Mathematische Principien der Naturlehre/Gesetze

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Erklärungen Mathematische Principien der Naturlehre (1872) von Isaac Newton, übersetzt von Jakob Philipp Wolfers
Grundsätze oder Gesetze der Bewegung
Buch I. Abschnitt I.


Grundsätze oder Gesetze der Bewegung.

1. Gesetz. Jeder Körper beharrt in seinem Zustande der Ruhe oder der gleichförmigen geradlinigen Bewegung, wenn er nicht durch einwirkende Kräfte gezwungen wird, seinen Zustand zu ändern.

Geschosse verharren in ihrer Bewegung, insofern sie nicht durch den Widerstand der Luft verzögert und durch die Kraft der Schwere von ihrer Richtung abgelenkt werden. Ein Kreisel, dessen Theile vermöge der Cohäsion sich beständig aus der geradlinigen Bewegung entfernen, hört nur insofern auf, sich zu drehen, als der Widerstand der Luft (und die Reibung) ihn verzögert. Die grossen Körper der Planeten und Kometen aber behalten ihre fortschreitende und kreisförmige Bewegung, in weniger widerstehenden Mitteln längere Zeit bei.

2. Gesetz. Die Aenderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt.

Wenn irgend eine Kraft eine gewisse Bewegung hervorbringt, so wird die doppelte eine doppelte, die dreifache eine dreifache erzeugen; mögen diese Kräfte zugleich und auf einmal, oder stufenweise auf einander folgend einwirken. Da diese Bewegung immer nach demselben Ziele, als die erzeugende Kraft gerichtet ist, so wird sie, im Fall dass der Körper vorher in Bewegung war, entweder, wenn die Richtung übereinstimmt, hinzugefügt oder, wenn sie unter einem schiefen Winkel einwirkt, mit ihr nach den Richtungen beider zusammengesetzt.

3. Gesetz. Die Wirkung ist stets der Gegenwirkung gleich, oder die Wirkungen zweier Körper auf einander sind stets gleich und von entgegengesetzter Richtung.

Jeder Gegenstand, welcher einen andern drückt oder zieht, wird eben so stark durch diesen gedrückt oder gezogen. Drückt Jemand einen Stein mit dem Finger, so wird dieser vom Steine gedrückt. Zieht ein Pferd einen an ein Seil befestigten Stein fort, so wird das erstere gleich stark gegen den letzteren zurückgezogen, denn das nach beiden Seiten gespannte Seil wird durch dasselbe Bestreben schlaff zu werden, das Pferd gegen den Stein und diesen gegen jenes drängen; es wird eben so stark das Fortschreiten des einen verhindern, als das Fortrücken des andern befördern. Wenn irgend ein Körper auf einen andern stösst und die Bewegung des letztern irgendwie verändert, so wird ersterer, in seiner eigenen Bewegung dieselbe Aenderung, nach entgegengesetzter Richtung, durch die Kraft des andern (wegen der Gleichheit des wechselseitigen Druckes) erleiden. Diesen Wirkungen werden die Aenderungen nicht der Geschwindigkeiten, sondern der Bewegungen nämlich bei Körpern, welche nicht anderweitig verhindert sind, gleich. Die Aenderungen der Geschwindigkeiten, nach entgegengesetzten Richtungen, sind nämlich, weil die Bewegungen sich gleich ändern, den Körpern umgekehrt proportional. Es gilt dieses Gesetz auch bei den Anziehungen, wie in der nächsten Anmerkung gezeigt werden wird.

Zusatz 1. Ein Körper beschreibt in derselben Zeit, durch Verbindung zweier Kräfte die Diagonale eines Parallelogrammes, in welcher er, vermöge der einzelnen Kräfte die Seiten beschrieben haben würde.
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Fig. 1.

Wird der Körper durch die Kraft M allein von A nach B, und durch die Kraft N allein von A nach C gezogen, so vollende man das Parallelogramm ABDC, und es wird der Körper durch beide vereinten Kräfte in derselben Zeit von A nach D gezogen. Da nämlich die Kraft N längs der Linie AC ∥ BD wirkt, so wird diese Kraft nach dem 2. Gesetz nichts an der Geschwindigkeit ändern, mit welcher sich der Körper, vermöge der Kraft M, jener Linie BD nähert. Der Körper wird daher in derselben Zeit zur Linie BD gelangen, die Kraft N mag einwirken oder nicht, und wird daher am Ende jener Zeit sich irgendwo auf BD befinden. Auf dieselbe Weise folgt, dass er am Ende jener Zeit sich irgendwo auf der Linie CD befinden wird; er muss sich also nothwendig im Punkte D, wo beide Linien zusammentreffen, befinden. Nach dem 1. Gesetz wird er geradlinig von A nach D fortgehen.

Zusatz 2. Hieraus ergiebt sich die Zusammensetzung der geradlinig wirkenden Kräfte AD, aus irgend welchen zwei schiefwirkenden AB und BD und umgekehrt die Zerlegung einer geradlinigen Kraft AD in die beliebigen schiefen AB und BD. Diese Zusammensetzung und Zerlegung wird in der Mechanik vollständig bestätigt.
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Fig. 2.

