Mathematische Principien der Naturlehre/Buch1-IX

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Mathematische Principien der Naturlehre (1872) von Isaac Newton, übersetzt von Jakob Philipp Wolfers Buch I. Abschnitt IX.

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ABSCHNITT IX.

Von der Bewegung der Körper in beweglichen Bahnen und der Bewegung der Apsiden.

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§. 83. Aufgabe. Man soll bewirken, dass ein Körper in einer um das Centrum der Kräfte sich drehenden Bahn sich eben so bewegen könne, wie ein anderer Körper in derselben, aber ruhenden Bahn.

Fig. 89.

In der ihrer Lage nach gegebenen Bahn VPK bewegt sich der Körper P in der Richtung von V nach K. Vom Centrum C aus ziehe man

Cp = CP

und

$\scriptstyle \angle$ VCp proportional $\scriptstyle \angle$ VCP;

alsdann wird die Fläche, welche Cp beschreibt, sich zu der VCP, welche zugleich CP beschreibt, verhalten wie die Geschwindigkeit der beschreibenden Linie Cp zu der von CP, d. h. wie

$\scriptstyle \angle$ VCp : VCP;

folglich im gegebenen constanten Verhältniss stehen und der Zeit proportional sein. Da die Fläche, welche Cp in der unbewegten Ebene beschreibt, der Zeit proportional ist; so kann offenbar der Körper, in Folge einer auf ihn einwirkenden angemessenen Centripetalkraft, zugleich mit dem Punkte p in jener Curve sich herumdrehen, welche dieser in dem bereits angegebenen Verhältniss in der ruhenden Ebene beschreibt. Man mache

$\scriptstyle \angle$ VCv = PCp Cv = CV Figur vCp = VCP

und es wird alsdann der stets in p befindliche Körper sich im Umfange der sich drehenden Figur vCp bewegen und in derselben Zeit den Bogen vp beschreiben, in welcher ein anderer Körper P den Bogen

VP $\scriptstyle \cong$ vp

in der ruhenden Figur VPK beschreiben kann.

Man suche daher nach §. 21., Zusatz 5. die Centripetalkraft, vermöge welcher der Körper in jener Curve, welche der Punkt p in der unbewegten Ebene beschreibt, sich bewegen könne, und die Aufgabe ist gelöst.

§. 84. Lehrsatz. Der Unterschied der Kräfte, durch deren eine ein Körper in einer ruhenden, durch deren andere ein zweiter Körper in derselben aber bewegten Bahn sich auf gleiche Weise bewegen kann, ist dem Cubus der gemeinschaftlichen Höhe umgekehrt proportional.

Es sei	VP in der ruhenden Bahn	$\scriptstyle \cong$ vp in der bewegten
	PK „ „ „ „	$\scriptstyle \cong$ pk „ „ „

und dabei PK so klein als möglich.

Fig. 90.

Man fälle von k auf pC das Perpendikel kr und verlängere dasselbe bis m, so dass

1.   mr : kr = $\scriptstyle \angle$ VCp : VCP.

Da nun immer

PC = pC KC = kC

also die Incremente oder Decremente von PC und pC einander gleich sind, so kann man (nach Gesetze, Zusatz 2.) die Bewegungen der Körper in P und p in zwei zerlegen, von denen die eine nach dem Zentrum, also längs PC und pC, die andere nach den auf diese senkrechten Linien gerichtet ist. Die Bewegungen gegen das Centrum sind einander gleich, dagegen verhält sich

die transversale Bewegung von p : transversalen Bewegung von P = $\scriptstyle \angle$ VCp : VCP, d. h. wie die Winkelbewegung von pC zu der von PC.

In derselben Zeit also, in welcher der Körper P, in Folge seiner beiden Bewegungen nach K gelangt, bewegt sich der Körper p mit gleicher Bewegung gegen das Centrum C, und befindet sich nach Verlauf jener Zeit irgendwo auf der Linie mkr, welche durch k geht und auf pC perpendikulär steht. Durch seine Transversal-Bewegung erreicht er einen Abstand von pC, welcher sich zu dem erreichten Abstande des Körpers P von PC verhält, wie die Transversal - Bewegung des erstern zu derjenigen des zweiten Körpers. Der Körper P befindet sich alsdann am Ende der Zeit im Abstände kr von pC, und da

mr : kr = $\scriptstyle \angle$ VCp : VCP

d. h. wie die Transversalbewegung von p zu derjenigen von P; so wird offenbar am Ende der Zeit p sich in m befinden. Dies verhält sich so, wenn P und p sich längs PC und pC bewegen und daher durch gleiche Kräfte längs dieser Linien angetrieben werden.

