt haben müssen. Es ist dies aber keineswegs eine Verkürzung im gewöhnlichen Sinne des Wortes, sondern sie ist nur wahrnehmbar für einen ruhenden Beobachter, aber nicht für einen, der sich mitbewegt.

   Eine weitere Folgerung aus der Relativitätstheorie bezieht sich auf die Zeit, worauf Einstein zuerst aufmerksam gemacht hat. Da nämlich ein Lichtstrahl, der in der Richtung der Bewegung die Strecke $l$ hin und zurück durchläuft, im bewegten System die Zeit ${\frac {2l}{c\left(1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}\right)}}$ oder vielmehr mit Berücksichtigung der eben abgeleiteten Verkürzung der Länge $l$ die Zeit ${\frac {2l}{c{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$ braucht, während er im ruhenden System ${\frac {2l}{c}}$ braucht, so müssen, damit durch hin- und zurückgeworfene Lichtsignale die Beobachtung der absoluten Bewegung unmöglich wird, sämtliche Zeiten in gleichem Verhältnis verkleinert sein, um die Verlängerung der Zeit durch die Bewegung zu kompensieren. Uhren müssen im bewegten System vom ruhenden aus betrachtet langsamer gehen als im ruhenden System.

   Die Zeit wird aber noch von einer anderen Veränderung betroffen. Es seien A und B zwei Zahnräder auf einer festen Achse von der Länge $x$. Es gehe ein Lichtstrahl durch die Lücken des Zahnrades B und gelange in A auch durch eine Zahnlücke.

   Setzen wir die Achse in Rotation, so wird bei bestimmter Geschwindigkeit das Rad A sich soviel verschoben haben, daß der Lichtstrahl in A auf den Zahn trifft und nicht mehr hindurchgehen kann. Ein umgekehrt durch eine Zahnlücke von A gehender Strahl wird in B von einem Zahn aufgehalten werden. Setzen wir nun das ganze System in der Richtung BA in Bewegung, so braucht der Lichtstrahl in der Richtung BA eine kürzere Zeit bis zum Zahnrad B als in der Richtung AB bis zum Zahnrad A.

   Damit dieser Versuch nicht die Beobachtung der absoluten Geschwindigkeit ermögliche, muß die Asymmetrie im Gange der beiden Lichtstrahlen aufgehoben werden. Dies ist nur möglich, wenn das eine Zahnrad gegenüber dem anderen eine Drehung durch die Translationsbewegung erfährt, so daß es dem anderen in der Zeit um $\tau$ voraus ist. $\tau$ bestimmt sich dann dadurch, daß

   $t+\tau ={\frac {x}{c-v}},\qquad t-\tau ={\frac {x}{c+v}},$ $2\tau =x\left({\frac {1}{c-v}}-{\frac {1}{c+v}}\right)={\frac {2xv}{c^{2}\left(1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}\right)}}.$

   Da nun aus $x$ wieder $x{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$ wird, so ist

   $\tau ={\frac {xv}{c^{2}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}.$

   Um diesen Betrag muß sich die Zeit an zwei Orten für einen ruhenden Beobachter unterscheiden, wenn die Orte in der Translationsrichtung um die Strecke $x$ auseinanderliegen.

   Die drei erwähnten Experimente enthalten die physikalische Bedeutung der Raumzeittransformationen der Relativitätstheorie.

   Man erkennt, daß der Begriff des starren Körpers seine Bedeutung vollständig verliert und daß die Begriffe von Raum und Zeit nur in unmittelbarer Verknüpfung miteinander brauchbar sind.

   Wenn für einen ruhenden Beobachter die Maßbestimmungen für ein mit ihm fest verbundenes Koordinatensystem $x,y,z$ gelten, so werden die Koordinaten $x',y',z',$ bezogen auf ein Koordinatensystem, das mit einem in der Richtung $x$ mit der Geschwindigkeit $v$ bewegten Körper verbunden ist, zunächst sein

   $x'=x-vt\quad y'=y\quad z'=z.$

   Nun wird aber aus $x$ durch die Lorentzverkürzung

   $x{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}.$

   Es ist also

   $x{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}=x'+vt$ oder $x'={\frac {x-vt}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}.$

   Nennen wir nun $t$ die Zeit für das ruhende System, $t'$ für das bewegte, so ist, wie wir oben gesehen haben

   $t'=t{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}.$

   Ferner ist $t'$, wie aus der Betrachtung der Zahnräder folgt, noch vom Ort abhängig, so daß für zwei in der Entfernung $x$ auf der $x$-Achse voneinander entfernt liegende Orte durch die Bewegung $t'$ um den Betrag ${\frac {xv}{c^{2}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$ verschieden ist. Da nun für einen bewegten Punkt, für den $x'=0$ sein soll, $x'=vt$ ist, so folgt:

   $t'={\frac {t-{\dfrac {xv}{c^{2}}}}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}},$ weil dann für $x=vt$ in der Tat $t'=t{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}$ wird.