Gehen etwa vom Mittelpunkte O eines Rades ungleiche Radien OM, ON aus, und tragen dieselben an den Fäden MA, NP die Gewichte A und P, so werden die Kräfte gesucht, welche diese Gewichte zur Bewegung des Rades hervorbringen. Durch den Mittelpunkt O ziehe man die gerade Linie KOL, welche in K und L auf die Richtung der Fäden perpendikulär ist. Aus O beschreibe man mit dem grössern der beiden Abstände OK und OL, hier OL als Radius einen Kreis, welcher den Faden MA in D schneidet. Man ziehe OD, ferner AG ∥ OD und DC perpendikulär auf DO. Da es gleichgültig ist, ob die Punkte K, L, D der Fäden an die Ebene des Rades befestigt sind oder nicht, so werden die Gewichte dasselbe bewirken, man mag sie an den Punkten K und L, oder denen D und L anfügen. Die Kraft des Gewichtes A werde durch die Länge AD ausgedrückt, und dieselbe in die beiden Seitenkräfte AC und CD zerlegt, von denen AC den Radius DO geradlinig vom Centrum fortzieht, und nichts zur Umdrehung des Rades beitragen kann, DC hingegen den Radius DO perpendikulär angreift, und dasselbe bewirkt, als wenn sie perpendikulär auf OL = OD wirkte. Ihre Wirkung wird daher derjenigen der Kraft P gleich sein, wenn

P : A = CD : DA

ist. Da nun

Δ ADC ∼ DOK,

haben wir

CD : DA = KO : OD = KO : OL.

Demnach werden die Gewichte A und P, welche sich umgekehrt wie die in gerader Linie liegenden Radien OK und OL verhalten, gleiche Intensität besitzen und so im Gleichgewicht stehen. (Dies ist die sehr bekannte Eigenschaft der Wage, des Hebels und der Winde). Ist eines von beiden Gewichten grösser, als diesem Verhältniss entsprechend, so wird seine Kraft, in Bezug auf Drehung des Rades, um so grösser sein.

Hängt das Gewicht p = P theils am Faden Np, und liegt es theils auf der schiefen Ebene pG, so ziehe man pH senkrecht auf den Horizont und NH perpendikulär auf pG, und es kann alsdann die Kraft p, welche durch die Linie pH ausgedrückt wird, in die Seitenkräfte pN und HN zerlegt werden. Ist nun die Ebene pQ perpendikulär auf den Faden pN, und scheidet sie die andere Ebene pG in einer dem Horizonte parallelen Linie; liegt ferner das Gewicht p bloss auf den Ebenen pQ und pG, so wird es gegen diese respective mit den Kräften pN und HN drücken. Entfernt man daher die Ebene pQ, damit das Gewicht den Faden anspanne; so wird dieser, welcher die Stelle der fortgenommenen Ebene vertritt, durch dieselbe Kraft pN angezogen, welche vorher gegen letztere drückte. Es verhält sich daher die Spannung dieses schiefen Fadens pN zu der des senkrechten PN, wie

pN : pH.

Verhält sich also, wenn OB auf pN perpendikulär gezogen wird,

p : A = OK : OB

und ist zugleich

p : A = pH : pN;

so werden beide gleich viel zur Umdrehung des Rades beitragen und sich gegenseitig im Gleichgewicht halten, wie jeder leicht versuchen kann.

Das Gewicht p, welches auf jenen beiden schiefen Ebenen liegt, befindet sich in derselben Lage, wie ein Keil zwischen den inneren Flächen eines gespaltenen Körpers, und es werden so die Kräfte des Keiles und Hammers bekannt. Nämlich die Kräfte, womit der erstere gegen die Flächen pQ und pG drückt, verhalten sich zu der senkrechten Kraft, mit welcher der Hammer wirkt, wie bezüglich

pN : pH
HN : pH;

also auch die Kräfte, durch welche pQ und pP gedrückt werden, wie

pN : HN.

Auch die Kraft der Schraube wird durch eine ähnliche Zerlegung der Kräfte bestimmt, weil sie (die Schraube) ein mittelst eines Hebels getriebener Keil ist.

Die vielseitige Anwendung dieses Zusatzes ist daher klar, und seine Wahrheit wird um so vielfältiger erwiesen, als die gesammte, von den Schriftstellern auf verschiedenen Wegen dargestellte, Mechanik von dem Gesagten abhängig ist. Hieraus werden nämlich auf leichte Weise die Kräfte der Maschinen abgeleitet, welche aus Rädern, Hebeln, beweglichen Rollen, Schrauben, gespannten Seilen, gerade oder schräg ansteigenden Gewichten und den übrigen mechanischen Potenzen zusammengesetzt zu werden pflegen. Eben so verhält es sich mit den Kräften der Nerven, wodurch die Knochen der Thiere bewegt werden.

Zusatz 3. Die Grösse der Bewegung, welche man erhält, indem man von der Summe der nach Einer Richtung stattfindenden Bewegungen die Summe der nach entgegengesetzter Richtung stattfindenden subtrahirt, wird durch eine gegenseitige Wirkung der Körper auf einander nicht geändert.