Man nehme nun

2.   $\scriptstyle \angle$pCn : pCk = VCp : VCP

und

3.   nC = kC;

alsdann befindet sich der Körper p am Ende jener Zeit wirklich in n und wird durch eine grössere Kraft als P angetrieben, wenn nur

$\scriptstyle \angle$ nCp > kCp,

d. h. wenn die Bahn vpk sich vorwärts bewegt, oder sich rückwärts mit einer Geschwindigkeit, welche doppelt so gross als diejenige ist, mit welcher CP sich vorwärts bewegt; dagegen wird p durch eine kleinere Kraft angetrieben, wenn die Bahn langsamer rückwärts schreitet. Der Unterschied der Kräfte ist nun Abstand mn der Orte, durch welchen der Körper p, vermöge jener Wirkung in jener Zeit sich fortbewegen muss, proportional.

Aus dem Centrum C denke man sich mit dem Radius

Cn = Ck

einen Kreis beschrieben, welcher die verlängerten Linien mr und mn in s und t schneidet; alsdann ist

4.   mn · mt = mk · ms, also $\scriptstyle mn={\frac {mk\cdot ms}{mt}}$

Da die Dreiecke pCk und pCn bei gegebener Zeit der Grösse nach gegeben sind, so sind kr und mr oder auch ihre Summe ms und ihre Differenz mk umgekehrt der Höhe pC, also

mk · ms umgekehrt pC, proportional.

Ferner ist mt direct ½ mt, d. h. pC proportional. Hier sind die ersten Verhältnisse der entstehenden Linien zu verstehen, und es ist daher

$\scriptstyle {\frac {mk\cdot ms}{mt}}=mn$

und der der letztern proportionale Unterschied der Kräfte umgekehrt proportional

pC³.

W. z. b. w.

Zusatz 1. Hiernach verhält sich der Unterschied der Kräfte in P und p oder in K und k zu der Kraft, vermöge welcher sich der Körper im Kreise von R nach k in derselben Zeit bewegen würde, in der der Körper P in der festen Bahn den Bogen PK beschreibt, wie

5.   mn : sin · vers · RK = $\scriptstyle {\frac {mk\cdot ms}{mt}}:{\frac {rk^{2}}{2\cdot kC}}$ = mk · ms : rk².

d. h. wenn man

6.   F : G = $\scriptstyle \angle$ VCP : VCp

annimmt, wie

G² - F² : F².^[1]

Beschreibt man daher aus dem Centrum C mit irgend einem Radias

CP = Cp

einen Kreissector gleich der Fläche VPC, die der Körper P in irgend einer Zeit in der unbeweglichen Bahn beschrieben hat, so verhält sich der Unterschied der Kräfte, vermöge deren P in der festen und p in der beweglichen Bahn sich bewegen, zu derjenigen Centripetalkraft, vermöge welcher ein Körper jenen Sector gleichförmig in derselben Zeit beschreiben könnte, wie

G² — F² : F².

Jener Sector und die Fläche pCk verhalten sich nämlich wie die Zeiten in denen sie beschrieben werden.

Zusatz 2. Ist VPK eine Ellipse deren Brennpunkt in C, obere Apside sich in V befindet, und ist die Ellipse

6.   vpk $\scriptstyle \cong$ VPK,

dergestalt, dass stets

7. und $\scriptstyle {\begin{cases}pC&=PC\\\angle VCp:VCP&=G:F\end{cases}};$ so setze man PC = pC = A, den Parameter der Ellipse = 2R, und es ist alsdann die Kraft, durch welche der Körper in der beweglichen Ellipse flieh bewegen kann, proportional $\scriptstyle {\frac {F^{2}}{A^{2}}}+{\frac {R\cdot G^{2}-R\cdot F^{2}}{A^{3}}}$,

und umgekehrt.

Drückt man nämlich die Kraft, vermöge welcher der Körper in der festen Ellipse sich bewegen kann, durch

8.    $\scriptstyle {\frac {F^{2}}{A^{2}}}$

ist dieselbe im Punkte V

9.   $\scriptstyle ={\frac {F^{2}}{CV^{2}}}$.