   Durch diese Beziehungen ist die Lorentztransformation ausgedrückt, deren physikalische Bedeutung aus den angestellten Betrachtungen erhellt.

   Lorentz hatte allerdings aus dieser Transformation noch nicht die allgemeine Folgerung der Relativität gezogen, sondern nur gezeigt, daß durch sie die Versuche eine absolute Bewegung nachzuweisen erfolglos sein müssen. Einstein hat dann die Forderung der Relativität an die Spitze gestellt und aus ihr die Lorentztransformation abgeleitet. Er zog als Folgerung besonders noch die Trägheit der Energie. Die allgemeine Relativität hat E. Mach in seiner „Mechanik in ihrer Entwicklung“ Leipzig 1901, S. 248 mit folgenden Worten ausgesprochen: „Für mich gibt es überhaupt nur eine relative Bewegung und ich kann darin einen Unterschied zwischen Rotation und Translation nicht machen. Dreht sich ein Körper relativ gegen den Fixsternhimmel, so treten Fliehkräfte auf, dreht er sich relativ gegen einen andern Körper, nicht aber gegen den Fixsternhimmel, so fehlen die Fliehkräfte. Ich habe nichts dagegen, daß man die erstere Rotation eine absolute nennt, wenn man nur nicht vergißt, daß dies nichts anderes heißt als eine relative Drehung gegen den Fixsternhimmel. Können wir vielleicht das Wasserglas Newtons festhalten, den Fixsternhimmel dagegen rotieren und das Fehlen der Fliehkräfte nachweisen? Der Versuch ist nicht ausführbar, der Gedanke überhaupt sinnlos, da beide Fälle sinnlich voneinander nicht zu unterscheiden sind. Ich halte demnach beide Fälle für denselben Fall und die Newtonsche Unterscheidung für eine Illusion“.

   Die allgemeine Relativitätstheorie ist dann von Einstein auf der Grundlage der Machschen Ideen aufgestellt und an sie hat sich eine außerordentlich umfangreiche Literatur angeschlossen.

   Die ersten Einsteinschen Arbeiten über allgemeine Relativitätstheorie sind: Jahrbuch f. Radioaktivität u. Elektroide. VI, 4. Annalen d. Physik. 35, S. 898, 1911; 38, S. 355 u. S. 443. Die Zusammenstellung der mathematischen Darstellung ist: Ann. d. Phys. 49, S. 769 1916.

2. 2) A. A. Michelson. Americ. Journ. of Soc. (3). 22, S. 120, 1881; Michelson und Morley, ebenda (5), 24, S. 449 1887.
3. 3) Daß der zweite Hauptsatz der mechanischen Wärmelehre nur durch die Wahrscheinlichkeitsrechnung abgeleitet werden kann, ist von Boltzmann gezeigt. (Über die Beziehung zwischen dem zweiten Hauptsatz der mechanischen Wärmetheorie und der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Wiener Berichte 11. Oktober 1877.) Die Bezeichnung statistische Mechanik rührt von W. Gibbs her.
4. 4) Die Lorentzverkürzung ist ebenso wie die Veränderung der Zeit durch die Bewegung in der Lorentztransformation (vgl. 1) enthalten.
5. 5) Nämlich die Lorentztransformation. (Vgl. 1).
6. 6) Es ergibt sich hierbei ein Unterschied zwischen longitudinaler und transversaler Masse je nachdem die beschleunigende Kraft in der Richtung der schon vorhandenen Geschwindigkeit $v$ wirkt oder senkrecht dazu. Jede Masse $m$ die durch die Beschleunigung bei geringer Geschwindigkeit gemessen wird, wird bei großer Geschwindigkeit $v$

   bei longitudinaler Beschleunigung	${\frac {m}{\left({\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}\right)^{3}}}$
   bei transversaler Beschleunigung	${\frac {m}{1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}.$

