RE:Diophantos 18
| Paulys Realencyclopädie der classischen Altertumswissenschaft | |||
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| Mathematiker aus Alexandria | |||
| Band V,1 (1903) S. 1051–1073 | |||
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18) Aus Alexandreia, Mathematiker. 1. Da [1052] D. in der Schrift über Vieleckszahlen (Dioph. op. I 470, 27. 472, 20 Tannery) auf den Mathematiker Hypsikles sich beruft, und er wiederum von Theon im Commentare zu Ptolem. synt. I (Dioph. op. II 35, 9. 19) citiert wird, so war damit die Zeit etwa zwischen 150 v. Chr. und 350 n. Chr. als erste Begrenzung gegeben; für wahrscheinlich aber hatte es zu gelten, dass D. nicht zu Anfang oder in der Mitte dieses 500jährigen Zeitraumes, sondern erst gegen Ende desselben gelebt habe. Die genauere Bestimmung war zu entnehmen aus einem von Tannery zuerst veröffentlichten Briefe des Michael Psellos (Dioph. op. II 37ff.), in welchem D. und nächst ihm Anatolios (s. d. Nr. 15) als Schriftsteller über die ägyptischen Rechenmethoden erwähnt werden, und zwar habe der erstere eingehender darüber gehandelt, während der letztere seine Schrift in ganz zusammengedrängter Form abfasste und sie dem D. widmete (Διοφάντῳ προσεφώνησε 38, 25f.). Also sind sie Zeitgenossen gewesen, und da Anatolios im J. 278/9 als schriftstellerisch thätig und um 280 als Bischof von Laodikeia bezeugt ist, D. aber zu ihm, allem Anscheine nach, wie der Meister zu dem Jünger gestanden hat, so wird man kaum fehlgehen, wenn man seine Blüte um 250 n. Chr. oder nicht viel später ansetzt. Cantor Vorles. über Gesch. der Math. I² 434f. Heath Diophantos of Alexandria 2ff. 16f. Tannery Bull. des sciences mathém., 2e série, III 1 (1879), 261ff.; Ztschr. f. Mathem. u. Phys., hist.-litt. Abteil., XXXVII (1892), 44f.; Dioph. op. II p. XVII. Hultsch Berliner Philol. Wochenschr. 1896, 615f. Eneström Biblioth. math. 1896, 58. Loria Modena accad. di scienze XII 2, Ser. 2, 312ff.
2. Unter die mathematischen Epigramme der Anthologie ist eine Aufgabe, das Alter des D. aufzufinden, aufgenommen (Anthol. XIV 126. Dioph. op. II 60f.). Hier sind die Knaben- und Jünglingsjahre nach den Stufen der Jahrwochen (Censorin. 14, 4–7), nämlich die Knabenzeit zu 2 2 ✕ 7, und die Zeit bis zum sprossenden Barte zu 7 Jahren bemessen. Im 33. Lebensjahre hat D. geheiratet und im 38. einen Sohn erhalten. Dieser ist 42 Jahre alt gestorben und 4 Jahre später, d. i. im 84. Lebensjahre, ist ihm der bekümmerte Vater gefolgt. Alles dies kann nur von einem vertrauten Freunde des D., und zwar nicht lange nach seinem Tode in diese präcise und zugleich eine nahe Teilnahme verratende Form gebracht worden sein. Bis zuletzt hat D., wie das Epigramm meldet, seiner Wissenschaft gelebt. Dass er ein Christ gewesen sei, wie Tannery Sur la religion des derniers mathématiciens de l’antiquite, Extrait des Annales de Philosophie chrétienne 1896, 13f. vermutet, ist schwerlich zu erweisen. In dem Briefe des Psellos 38, 25 ist ἑτέρο überliefert, Dies ist entweder ein Schreibfehler statt ἑτέρως, wie †Tannery herausgegeben hat; dann gehört dieses Adverb zu ἀπολεξάμενος und Psellos meint (worauf auch die Erklärungen 39, 4–9 hindeuten), dass Anatolios in anderer Weise wie sein Vorgänger D. die Hauptumrisse der ägyptischen Rechenkunst dargestellt habe. Oder statt ἑτέρω ist, wie Tannery Dioph. op. II p. XLVII dubitanter vorschlägt, ἑταίρῳ oder τῷ ἑταίρῳ) zu schreiben (doch würde dann noch die Umstellung Διοφάντῳ τῲ ἑταίρῳ vorzunehmen [1053] sein), und so würde D. ein Genosse des Anatolios gewesen sein, worauf Tannery die weiteren Hypothesen baut, dass der Dionysios, dem D. seine Arithmetik gewidmet hat, kein anderer als der heilige Dionysios, Vorsteher der Katechetenschule in Alexandreia 232–247, Bischof daselbst 247–264/5 (Stadler Heiligen-Lexikon 1764ff.), mithin auch D. sein Schüler und ein Christ gewesen sei. Vgl. oben Dionysios Nr. 153.
3. Da der Name des D. früher nur in der Genetivform Διοφάντου bekannt war, so ist mehrmals die Frage aufgeworfen worden, ob unser Autor Διοφάντος oder Διοφάντης geheissen habe. Vgl. Nesselmann Algebra der Griechen 244f. Heath Diophantos of Alexandria 1f. Übereinstimmend sind jetzt die Formen Διόφαντος, Διοφάντῳ, Διόφαντον, Διόφαντε bezeugt durch das Epigramm Anthol. XIV 126 (Dioph. op. II 60, 19 Tannery). Theo in Ptolem. synt. I 9 (Dioph. op. II 35, 9. 19) Suid. s. Ὑπατία (ebd. 36, 24). Psell. ebd. 38, 22. 25. Anonymi proleg. in introd. arithm. Nicom. ebd. 73, 25. Pachym. ebd. 122, 2. Planudes ebd. 178, 25. 198, 17. 215, 1 u. ö. Schol. vetera ebd. 260, 24. Schol. zu Iambl. in Nicom. arithm. 127, 11. 131, 26. 29. 132, 12 Pistelli. Dagegen findet sich erst bei einem Kirchenvater des 10. Jhdts., nach der Lesart des cod. Paris. Gr. 1559, Διόφανται (so accentuiert) in Zusammenstellung mit Πυθαγόραι und Εὐκλεῖδαι, wo wohl mit Tannery ein Schreibfehler statt Διόφαντοι anzunehmen ist. Ioann. Hierosol. herausg. von Tannery Dioph. op, II 36, 9, und vgl. Cantor Vorles. I² 434.
4. Die Werke des D. wurden zuerst bekannt durch eine lateinische Übersetzung von Xylander, Basel 1575, fol. (vgl. Nesselmann Algebra der Griechen 278ff.). Hierauf folgten ,Diophanti Alexandrini arithmeticorum libri sex, et de numeris multangulis liber unus. Nunc primum Graece et Latine editi. . . auctore Cl. G. Bacheto Meziriaco‘ (d. i. Bachet de Méziriac), Lutetiae Paris. 1621 fol. Die Ausgabe von S. Fermat Toulouse 1670 fol., hat ihren Wert nur durch den Abdruck der ,Observationes‘, die des Herausgebers Vater, Pierre de Fermat, an den Band der Bachetschen Ausgabe beigefügt hatte; der griechische Text aber ist bei dem jungem Fermat nur ein Nachdruck von Bachet, jedoch voller Druckfehler in einzelnen Worten und Zeichen. Selbst ganze Zeilen sind ausgelassen oder doppelt gedruckt, so dass Nesselmann a. a. O. 283 durchaus nicht zu hart urteilte, wenn er diese Ausgabe, anlangend den griechischen Text, für völlig unbrauchbar erklärte. Dem Verlangen nach einer kritisch gesichteten und handlichen Ausgabe wurde Rechnung getragen durch ,Diophanti Al. opera omnia cum Graecis commentariis. Edidit et latine interpretatus est P. Tannery‘, vol. I Leipzig 1893, vol. II ,continens pseudepigrapha, testimonia veterum, Pachymerae paraphrasin, Planudis commentarium, scholia vetera, omnia fere adhuc inedita, cum prolegomenis et indicibus‘, ebd. 1895 (vgl. Hultsch Berliner Philol. Wochenschr. 1894, 801ff. 1896, 613ff.). Von neueren Übersetzungen sind hervorzuheben ,D. von Al. arithmetische Aufgaben nebst dessen Schrift über die Polygon-Zahlen. Aus dem Griechischen übers. . . . von O. Schulz‘ Berlin 1822, und ,die Arithmetik [1054] und die Schrift über die Polygonalzahlen des D. von Al. Übersetzt. . . von G. Wertheim‘ Leipzig 1890. Eine auf die Wiedergabe des wesentlichen Inhaltes beschränkte Bearbeitung beider Schriften des D. giebt T. L. Heath Diophantos of Al., a Study in the History of Greek Algebra, Cambridge 1885, 161ff.
Über die Hss. des D. berichtet Tannery in seiner Ausg. I p. IVf. II p. XXIIff. Vgl. besonders II p. XXIII die Überschrift über 26 Hss., zu denen noch 2 jetzt verloren gegangene und die von Gollob Ztschr. f. Math. u. Phys. 1899, hist.-litt. Abteil. 137ff., sowie von Curtze (s. ebd. 137 Anm.) beschriebene Hs. der Universitätsbibliothek in Krakau kommen. Ehe er an die Ausgabe herantrat, hat er 8 Hss. vollständig verglichen, während 14 andere nur so weit zu prüfen waren, bis sich herausstellte, dass sie für die Feststellung des Textes nicht in Betracht kommen Als Grundlage wählte er die älteste und beste, den cod. Matritensis 48 saec. XIII, der aus einer wahrscheinlich im 8.–9. Jhdt. festgestellten Recension geflossen ist. Ihm zunächst steht der Marcianus 308 saec. XV, der die von Maximus Planudes im 14. Jhdt. herausgegebene Recension und dessen Commentare enthält. Nach diesem Texte ist die Madrider Hs. zu Ende des 15. Jhdts. überarbeitet worden, und es ist dabei an vielen Stellen, besonders im 1. und 2. Buche der Arithmetik, die ursprüngliche Schrift entweder wegradiert oder durch Darüberschreiben unkenntlich geworden. In diesen Fällen ist der Herausgeber auf den Vatic. Gr. 191 zurückgegangen, der um die Mitte des 15. Jhdts., also zu einer Zeit wo der Matritensis noch nicht interpoliert war, aus demselben abgeschrieben worden ist.