Die Kraft aber, vermöge welcher der Körper im Kreise vom Halbmesser CV mit derselben Geschwindigkeit, welche der in der Ellipse fortschreitende Körper in V hat, sich bewegen kann, verhält sich zu der Kraft, welche auf den letztem in der Apside V wirkt, wie der halbe Parameter der Ellipse zum Halbmesser des Kreises, also wie

R : CV;

mithin hat die obige Kraft (9.) die Intensität

10.   $\scriptstyle {\frac {R\cdot F^{2}}{CV^{3}}}$.

Die Kraft, welche sich in dieser wie

G² - F² : F²

verhält, ist

11.   $\scriptstyle ={\frac {R\cdot G^{2}-R\cdot F^{2}}{CV^{3}}}$

und dieselbe ist (nach Zusatz 1.) der Unterschied derjenigen Kräfte in V, vermöge welcher der Körper P sich in der festen und p in der beweglichen Ellipse bewegen kann. Nach dem vorliegenden Lehrsatze verhalt sich dieser Unterschied in jeder andern Höhe A zu der in der Hohe CV stattfindenden, wie

12.   $\scriptstyle {\frac {1}{A^{3}}}:{\frac {1}{CV^{3}}}$;

also ist jener Unterschied in der Höhe A

13.   $\scriptstyle ={\frac {R\cdot G^{2}-R\cdot F^{2}}{A^{3}}}$

Es ist also die ganze Kraft, vermöge welcher der Körper in derselben Zeit die bewegliche Ellipse vpk durchlaufen kann, proportional

14.   $\scriptstyle {\frac {F^{2}}{A^{2}}}+{\frac {R\cdot G^{2}-R\cdot F^{2}}{A^{3}}}$

Zusatz 3. VPK hat als Ellipse ihren Mittelpunkt im Centrum der Kräfte, und es wird vpk derselben congruent und concentrisch angenommen. Setzt man dann den Parameter = 2R, die grosse Axe = 2T und ist stets (5.)

VCp : VCP = G : F; so kann man auf dieselbe Weise schliessen, dass alsdann die Kräfte, vermöge welcher die Körper in gleichen Zeiten die feste und die bewegliche Ellipse durchlaufen können sich respective zu einander verhalten, wie 15.   $\scriptstyle {\frac {A\cdot F^{2}}{T^{3}}}:{\frac {A\cdot F^{2}}{T^{3}}}+{\frac {R\cdot G^{2}-R\cdot F^{2}}{T^{3}}}.$

Zusatz 4. Man bezeichne allgemein die grösste Höhe CV des Körpers durch T und den Krümmungshalbmesser der Bahn VPK in V, d. h. den Radius des gleichgekrümmten Kreises durch R. Die Centripetalkraft, vermöge welcher der Körper in der festen Ellipse VPK sich bewegen kann, bezeichne man im Punkte V durch

16.   $\scriptstyle {\frac {F^{2}}{T^{2}}}\cdot V$,

in andern Orten P hingegen für CP = A, unbestimmt mit X und setze immer wie (Gl. 5.)

VCp : VCP = G : F.

Alsdann ist die Centripetalkraft, vermöge welcher der Körper in der kreisförmig bewegten Ellipse vpk in derselben Zeit sich bewegen kann, proportional der Summe der Kräfte:

17.   $\scriptstyle X+{\frac {V\cdot R\cdot G^{2}-V\cdot R\cdot F^{2}}{A^{3}}}$.

Zusatz 5. Ist daher die Bewegung eines Körpers in einer festen Bahn gegeben, so kann seine Winkelbewegung um das Centrum der Kräfte in einem gegebenen Verhältniss vergrössert oder verkleinert werden, und man kann so feste Bahnen finden, in denen die Körper vermöge neuer Centripetalkräfte sich bewegen.

Fig. 91.

Zusatz 6. Errichtet man auf der, der Lage nach gegebenen, geraden Linie CV das Perpendikel VP von unbestimmter Länge, zieht man PC und pC = PC, wie auch

$\scriptstyle \angle$VCp : VCP

in einem constanten Verhältniss; so ist die Kraft, vermöge welcher der Körper in jener Curve Vpk, worin p sich bewegt, sich bewegen kann, umgekehrt proportional

Cp³.

Der Körper P kann nämlich vermöge der Kraft der Trägheit, wenn keine andere Kraft auf ihn wirkt, gleichförmig auf der geraden Linie VP fortschreiten. Fügt man im Centrum C eine Kraft hinzu, welche dem Cubus von CP oder Cp umgekehrt proportional ist; so wird (nach früherem Beweise) die geradlinige Bewegung in die krummlinige Vpk verändert. Diese letztere ist aber identisch mit jener Curve VPK, in §. 81., Zusatz 3., in welcher sich, wie wir ausgesprochen haben, Körper bewegen, die durch derartige Kräfte angezogen werden.