7. 7) Zwei Geschwindigkeiten $u$ und $v$ gleicher Richtung addieren sich nicht einfach sondern ergeben eine gemeinsame Geschwindigkeit von der Größe ${\frac {u+v}{1+{\dfrac {uv}{c^{2}}}}},$ die immer kleiner ist als die Lichtgeschwindigkeit $c$.
8. 8)Dieses Ergebnis erhält man am einfachsten in folgender Weise: Wenn ein Körper mit der Oberfläche 1 qcm die Energie $E$ in einer bestimmten Richtung ausstrahlt, so ist die Energiedichte (Energie in der Volumeinheit) ${\frac {E}{c}},$ wo $c$ die Lichtgeschwindigkeit bezeichnet. Der Druck, den die den Körper verlassende Strahlung auf diesen ausübt ist der Energiedichte gleich. Wenn wir nun der Energie die träge Masse in zuschreiben, so ist die Bewegungsgröße der Energie $mc$ und diese ist gleich der Kraft mit welcher der Körper auf die Strahlung zurückwirkt, die auch gleich ${\frac {E}{c}}$ ist. Es ist also

   $mc={\frac {E}{c}},\qquad m={\frac {E}{c^{2}}}.$

   Vgl. Einstein, Ann. d. Phys. 18, S. 639 1905; 48, S. 1129 1915.

9. 9) H. Minkowski hat zuerst gezeigt, wie sich die elektromagnetische Theorie als eine Geometrie von vier Dimensionen darstellen läßt. Sind $E$ und $H$ die Vektoren des elektrischen und magnetischen Feldes, so gilt in der Elektronentheorie, wenn $\varrho$ die elektrische Ladung, $v$ die Geschwindigkeit bezeichnen.

   ${\begin{array}{lll}{\dfrac {\partial {\mathfrak {E}}}{\partial t}}+\varrho v=c\ \mathrm {rot} \ {\mathfrak {H}}&&{\dfrac {\partial {\mathfrak {H}}}{\partial t}}=-c\ \mathrm {rot} \ {\mathfrak {E}}\\\mathrm {div} \ {\mathfrak {E}}=\varrho &&\mathrm {div} \ {\mathfrak {H}}=0.\end{array}}$

   Setzen wir nun $it=l,\ i={\sqrt {-1}}$ so läßt sich das erste System dieser Gleichungen schreiben.

   I

   ${\begin{array}{rl}{\dfrac {\partial {\mathfrak {H}}_{z}}{\partial y}}-{\dfrac {\partial {\mathfrak {H}}_{y}}{\partial x}}-{\dfrac {\partial i{\mathfrak {E}}_{x}}{\partial l}}&={\dfrac {1}{c}}\varrho v_{x}\\\\-{\dfrac {\partial {\mathfrak {H}}_{z}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial {\mathfrak {H}}_{x}}{\partial z}}-{\dfrac {\partial i{\mathfrak {E}}_{y}}{\partial l}}&={\dfrac {1}{c}}\varrho v_{y}\\\\{\dfrac {\partial {\mathfrak {H}}_{y}}{\partial x}}-{\dfrac {\partial {\mathfrak {H}}_{x}}{\partial y}}-{\dfrac {\partial i{\mathfrak {E}}_{z}}{\partial l}}&={\dfrac {1}{c}}\varrho v_{z}\\\\{\dfrac {\partial i{\mathfrak {E}}_{x}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial i{\mathfrak {E}}_{y}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial i{\mathfrak {E}}_{z}}{\partial z}}&=i\varrho \end{array}}$

   Die vollkommene Symmetrie zwischen den Raumordinaten $x,v,z$ und der imaginären Zeit $l=it$ tritt hervor, wenn man

   ${\begin{array}{rrrrr}{\mathfrak {H}}_{z}={\mathfrak {F}}_{xy}&&-{\mathfrak {H}}_{y}={\mathfrak {F}}_{xz}&&-i{\mathfrak {E}}_{x}={\mathfrak {F}}_{xl}\\-{\mathfrak {H}}_{z}={\mathfrak {F}}_{yx}&&{\mathfrak {H}}_{x}={\mathfrak {F}}_{yz}&&-i{\mathfrak {E}}_{y}={\mathfrak {F}}_{yl}\\{\mathfrak {H}}_{y}={\mathfrak {F}}_{zy}&&-{\mathfrak {H}}_{x}={\mathfrak {F}}_{zy}&&-i{\mathfrak {E}}_{z}={\mathfrak {F}}_{zl}\end{array}}$

   wobei allgemein ${\mathfrak {F}}_{mn}=-{\mathfrak {F}}_{nm}$ ist.