5. Sein Hauptwerk hat D., wie die Überschriften zu Anfang der einzelnen Bücher bezeugen, ἀριθμητικά betitelt. Der Anonymus bei Tannery Dioph. op. II 73, 26 citiert Διόφαντος ἐν τοῖς δέκα καὶ τρίσὶν αὐτοῦ βιβλίοις τῆς ἀριθμητικῆς, der Scholiast zu Iambl. in Nicom. arithm. 132, 11 Pistelli (Dioph. op. II 72, 17) ἐν τῷ τελευταίῳ θεωρήματι τοῦ πρώτου βιβλίου τῆς Διοφάντου ἀριθμητικῆς στοιχειώσεως, die Scholien zu den arithmetischen Epigrammen des Metrodoros Dioph. op. II 62, 24 διὰ τοῦ δευτέρου προβλήματος τοῦ πρώτου τῶν Διοφάντου στοιχείων, 69, 8 κατὰ τὸ βον τοῦ πρώτου βιβλίου τῶν στοιχείων Διοφάντου. Es ist also von den Späteren statt des genauen Titels die ihnen bequemere Form ἀριθμητική vorgezogen, diese auch zu ἀριθμητικὴ στοιχείωσις erweitert oder anderweit zu στοιχεῖα (nach Analogie der euklidischen Elemente) gekürzt worden.
Als Ziel des ganzen Werkes bezeichnet D. in der Widmung an Dionysios I 2, 3 τὴν εὕρεσιν τῶν ἐν τοῖς ἀριθμοῖς προβλημάτων. Er giebt selbst zu, dass der Inhalt, weil er ein bisher unbekanntes Gebiet erschliesst, dem Anfänger schwierig erscheinen werde, doch aber bei gutem Willen und unter des Verfassers methodischer Anleitung leicht bewältigt werden könne (ebd. 2, 8–13; über die Schlussworte ταχεῖα – διδαχήν vgl. Hultsch Jahrb. f. Philol. 1897, 48).
Dass der umfängliche Stoff auf 13 Bücher verteilt war, berichtet D. am Ende der Einleitung zum I. Buche (16, 6f.), und so auch der [1055] Anonymus bei Tannery a. a. O. Nur die ersten 6 Bücher sind erhalten (doch scheinen auch hier einige lückenhafte Stellen sich zu finden). Da dieser Teil des Werkes (ganz im Einklange mit dem von D. 16, 4 angedeuteten Plane) deutlich ein Fortschreiten zu immer schwierigeren Aufgaben zeigt, so ist der Verlust der übrigen Bücher um so mehr zu bedauern; sie müssen Gebiete der Algebra behandelt haben, die wir zwar nur vermutungsweise, immerhin aber soweit bestimmen können, dass wir von der Höhe des von D. schliesslich erreichten Standpunktes eine annähernde Vorstellung gewinnen (unten § 8 a. E. 17). Tannery Bull. des sciences mathém., 2e série. VIII 1 (1884), 192ff.; Dioph. op. II p. XIXf., in Widerlegung von Nesselmann Algebra 264ff. (dagegen pflichten Cantor Vorles. I² 437f. Heath Diophantos 26ff. u. a. der Annahme Nesselmanns bei, dass die jetzt als zweites bis sechstes gezählten Bücher ursprünglich in anderer Einteilung die bei weitem grössere Hälfte der ἀριθμητικά bis zum 13. Buche einschliesslich dargestellt haben und die Lücke hauptsächlich zwischen dem 1. und 2. Buche zu suchen sei). Die von Tannery II p. XXXIIf. und Gollob a. a. Ο. 138. 140 (o. § 4) mitgeteilte, in einigen Hss. überlieferte Zählung von 8 Büchern beruht auf der Zerlegung des ersten Buches in 2 Bücher und der Einordnung des Tractates über Polygonalzahlen als VIII. Buch.
6. Wie schon früher (Art. Arithmetica § 37) bemerkt wurde, hat D., seine Vorgänger weit überragend, ganz neue Wege des arithmetischen Denkens eröffnet, neue Bezeichnungen geschaffen, allenthalben vom einzelnen Falle sich erhoben zur allgemeinen Anschauung, endlich auch in dem noch erhaltenen Teile seines Werkes die Bahnen gezeigt, auf denen die Neueren weiter fortgeschritten sind. Gewiss würden wir, wenn das vollständige Werk uns vorläge, noch weit besser ersehen, wie vieles, was in neuerer Zeit aufgefunden worden ist, schon von D. in den Bereich seiner Probleme gezogen war.
An erster Stelle ist hervorzuheben, dass er über die euklidische Anschauungsweise, die in der ganzen vorhergehenden Zeit herrschte, sich erhoben und die Arithmetik vollständig von den Fesseln der Geometrie befreit hat. Auch die aus dem früheren Sprachgebrauche übernommenen Ausdrücke τετράγωνον, κύβος, πλευρά, ja selbst τρίγωνον ὀρθογώνιον haben bei ihm lediglich arithmetische Bedeutungen, Hankel Gesch. d. Mathem. 159 (mithin ist πλευρά die Wurzel, nicht die Seite: Hultsch Berliner Philol. Wochenschr. 1891, 590). So nennt ihn Hankel a. a. O. 158 den Vater der Arithmetik und Algebra in dem Sinne, wie wir diese Wissenschaften betreiben; er ist der erste gewesen, der ohne Beziehung auf geometrische Darstellung mit allgemeinen, zusammengesetzten Zahlausdrücken nach den bestimmten formalen Gesetzen der Addition, Subtraction, Multiplication, Division. Potenzierung, Radicierung operiert, d. h. gerechnet hat (vgl. ebd. 158ff. Cantor I² 438ff. Heath 57ff. 83ff.). Dieses Verdienst wird auch dadurch nicht geschmälert, dass über die von ihm benutzten Quellen und über den Ursprung seiner Rechnungsmethoden einige Andeutungen überliefert sind. Platon leg. VII 819 [1056] empfiehlt, dass die freigeborenen Knaben, wie das in Ägypten allgemein üblich sei, zugleich mit dem Lesen auch die Anfangsgründe der Mathematik, und zwar beim fröhlichen Spiel, lernen sollen. Dies werde erreicht durch verschiedentliche Verteilung von Äpfeln, Kränzen oder Schalen, durch wechselnde Aufstellung der Kinder zu den Kampfspielen, ja auch durch Vorzeigung von goldenen, silbernen und ehernen Schalen verschiedenen Gewichts, woran Aufgaben einfachster Mischungsrechnungen geknüpft werden. Also sind auch die von Späteren erwähnten μηλῖται und φιλῖται ἀριθμοί zu erklären als Zahlen, welche die Lösungen von einfachsten Aufgaben verhältnismässiger Teilung nach ägyptischer Methode darstellen, und solche Aufgaben, sowie ähnliche schwierigere sind zahlreich in der griechischen Anthologie, eine auch im V. Buche der Arithmetik des D. erhalten. Vgl. Art. Arithmetica § 37 und u. § 12 a. E.
Psellos nennt in dem bereits erwähnten Briefe (Dioph. op. II 37f.) die Rechnungsweise des D. ἡ κατ’ Αἰγυπτίους τῶν ἀριθμῶν μέθοδος, δι’ ἧς οἰκονομεῖται τὰ κατὰ τὴν ἀναλυτικὴν προβλήματα. Die dann folgende, zum Teil von D. abweichende Darstellung der Gattungen der Zahlen macht es wahrscheinlich, dass Psellos aus der Arithmetik des Anatolios, den er am Schlusse dieses Abschnittes neben D. erwähnt, geschöpft hat (vgl. Anatolios Nr. 15. Tannery Ztschr. f. Mathem. u. Phys., hist.-litt. Abteil., 1892, 42ff.), und aus derselben Quelle mag auch stammen, was der Scholiast zu Plat. Charm. 165 E berichtet: Teile der Logistik seien die sog. hellenischen und ägyptischen Methoden der Multiplication und Division (bei der letzteren scheidet sich deutlich die griechische Rechnungsweise mit gemeinen Brüchen von der ägyptischen mit ihren Stammbrüchen), ferner die Addition und Subtraction von Brüchen (auch hier waren die ägyptischen Methoden verschieden von den griechischen); durch diese Methoden spüre die Logistik der Lösung der aus der alltäglichen Praxis entnommenen Probleme nach, wenn diese auch durch die Form der aufgegebenen Voraussetzungen und Forderungen zunächst verhüllt zu sein scheinen.
7. Seitdem die Seqem- und Hau-Rechnungen der alten Ägypter und die Elemente ihrer Teilungsrechnung in den Hauptzügen aufgehellt sind (Eisenlohr Ein mathem. Handbuch der alten Ägypter 35ff. Cantor Vorles. I² 33ff. Hultsch Abh. Ges. d. Wiss., Leipzig XVII 1, 6ff.), lässt sich die Verwandtschaft der diophantischen mit der ägyptischen Rechnungsweise hauptsächlich unter den folgenden Gesichtspunkten betrachten:
I. Der ägyptische Hau ist die zu suchende Grösse. Sie gilt als Einheit, die zugleich als eine verschiedentlich eingeteilte Vielheit erscheint (ἀριθμός, ἔχων ἐν ἑαυτῷ πλῆθος μονάδων ἀόριστον D. 6, 4, vgl. Cantor I² 440). Aus den Bestimmungen, welche über Teile der zu suchenden Grösse in der Aufgabe enthalten sind, sollen auch die nicht gegebenen Teile derselben Einheit aufgefunden und dadurch die Aufgabe gelöst werden.