§. 85. Aufgabe. Man sucht die Bewegung der Apsiden von Bahnen, welche sehr nahe kreisförmig sind.

Die Aufgabe wird arithmetisch gelöst, indem man bewirkt, dass die Bahn, welche der Körper bei seiner Bewegung in der beweglichen Ellipse wie in Zusatz 2. und 3. des §. 84. in der festen Ebene beschreibt, der Form nach sich derjenigen Bahn nähere, deren Apsiden man sacht, und alsdann die Apsiden der Bahn bestimmt, welche der Körper in der festen Ebene beschreibt. Bahnen erhalten aber dieselbe Form, wenn die Centripetalkräfte, vermöge welcher sie beschrieben werden, unter einander verglichen, in gleichen Abständen proportional gemacht werden.

Es sei V die obere Apside und man setze

CV = T

einen andern Abstand

CP = Cp = A

und den Unterschied der Abstände

1.   CV — CP = T — A = X.

Die Kraft, vermöge welcher ein Körper in der Ellipse um den Brennpunkt C (wie in §. 84., Zusatz 2.,) sich bewegt, ist proportional

2.   $\scriptstyle {\frac {F^{2}}{A^{2}}}+{\frac {R\cdot G^{2}-R\cdot F^{2}}{A^{3}}}={\frac {A\cdot F^{2}+R\cdot G^{2}-R\cdot F^{2}}{A^{3}}}$.

Setzt man nun im Zähler, nach Gl. 1.

A = T — X,

so wird die Centripetalkraft proportional

3.   $\scriptstyle {\frac {R\cdot G^{2}-R\cdot F^{2}+T\cdot F^{2}-X\cdot F^{2}}{A^{3}}}$

Man reducire auf gleiche Weise jede andere Centripetalkraft auf einen Bruch, dessen Nenner A³ ist, und setze, durch Vergleichung der homologen Glieder, die Zähler identisch gleich.

Beispiele werden die Sache klarer machen.

Beispiel 1. Gesetzt, die Centripetalkraft sei gleichförmig, also proportional

$\scriptstyle {\frac {A^{3}}{A^{3}}}$,

oder indem man im Zähler A = T — X setzt,

$\scriptstyle {\frac {T^{3}-3T^{2}X+3TX^{2}-X^{3}}{A^{3}}}$;

alsdann erhält man, indem man die homologen Glieder, d. h. gegebene mit gegebenen und unbekannte mit unbekannten (in 3.) vergleicht :

$\scriptstyle {\frac {R\cdot G^{2}-R\cdot F^{2}+T\cdot F^{2}}{T^{3}}}={\frac {-X\cdot F^{2}}{-3X\cdot T^{2}+3T\cdot X^{2}-X^{3}}}$^[2]

oder

4.   $\scriptstyle {\frac {R\cdot G^{2}-R\cdot F^{2}+T\cdot F^{2}}{T^{3}}}+{\frac {-F^{2}}{-3T^{2}+3T\cdot X-X^{2}}}$

Setzt man nun die Bahn sehr nahe kreisförmig, so wird

R = T und X unendlich klein;

die letzten Verhältnisse werden in diesem Falle:

R · G² : T³ = - F² : — 3T²

oder

G² : T² = F² : 3T²

d. h.

5.   G² : F² = 1 : 3.

Da nun

G : F = $\scriptstyle \angle$VCp : VCP, so wird 6.   $\scriptstyle \angle$VCp : VCP = 1 : $\scriptstyle {\sqrt {3}}$.

Während also der Körper in der festen Ellipse, von der obern zur antern Apside herabsteigend, den Winkel

VCP = 180°

zurücklegen würde, legt der zweite Körper in der beweglichen Ellipse, also auch in der festen, von der wir reden, den Winkel

$\scriptstyle VCP={\frac {180^{\circ }}{\sqrt {3}}}$

zurück. Dies geschieht, weil die Bahn, welche der Körper in Folge der gleichförmig wirkenden Centripetalkraft beschreibt, derjenigen Bahn ähnlich ist, welche er während seiner Bewegung in der sich drehenden Ellipse in der ruhenden Ebene beschreibt. Durch die obige Vergleichung der einzelnen Glieder werden diese Bahnen einander ähnlich gemacht, nicht im Allgemeinen, sondern nur, wenn sie sich der Kreisform nähern. Der Körper, welcher sich bei gleichförmiger Centripetalkraft in einer nahe kreisförmigen Bahn bewegt, beschreibt während des Weges von der obern zur untern Apside einen Winkel

$\scriptstyle {\frac {180^{\circ }}{\sqrt {3}}}$=103° 55' 23"

am Mittelpunkte der Kräfte. Indem er nun von der untern zur obern Apside zurückkehrt, beschreibt er wiederum denselben Winkel u. s. w. f. in’s Unendliche.