Nach dem 3. Gesetz ist die Wirkung der Gegenwirkung gleich, und nach dem 2. Gesetz bringen beide in der Bewegung gleiche und entgegengesetzte Aenderungen hervor. Findet daher die Bewegung nach derselben Richtung statt, so wird der Theil derselben, welcher dem vorangehenden Körper zugelegt wird, dem nachfolgenden genommen, so dass die Summe unverändert dieselbe bleibt. Begegnen sich die Körper, so verlieren beide gleich viel von ihrer Bewegung und der Unterschied der, nach entgegengesetzten Richtungen stattfindenden, Bewegungen bleibt derselbe.

Ist etwa ein sphärischer Körper A 3mal so gross als ein anderer B, hat ersterer eine Geschwindigkeit = 2, letzterer, in derselben Richtung nachfolgend, = 10; so verhält sich die Grösse der Bewegung von A zu der von B, wie

2 · 3 : 1 · 10 = 6 : 10,

und ihre Summe ist = 16. Wenn nun beim Zusammentreffen beider A 3, 4 oder 5 Theile gewinnt, so wird B eben so viele verlieren, demnach A 9, 10 oder 11, B hingegen 7, 6 oder 5 Theile Bewegung besitzen und die Summe beider stets = 16 bleiben. Gewinnt A 9, 10, 11 oder 12 Theile, und schreitet er daher nach dem Zusammentreffen in derselben Richtung mit der Grösse der Bewegung von respective 15, 16, 17, 18 Theilen fort; so verliert B hingegen eben so viel Theile und schreitet nach dem Zusammentreffen respective mit 1 Theil Bewegung in der frühern Richtung fort, er ruhet, oder geht mit 1 Theil oder 2 Theilen Bewegung zurück, nachdem er seine 10 Theile Bewegung und so zu sagen 1 oder 2 Theile mehr verloren hat. Die Summe der Bewegungen beider Körper bleibt dabei stets

15 + 1, 16 + 0, 17 – 1, 18 – 2,

also unverändert = 16, wie vor dem Zusammentreffen.

Ist aber die Grösse der Bewegung bekannt, mit welcher die Körper nach ihrer Trennung fortschreiten, so erhält man die Geschwindigkeit eines jeden, indem man setzt, dass dieselbe vor und nach dem Zusammentreffen der Grösse der Bewegung vor- und nachher proportional sei. Z. B. Im letzten Falle war die

Grösse der Bewegung des Körpers A vor dem Zusammentreffen = 06
nach = 18
seine Geschwindigkeit vor = 02
nach = 0x

daher 6 : 18 = 2 : x, also x = 6.

Sind die Körper entweder nicht sphärisch gestaltet, oder treffen sie, indem sie sich längs verschiedener geraden Linien bewegen, schief auf einander; so muss man, um ihre Bewegung nach der Zurückwerfung zu finden, zuerst die Lage der Ebene bestimmen, welche die Körper im Puncte des Zusammentreffens berührt. Hierauf hat man bei der Bewegung beider Körper (Zusatz 2) zwischen zweien zu unterscheiden, der einen auf diese Ebene perpendikulären, der andern ihr parallelen. Die letztere bleibt in beiden Körpern, weil diese nur längs der auf die Ebene perpendikulären Richtung auf einander wirken, vor und nach dem Zusammentreffen dieselbe, den perpendikulären Bewegungen hingegen muss man gleiche und entgegengesetzte Aenderungen beilegen, so dass die Summe der nach gleichem Ziele und der Unterschied der nach entgegengesetzten Zielen gerichteten Bewegungen dieselbe wie vorher bleibt.

Aus Zurückwerfungen dieser Art pflegen auch die kreisförmigen Bewegungen der Körper um ihre Mittelpunkte hervorzugehen, aber diese Fälle betrachte ich im Folgenden nicht, und es würde zu weitläufig sein, alles Hierhergehörige zu beweisen.

Zusatz 4. Der gemeinschaftliche Schwerpunkt zweier oder mehrerer Körper ändert seinen Zustand der Ruhe oder Bewegung durch die Wirkung der Körper unter sich, nicht und ersterer wird daher (unter Ausschliessung äusserer Wirkungen und Hindernisse) entweder ruhen oder sich gleichförmig in gerader Linie bewegen.

Wenn zwei Punkte nämlich mit gleichförmiger geradliniger Bewegung fortschreiten, und ihr gegenseitiger Abstand in einem gegebenen Verhältniss getheilt wird; so wird der theilende Punkt entweder ruhen, oder sich gleichförmig in gerader Linie fortbewegen. Dies wird später in §. 58. und Zusatz, für die Bewegung in derselben Ebene bewiesen und kann auf dieselbe Weise für die Bewegung im Raume dargethan werden. Bewegen sich daher beliebig viele Körper gleichförmig in graden Linien fort, so wird der gemeinschaftliche Schwerpunkt zweier beliebigen von ihnen entweder ruhen, oder gleichförmig und geradlinig fortschreiten, weil die Linie, welche die Schwerpunkte dieser Körper verbindet, durch den gemeinschaftlichen Schwerpunkt in einem gegebenen Verhältniss getheilt wird. Auf dieselbe Weise wird der gemeinschaftliche Schwerpunkt dieser beiden und eines beliebigen dritten Körpers entweder ruhen, oder sich gleichförmig und geradlinig fortbewegen, weil dieser Schwerpunkt die Verbindungslinie vom Schwerpunkte des dritten Körpers mit dem gemeinschaftlichen Schwerpunkte der beiden erstern in einem gegebenen Verhältnisse theilt. Ebenso verhält es sich mit dem gemeinschaftlichen Schwerpunkte dieser drei Körper und eines vierten, u. s. w. f. in’s Unendliche.