II. Die zu suchende Grösse ist die Stammeinheit; die gegebenen Teile derselben erscheinen als Neben- oder Hülfseinheiten. Diese müssen auf eine Form gebracht werden, welche ihre Summierung ermöglicht. Schliesslich ist zu erweisen, [1057] dass die Summe der Nebeneinheiten gleich der Stammeinheit ist. Als ein elementares Beispiel möge die Aufgabe über des D. Lebensalter (oben S. 1053) dienen, die gewiss ganz im Sinne diophantischer Rechnungsweise aufgestellt worden ist (Anthol. XIV 126). Die zu suchende Grösse ist das Lebensalter, als eine Summe von ganzen Jahren gedacht. Diese Jahre gelten als Hülfseinheiten. Gegeben sind in der folgenden Übersicht (vgl. Hultsch a. a. O. 122ff.) die zahlenmässig aufgeführten Posten; zu suchen sind diejenigen, an deren Stelle vorläufig ein Fragezeichen steht:
| Teile der Stammeinheit | ⎜ |
Vielfache der Hülfseinheit |
| ------------------------------------------------------------------ | ||
⎜ |
? | |
⎜ |
? | |
⎜ |
? | |
| ? | ⎜ |
5 |
⎜ |
? | |
| ? | ⎜ |
4 |
Um die Aufgabe zu lösen, ist durch eine Seqem- oder Ergänzungsrechnung die Reihe , , ,
zu 1 zu ergänzen (vgl. Eisenlohr 39ff. Hultsch 113. 123ff.). Die kleinste Zahl, in welcher die gegebenen Eihheitsteile aufgehen, ist 84; es ist also zu versuchen, ob die Stammeinheit gleich
84 Hülfseinheiten gelten soll. Dann würde der Stammeinheit = 14 Hülfseinheiten, = 7 u. s. f.
sein. So erhalte ich als Summe der Hülfseinheiten und
ergänze die Reihe der Einheitsteile zu
Hülfseinheiten und Hülfseinheiten.
Damit ist die Aufgabe gelöst; denn übereinstimmend mit den gegebenen Voraussetzungen ist jeder Abschnitt des Lebensalters sowohl in Einheitsteilen, deren Summe = 1, als in Hülfseinheiten, deren jede = 1 Lebensjahr ist, dargestellt.
III. Die Bedingungen der Aufgabe können darauf hinauslaufen, dass die gegebenen Teile der Einheit zu den noch zu suchenden in bestimmten Verhältnissen stehen. Auch in diesem Falle werden die passenden Hülfseinheiten zu suchen sein, und es wird mit diesen so lange fortgerechnet, bis die Rückkehr zur Stammeinheit möglich ist (Hultsch 117ff.).
IV. Ferner kann als Norm für die Teilung eine Differenz (ägyptisch tunnu) gegeben sein. Ein elementarer Fall der Art wird in der 64. Aufgabe des mathematischen Handbuches behandelt; etwas schwieriger ist die Lösung der 40. Aufgabe, wo eine gegebene Menge in fünf Teile, die eine stetige arithmetische Reihe bilden sollen, nach einem gegebenen Verhältnisse zu zerlegen ist (Eisenlohr l41ff. 71ff. Cantor 40ff.). Diesen Beispielen altägyptischer Rechenkunst stehen einige Aufgaben im I. Buche des D. sowohl in ihrer Anlage als in der Methode der Lösung sehr nahe.
[1058] V. Wenn die in der Aufgabe gestellten Voraussetzungen und Forderungen es nicht gestatten, eine oder mehrere unmittelbar zum Ziele führende Hülfseinheiten aufzufinden, so nimmt man seine Zuflucht zu einem Hülfsansatze und rechnet mit ihm so lange weiter, bis es sich zeigt, welche Correctur anzubringen ist, um alle Bedingungen der Aufgabe zu erfüllen. Nach Bedarf können auch mehrere Hülfsansätze nach einander aufgestellt werden, um zur schliesslichen Lösung zu gelangen. Diese Methode ist zuerst bei D. beobachtet und als die des ,falschen Ansatzes‘ bezeichnet worden; in der That aber ist es die altägyptische Methode des Hülfsansatzes. Hultsch a. a. O. 9. 117ff. Nesselmann Algebra der Griechen 306ff. Hankel Gesch. der Mathem. 160–162. Eisenlohr a. a. O. 72f. Cantor Vorles. I² 39f. 449f. Zeuthen Gesch. der Mathem. 246ff.
VI. Wie die zu suchende Grösse von vornherein als Einheit gesetzt wird, so waltet auch bei der Rechnung mit Hülfseinheiten und bei den etwa erforderlichen Hülfsansätzen der Einheitsschluss vor. Nur eine unbekannte Grösse ist zu suchen. Ihr mögen andere, zunächst ebenfalls unbekannte Grössen zugeordnet werden; aber sie werden fortschreitend durch Hülfsansätze und Einheitsschlüsse eliminiert, bis zuletzt die gesuchte Stammeinheit bestimmt wird.
8. Zwischen dem altägyptischen Rechenbuche und der Arithmetik des D. liegt eine Zeit von zwei Jahrtausenden; es würde also kaum möglich gewesen sein, die angeführten Vergleichungspunkte aufzufinden, wenn nicht die Zeugnisse Platons und Späterer über ägyptische Rechnungsweisen (§ 6) und die von Metrodoros gesammelten arithmetischen Epigramme, die Kluft zwischen dem Anfange und dem Ende jener langen Periode wenigstens einigermassen überbrückten. Doch sind es immerhin nur gewisse Grundzüge und elementare Übungen, in denen D. sich als abhängig von jener älteren Tradition zeigt; darüber hinaus aber tritt seine geniale schöpferische Thätigkeit unzweideutig hervor. Welch einen Fortschritt sowohl in der Methode als in der Ausdrucksweise bezeugen schon die Aufgaben zu Anfang des I. Buches, und von da geht es auf sicherer Bahn weiter zu immer schwierigeren Problemen. Das ist alles wie aus einem Gusse gearbeitet. Einzelne Stücke, deren Formulierung und Ausführung hinter den übrigen zurücksteht, vielleicht auch das Epigramm am Schlusse des V. Buches, mögen anderswoher entlehnt sein; im allgemeinen aber hat D. selbst als der Erfinder der in seiner Arithmetik überlieferten Aufgaben zu gelten (vgl. Heath D. of Alex. 133ff., bes. 147 a. E.; anderer Ansicht sind Tannery Dioph. op. II p. XXI. Zeuthen Gesch. d. Mathem. 256f.). Über die Ziele, die er in den jetzt verloren gegangenen Büchern verfolgt hat, lässt sich aus dem Scholion zu Plat. Charm. 165 E wenigstens noch ein bedeutsamer Wink entnehmen. Hier wird schliesslich als Zweck der Logistik angegeben, dass sie dem Bedarfe des Alltagslebens diene, um brauchbare Verträge (über Mein und Dein, über Soll und Haben, über Erbschaftsteilungen u. s. w.) abzuschliessen. Das trifft genau zu für die ägyptische Rechenkunst; dagegen ist die πραγματεία [1059] περὶ τοὺς τριγώνους καὶ πολυγώνους (ἀριθμούς), die kurz vorher zur Lösung schwieriger Aufgaben empfohlen wird, nur der griechischen Wissenschaft eigen. Wenn nun in den Hss. des D. hinter dem VI. Buche der Arithmetik eine kurze Darstellung der Lehre von den Vieleckzahlen folgt und zuletzt aufgegeben wird zu bestimmen, auf wie viele Arten eine gegebene Zahl eine Vieleckzahl sein kann, der Text aber mitten in der Lösung der Aufgabe abbricht, so liegt die Vermutung nahe, dass in den neun Sätzen über Vieleckzahlen der wesentliche Inhalt der Einleitung zum VII. Buche uns erhalten ist und dass der verstümmelte Text der eben erwähnten Aufgabe das einzige Überbleibsel der grossen Aufgabensammlung darstellt, die einst vom VII. bis zum XIII. Buche des D. sich erstreckt hat (vgl. u. § 14–17).
9. Auch in betreff der zu suchenden Grösse hat D. sich zwar an die ägyptische Logistik angelehnt, ist aber dann über jene elementare Praxis weit hinausgegangen. Wenn er für hau (o. § 7) das griechische Wort ἀριθμός wählte (Dioph. op. I 6, 3–5), so zeigte er damit an, dass es ihm lediglich um ein Eindringen in die Theorie der Zahlen zu thun war. Zugleich musste aber auch diese noch zu bestimmende Grösse deutlich sich unterscheiden sowohl von den durch die Aufgabe gegebenen Zahlen als auch von denen, die im Fortgange der Lösung ausgerechnet wurden. Deshalb brauchte er ein besonderes Zeichen, dessen überlieferte Form vielleicht als ein Compendium für αρ, d. i. ἀριθμός, zu gelten hat (Heath D. 57ff. Cantor Vorles. I² 440). Doch bleibt nicht ausgeschlossen, dass von den drei Charakteren, mit denen im ägyptischen Rechenbuche das Wort hau geschrieben wird (Eisenlohr Ein mathem. Handbuch II Taf. XIf. zu Anfang der Aufgaben 24–27. 32), das Anfangszeichen, nachdem es aus der rückläufigen Schrift des Papyrus zu seinem Spiegelbilde in rechtläufiger Schrift 
umgewendet worden war, von D. als Zeichen der zu suchenden Grösse übernommen worden ist. Der allgemeine Satz von Gow Hist. of Greek Mathematics 286 ,the symbolism of D. was of Egyptian origin‘ ist zu beschränken auf dieses Zeichen. Über das Zeichen der negativen Grösse vgl. Heath 71ff. Cantor 441. Tannery D. op. II p. XLI; es scheint ein Compendium für das griechische λεῖψις zu sein. Die übrigen Zeichen bei D. sind offenbar griechische Compendien. Da die hsl. Form des Zeichens für ἀριθμός einem griechischen ς sich nähert (Heath 61. Tannery D. op. II p. XL), so sieht Thompson Transactions of the R. Society of Edinburgh, 18. Mai 1896, darin eine Abkürzung für σωρός = hau. Allein bei D. findet sich keine Andeutung eines solchen Gebrauches des griechischen Wortes σωρός; er kennt nur einen ἀριθμός und bildet davon weiter die Ableitung ἀριθμοστόν. Bei Pachymeres (D. op.