Beispiel 2. Setzen wir, dass die Centrifugalkraft irgend einer Potenz des Abstandes A, etwa

$\scriptstyle A^{n-3}={\frac {A^{n}}{A^{3}}}$

proportional sei, wo n — 3 und n irgend welche ganze oder gebrochene, rationale oder irrationale, positive oder negative Zahlen bezeichnen. Der Zähler Aⁿ = (T — X)ⁿ wird nach unserer Methode der convergirenden Reihen.

7.   Aⁿ = Tⁿ - nXT^n-1 + $\scriptstyle {\frac {n^{2}-n}{2}}$ X² T^n-2 etc.

Vergleicht man die Glieder dieses Zählers mit denen (3.) des andern

R · G² - R · F² + T · F² — F² X,

so erhält man

8.   (R · G² — R · F² + TF²) : Tⁿ = — F² : (— nT^n-1 + $\scriptstyle {\frac {n^{2}-n}{2}}$ X · T^n-2 etc.)

Nimmt man die letzten Verhältnisse für den Fall, dass die Bahnen mit der Kreisform zusammenfallen, so erhält man:

R · G² : Tⁿ = F² : nT^n-1

oder

G² : F² = T^n-1 : nT^n-1 9.   G : F = 1 : $\scriptstyle {\sqrt {n}}$.

d. h. wie oben:

10.   $\scriptstyle \angle$ VCp : VCP = 1 : $\scriptstyle {\sqrt {n}}$. Da nun der Winkel VCP, welcher während des Herabsteigens des Körpers von der obern zur untern Apside beschrieben wird, = 180° ist, so wird der Winkel VCp beim Herabsteigen des Körpers von der obern zur untern Apside in einer nahe kreisförmigen Bahn, welche der Körper vermöge einer der Potenz A^n-3 proportionalen Centripetalkraft beschreibt $\scriptstyle ={\frac {180^{\circ }}{\sqrt {n}}}$

und eben so gross wird VCp bei der Rückkehr von der untern zur obern Apside u. s. w. f. in’s Unendliche.

Ist die Centripetalkraft etwa dem Abstände des Körpers vom Centrum

$\scriptstyle A={\frac {A^{4}}{A^{3}}}$

proportional, so hat n = 4, $\scriptstyle {\sqrt {n}}$ = 2 und daher

VCp = 90°.

Nach Zurücklegung des vierten Theils des ganzen Umlaufes gelangt daher der Körper zur untern Apside, nach Zurücklegung eines zweiten Viertels zur obern, u. s. w. f.

Dies ergiebt sich auch aus §. 27. Der Körper bewegt sich nämlich in Folge dieser Centripetalkraft in einer festen Ellipse, deren Mittelpunkt im Centrum der Kräfte liegt. Ist nun die Centripetalkraft indirect der Entfernung, d. h. direct

$\scriptstyle {\frac {1}{a}}={\frac {A^{2}}{A^{3}}}$

proportional, so hat man n = 2, und den Winkel zwischen der obern und untern Apside

$\scriptstyle ={\frac {180^{\circ }}{\sqrt {n}}}$ = 127° 16' 45".

Der Körper wird daher, wenn er sich vermöge einer solchen Centripetalkraft herumbewegt, immer nach Zurücklegung dieses Winkels von der obern zur untern und von der untern zur obern Apside, ins unendliche fort, gelangen.

Ist ferner die Centripetalkraft indirect

A11/4, also

direct

$\scriptstyle {\frac {A{\frac {1}{4}}}{A^{3}}}$

proportional; so ist n = ¼, $\scriptstyle {\sqrt {n}}$ = ½ mithin der Winkel

VCp = $\scriptstyle {\frac {180^{\circ }}{\frac {1}{2}}}$ = 360°.

Der Körper wird daher, wenn er von der obern zur untern Apside gelangt, einen ganzen Umlauf beschrieben haben, und dasselbe ist der Fall nach seiner Rückkehr von der untern zur obern Apside u. s. w. f.