In einem Systeme von Körpern, welche so wohl von allen gegenseitigen, als auch von allen, von aussen her angebrachten Wirkungen frei sind und daher einzeln gleichförmig und geradlinig sich bewegen, wird der gemeinschaftliche Schwerpunkt entweder ruhen, oder sich gleichförmig und geradlinig bewegen.

Da ferner in dem Systeme zweier Körper, welche auf einander wirken, die Abstände der Schwerpunkte beider vom gemeinschaftlichen Schwerpunkte sich indirect wie die Körper verhalten, so werden ihre relativen Bewegungen, womit sie sich dem gemeinschaftlichen Schwerpunkte nähern oder von ihm entfernen, einander gleich sein. Eben so wird dieser Schwerpunkt durch gleiche und entgegengesetzte Aenderungen in den Bewegungen, also durch die Wirkungen dieser Körper auf einander, weder beschleunigt noch verzögert, noch erleidet er eine Aenderung in seinem Zustande der Ruhe oder der Bewegung. In einem Systeme mehrerer Körper ändert der gemeinschaftliche Schwerpunkt aller niemals seinen Zustand der Ruhe oder der Bewegung, wenn je zwei Körper unter sich auf einander wirken. Denn der gemeinschaftliche Schwerpunkt dieser beiden ändert in Folge jener Wirkung keinesweges seinen Zustand, der Schwerpunkt der übrigen erleidet gar nichts von derselben, weil sie sich nicht auf sie erstreckt. Der Abstand dieser beiden besondern Schwerpunkte wird nun aber durch den gemeinschaftlichen Schwerpunkt aller Körper in Stöcke getheilt, welche den Summen der Körper, deren Schwerpunkte jene sind, indirect proportional sind. Da nun jene beiden Schwerpunkte ihren Zustand der Ruhe oder der Bewegung beibehalten, so ist dasselbe beim gemeinschaftlichen Schwerpunkte aller der Fall. In einem solchen Systeme sind aber alle Wirkungen entweder zwischen je zwei Körpern, oder aus den Wirkungen zwischen je zweien zusammengesetzt, und sie werden daher niemals auf die Aenderung des Zustandes der Ruhe oder der Bewegung, in welchem der gemeinschaftliche Schwerpunkt sich befindet, von Einfluss sein. Da der letztere, wenn jene Körper nicht auf einander wirken, entweder ruhet oder längs irgend einer geraden Linie gleichförmig fortschreitet, so wird er darin fortfahren, ohne dass die Wirkungen der Körper unter sich hinderlich sind, wenn er nicht durch von aussen her angebrachte Kräfte aus seinem Zustande herausgebracht wird. Es findet daher für ein System von Körpern dasselbe Gesetz, in Bezug auf das Verharren im Zustande der Ruhe oder der Bewegung, statt, welches für einzelne Körper gilt. Die fortschreitende Bewegung sowohl eines einzelnen Körpers, als auch eines Systemes mehrerer Körper muss nämlich stets nach der Bewegung des Schwerpunktes abgeschätzt werden.

Zusatz 5. Körper, welche in einen gegebenen Raum eingeschlossen sind, haben dieselbe Bewegung unter sich; dieser Raum mag ruhen oder sich gleichförmig und geradlinig, nicht aber im Kreise fortbewegen.

Die Unterschiede der Bewegungen nach derselben Seite und die Summe derer nach entgegengesetzter Richtung sind nämlich (der Annahme zufolge) anfangs in beiden Fällen dieselben, und aus diesen Unterschieden oder Summen entspringen Bewegungen und Stösse, durch welche die Körper auf einander wirken. Es werden daher nach dem 2. Gesetz die Wirkungen des Zusammentreffens in beiden Fällen gleich sein, und desshalb die Bewegungen unter sich in dem einen Falle gleich bleiben den Bewegungen unter sich im andern Falle. Dasselbe kann durch einen Versuch deutlich erwiesen werden. Alle Bewegungen finden auf dieselbe Weise in einem Schiffe statt, mag dieses ruhen, oder sich gleichförmig und geradlinig fortbewegen.

Zusatz 6.

Wenn Körper sich unter einander auf irgend eine Weise bewegen, und gleiche beschleunigende Kräfte nach parallelen Richtungen auf sie einwirken; so fahren alle fort, sich auf dieselbe Weise unter einander zu bewegen, als wenn sie nicht durch jene Kräfte angetrieben würden.

Jene Kräfte werden nämlich, indem sie gleich stark (nach Verhältniss der Grösse der zu bewegenden Körper) und nach parallelen Richtungen wirken, alle Körper (was die Geschwindigkeit betrifft) nach dem 2. Gesetz gleich fortbewegen, und daher nie die Bewegung und Lage unter einander ändern.

Anmerkung.