II 78, 5) dienen die Worte σωρεία γὰρ μονάδων ὁ ἀριθμός ἐστιν lediglich zur Erklärung des πλῆθος μονάδων in der ersten Definition des D.; mit dem ägyptischen hau haben sie nichts zu thun.
Doch wie auch immer diese Nebenfrage zu entscheiden sein mag, als eigene und zwar epochemachende Erfindung des D. haben wir es anzusehen, dass er das Zeichen der zu suchenden Grösse von vornherein in das schrittweise sich entwickelnde [1060] Lösungsverfahren aufnahm. Damit war ein Symbol geschaffen, an dessen Stelle in neuerer Zeit die letzten Buchstaben des Alphabets, besonders, wenn nur eine Grösse zu suchen ist (wie regelmässig bei D. auch in den Fällen, wo mehrere Unbekannte zu bestimmen sind, o. § 7 V), der Buchstabe x getreten sind. So war mit einem Schlage die umständliche ägyptische Darstellungsweise (§ 7 II), die übrigens nur für die einfachsten Aufgaben ausreichte, überwunden. Man braucht z. B. nur Arithm. I 6 mit Aufgabe 40 des ägyptischen Rechenbuches (Eisenlohr 72ff.) zu vergleichen, um zu erkennen, wie viel einfacher und übersichtlicher die Beweisführung des D. verläuft.
10. Seinem ἀριθμός = x stellte D. in der Einleitung zum I. Buche zunächst dessen Reciprocum,
das ἀριθμοστόν = gegenüber; dann gab er den
ersten Potenzen des ἀριθμός die teils seit Pythagoras üblichen, teils neugebildeten Namen δύναμις (oder τετράγωνον) = , κυβός = , δυναμοδύναμις = , δυναόκυβος = , κυκόκυβος = , und fügte dazu die Benennungen der reciproken Werte δυναμοστόν = u. s. f. bis κυβοκυβοστόν = . Wie ἀριθμός, so erhielt auch jeder der übrigen eben aufgeführten Werte ein leicht erkenntliches Zeichen (Arithm. I def. 1 – 3. Psellos bei Tannery D. op. II 37f. Pachymeres ebd. 78–80. Scholia in D. ebd. 125–127).
So bildete er 12 ἐπωνυμίαι oder εἴδη τῶν ἀριθμῶν und knüpfte daran eine Übersicht, wie jede Benennung mit jeder bis zum Maximum zu multiplicieren, oder jede durch jede bis zum Minimum zu dividieren ist (Arithm. I def. 4–8. Pachymeres bei Tannery D. op. II 80–84. Schol. ebd. 127–139. Die Division durch , u. s. f. wird in def. 8 als Multiplication mit , u. s. f. behandelt; daher der Verweis auf die μερισμοί bei D. def. 10 S. 14, 2; so auch von dem Schol. vet. Bd. II 256, 19 richtig gedeutet). Diese Darlegung ist ganz nachgebildet den Regeln, welche für die Sexagesimalrechnung der Astronomen galten (μέθοδοι εὔχρηστοι u. s. w. bei Tannery D. op. II 3–15. o. Art. Arithmetica § 11), nur dass es sich hier ausschliesslich um die sexagesimalen Brüche , u. s. f., nicht aber um Grössen wie , u. s. w. handelt.
Die eben erwähnten, von D. gebildeten Zahlengattungen sind positive Grössen, ὑπάρξεις. Diesen stehen die negativen Grössen, λείψεις, gegenüber. Pluszahl mal Minuszahl giebt eine negative. Minuszahl mal Minuszahl eine positive Zahl (Arithm. I def. 9 und dazu die Scholien Bd. II 139–146). Das Zeichen der λείψις ist 
; D. erklärt es als Υ ἐλλιπὲς κάτω νεῦον. Vgl. oben § 9.
Die Rechnung mit den verschiedenen Gattungen (εἴδη) der unbekannten Grösse ist so lange fortzuführen, bis auf beiden Seiten der Gleichung nur ein εἶδος übrig bleibt. Hierbei gilt die Regel, dass zwei einander gleiche Grössen gleich bleiben, mag nun Gleiches dazu addiert oder davon subtrahiert, oder mit Gleichem multipliciert [1061] oder durch Gleiches dividiert werden (Arithm. I def. 10f.). Als Beispiele mögen die Ausrechnungen zu Arithm. II probl. 3 a. 6 dienen (vgl. dazu die Scholien Bd. II 210f.). In der dritten Aufgabe heisst es zu der Gleichung πάντα παρὰ ς, d. i. dividiere jede von den Seiten der Gleichung durch (nach der Fassung von def. 8 würde zu sagen sein ,multipliciere jede Seite mit ‘). Daraus ergiebt sich . Dann hat, man noch (was nicht besonders bemerkt ist) durch 2 zu dividieren, um zu erhalten. In der sechsten Aufgabe ist die Gleichung durch Subtraction zunächst zu , und dann durch Division zu umzubilden. Als Beispiel einer Addition sei hinzugefügt I probl. 18, 2: κοινὴ προσκείσθω ἡ λεῖψις, d. h. auf beiden Seiten werde die positive Zahl 5, die vorher als negative Zahl sich findet, addiert. Eine Multiplication wird vorgeschrieben I probl. 21, 2 πάντα θκις, d. h. multipliciere beide Seiten der Gleichung mit 9. Dem jetzt üblichen Gleichheitszeichen entsprechen bei D. die Ausdrücke ,ist gleich‘ oder ,sind gleich‘, wobei die Formen von ἴσος gewöhnlich durch Compendien gegeben werden, Tannery D. op. II p. XLI. Wertheim Die Arithmetik des D. 9.
11. Um die Neubildungen ἀριθμοστόν, δυναμοστόν ü. s. w. (§ 10) zu erklären, beruft sich D. zu Anfang der dritten Definition auf den Sprachgebrauch, wonach τὰ ὁμώνυμα μόρια παρομοίως καλεῖται τοῖς ἀριθμοῖς. Da ἥμισυ neben δύο eine Ausnahme bildet (Hultsch Jahrb. f. Philol. 1893, 750), so wählt er als Beispiel die nächsthöhere Zahl. Den τρεῖς μονάδες entsprechen die τρίτα μόρια, oder kürzer gesagt, der Zahl τρία die τρίτα. Also auch den τεσσάρα die τέταρτα u. s. f. Jeder dieser Teile gilt als eine durch das betreffende Ordinale benannte Einheit (Hultsch a. a. O. 749f.; Arithmetica o. Bd. II S. 1077f.), und diese Einheiten kann man zählen, z. B. δύο, τρία, τέταρτα, jedoch nicht, ausser wenn ein besonderer Anlass vorliegen sollte, über diejenige Zahl hinaus, auf welche als nächste Stufe die Stammeinheit folgen würde; also z. B. δύο, τρία, τέσσαρα πέμπτα, aber nicht πέντε, weil so viele πέμπτα = 1 μόνας sind (die ägyptische Rechnung mit Reihen von Einheitsteilen oder Stammbrüchen hat D. nicht nachgeahmt, obwohl ihm μόριον in der Bedeutung von ‚Einheitsteil‘ bekannt gewesen ist, Hultsch Abh. Ges. der Wissensch. Leipzig XVII, I 22 mit Anm. 2).
Über die Regeln der Bruchrechnungen hat D. in einer Schrift gehandelt, von der uns leider nur der Titel μοριαστικά und die Definition, dass die μόρια eine bis zum Unendlichkleinen herabsteigende Zahlenreihe darstellen, erhalten sind (Schol. cod. Florent. bei Iambl. in Nicom. 127, 11 Pistelli). Doch können wir uns aus den Ausrechnungen in der Arithmetik ungefähr ein Bild machen, wie D. mit den Brüchen umgesprungen ist. Für alle seine Probleme lässt er nur rationale Lösungen zu, unter diesen aber meidet er keine auch noch so schwierige Bruchrechnung. Die ganzen Zahlen, μονάδες, werden bezeichnet durch 
, und diese werden fortgezählt, bis die Reihe der höheren Einheiten beginnt, welche D. nach dem allgemeinen Gebrauche als μυριάδες
[1062]
zählt und durch 
oder Μυ bezeichnet. Eine Myriade in zweiter Potenz wird durch ΜΜυ, in Worten als δευτέρα μυριάς gegeben (Hultsch Berliner Philol. Wochenschr. 1894, 806f., vgl. Nachr. Gesellsch. der Wissensch. Göttingen 1895, 251ff.). Wenn nun lediglich ein μόριον (d. i. nach ägyptischer Logistik ein Einheitsteil) zu bezeichnen ist, so genügt der gewöhnliche Zahlbuchstabe mit einem Beizeichen, welches die gebrochene Zahl von dem Zeichen für die ganze Zahl unterscheidet (Tannery D. op. II p. XLIIf.). Wenn aber mehrere μόρια gezählt werden, so wird der Zähler durch das Zahlzeichen für die Ganzen gegeben, und dahinter folgt die Zahl des Nenners mit ihrem Beizeichen entweder in gleicher Linie oder ein wenig höher gerückt. In der ältesten Handschrift fehlen meistens die Nennerzahlen; dann sind die Fälle, wo der Autor selbst einen schon vorher angeführten Nenner nicht nochmals gesetzt hat, zu unterscheiden von anderen Stellen, wo er den Nenner nicht weglassen konnte. Diesen hat er dann in Zahlbuchstaben mit Beizeichen in höherer Linie hinter der Zahl des Zählers oder fast über dieser Zahl beigeschrieben
(vgl. 