   Setzt man noch allgemein voraus, daß ${\mathfrak {F}}_{mm=0},$ ist so lassen sich die linken Seiten der Gleichungen I schreiben

   ${\frac {\partial {\mathfrak {F}}_{mx}}{\partial x}}+{\frac {\partial {\mathfrak {F}}_{my}}{\partial y}}+{\frac {\partial {\mathfrak {F}}_{mz}}{\partial z}}+{\frac {\partial {\mathfrak {F}}_{ml}}{\partial l}},\quad m=x,y,z,l.$

   ${\mathfrak {F}}$ wird ein Sechservektor und die Differentialoperation eine Divergenz genannt.

   Die Gleichungen

   ${\frac {\partial {\mathfrak {H}}}{\partial t}}=-c\ \mathrm {rot} \ {\mathfrak {E}}$

   lassen sich ebenso durch einen Vektor ${\mathfrak {F}}$ darstellen, der mit ${\mathfrak {F}}$ in der Weise zusammenhängt, daß

   ${\mathfrak {F}}_{lz}={\mathfrak {F}}_{xy}\quad {\mathfrak {F}}_{yl}={\mathfrak {F}}_{xz}\quad {\mathfrak {F}}_{yz}={\mathfrak {F}}_{xl}$ usw. ist.

   Bei der Lorentztransformation verändern sich die Feldvektoren in folgende

   ${\begin{array}{lll}{\mathfrak {E}}'_{x}={\mathfrak {E}}_{x}&&{\mathfrak {H}}'_{x}={\mathfrak {H}}_{x}\\\\{\mathfrak {E}}'_{y}={\dfrac {{\mathfrak {E}}_{y}-{\dfrac {v}{c}}{\mathfrak {H}}_{z}}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}&&{\mathfrak {H}}'_{y}={\dfrac {{\mathfrak {H}}_{y}+{\dfrac {v}{c}}{\mathfrak {E}}_{z}}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\\\\{\mathfrak {E}}'_{x}={\dfrac {{\mathfrak {E}}_{z}+{\dfrac {v}{c}}{\mathfrak {H}}_{y}}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}&&{\mathfrak {H}}'_{z}={\dfrac {{\mathfrak {H}}_{z}-{\dfrac {v}{c}}{\mathfrak {E}}_{y}}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}.\end{array}}$

   Minkowski führt noch den Nachweis, daß in einem solchen Raum von vier Dimensionen die Transformationen der Relativitätstheorie auf einfache geometrische Konstruktionen führen.

   

   Fig. 3

   Man hat zu diesem Zwecke im Raum von vier Dimensionen ein Gebilde zu konstruieren, das einem Hyperboloide entspricht und durch die Gleichung $c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}=1$ dargestellt wird. In der $xt$-Ebene schneidet dieses Gebilde eine Hyperbel aus. Irgendeine gerade Linie R (Fig. 3) repräsentiert eine konstante Geschwindigkeit weil sie ${\frac {x}{ct}}={\frac {v}{c}}$ konstant ist. Wo diese Linie die Hyperbel schneidet (im Punkte A) hat man eine Tangente an die Hyperbel zu legen und durch den Anfangspunkt der Koordinaten O eine Parallele zu ihr zu ziehen (P). Die Linien R und P bilden nun ein schiefwinkliges Koordinatensystem, in welchem die Hyperbel durch eine Gleichung von derselben Form ausgedrückt wird, wie in dem ursprünglichen. Die Transformation von dem einen Koordinatensystem auf das andere enthält sämtliche Transformationen der Relativitätstheorie. Hierbei repräsendiert das eine Koordinatensystem in bezug auf das andere eine Bewegung mit der Geschwindigkeit $v$. Je nachdem man das eine oder das andere Koordinatensystem wählt, nimmt man dieses als ruhend an. Es ist also die Zeit mit den Raumdimensionen ebenso fest verbunden wie diese untereinander und man kann von einem Raum als solchem nur etwa in dem Sinne sprechen wie bisher von zweidimensionalen Gebilden. Vgl. H. Minkowski, Ann. d. Phys. 47; S. 927; 1915.