Bis jetzt habe ich die Principien dargestellt, welche von den Mathematikern angenommen, und durch vielfältige Versuche bestätigt worden sind. Durch die zwei ersten Gesetze und die zwei ersten Zusätze fand Galilei, dass der Fall schwerer Körper im doppelten Verhältniss der Zeit stehe, und dass die Bewegung der geworfenen Körper in Parabeln erfolge; übereinstimmend mit der Erfahrung, in so weit jene Bewegungen nicht durch den Widerstand der Luft etwas verzögert werden. Von denselben Gesetzen und Zusätzen sind die Beweise abhängig, welche in Betreff der Dauer der Pendelschwingungen, unterstützt durch die tägliche Erfahrung an den Uhren, aufgestellt worden sind. Wenn ein Körper fallt, so flösst ihm die gleichförmige Schwere, indem sie in den einzelnen gleichen Zeittheilchen gleich stark wirkt, gleiche Kräfte ein und erzeugt gleiche Geschwindigkeiten. In der ganzen Zeit flösst sie die ganze Kraft ein und erzeugt die ganze Geschwindigkeit, beide der Zeit proportional. Die in proportionalen Zeiten beschriebenen Wege verhalten sich aber, wie die Geschwindigkeiten und die Zeiten zusammengesetzt, d. h. sie stehen im doppelten Verhältniss der Zeiten. Wird ein Körper aufwärts geworfen, so flösst ihm die gleichförmige Schwere Kräfte ein, und nimmt ihm den Zeiten proportionale Geschwindigkeiten. Die Zeit des Aufsteigens zur grössten Höhe verhält sich wie die fortzunehmenden Geschwindigkeiten und jene Höhen, wie die Geschwindigkeiten und Zeiten zusammengesetzt, oder sie stehen im doppelten Verhältniss der Geschwindigkeiten. Die Bewegung eines längs einer geraden Linie geworfenen Körpers, welche aus dem Wurfe hervorgehen muss, wird mit der Bewegung zusammengesetzt, die aus der Schwere entspringt.

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Fig. 3.

Könnte der Körper A, vermöge der Wurfbewegung allein, in einer gegebenen Zeit die gerade Linie AB beschreiben, und vermöge der Fallbewegung allein, in derselben Zeit die Höhe AC zurücklegen; so wird er sich, wenn man das Parallelogramm ABDC vollendet, bei zusammengesetzter Bewegung, am Ende jener Zeit im Punkte D befinden. Die Curve AED, welche er beschreibt, ist eine Parabel, welche AB in A berührt, und deren Ordinate BD proportional AB² ist. Aus denselben Gesetzen und dem dritten haben Christoph Wren, Johann Wallis und Christian Huygens, die ersten Geometer unseres Jahrhunderts, die Regeln für den Zusammenstoss und die Zurückwerfung zweier Körper, jeder für sich gefunden und fast zu derselben Zeit der Königlichen Societät mitgetheilt, wobei sie (was die Gesetze betrifft) durchaus mit einander übereinstimmten. Zuerst machte Wallis, hierauf Wren und dann Huygens seine Erfindung bekannt und der zweite zeigte der Societät die Richtigkeit seiner Erfindung an einem Pendelversuche, den der berühmte Mariotte in seinem eigenen Werke aus einander zu setzen, für würdig erachtete. Damit dieser Versuch aufs schärfste mit der Theorie übereinstimme, muss man so wohl auf den Widerstand der Luft, als auf die Elasticität der zusammenstossenden Körper Rücksicht nehmen.

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Fig. 4.

Es hängen zwei Körper A und B an den parallelen und gleichen Fäden CA und DB von den Mittelpunkten C und D herab. Von diesen Mittelpunkten und mit diesen Halbmessern werden die Halbkreise EAF und GBH beschrieben, welche durch die Halbmesser CA und DB halbirt werden. Nun bringe man den Körper A nach dem beliebigen Punkte R des Bogens EAF, und lasse ihn von dort, nachdem B fortgenommen ist, fallen; er möge nach Zurücklegung einer Schwingung zum Punkte V zurückkehren. Alsdann ist RV die durch den Widerstand der Luft bewirkte Verzögerung. Ist nun ST = ¼RV und in der Mitte von RV liegend, dergestalt dass

RS = TV

und

RS : ST = 3 : 2;

so drückt dieser Bogen ST sehr nahe die Verzögerung aus, welche der Widerstand der Luft, während des Herabfallens von S bis A hervorbringt.[1] Hierauf bringe man den Körper B wieder an seine Stelle zurück. Fällt der Körper A jetzt von S herab, so wird seine Geschwindigkeit im Zurückwerfungspunkte A ohne merklichen Fehler eben so gross sein, als wenn er im luftleeren Raume vom Punkte T herabgefallen wäre. Diese Geschwindigkeit kann man durch die Sehne TA darstellen; denn es ist ein bekannter Satz der Geometrie, dass die Geschwindigkeit eines Pendels im tiefsten Punkte sich wie die Sehne des durchlaufenen Bogens verhält. Nachdem die Körper einander zurückgeworfen haben, gelange A nach s und B nach k, und während B fortgenommen wird, falle A von v herab und gelange nach Zurücklegung einer Schwingung bis r zurück. Ist dann

st = ¼rv

und in der Mitte von rv gelegen, dergestalt dass

rs = tv;
so stellt die Sehne sA sehr nahe die Geschwindigkeit dar, welche der Körper A nach der Zurückwerfung im Punkte A hatte, indem t jenen wahren und verbesserten Ort bezeichnet, zu welchem A ohne den Widerstand der Luft hätte gelangen müssen. Nach derselben Methode kann man den Ort k verbessern, zu welchem B aufsteigt, und den Ort t bestimmen, zu welchem er im leeren Raume aufgestiegen sein würde. Auf diese Weise kann man alle Versuche so anstellen, als ob wir uns im lufteeren Raume befänden. Endlich muss man den Körper A auf die Sehne TA, welche seine Geschwindigkeit darstellt, beziehen, um seine Bewegung im Punkte A, unmittelbar vor dem Zusammentreffen, hierauf auf die Sehne tA, um dieselbe unmittelbar nach der Zurückwerfung zu bestimmen. Eben so hat man den Körper B auf die Sehne lB zu beziehen, um seine Bewegung unmittelbar nach der Zurückwerfung zu erhalten.