Beispiel 3. Es seien m und n irgend welche Exponenten der Potenzen, b und c gegebene Zahlen, und setzen wir die Centripetalkraft proportional

$\scriptstyle {\frac {b\cdot A^{m}+c\cdot A^{n}}{A^{3}}}={\frac {b(T-X)^{m}+c(T-X)^{n}}{A^{3}}}$ entwickelt man nach der obigen Methode, so ist die Centripetalkraft proportional : 10.   $\scriptstyle {\frac {bT^{m}-mbXT^{m-1}+{\frac {m^{2}-m}{2}}bX^{2}T^{m-2}+etc.+cT^{n}-ncXT^{n-1}+{\frac {n^{2}-n}{2}}cX^{2}T^{n-2}etc.}{A^{3}}}$ etc.

Vergleicht man die Glieder dieser Zahlen mit den in 3. enthaltenen, so ergiebt sich

11.   (RG² — RF² + TF²) : (bT^m + cTⁿ, = - F² : (- mbT^m-1 — ncT^n-1 + $\scriptstyle {\frac {m^{2}-m}{2}}$ bXT^m-2 + $\scriptstyle {\frac {n^{2}-n}{2}}$ cXT^n-2 ...)

Nimmt man die letzten Verhältnisse, welche sich ergeben, wenn die Bahnen in die Kreisform übergehen so erhält man

12.   G² : bT^m-1 + cT^n-1 = F² : (mbT^m-1 + ncT^n-1).

Versetzt man die Innern Glieder, und bezeichnet nun die grösste Entfernung

CV = T

arithmetisch durch die Einheit so ergiebt sich

13. $\scriptstyle \angle$VCp : VCP = $\scriptstyle {\sqrt {b+c}}:{\sqrt {mb+nc}}$.

Ist daher der Winkel VCP in der festen Ellipse zwischen der obern und untern Apside

= 180°,

so ist der Winkel VCp zwischen denselben Apsiden in derjenigen Bahn, welche der Körper vermöge einer der Zahl $\scriptstyle {\frac {bA^{m}+cA^{n}}{A^{3}}}$ proportionalen Centripetalkraft beschreibt.

14.   = 180° $\scriptstyle {\sqrt {\frac {b+c}{mb+nc}}}$.

Auf dieselbe Weise erhält man diesen Winkel für eine, der Zahl

$\scriptstyle {\frac {b\cdot A^{m}-c\cdot A^{n}}{A^{3}}}$

proportionale Centripetalkraft

15.   = 180° $\scriptstyle {\sqrt {\frac {b-c}{mb-nc}}}$.

Eben so wird die Aufgabe in schwierigeren Fällen gelöst. Die Grösse, welcher die Centripetalkraft proportional ist, muss immer in convergirende Reihen aufgelöst werden, deren Nenner = A³ ist. Hierauf muss man den gegebenen Theil dieses Zählers

R · G² - R · F² + T · F² - X · F²

zu dem nicht gegebenen Theil in dasselbe Verhältniss stellen. Lässt man dann die überflüssigen Glieder fort und setzt man

T = 1;

so erhält man das Verhältniss

G : F.

Zusatz 1. Ist daher die Centripetalkraft irgend einer Potenz der Entfernung proportional, so kann man diese Potenz aus der Bewegung der Apsiden finden, und umgekehrt. Verhält sich nämlich die ganze Winkelbewegung, nach welcher der Körper zu derselben Apside zurückkehrt, zur Winkelbewegung Eines Umlaufes, d. h. 360°, wie

m : n

und wird der Abstand = A gesetzt; so ist die Centripetalkraft

$\scriptstyle A^{{\frac {n^{2}}{m^{2}}}-3}$

proportional. Dies erhellt aus dem Beispiel 2.

Hieraus folgt, dass jene Kraft nicht in einem grössern Verhältniss als dem dreifachen der Entfernung abnehmen kann. Ein Körper, welcher sich vermöge einer solchen Kraft herumbewegte, würde von der obern Apside ausgehend, nie zur untern Apside und dem kleinsten Abstände sondern bis zum Centrum kommen, indem er die (§. 81., Zusatz 3.) besprochene Curve beschriebe. Ginge er hingegen von der untern Apside aus und begänne er ein Weniges aufzusteigen; so würde er nie zur obern Apside gelangen, sondern ins Unendliche fort steigen und die in demselben Zusatz und §. 84., Zusatz 6. besprochene Curve beschreiben.