Kenyon-Papyri II nr. CCLXV 40), und diese Beischriften sind schon in früher Zeit von einem Abschreiber, der sie für Interlinearscholien ansah, weggelassen worden (Tannery I p. VIII. II p. XLIVf. Hultsch Berl. Philol. Wochenschr. 1894, 803ff.). Für den modernen Typendruck empfiehlt es sich, wie Psellos im cod. Marcianus 308 zum I. und II. Buche des D. und Bachet in seiner Ausgabe (nur hat dieser als Beizeichen des Nenners ~ statt des Abkürzungsstriches ’) es durchgeführt haben, zu schreiben
γδ’, nicht aber u. s. f., wie Tannery herausgegeben hat, weil dann der Strich über dem Zähler als Bruchstrich angesehen und so bei dem modernen Leser die Vorstellung erweckt wird, als habe D. gerade die umgekehrte Bruchbezeichnung, als sie jetzt üblich ist, angewendet. Ausserdem finden sich aber auch zur Verdeutlichung der Rechnungen Ausdrücke wie τὸ ιε μόριον (248, 6), d. i. der Nenner 15, oder πάντα ἐπὶ τὸ κοινὸν αὐτῶν μόριον ἐπὶ Δυαιβ ςζ (288, 13), das ist: alles werde auf den gemeinsamen Nenner gebracht, oder ς γ ἐν μορίῳ ς α γ (286, 8), d. i. der Bruch . So konnten auch die grössten Zahlen als Nenner eingeführt werden, z. B. μορίου δευτέρας μυριάδος α καὶ (μυριάδων) πρώτων ,ηψμζ καὶ ,δφζ (332,8), d. i. des Nenners 187 474 560 (Hultsch Berliner Philol. Wochenschr. 1894, 806f., vgl. oben Bd. II S. 1078. Wertheim Arithmetik des D. 3f.). Die von Tannery 333 hergestellte Gleichung würde demnach von D. bezeichnet worden sein durch καὶ γίνεται ὁ ς δευτέρα μυριὰς α πρῶται (μυριάδες) ,γρκθ ,θσκδ μορίου δευτέρων μυριάδων ις πρώτων (μυριάδων) ,βπνη ,ςφξ. Noch kürzer kann die Bezeichnung sein, wenn vor den μονάδες nur πρῶται
[1063]
μυριάδες stehen, z. B. ΔυΔ β· ,εχ ἐν μορίῳ ρκβ· ,ακε (370, 19), d. i. . Zu wünschen ist, dass die Zahlenbezeichnungen und besonders die Bruchrechnungen bei D. noch ausführlicher dargestellt worden.
12. D. hat nicht beabsichtigt, ein Lehrbuch der Algebra zu schreiben (Nesselmann Algebra der Griechen 314f.), sondern nur Aufgabe an Aufgabe gereiht, um den Lernbeflissenen zunächst auf einer mehr elementaren Stufe nach den verschiedensten Richtungen hin zu üben und ihn dann zu der Lösung immer schwierigerer Probleme zu befähigen (o. § 8). Wie seine Vorgänger in der ägyptischen Rechenkunst und wie auf dem Gebiete der Praxis in Flächen- und Körpermessungen Heron von Alexandreia ist er immer nur von einem einzelnen Falle ausgegangen und hat den gerade für diesen Fall geeignetsten Weg der Lösung gezeigt. Vergeblich würden wir also bei ihm eine nach moderner Auffassung systematische Reihenfolge der Aufgaben, vergeblich auch eine einheitliche Methode der Lösungen suchen; dagegen können wir sicher sein, bei ihm für jedes Problem die beste Lösung, die nach dem damaligen Standpunkte algebraischen Wissens möglich war, zu finden (vgl. Cantor Vorles. über Gesch. der Mathem. I² 448ff. Heath D. of Alex. 113ff. Loria Modena accad. di scienze XII 2, Ser. 2, 319. 324f. 335ff.).
Fragen wir nach den Hauptgattungen der Gleichungen, mittels deren die Probleme gelöst worden sind, so sind nach Heath 88ff. (der seine von Nesselmann und Hankel abweichenden Ansichten 83ff. begründet) zu unterscheiden: A. Bestimmte Gleichungen, und zwar 1. reine bestimmte Gleichungen verschiedener Grade, 2. gemischte quadratische Gleichungen, 3. kubische Gleichungen. Hieran schliessen sich B. die unbestimmten Gleichungen (Heath 94ff., vgl. Cantor I² 447ff. Zeuthen Gesch. der Mathem. 250ff.), und zwar I. unbestimmte Gleichungen ersten und zweiten Grades, welche wiederum zerfallen erstens in einfache Gleichungen (zweiten Grades), die teils in allen Fällen, teils nur unter gewissen Bedingungen eine rationale Lösung zulassen, und zweitens in sog. Doppelgleichungen (διπλοϊσότητες, auch διπλαῖ ἰσότητες oder ἰσώσεις) teils ersten, teils zweiten Grades. Hieran reihen sich II. unbestimmte Gleichungen höherer Grade, und zwar teils einfache Gleichungen, die entweder auf die Form
(Heath 108), oder auf die Form
(ebd. 111) zurückzuführen sind, teils Doppelgleichungen. Dass es bei unbestimmten Problemen unendlich viele Lösungen giebt, deutet D. selbst II probl. 14. III 22 (vgl. mit II 8f.). IV 8. 17f. 20. 22. 37. 39. V 21. VI 12, 2 an.
Eine möglichst zusammengedrängte Übersicht über die Formeln aller von D. gesetzten Gleichungen geben Tannery am Schlusse des II. Bandes seiner Ausgabe und Loria a. a. O. 325ff.
Anknüpfend an den Commentar von Bachet (o. § 4) hat Fermat verschiedene Erläuterungen und Ergänzungen gegeben, die als ,Observations sur Diophante‘ in Oeuvres de Fermat publiées par Tannery et Henry I 289ff. herausgegeben [1064] und von Wertheim Die Arithmetik des D. ins Deutsche übersetzt worden sind.
Zu Buch II 8f. ist im Artikel Arithmetica Bd. II S 1108 einiges bemerkt worden. Zu V 33 (wo p. 384, 16 vielleicht δύο εἴδη οἴνου zu lesen ist) vgl. ausser Tannery, Heath, Wertheim zu diesem Probleme auch Zirkel Die arithm. Epigramme der griech Anthologie, Gymnasialprogr. Bonn 1853, 33. Anthol. Palat. Bd. III 579 Dübner (der dort citierte Meziriacus ist Bachet in seiner Ausgabe des D., vgl. o. § 4). Tannery Revue des études grecques IV (1891) 377ff. Zu VI 16 giebt Tannery Mém. de la Société des sciences de Bordeaus, 2e série, IV (1882) 332ff. einige Erläuterungen, indem er dieses Lemma des D. mit der Kreismessung des Archimedes in Verbindung bringt.
13. Auf das VI. Buch der Arithmetik folgt in den Hss. unter dem Titel περὶ πολυγώνων ἀριθμῶν ein Fragment, in welchem, wie bereits bemerkt wurde (§ 8 a. E.), vielleicht Reste des ersten von den verloren gegangenen Büchern der Arithmetik zu erkennen sind.
Die griechische Lehre von den Vieleckzahlen lässt sich zurück bis auf Pythagoras und die ältesten Pythagoreer verfolgen (o. Arithmetica § 20, vgl. mit 18). Wenn man von der natürlichen Zahlenreihe, d. i. nach Thales (bei Iambl. in Nicom. arithm. 10, 8 Pistelli) von dem νομάδων σύστημα, ausging und der Reihe nach die beiden ersten, dann die drei ersten, die vier ersten Zahlen u. s. f. addierte, so erhielt man die Reihe der τρίγωνοι ἀριθμοί 3, 6, 10, 15 . . ., deren erstes Glied durch 3, das zweite durch 6 Punkte u. s. f. als ein reguläres Dreieck dargestellt werden kann (Arithmetica § 20). Neben die natürliche Zahlenreihe, in welcher jedes folgende Glied um 1 grösser ist als das vorhergehende, stellte man dann die Reihe der ungeraden Zahlen, in welcher jedes folgende Glied um 2 grösser ist als das vorhergehende. Indem man nun, wie schon Pythagoras gezeigt hatte (Arithmetica § 18), auch von dieser Reihe die beiden ersten, dann die drei ersten Glieder u. s. f. summierte, erhielt man die Reihe der τετράγωνοι ἀριθμοί 4, 9, 25 . . ., deren jede, ähnlich wie vorher, als reguläres Viereck sich anordnen lässt. Hiernach lag es nahe, von 1 aus auch die arithmetische Reihe mit der Differenz 3 (oder, wie Archytas gesagt hat, mit dem διάστημα γ, Arithmetica Bd. II S. 1098f.), dann die Reihe mit der Differenz 4 u. s. f. zu bilden und zu finden, dass analog, wie vorher, aus der Reihe mit der Differenz 3 die Fünfeckzahlen, aus der Reihe mit der Differenz 4 die Sechseckzahlen u. s. f. entstehen. Auf solche Betrachtungen war vielleicht schon im 4. Jhdt. v. Chr. Philippos von Opus in seinem Buche über die Vieleckzahlen gekommen (Cantor I² 157f.); die genaue Definition hat später Hypsikles in einer wahrscheinlich ebenfalls den Vieleckzahlen gewidmeten Schrift festgestellt (D. op. I 470, 27: τὸ οαρὰ Ὑψικλεῖ ἐν ὅρῳ [d. i. in Form einer Definition] λεγόμενον, vgl. 472, 20 τοῦ Ὑψικλέους ὅρου). Der von D. 470, 28 – 472, 2 wörtlich überlieferte Satz lautet (nach der Übersetzung von Cantor 345 vgl. mit Wertheim 308): ,wenn beliebig viele Zahlen von 1 an von gleicher Differenz vorliegen und die Differenz gleich 1 ist, so ist die Summe dieser [1065] Zahlen eine Dreieckzahl, ist die Differenz 2, so ist die Summe eine Viereckzahl, ist die Differenz 3, so ist die Summe eine Fünfeckzahl‘. Hinter diesen Worten hat Hypsikles, weil er dies für selbstverständlich hielt, den Hinweis weggelassen, dass in analoger Weise auch die Sechseck-Siebeneckzahlen u. s. f. (also überhaupt die n-eckzahlen gebildet werden. Dann aber zieht er aus dem Vorhergesagten die Folgerung (472, 2–4), dass die Zahl der Ecken der Vieleckzahlen um 2 grösser ist als die gegebene Differenz, und schliesst weiter, dass die Seite einer Vieleckzahl gleich ist der Anzahl der Glieder, durch deren Summierung die Vieleckzahl entstanden ist.