Nach derselben Methode muss man, im Fall die Körper von verschiedenen Orten herabfallen, die Bewegung beider vor und nach der Zurückwerfung suchen, und erst dann die Bewegung beider mit einander vergleichen, um die Wirkungen des Zusammentreffens zu erforschen.

Auf diese Weise habe ich mit Pendeln von 10′ Länge Versuche angestellt, und zwar so wohl mit gleichen als ungleichen Körpern. Hierbei richtete ich es so ein, dass die Körper aus sehr weiten Entfernungen von 8′, 13′ oder 16′ zusammentrafen und fand, wenn die Körper sich gegenseitig direct begegneten, stets ohne einen Fehler von 3″, wie gross die Aenderung der Bewegung beider Körper nach entgegengesetzten Richtungen war; ferner auch, dass die Wirkung der Gegenwirkung stets gleich war. Fiel A auf den ruhenden Körper B mit 9 Theilen Bewegung und ging er mit Verlust von 7 Theilen, nach der Zurückwerfung mit 2 Theilen weiter; so sprang B mit jenen 7 Theilen zurück.

Begegneten beide einander, A mit 12, B mit 6 Theilen, und ging ersterer mit 2 Theilen zurück, so kehrte der letztere mit 8 um, in dem beiderseits 14 Theile fortgenommen waren. Werden nämlich von der Bewegung des Körpers A 12 Theile fortgenommen, so bleibt gar keine übrig und nimmt man noch 2 mehr fort, so erfolgt eine Bewegung von 2 Theilen in entgegengesetzter Richtung. Ebenso erhält B, nach Fortnahme von 14 Theilen von seinen 6 Theilen Bewegung, nach entgegengesetzter Richtung eine Bewegung von 8 Theilen.

Bewegten sich die Körper nach derselben Richtung, A geschwinder mit 14, B langsamer mit 5 Theilen, und bewegte sich ersterer nach dem Zusammentreffen mit 5 Theilen weiter; so hatte B eine Bewegung = 14, nachdem 9 Theile von A auf B übertragen waren u. s. w. f. Durch das Zusammentreffen und Stossen beider Körper wurde die Grösse der Bewegung niemals geändert, wie man aus der Summe der nach derselben, und dem Unterschiede der nach entgegengesetzten Richtungen stattfindenden Bewegungen schloss; denn einen Fehler von 1 bis 2″ möchte ich der Schwierigkeit, alles Einzelne hinreichend genau auszuführen, zuschreiben. Schwierig war es, sowohl die Pendel gleichzeitig loszulassen, damit die Körper sich im untersten Punkte AB berührten, als auch die Punkte s und k zu bezeichnen, zu denen die Körper nach dem Zusammentreffen aufstiegen. Aber auch in den Bällen selbst brachte ungleiche Dichtigkeit der Theile, und eine aus andern Ursachen ungleiche Textur Fehler hervor.

Damit nun niemand den Einwurf mache, die Regel, zu deren Beweis dieser Versuch erdacht worden ist, setze entweder absolut harte oder wenigstens vollkommen elastische Körper voraus, welche man in der Natur nicht findet; so füge ich hinzu, dass die beschriebenen Versuche eben so sehr bei weichen, als harten Körpern erfolgen und daher keinesweges von der Bedingung der Härte abhängen. Will man nämlich den Versuch mit nicht vollkommen harten Körpern anstellen, so hat man nur die Zurückwerfung in einem bestimmten Verhältniss, nach der Grösse der elastischen Kraft, zu vermindern. In der Theorie von Wren und Huygens kehrten absolut harte Körper von einander, mit der Geschwindigkeit des Zusammentreffens zurück. Bestimmter wird dies bei vollkommen elastischen Körpern bestätigt. Bei unvollkommen elastischen Körpern ist die Geschwindigkeit der Rückkehr zugleich mit der elastischen Kraft zu vermindern, weil diese (ausser wenn die Theile des Körpers beim Zusammentreffen verletzt werden, oder irgend eine Ausdehnung, wie unter dem Hammer, erleiden) gewiss und bestimmt ist und bewirkt, dass die Körper von einander mit einer relativen Geschwindigkeit zurückkehren, welche zu der relativen Geschwindigkeit des Zusammentreffens in einem gegebenen Verhältniss steht. Dies habe ich mit Bällen versucht, welche aus Wolle zusammengewickelt und fest zusammengedrückt waren.