10. 10) Wir betrachten zwei Koordinatensysteme, von denen das eine relativ zum andern gleichförmig beschleunigt wird. Die Beschleunigung sei $g$. Wir betrachten ferner zwei Körper $K_{1}$ und $K_{2}$ in der Entfernung $h$ voneinander. $K_{2}$ sendet $K_{1}$ auf die Fläche 1 qcm in der Zeiteinheit die Energie $E$ zu. Die von $K_{2}$ ausgehende Strahlung kommt in $K_{1}$ an, wenn die Zeit ${\frac {h}{c}}$ verstrichen ist ($c$ = Lichtgeschwindigkeit). Die durch die Beschleunigung erreichte Geschwindigkeit ist in dieser Zeit $v=g{\frac {h}{c}}$. Da der Körper $K_{1}$ in der Zeiteinheit die Strecke $v$ zurücklegt, so nimmt er von der Strahlung noch die im Raume von der Länge $v$ und dem Querschnitt 1 qcm befindliche Energie, nämlich ${\frac {E}{c}}v,$ auf. Im ganzen nimmt er also die Energie $E\left(1+{\frac {v}{c}}\right)=E\left(1+{\frac {gh}{c^{2}}}\right)$ auf. Nach dem Grundsatz soll nun dasselbe eintreten, wenn die Beschleunigung nicht erfolgte, dagegen die Schwerkraft einwirkt. Das Potential der Schwerkraft ist um $gh$ bei dem Körper $K_{2}$ größer. Wenn wir von $K_{2}$ nach $K_{1}$ die Masse $m$ bringen, so haben wir die Arbeit zu leisten $mgh$. Um diesen Betrag wird die Energie vermehrt. Wir haben also ohne Beschleunigung bei wirkender Schwerkraft die Energie $E+mgh$. Es muß also sein $E\left(1+{\frac {gh}{c^{2}}}\right)=E+mgh$ oder $m={\frac {E}{c^{2}}}.$ Dies ist derselbe Betrag, den wir (vgl. 8) für die träge Masse der Energie fanden. Es muß also die Energie auch schwere Masse im gleichem Betrage haben.
11. Wie vorsichtig auch Versuchsergebnisse gewertet werden müssen, hat sich bei den Beobachtungen von W. Kaufmann gezeigt, durch welche die elektromagnetische Absoluttheorie bestätigt zu sein schien, während später Übereinstimmung mit der Relativitätstheorie gefunden wurde.
12. 11) A. Einstein, Berl. Berichte 1917, S. 142.
13. 12) H. v. Seeliger, Astron. Nachrichten Bd. 137; 1894. Sitzungsber. d. Münchner Akad. November 1896. Über die Anwendung der Naturgesetze auf das Universum; Scientia VI, Nr. 11, 4; 1909. Das Potential der Massenanziehung einer Kugelschale zwischen den
    Halbmesser $R$ und $R_{0}$ ist $\int \limits _{R_{0}}^{R}K\ r\ dr\ \sin \vartheta \ d\vartheta \ d\varphi$,

    wo $r,\vartheta ,\varphi$ Polarordinaten sind, $K$ die Massendichte bezeichnet.

    Setzen wir $K=K_{0}r^{n}$ so wird das Potential

    $\int \limits _{R_{0}}^{R}K_{0}r^{n+1}dr\sin \vartheta \ d\vartheta \ d\varphi =K_{0}\left[{\frac {R^{n+2}}{n+2}}-{\frac {R_{0}^{n+2}}{n+2}}\right]\int \sin \vartheta \ d\vartheta \ d\varphi .$

    Soll dieser Ausdruck für unendliches $R$ endlich bleiben, so muß höchstens $n=-2$ sein, d. h die Dichte ist $K={\frac {K_{0}}{r^{2}}}$ und es nimmt daher $K$ mit wachsender Entfernung so ab, daß nicht nur $K$ sondern auch $Kr$ mit unendlich groß werdendem $r$ der Null zustrebt.
    „Wenn das Newtonsche Gesetz absolut genau richtig sein soll, dann dürfen nicht unendlich große Räume des Weltalls mit Masse von durchschnittlich endlicher Dichte erfüllt sein.“

14. 13) E. Kretschmann, Über den physikalischen Sinn der Relativitätspostulate, A. Einsteins neue und seine ursprüngliche Relativitätstheorie, Ann. d. Phys. 53, S. 576 1917.
15. 14) A. Einstein, Prinzipielles zur allgemeinen Relativitätstheorie, Ann. d. Phys. 55, S. 241 1918.
16. 11) A. Einstein, Berl. Berichte 1917, S. 142.
17. 15) H. Weyl, Gravitation und Elektrizität, Berliner Ber. 1918 S. 465.