14. Hier setzt D. zu Anfang des Fragmentes περὶ πολυγώνων ἀριθμῶν (450, 3–8) ein: ,jedes Glied der (natürlichen) Zahlenreihe von der Zahl 3 an ist eine Vieleckzahl und zwar (für jede Reihe von Vieleckzahlen) die zweite, wenn man (in jeder Reihe) als erste Vieleckzahl 1 setzt. Die Zahl der Einheiten, die jede (von diesen zweiten Vieleckzahlen) enthält, ist gleich der Anzahl der Ecken des Vieleckes, und die Seite ist gleich der auf 1 folgenden Zahl, d. i. = 2. Es ist also 3 eine Dreieckzahl, 4 eine Viereckzahl, 5 eine Fünfeckzahl u. s. w.‘ Dahinter fehlt nun, sei es dass D. einen solchen Zusatz als selbstverständlich weggelassen hat oder dass schon hier die Überlieferung lückenhaft ist, die Feststellung, dass man nach der Definition des Hypsikles (§ 13) in jeder Reihe von Vieleckzahlen zu der zweiten Vieleckzahl die dritte, vierte u. s. f. hinzufügen, mithin allgemein eine beliebige mte n-eckzahl bilden kann. Daraus entwickelte sich von selbst der Satz, welcher bei D. 468, 16–19 als Umbildung der Definition des Hypsikles (470, 27) erscheint, dass die mte n-eckzahl, wenn die für die betreffende Reihe massgebende Differenz mit d bezeichnet wird, d + 2 Ecken enthält und ihre Seite = m ist.
Alle Glieder der natürlichen Zahlenreihe von 3 an waren also als zweite Vieleckzahlen der Reihen mit den Differenzen 1, 2, 3 u s. f. bestimmt; die meisten dieser Glieder erschienen aber auch als dritte oder vierte oder fünfte Vieleckzahlen u. s. f. in anderen Reihen, z. B. 6 nicht nur als zweite Sechseckzahl, sondern auch als dritte Dreieckzahl, oder 36 nicht nur als zweite 36-eckzahl, sondern auch als dritte 13-eckzahl, als sechste 4-eckzahl und als achte 3-eckzahl. So stellte sich von selbst die Aufgabe heraus zu bestimmen, wie vielfach eine gegebene Zahl eine Vieleckszahl sein kann: δοθέντος ἀριθμοῦ εὑρεῖν ποσαχῶς δύναται εἶναι πολύγωνος (D. 476, 4).
Das Fragment περὶ πολυγώνων ἀριθμῶν bietet nur den Anfang der von D. unternommenen Lösung. Über die Versuche, eine vollständige Lösung herzustellen, vgl. Bachet D. de multangulis numeris I 19 (Anhang zur Ausgabe des Fragm. περὶ πολυγ. ἀρ.). Nesselmann 469. Wertheim 314f., unten § 15 g. E.
15. Um die Lösung vorzubereiten, hat D. einen Satz aufgestellt, durch welchen zunächst empirisch für jede gegebene Zahl die Reihen von Vieleckzahlen, in denen sie vorkommt, aufgefunden werden konnten. Nikomachos. der um das J. 100 n. Chr. geblüht hat, erwähnt in seiner ἀριθμητικὴ εἰσαγωγή II 12, 2ff. verschiedene Regeln, [1066] nach denen Dreieckzahlen zu Viereckzahlen, die letzteren wieder zu Fünfeckzahlen u. s. f. umgebildet werden können (vgl. Cantor I² 403). Hier ist besonders die Beobachtung hervorzuheben, dass je zwei auf einander folgende Dreieckzahlen, z. B. 3 und 6, oder 6 und 10, zusammen eine Quadratzahl bilden. Aber noch auf einem andern Wege konnten, wie Plutarch, der Zeitgenosse des Nikomachos, berichtet (Plat. quaest. 5, 1003 F), Dreieckzahlen in Quadratzahlen umgewandelt werden: πᾶς γὰρ τρίγωνος ἀριθμὸς ὀκτάκις γενόμενος καὶ μονάδα προσλαβὼν γίνεται τετράγωνος, z. B. 3 • 8 + 1 = 25. Hieran hat D. angeknüpft und aus der speciell für die Dreieckzahlen gültigen Regel einen allgemeinen Satz abgeleitet, nach welchem jede Vieleckzahl in ein Quadrat umgewandelt werden kann (D. op. 472, 16–19. Wertheim 308f.): ,jede Vieleckzahl bildet eine Quadratzahl, wenn man sie mit dem Achtfachen der um 2 verminderten Anzahl der Ecken multipliciert und zum Producte das Quadrat der um 4 verminderten Anzahl der Ecken addiert‘. Also wird, so schliessen wir im Sinne des D. weiter, eine beliebige Zahl P, die nicht kleiner als 3 sein soll und die jedenfalls die zweite P-eckzahl ist (§ 14), ausserdem auf so viele Arten als n-eckzahl (wobei für n der Reihe nach die Werte P – 1, P – 2... 4, 3 zu Gebote stehen sollen) gesetzt werden können, als sich 8 P (n – 2) + (n – 4)² als Quadratzahl erweist, z. B. ist 36 nicht blos die zweite 36-eckzahl, sondern auch eine 3-, 4-, 13-eckzahl; denn es sind
- 8 • 36 ( 3 – 2) + ( 3 - 4)² = 289 = 17²
- 8 • 36 ( 4 – 2) + ( 4 – 4)² = 576 = 24²
- 8 • 36 (13 – 2) + (13 – 4)² = 3249 = 57².
Damit ist zugleich erwiesen, dass D. seinen Satz nicht blos auf die Fälle, wo n – 4 einen positiven Wert hat, sondern auch für n = 4 oder = 3 angewendet wissen wollte. Denn dass (3 – 4)² = 1 ist, geht aus der 9. Definition des I. Buches seiner Arithmetik hervor, und dass (4 – 4)² = 0 ist, hat ihm als selbstverständlich gegolten. Ja auch statt der nach D. 450, 3 (oben § 14 z. A.) gesetzten Beschränkung, dass die Zahl P nicht kleiner als 3 sein soll, werden wir jetzt sagen können, dass P jede Zahl mit Ausnahme von 2 sein kann. Denn auch wenn P = 1 der Reihe nach als Dreieck-, Viereckzahl u. s. f. gesetzt wird, führt der diophantische Satz jedesmal auf eine Quadratzahl, und da schon Plutarch a. a. O. auf Grund des von ihm angeführten Satzes 1 als erste Dreieckzahl nachgewiesen hat, so kann auch dem D. die analoge Anwendung seines Satzes auf die Zahl 1 in allen Reihen von Vieleckzahlen (z. B. 1 als Viereckzahl ergiebt 16, als Fünfeckzahl 25 u. s. f.) nicht entgangen sein. Es ist also ganz in seinem Sinne oben § 14 z. A. der πολύγωνος (ἀριθμὸς) πρῶτος ἀπὸ τῆς μονάδος, indem die μονάς mitgezählt wurde, als zweite Vieleckzahl benannt worden, und analog sind in jeder Reihe die Vieleckzahlen mit Einschluss der 1, die an der Spitze einer jeden Reihe steht, zu zählen.
So oft nun eine gegebene Zahl als n-eckzahl nachgewiesen ist, lässt sich nach D. 474, 21 – 476, 3 auch die Seite dieser n-eckzahl berechnen (vgl. Wertheim 310. Cantor I² 455), und damit ist nach § 14 zugleich bestimmt, die wie vielte Vieleckzahl ihrer Klasse die gegebene Zahl ist.
[1067] Kehren wir nun zu dem obigen Beispiele zurück, so ist klar, dass ausser den drei Ausrechnungen, durch welche 36 als 3-, 4- und 13-eckzahl nachgewiesen wurde, noch 30 andere Ausrechnungen anzustellen sein würden, um nachzuweisen, dass 36 keine 5-, 6-eckzahl u. s. f. ist. Allein bei einem solchen Probieren und Tasten hat D. sich nicht beruhigen können; er muss auch ein methodisches Verfahren aufgesucht haben, nach welchem zu erkennen war, wie vielfach eine gegebene Zahl als Vieleckzahl gesetzt werden kann. Da nun dieses Problem in der That hinter den Sätzen, die sich nun alle als auf dieses eine Ziel gerichtet herausstellen, handschriftlich überliefert ist, und überdies auch der Anfang einer Lösung noch vorliegt, aus welchem wenigstens zu erkennen ist, dass der eingeschlagene Weg nicht vom Ziele abgeführt hat, so ist nicht zu bezweifeln, dass der vollständige Text uns eine völlig befriedigende Lösung zeigen würde.
Wertheim a. a. O. 3l4f. hat das Lösungsverfahren zum Probleme des D. dahin gerichtet, dass er die gegebene Zahl P mit 8 multipliciert, zu dem Producte 1 hinzuzählt, aus dieser Summe die Wurzel zieht und diese halbiert. So kommt er auf eine ganze Zahl m, welche grösser als jede Seitenzahl der in Betracht kommenden Polygone oder gleich der höchsten unter diesen Zahlen ist. Danach ist die geordnete aufsteigende Reihe der Teiler der Zahl 2 P soweit fortzuführen, als die Zahl m I nicht überschritten wird. Diese Reihe giebt unmittelbar die Seiten der Vieleckzahlen P an, d. h. sie zeigt, als wievielte m-eckzahl P nach einander anzusprechen ist, und daraus ist weiter zu berechnen, ob und welche Vieleckzahlen der Reihe nach für P eingesetzt werden können, bezw. welche Seitenzahlen ausser Betracht zu bleiben haben. So ist, um zu dem gewählten Beispiele nochmals zurückzukehren, aus P = 36 zunächst zu entwickeln
=
Statt ist die nächstniedrige ganze Zahl, also 8, einzusetzen. Die Reihe der Teiler von 2 • 36 bis zum Teiler 8 einschliesslich ist
- 2, 3, 4, 6, 8.