Indem ich zuerst die Pendel losliess und die Grösse der Zurückwerfung mass, fand ich die Grösse der elastischen Kraft. Hierauf bestimmte ich durch diese Kraft die Grösse der Zurückwerfung in andern Fällen des Zusammentreffens, und die Versuche stimmten hiermit überein. Die Bälle kehrten von einander mit einer relativen Geschwindigkeit zurück, welche sich zu der des Zusammentreffens ungefähr wie

5 : 9

verhielt. Fast dieselbe Geschwindigkeit fand bei Bällen von Stahl statt, während sie bei andern von Kork ein wenig geringer war. Bei gläsernen war das Verhältniss ungefähr wie

15 : 16.

Auf diese Weise ist das 3. Gesetz, so weit es den Stoss und die Zurückwerfung betrifft, durch die Theorie bewiesen und die Erfahrung stimmt damit vollkommen überein.

Bei den Anziehungen zeige ich die Sache folgendermaassen. Zwischen zwei Körpern A und B, welche sich gegenseitig anziehen, denke man sich ein Hinderniss aufgestellt, wodurch ihr Zusammentreffen unmöglich wird. Wird A stärker gegen B, als dieser gegen jenen gezogen, so wird das Hinderniss stärker durch A als durch B gedrückt und daher nicht im Gleichgewicht bleiben. Der stärkere Druck wird überwiegend sein und bewirken, dass das aus beiden Körpern und dem Hinderniss zusammengesetzte System sich geradlinig nach B hin bewegt, und im freien Raume mit einer beschleunigten Bewegung ins Unendliche fortgeht. Dies ist absurd und widerspricht dem ersten Gesetze, nach welchem das System in seinem Zustande der Ruhe oder der gleichförmigen geradlinigen Bewegung verharren müsste. Die Körper werden daher gleich stark gegen das Hinderniss drücken und gegen einander gezogen werden. Ich habe dies mit einem Magneten und einem Eisenstabe versucht. Befinden sich beide in zwei besonderen Gefässen, welche im ruhigen Wasser neben einander schwimmen, so stossen sie einander nicht fort, sondern suchen durch die beiderseitige gleiche Anziehung fortwährend einander näher zu kommen, und bleiben, wenn sie endlich in den Zustand des Gleichgewichts getreten sind, in Ruhe.
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Fig. 5.

So findet auch die Schwere zwischen der Erde und ihren Theilen welchselseitig statt. Man schneide die Erde FJ durch eine beliebige Ebene EG in die beiden Stücke EGF und EGJ; alsdann werden die wechselseitigen Gewichte derselben einander gleich sein. Wenn man nämlich durch eine andere Ebene
HK ∥ EG

das grössere Stück EJG in die zwei Theile EGKH und HKJ zerlegt, von denen

HKJ = EGF ist;

so wird offenbar das mittlere Stück EGKH durch sein eigenes Gewicht nach keinem der beiden äussern sich hinneigen, sondern zwischen ihnen so zu sagen im Gleichgewicht schweben und ruhen. Der äussere Theil HKJ liegt aber mit seinem ganzen Gewichte auf dem mittlern, und drängt diesen gegen den andern äussern EGF. Daher wird die Kraft, womit die Summe der Theile

HKJ + EGKH,

oder der ganze Theil EGJ gegen den Theil EGF gezogen wird, gleich dem Gewicht von HKJ, d. h. gleich dem des Theiles EGF. Die wechselseitigen Gewichte beider Theile EGJ und EGF sind demnach einander gleich; wäre dies nicht der Fall, so müsste die im freien Aether schwimmende Erde dem grössern Gewichte nachgeben und vor ihm fliehend sich in’s Unendliche entfernen.

So wie Körper, deren Geschwindigkeiten sich indirect wie die ihnen innewohnenden Kräfte verhalten, beim Zusammenstossen und bei der Zurückwerfung gleich vermögend sind, so vermögen in den mechanischen Instrumenten die bewegenden Kräfte dasselbe, und halten sich bei entgegengesetzten Bestrebungen einander im Gleichgewicht, wenn die Geschwindigkeiten sich indirect wie die Kräfte verhalten. So sind Gewichte gleich fähig, die Arme einer Wage zu bewegen, wenn sie beim Schwingen der letztern sich indirect wie ihre Geschwindigkeiten auf- und abwärts verhalten, d. h. Gewichte, welche gradlinig auf- und absteigen, sind gleichvermögend, wenn sie sich indirect wie die Abstände ihrer Aufhängepunkte von der Axe verhalten. Steigen sie auf schiefen Ebenen oder andern angebrachten Gegenständen schräg auf und ab, so sind sie gleichvermögend, wenn sie sich indirect wie die vertikalen Auf- und Absteigungen verhalten, und zwar wie die vertikalen, weil diese die Richtung der Schwere angeben. Eben so wird bei der Winde oder der Hebemaschine die Kraft der Hand, welche das Seil geradlinig anzieht, die Last im Gleichgewicht erhalten, wenn sie sich zu der gerade oder schräg ansteigenden Last indirect verhält, wie die Geschwindigkeit der Hand zur Geschwindigkeit der perpendikulär ansteigenden Last. Bei Uhren und ähnlichen Instrumenten, welche aus kleinen Rädern zusammengesetzt sind, halten die Kräfte zur Fortbewegung und Hemmung der Räder sich gegenseitig im Gleichgewicht, wenn sie sich indirect wie die Geschwindigkeiten der Räder verhalten, an denen sie angebracht sind. Die Kraft der Schraube einer Presse verhält sich zur Kraft der Hand, welche die Mutter umdreht, wie die kreisförmige Bewegung der letztern zur fortschreitenden Geschwindigkeit der Presse gegen den Körper. Die Kräfte, mit denen der Keil gegen beide Seiten eines gespaltenen Holzes drückt, verhalten sich zur Kraft des Hammers gegen den Keil, wie die Geschwindigkeit des letztern nach der Richtung, in welcher der Schlag des Hammers erfolgt, zu der Geschwindigkeit, mit welcher die Theile des Holzes, senkrecht gegen die Seiten der Keils, aus einander weichen. Eben so verhält es sich mit allen Maschinen. Die Wirkung und der Gebrauch derselben besteht darin, dass wir durch Verminderung der Geschwindigkeit die Kraft vermehren, und umgekehrt, wodurch in geeigneten Instrumenten jeder Art die Aufgabe gelöst wird: eine gegebene Last durch eine gegebene Kraft zu bewegen, oder irgend einen gegebenen Widerstand durch eine gegebene Kraft zu überwinden.