Wenn ferner die Kraft vom Centrum ab in einem grösseren als dem dreifachen Verhältniss der Entfernung abnimmt, so wird ein Körper, wenn er von der obern Apside ausgehend ein wenig zu fallen anfängt, ins Unendliche fort fallen und umgekehrt ins Unendliche fort ansteigen, wenn er beim Ausgange von der untern Apside ein wenig zu steigen anfängt. Nimmt aber die Kraft in einem kleineren als dem dreifachen Verhältniss der Entfernung ab, oder wächst sie in irgend einem Verhältniss derselben, so wird der Körper niemals bis zum Centrum gelangen, sondern einmal die untere Apside erreichen. Umgekehrt, stösst der Körper beim wechselseitigen Auf- und Absteigen von der einen Apside zur andern niemals auf das Centrum, so wird die Kraft vom Centrum ab entweder wachsen, oder in einem kleinern als dem dreifachen Verhältniss abnehmen, und je schneller der Körper von der einen Apside zur andern gelangt, desto weiter ist das Verhältniss der Kräfte von jenem dreifachen entfernt.

Kehrt etwa der Körper im wechselnden Ab- und Aufsteigen nach

8, 4, 2 oder 1½

Umdrehungen von der obern Apside zur untern Apside zurück, so verhält sich respective

m : n

= 8 : 1 = 4 : 1 = 2 : 1 = 3/2 : 1

Mithin ist

$\scriptstyle {\frac {n^{2}}{m^{2}}}$ - 3

=1/64 - 3 = 1/16 - 3 = ¼ - 3 = 4/9 - 3

und die Kraft respective proportional

direct $\scriptstyle A^{{\frac {1}{64}}-3}$, $\scriptstyle A^{{\frac {1}{16}}-3}$, $\scriptstyle A^{{\frac {1}{4}}-3}$, $\scriptstyle A^{{\frac {4}{9}}-3}$, oder

indirect $\scriptstyle A^{3-{\frac {1}{64}}}$, $\scriptstyle A^{3-{\frac {1}{16}}}$, $\scriptstyle A^{3-{\frac {1}{4}}}$, $\scriptstyle A^{3-{\frac {4}{9}}}$.

Kehrt der Körper nach einzelnen Umdrehungen zu derselben festen Apside zurück, so ist

m : n = 1 : 1

also

$\scriptstyle A^{{\frac {n^{2}}{m^{2}}}-3}=A^{-2}={\frac {1}{A^{2}}}$;

es steht also die Abnahme der Kräfte im doppelten Verhältniss des Abstandes, wie im Vorhergehenden bewiesen worden ist.

Kehrt der Körper nach

¾, ⅔, ⅓, oder ¼

Umlauf zu derselben Apside zurück, so erhalten wir die bezüglichen Verhältnisse

m : n $\scriptstyle A^{{\frac {n^{2}}{m^{2}}}-3}$

= ¾ : 1 = ⅔ : 1 = ⅓ : 1 = ¼ : 1 = $\scriptstyle A^{{\frac {16}{9}}-3}$ = $\scriptstyle A^{{\frac {9}{4}}-3}$ = A9-3 =A16-3

und die Kraft proportional

indirect

$\scriptstyle A^{\frac {11}{9}}$, $\scriptstyle A^{\frac {3}{4}}$, A^-6, A^-13

direct

$\scriptstyle A^{-{\frac {11}{9}}}$, $\scriptstyle A^{-{\frac {3}{4}}}$, A⁶, A¹³

Hat endlich der Körper, indem er von der obern zur untern Apside zurückkehrt, einen Umlauf und 3°, die Apside also während Einer Umdrehung direct 3° zurückgelegt;^[3] so haben wir

m : n = 363 : 360

also

$\scriptstyle A^{{\frac {n^{2}}{m^{2}}}-3}=A^{-{\frac {265707}{131769}}}$.

Die Kraft ist mithin indirect proportional

$\scriptstyle A^{\frac {265707}{131769}}$ nahe = A² + $\scriptstyle {\frac {4}{243}}$;

sie nimmt daher in einem wenig grössern als dem zweifachen Verhältnisse des Abstandes ab, welches jedoch dem zweifachen um

$\scriptstyle {\frac {4}{239}}={\frac {100}{5975}}$

näher kommt, als dem dreifachen Verhältnisse.

Zusatz 2. Bewegt sich ein Körper vermöge einer Centripetalkraft, welche dem Quadrat des Abstandes umgekehrt proportional ist, in einer Ellipse, in deren Brennpunkt sich das Centrum der Kräfte befindet, und wird diese Centripetalkraft von aussen her um eine beliebige Kraft vergrössert oder verkleinert, so kann man (nach Beispiel 3) die Bewegung der Apsiden erkennen, welche durch jene äussere Kraft hervorgebracht wird, und umgekehrt.