Da nun 36 jedenfalls eine zweite Vieleckzahl ist (§ 14), so ist nur noch zu versuchen, ob es auch eine dritte, vierte, sechste, achte Vieleckzahl sein wird. Die Ausrechnung ergiebt dann, dass 36 auch die dritte 13-eckzahl, die sechste 4-eckzahl und die achte 3-eckzahl ist, aber in keiner Reihe von Vieleckzahlen als vierte Zahl erscheinen kann (denn wenn man in der Wertheimschen Formel
a = 2 + für n den Wert 4 einsetzt
so erhält man eine gebrochene Zahl, und nach einer solchen kann kein Polygon, mithin auch keine Vieleckzahl benannt werden ; setzt man dagegen in dieselbe Formel nach einander die Werte 6 3,6,8 ein, so erhält man ganze Zahlen, welche ein 13-eck, ein 4-eck, ein 3-eck benennen).
Ein zweites Lösungsverfahren hat Wertheim Ztschr. für Math. und Phys. 1897, 121ff. vorgeschlagen. Er nimmt an, dass D. die geforderten Operationen nach eukleidischer Methode an Linien, welche Zahlen bedeuten, ausgeführt habe. Um zu bestimmen, auf wie viele Arten die gegebene [1068] Zahl, die durch die Gerade αβ dargestellt wird, Polygonalzahl sein könne, setzt er als Teil von αβ die Gerade αθ = 1, eine Gerade βγ als Zahl der Ecken = α und ermittelt durch eine Reihe von Sätzen, dass das Doppelte einer Polygonalzahl durch die Seite teilbar sein muss und der Quotient das um 2 vermehrte Product aus der um 1 verminderten Seite in die um 2 verminderte Zahl der Ecken ist. So oft diese Division aufgeht, ist die versuchte Zerlegung brauchbar und der Quotient, vermehrt um 2, ist gleich der Zahl der Ecken (α). Eine durch die Gerade αβ dargestellte Zahl ist also so oft Polygonalzahl, als es brauchbare Zerlegungen der Zahl 2 • αβ in je zwei ungleiche Factoren giebt.
16. In den Ausgaben ist das Fragment über die Vieleckzahlen in 10 Abschnitte geteilt. Doch genügen diese Abteilungen nicht, um einen deutlichen Einblick in die eigentümliche Anlage des Textes zu gewähren. Mögen wir nun den Anfang des VII. Buches der Arithmetik (oben § 8 a. E.) oder die Reste einer besonderen Schrift vor uns haben, jedenfalls springt die Ähnlichkeit mit dem Anfange des I. Buches der Arithmetik in die Augen. Das ganze, ἁριθμητικά betitelte Werk sollte eine Sammlung von Aufgaben sein, und in der That bietet die Mehrzahl der noch erhaltenen Bücher nur Aufgaben; allein zu Anfang des Werkes musste als Einleitung eine Anzahl von Definitionen und vorbereitenden Sätzen vorausgeschickt werden. Ähnlich ist das Fragment über die Vieleckzahlen wahrscheinlich nur als der Rest einer umfänglichen Aufgabensammlung zu betrachten, mag diese nun auf einige Bücher der Arithmetik verteilt gewesen oder als besonderes Werk erschienen sein.
Die Einleitung hierzu ist, abgesehen etwa von kleineren Lücken gleich am Anfang und vielleicht auch im Laufe des Textes, vollständig erhalten. Nach den schon erwähnten Eingangsworten (§ 14) erinnert D. daran, dass die Quadratzahlen durch die Multiplication einer Zahl mit sich selbst entstehen; allein man könne die Quadratzahlen auch aus den Vieleckzahlen ableiten. Jede Vieleckzahl, vervielfältigt mit einer aus der Anzahl ihrer Ecken abgeleiteten Zahl und vermehrt um das Quadrat einer andern, aus derselben Eckenzahl abgeleiteten Zahl, stellt sich als Quadratzahl heraus. ,Das werden wir,‘ fährt er fort, ,feststellen, nachdem wir vorher gezeigt haben, wie die gesuchte Vieleckzahl aus einer gegebenen Seite, oder zu einer gegebenen Vieleckzahl die Seite aufgefunden werden kann. Vorher aber werden wir die hierzu erforderlichen Hülfssätze (τὰ εἰς αὐτὰ λαμβανόμενα) beweisen‘.
D. kündigt also an, dass er zuerst eine Reihe von Hülfssätzen, dann zwei Sätze über die Ableitung einer Vieleckzahl aus ihrer Seite und umgekehrt der Seite aus einer Vieleckzahl bringen und zuletzt den Satz über die Umwandlung der Vieleckzahlen in Quadrate beweisen werde.
Demgemäss finden wir zunächst 4 λήμματα (in der Ausgabe von Tannery 452ff. mit griechischen Ziffern bezeichnet). Dazu kommt gegen Ende des Beweises zum 4. Lemma (466, 4) der Hinweis ὅπερ ἑξῆς δειχθήσεται, und bald darauf folgt mit der Überschrift τὸ ὑπερτεθὲν δεῖξαι die Einlösung dieses Versprechens. Diesen Satz (466, 20–468, 13) [1069] werden wir also als 5. Lemma zu zählen haben. Als 6. Lemma (468, 14–472, 4) kommt nun der Beweis für einen Satz, der von Hypsikles als Definition ausgesprochen worden war (470, 27. 472, 20, vgl. oben § 13 g. E.) und dessen diophantische Fassung wir in freierer Übersetzung wiedergeben: ,wenn eine mit 1 beginnende [arithmetische] Reihe von m Zahlen mit einer beliebigen Differenz d vorliegt, so ist die Summe der Reihe eine Vieleckzahl, und zwar hat dieselbe d + 2 Ecken und ihre Seite ist = m‘ (vgl. Wertheim Arithmetik des D. 322f., oben § 14).
Nun zeigt der überlieferte Text eine Abweichung von der vorher angekündigten Anordnung. Der Satz über die Umwandlung der Vieleckzahlen in Quadrate (472, 16–19, vgl. ebd. 5–15 und oben § 15) folgt unmittelbar auf das 6. Lemma, und wir werden ihn daher als 1. Vielecksatz des D. zählen; dagegen kommen die Sätze über die Ableitung einer Vieleckzahl aus einer gegebenen Seite oder der Seite aus der Vieleckzahl erst hinterher (472, 21 – 476, 3), und zwar jeder Satz erst in allgemeiner Fassung mit dem Nachweise, dass, wenn die eine Grösse gegeben, auch die andere gegeben ist (2. und 3. Vielecksatz des D.); dann in einer der Fassungskraft des Lernenden mehr angepassten Form (διδασκαλικώτερον δὲ ὑποδείξομεν u. s. w.).
Genau genommen haben wir es aber bei diesen zwei Sätzen mit 3 Grössen zu thun, von denen je eine von zwei anderen abhängig ist. Es kann erstens aufgegeben werden eine m-eckzahl mit der Seite m zu bestimmen, z. B. die 13-eckzahl mit der Seite 3; dann finden wir nach dem 2. Satze des D., dass die gesuchte Vieleckzahl = 36 ist. Zweitens kann eine Zahl P als n-eckzahl, z. B. 36 als 13-eckzahl, gegeben sein, dann finden wir nach dem 3. Satze des D., dass ihre Seite = 3 ist. Oder es kann drittens eine Zahl P und ihre Seite m, z. B. 36 als dritte Vieleckzahl (vgl. § 14) gegeben sein, dann ist nach dem § 15 a. E. gezeigten Verfahren auszurechnen, dass 36 eine 13-eckzahl ist. Nun hat der ebenerwähnte 1. Vielecksatz des D. über die Umwandlung der Vieleckzahlen in Quadrate zu folgen, den dieser ja nach der anfänglichen Disposition ganz an das Ende stellen wollte, und daran knüpft sich ganz von selbst die Frage, wie vielfach eine beliebige Zahl P, welche jedenfalls zweite P-eckzahl ist (§ 14), ausserdem als Vieleckzahl bestimmt werden kann, so dass dann sowohl die Seite als die Anzahl der Ecken zu suchen sind. Also bildet, wie schon bemerkt wurde, das nur teilweise erhaltene Problem des D. über die Vieleckzahlen (§ 14 a. E.) die Spitze, auf welche alle vorher erwiesenen Sätze hinzielen.
17. An dies eine Problem liess sich leicht eine kaum übersehbare Zahl anderer Probleme knüpfen. Eine Zahl P ist gegeben; sie wird nach den früher (§ 15) gegebenen Weisungen, ausser als zweite P-Eckzahl, angesprochen auch als n-Eckzahl. Als solche wird sie auf so viele Arten sich ergeben, als 8 P (n-2) + (n-4)² eine Quadratzahl wird. Bezeichnen wir nun jede hiernach gebildete Zahl als ein zu P correlates Quadrat und den Summanden (n-4)² als das ergänzende Quadrat, so ist der Weg gezeigt, wie analog zu so vielen Problemen der ersten sechs [1070] Bücher der Arithmetik neue Probleme gebildet werden können, in denen eine zu suchende Zahl P abhängig gemacht wird von einem oder mehreren ebenfalls zu suchenden correlaten Quadraten, welche entweder zu P oder zu den ergänzenden Quadraten oder zu einander in gewissen gegebenen Beziehungen stehen sollen.
Ausserdem können die ergänzenden Sätze, welche Bachet im Anhange zu seiner Ausgabe des Fragmentes περὶ πολυγώνων ἀριθμῶν 27ff. (vgl. Wertheim 315f.) und Fermat (Oeuvres ... publiées par Tannery et Henry I 341f., vgl. Cantor² II 775f.) hinzugefügt haben, dazu dienen, eine annähernde Vorstellung von der Schwierigkeit der Aufgaben zu erwecken, die wahrscheinlich im siebenten und den folgenden Büchern von D. aufgestellt worden sind. Ja noch darüber hinaus bis zu der kühnen Combination einer Dreieckzahl mit einer Quadratzahl, die im Rinderproblem des Archimedes vorliegt (s. d. § 18. Art. Arithmetica Bd. II S. 1110), erstreckt sich ein weites Gebiet, das dem D. gewiss nicht unbekannt geblieben und von ihm als Fundgrube für die verschiedensten Aufgaben benutzt worden ist (vgl. Tannery Dioph. op. II p. XIXf.).