Werden die Maschinen so gebauet, dass die Geschwindigkeit des wirkenden und des widerstehenden Theiles sich indirect wie die Kräfte verhalten; so wird die wirkende Kraft dem Widerstande das Gleichgewicht halten, und ist erstere grösser, so wird sie den letzteren überwinden. Ist sie so bedeutend grösser, dass auch aller derjenige Widerstand überwunden wird, welcher aus der Reibung der zusammenhängenden und über einander gleitenden Körper, aus der Cohäsion der zusammenhängenden und von einander zu trennenden Körper und endlich aus den zu hebenden Gewichten zu entspringen pflegt: so wird nach Ueberwindung jedes Widerstandes die überflüssige Kraft eine ihr selbst proportionale Beschleunigung der Bewegung theils in den Theilen der Maschine, theils im widerstehenden Körper hervorbringen.

Uebrigens ist es nicht unsere Absicht, die Mechanik hier zu behandeln, wir wollten nur zeigen, wie weit das dritte Gesetz sich erstreckt und mit welcher Bestimmtheit es stattfindet. Denn wenn die Wirkung nach der wirkenden Ursache, nach der Kraft und Geschwindigkeit vereint abgeschätzt wird, und man die Gegenwirkung nach der Geschwindigkeit der einzelnen Theile und den aus der Reibung, Cohäsion, dem Gewicht und der Beschleunigung hervorgehenden widerstehenden Kräften bestimmt; so werden Wirkung und Gegenwirkung bei jedem Gebrauch von Instrumenten einander stets gleich sein. Wie weit auch die wirkende Ursache vermittelst des Instrumentes fortgepflanzt, und zuletzt an jedem widerstehenden Körper angebracht werde; nach der letzten Bestimmung wird sie immer der Gegenwirkung gleich sein.

Bemerkungen und Erläuterungen [des Übersetzers]

  1. [577] No. 1. S. 40. (Dortige Figur). RV drückt die ganze Verzögerung aus, welche das Pendel durch den Widerstand der Luft erleidet, während es eine doppelte Schwingung ausführt; dieselbe widerstehende Kraft würde daher ½RV hervorbringen, während das Pendel eine einfache Schwingung zurücklegt. Der Anfangspunkt der letzteren ist aber weder in R noch in V, sondern in irgend einen zwischen beiden liegenden Punkt zu setzen, weil der Körper eine grössere Verzögerung erlitten hat, während er den grösseren Bogen der ersten, als während er den kleineren Bogen der zweiten Schwingung beschrieb. Dieser zwischenliegende Punkt wird genähert erhalten, wenn man ST = ¼RV so in die Mitte legt, dass der Punkt x sowohl ST als RV halbirt.
    Ist nämlich Y der Punkt auf AF, welchen der Pendel nach der ersten Schwingung von R an erreicht, so ist RA – AY die Verzögerung während der ersten und AY – AV die Verzögerung während der zweiten Schwingung, und genähert RA – AY = AY – AV oder AY = ½(RA + AV), hingegen genau Ax = ½(AR + AV) und so mit demselben Grade der Annäherung Ax = AY = ½(AR + AV) = ¼(AR + AV + 2AY) = ¼(RY + VY). Hiernach wird SA etwas grösser und TA etwas kleiner als ¼(RY + VY), welche beide in der Klammer befindliche Bogen das aus R losgelassene Pendel beschreibt. Fällt es von S herab, so erleidet es während des Falles bis A eine etwas grössere Verzögerung als ¼RV, dagegen wenn es hernach durch TA aufsteigt, eine um fast eben so viel kleinere Verzögerung als ¼RV, und man kann daher die ganze Verzögerung des von S herabgefallenen Pendels, während Einer Schwingung = ½RV setzen. Obgleich jener Theil, welcher beim Falle durch SA eingeflösst sein würde, damit die Geschwindigkeit des Pendels in A kleiner sei, als wenn es im luftleeren Raume durch TA gefallen wäre, grösser ist als ¼RV; so wird doch der Unterschied so gering sein, dass man ihn als unbedeutend ansehen kann.
Erklärungen Nach oben Buch I. Abschnitt I.
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