Es sei jene Centripetalkraft

$\scriptstyle {\frac {1}{A^{2}}}$,

die von aussen her davon genommene Kraft

cA

proportional; die übrig bleibende also

$\scriptstyle {\frac {1}{A^{2}}}$ - cA = $\scriptstyle {\frac {A-cA^{4}}{A^{3}}}$.

Alsdann ist nach Beispiel 3.

b = 1, m = 1, n = 4

und der Umdrehungswinkel zwischen beiden Apsiden

= 180° $\scriptstyle {\sqrt {\frac {1-c}{1-4c}}}$

Setzt man jene äussere Kraft = $\scriptstyle {\frac {1}{357,45}}={\frac {100}{35745}}$ der ursprünglichen, d. h.

$\scriptstyle c={\frac {100}{35745}}$;

so wird

180° $\scriptstyle {\sqrt {\frac {1-c}{1-4c}}}$ = 180° · $\scriptstyle {\sqrt {\frac {35615}{35345}}}$ = 180° 45' 44".

Der Körper gelangt, wenn er von der obern Apside ausgeht, nach einer Winkelbewegung von

180° 45' 44"

zur untern und nach einer doppelt so grossen zur obern Apside zurück. Mithin bewegt sich während Eines Umfanges die obere Apside direct um

1° 31' 28".

Die Apside des Mondes bewegt sich ungefähr doppelt so geschwind. So weit über die Bewegung von Körpern in Bahnen, deren Ebenen durch das Centrum der Kräfte gehen; wir müssen noch die Bewegung in excentrischen Bahnen bestimmen.

Die Schriftsteller, welche die Bewegung schwerer Körper behandeln, pflegen sowohl das schiefe Auf- und Absteigen derselben zu beliebigen Ebenen, als auch das perpendikuläre zu betrachten. Mit gleichem Rechte betrachten wir die Bewegung der Körper, welche mit irgend einer Kraft nach dem Centrum streben, und derjenigen, welche in excentrischen Bahnen fortschreiten. Die Ebenen setzen wir höchst polirt und glatt voraus, damit die Körper keine Verzögerung erleiden. Wir werden selbst bei diesen Beweisen statt der Ebenen, auf denen die Körper liegen und welche sie aufliegend berühren, diesen parallele Ebenen annehmen, in denen die Mittelpunkte der Körper sich bewegen und während dieser Bewegung Bahnen beschreiben. Nach demselben Gesetze werden wir ferner die Bewegung von Körpern auf krummen Oberflächen bestimmen.

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Bemerkungen und Erläuterungen [des Übersetzers]

1. No. 40. S. 144. Fig. 90. Durch den Unterschied der zwei ersten Kräfte wird der Weg mn, durch die zweite Kraft gleichzeitig der geradlinige Weg rϱ zurückgelegt. Das gesuchte Verhältniss ist daher mn : rϱ. Für die entstehenden Grössen ist aber $\scriptstyle mn={\frac {mk\cdot ms}{mt}}$ und $\scriptstyle r\varrho ={\frac {kr^{2}}{mt}}$, mithin wird das gesuchte Verhältniss mk · ms : kr². Im Lehrsatz, Gl. 1. und Zusatz 1., Gl. 5. war $\scriptstyle \angle$ VCP : VCp = kr : mr = F : G mithin nun mr + kr : kr = G + F : F und mr — kr : kr = G — F : F d. h. (mr + kr) (mr — kr) : kr² = G² — F² : F² oder ms · mk : kr² = G² — F² : F².
2. No. 41. S. 147. Es muss identisch R · G² — R · F² + T · F² — F²X = T³ — 3T² · X + 3T · X² — X³, also R · G² — R · F² + T · F² = T³ und F² = 3T² — 3TX + X². so wie für X verschwindend klein, wo der halbe Parameter R = T wird, $\scriptstyle {\frac {G^{2}}{T^{2}}}=1={\frac {F^{2}}{3T^{2}}}$ d. h. G² : F² = 1 : 3 sein.
3. No. 42. S. 152. Nach Hansen, Schuhmachers Jahrbuch für 1837 Pag. 121. macht der Mond einen tropischen Umlauf in 27,321882 Tagen, und es bewegt sich seine Apsidenlinie in Einem Tage rechtläufig um 6' 41,0", mithin während eines tropischen Monates 3° 2' 56".

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