Ob ausser den Vieleckszahlen, die nach griechischer Auffassung zu den ἐπίπεδοι ἀριθμοί gehören, auch andere figurierte Zahlen, wie die Prismenzahlen, vielleicht auch die Tetraedralzahlen von D. zur Erfindung von Aufgaben herangezogen worden sind, wissen wir nicht; doch möge es nicht unerwähnt bleiben, dass Fermat I 341 für eine Zahl von der Form ,m mal mte n-eckzahl‘ (§ 14) die Bezeichnung columna wählt. Damit hat er offenbar etwas Ähnliches wie die στηλίς des Iamblichos (in Nicom. arithm. 95, 9 Pistelli) und Domninos (s. d. g. E.) gemeint. Für jede Reihe von Vieleckzahlen ist nach Fermat die erste Säule = 1. Die zweite Säule erhält man, indem man das zweite und dritte Glied der arithmetischen Reihe, aus welcher die betrachteten Vieleckzahlen entstehen, addiert und von der Summe das Product aus der ersten Dreieckzahl mit der um 4 verminderten Anzahl der Ecken subtrahiert. Addiert man die drei folgenden Glieder der arithmetischen Reihe (das 4, 5. und 6.) und vermindert die Summe um das Product aus der zweiten Dreieckzahl mit der um 4 verminderten Anzahl der Ecken, so erhält man die dritte Säule, u. s. w. ins Unendliche (Wertheim Ztschr. f. Math. u. Phys. 1898, 41f.). So liefert z. B. die arithmetische Reihe
- 1, 8, 15, 22, 29, 36, 43, 50, 57, 64 ... die Reihe der Neuneckzahlen
- 1, 9, 24, 46, 75, 111 ..., und da die Reihe der Dreieckzahlen
- 1, 3, 6, 10, 15, 21 ...
ist, so sind die Säulen dieser Zahlen
- 8 + 15 –1.5 = 18 = zweite Neuneckzahl mal 2,
- 22 + 29 + 36 – 3.5 = 72 = dritte Neuneckzahl mal 3,
- 43 + 50 + 57 + 64 –6.5 = 184 = vierte Neuneckzahl mal 4 u. s. w.
Wenn D. auch auf solche Zahlen eingegangen ist, so hat er sie wahrscheinlich in ihren Beziehungen zu den Säulenzahlen über den Quadraten, d. i. zu den Cubikzahlen, betrachtet, und Aufgaben erfunden, die [1071] auf gewissen gegebenen Beziehungen zwischen Säulen- und Cubikzahlen beruhten.
18. Im V. Buche der Arithmetik (316, 6. 320, 5. 358, 4) verweist D. mit den Worten ἔχομεν ἐν τοῖς πορίσμασιν auf drei verschiedene Theoreme, mit deren Hülfe eine vorliegende Aufgabe zu lösen ist. Wie Tannery (D. op. I 317. 321. 359. II p. XIX) vermutet, sollen sie ursprünglich als Corollarien zu den Problemen Arithm. III 10. 15. IV 1. 2 beigefügt, später aber von dem Schreiber, der die uns überlieferte Redaction der Arithmetik herstellte, weggelassen worden sein. Freilich ist es dann schwer erklärlich, warum gerade diese drei Sätze weggeblieben wären, während doch an anderen Stellen eine ziemliche Anzahl von ausserordentlichen Zusätzen, teils unter der Aufschrift πόρισμα (70, 25–72, 5. 76. 11–24), teils als λῆμμα εἰς τὸ ἑξῆς (284f. 322ff. 328f. 412f. 428) getreulich erhalten wurden. Wenn wir nun vergleichen, dass Euklid drei πορισμάτων βιβλία als ein selbständiges und, wie die Auszüge bei Pappos συναγ. VII 648ff. zeigen, umfängliches Werk verfasst und dass Bachet seiner Ausgabe der Arithmetik auf 32 Folioseiten drei Bücher ,in Diophantum porismatum‘ vorausgeschickt hat, so spricht eine gewisse Wahrscheinlichkeit dafür, dass auch D. durch die Schwierigkeit seiner Aufgaben darauf geführt worden ist, den zu den Lösungen erforderlichen Porismen ihren Platz in einer besonderen Schrift anzuweisen (ausgeschlossen aber bleibt es, dass er, wie Nesselmann 440 u. a. meinen, ein oder mehrere Bücher seiner Arithmetik ausschliesslich mit Porismen besetzt habe).
Das erste von D. angeführte Porisma ist nach der hsl. Überlieferung nicht ganz correct gefasst. Diese lautet dahin, dass, wenn sowohl jede von zwei Zahlen, als auch ihr Product, bei Addition einer gegebenen Zahl ein Quadrat wird, diese Zahlen von zwei unmittelbar aufeinanderfolgenden Quadratzahlen herrühren (Wertheim Arithm. des D. 195); allein der ausgesprochene Satz findet zwar statt, wenn m und n auf einander folgende Zahlen sind; er kann aber auch stattfinden, ohne dass diese Bedingung erfüllt werde. Die Überlieferung bietet uns also den Fall einer falschen Umkehrung. Vgl. Nesselmann 440ff. Cantor I² 451f. D. selbst wird wohl noch eine Distinction beigefügt haben, nach welcher der Satz auch in seiner Umkehrung angewendet werden konnte.
Die allgemeine Formel des dritten von D. citierten Porisma giebt nach Bachets Vorgange Tannery I 359, 2.
Ähnlich wie die πορίσματα sollen nach Tannery II 72 Anm. 2 auch die oben § 11 erwähnten μοριαστικά ursprünglich als Scholien zu Arithm. I defin. 3 und zu andern Stellen beigeschrieben worden sein. Doch ist es nicht wahrscheinlich, dass D. die Lehre von den Brüchen, die er durch eine Definition der Reihe der Einheitsteile (§ 11) eingeleitet hat und die nach der Anlage einiger seiner Probleme bis zu sehr schwierigen Ausrechnungen fortgeführt werden musste, nur nebenbei berührt habe; auch würden solche Beischriften als σχόλια, nicht unter dem besonderen Titel μοριαστικά citiert worden sein.
19. Ein ὑπόμνημα εἰς Διόφαντον, d. i. eine erläuternde Schrift zur Arithmetik des D., ist nach Suidas (vgl. den berichtigten Text bei Tannery [1072] D. op. II 36) von Hypatia, der gelehrten Tochter Theons von Alexandreia, gegen Ende des 4. Jhdts. verfasst worden.
Der Rest einer anderen Erläuterungsschrift ist von Tannery (ehd. 78ff) in einem cod. Venet. Nanianus aufgefunden worden. Es ist eine von Georgios Pachymeres (geb. 1242, gest. um 1310) nach der weitschichtigen Art mittelalterlicher Erklärer abgefasste Paraphrase, von welcher die Abschnitte κε’ bis μδ’ bezeichnet und erhalten sind. Die zu Anfang fehlenden Capitel mögen allgemeine Erörterungen und dann Einleitungen zu den beiden ersten Absätzen des I. Buches der Arithmetik (I 2, 3–13 Tann.) enthalten haben; mit Cap. 25 beginnen die Bemerkungen zu den bei D. nächstfolgenden Worten (2, 14–16) u. s. w. bis zum elften Problem des I. Buches.
Unter dem Titel σχόλια hat Maximus Planudes, ein Zeitgenosse des Pachymeres, sachverständige Erläuterungen zum I. und II. Buche der Arithmetik geschrieben, die von Tannery aus einem cod. Marcianus herausgegeben worden sind (D. op II 125ff., vgl. proleg. XIVf.). Angefügt ist (ebd. 256ff.) eine Sammlung kürzerer Scholien, die vom Herausgeber als scholia vetera bezeichnet werden (vgl. Hultsch Berliner Philol. Wochenschrift 1896, 615).
Die von Metrodoros gesammelten arithmetischen Epigramme der Anthologie reichen zwar bei weitem nicht an den höhern Standpunkt, den D. in seiner Arithmetik einnimmt, heran, sind aber doch von grosser Wichtigkeit für die Erkenntnis der diophantischen Methode (vgl. § 7f. Loria Modena accad. di scienze XII 2, Ser. 2, 375ff.). Mit Recht hat sie daher Tannery von neuem nach der im cod. Paris, suppl. Gr. 384 überlieferten Redaction herausgegeben und dazu eine umfängliche Sammlung von Scholien veröffentlicht, die, wie er vermutet, vielleicht auf Metrodoros selbst zurückzuführen ist (D. op. II 43ff., vgl. proleg. Xff.). Auch auf den früher erwähnten Brief des Michael Psellos (D. op. II 37ff.), der teils auf D. und Anatolios sich bezieht, teils auf heronischer Tradition beruht, ist hier nochmals zu verweisen.
Wie die Namen des Euklid, Archimedes und Heron, deren jeder als ein Koryphäe in den von ihm vertretenen Gebieten der Mathematik gegolten hat, so ist auch des D. Name dazu gemissbraucht worden, die Compilationen weit späterer Autoren dem bücherkaufenden Publicum zu empfehlen. Unter dem Titel ,D. pseudepigraphus‘ hat Tannery drei Fragmente veröffentlicht (D. op. II 3ff., vgl. proleg. IIIff.), deren erstes zwar keineswegs, wie die Überschrift lautet, ἐκ τῆς ἀριθμητικῆς Διοφάντου herstammt, aber wegen einiger Notizen über die Ἰνδικὴ μέθοδος, d. i. über die uns geläufige, durch die Araber bekannt gewordene, aber aus Indien stammende Zahlenbezeichnung beachtlich ist. Auch das zweite Fragment, die μέθοδοι εὔχρηστοι πρὸς τοὺς ἀπὸ μορίων πολλαπλασιασμοὺς κατὰ τὸν τῆς ἀστρονομίας κανόνα, die in einigen Hss. dem D. zugeschrieben werden (vgl. Tannery Proleg. IVf. Hultsch Art. Arithmetica o. Bd. II S. 1076f.), sowie die angeblichen Διοφάντου ἐπιπεδομετρικά, die in byzantinischer Zeit aus jüngeren Bearbeitungen der γεωμετρούμενα und στερεομετρούμενα Herons compiliert [1073] worden sind, haben mit D. nichts zu thun. Vgl. über diese drei Fragmente auch Hultsch Berlin. Phil. Wochenschr. 1896,61Sf.