Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 23.

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§. 23. Beispiel: Die Green'sche Function $U\!$ für das Innere eines rechtwinkligen Parallelepipedon.

 In §. 21 ist allgemein gezeigt worden, wie man mit Hülfe des Satzes von Green die Potentialfunction $V'\!$ für jeden Punkt $(x',\,y',\,z')$ im Innern eines Raumes $T\!$ bestimmt, wenn ihr Werth überall in der Oberfläche gegeben und die Summe ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$ im Innern bekannt ist.

 Die Green’sche Hülfsfunction $U\!$ soll hier für einen besonderen Fall hergestellt werden. Der Raum $T\!$ sei ein rechtwinkliges Parallelepipedon. Wir legen die Coordinaten so, dass der Anfangspunkt in den Mittelpunkt des Parallelepipedon fällt, dass die Begrenzungs-Ebenen zu zweien je einer Coordinaten-Ebene parallel laufen und dass sie auf den Axen resp. die Strecken $\pm \,{\frac {a}{2}},\,\pm \,{\frac {b}{2}},\,\pm \,{\frac {c}{2}}$ abschneiden.

 Nach der Methode von Green' ist es erforderlich, eine Function $U\!$ herzustellen, welche

 1) in der Oberfläche überall den Werth Null hat;

 2) im Punkte $(x',\,y',\,z')$ unendlich wird wie der reciproke Werth der Entfernung von diesem Punkte, übrigens aber im Innern des Parallelepipedon endlich und stetig variabel ist;

 3) im Innern des Parallelepipedon der partiellen Differentialgleichung Genüge leistet:

${\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}=0.$

 Wir legen drei Schaaren von Ebenen, rechtwinklig resp. gegen die Axen der $x\!$, der $y\!$, der $z\!$. Je zwei benachbarte Ebenen derselben Schaar sollen in constantem Abstande von einander sein und zwar in dem Abstande $a\!$ für die erste, $b\!$ für die zweite, $c\!$ für die dritte Schaar. Die beiden Ebenen jeder Schaar, welche dem Anfangspunkte der Coordinaten zunächst liegen, sollen je eine Begrenzungsfläche des gegebenen Parallelepipedon in sich enthalten. Auf diese Weise wird der unendliche Raum in lauter congruente Parallelepipeda zerlegt. Eins von ihnen ist das gegebene Parallelepipedon selbst.

 Wir gehen nun darauf aus, die Function $U\!$ für jeden Punkt des unendlichen Raumes herzustellen, so dass sie der dritten Bedingung überall genügt, und dass sie entgegengesetzte Werthe besitzt in je zwei Punkten, die zu irgend einer der gelegten Ebenen symmetrisch liegen. Durch diese Bestimmung wird erreicht, dass die erste Bedingung erfüllt wird. Soll dann auch noch der zweiten Genüge geschehen, so muss die Function unendlich werden in allen Punkten, deren Coordinaten von der Form sind

$ka+(-1)^{k}x',\quad mb+(-1)^{m}y',\quad nc+(-1)^{n}z',$

und zwar positiv oder negativ unendlich, je nachdem $k+m+n\!$ eine gerade oder eine ungerade Zahl ist. Für $k\!$ sind alle ganzen Zahlen von $-\infty$ bis $+\infty$ zu setzen, ebenso für $m\!$ und für $n\!$. Man erhält alle Unstetigkeitspunkte der Function $U\!$, wenn man jeden Werth von $k\!$ der Reihe nach mit allen Werthen von $m\!$ zusammenstellt und zu jeder solchen Zusammenstellung der Reihe nach alle Werthe von $n\!$ hinzusetzt. Hiernach erhält man als Ausdruck für $U\!$ eine dreifach unendliche Reihe, nemlich

(1)	$U=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\,\sum _{m=-\infty }^{\infty }\,\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{k+m+n}}{\sqrt {N}}},\,$

wobei zur Abkürzung $N\!$ geschrieben ist für die Summe der drei Quadrate

$\lbrace ka+(-1)^{k}x'-x\rbrace ^{2}+\lbrace mb+(-1)^{m}y'-y\rbrace ^{2}+\lbrace nc+(-1)^{n}z'-z\rbrace ^{2}.\,$

Von diesem Ausdrucke für $U\!$ ist leicht nachzuweisen, dass er den aufgestellten Bedingungen Genüge leistet. Er befriedigt die Gleichung von Laplace, weil jeder Summand es thut. Die Nenner der einzelnen Summanden drücken den Abstand des Punktes $(x,\,y,\,z)$ von je einem der Unstetigkeitspunkte aus. Es wird also jedesmal ein Nenner in vorgeschriebener Weise zu Null, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ in einen Unstetigkeitspunkt hineinrückt. Endlich nimmt die Function entgegengesetzte Werthe an für irgend welche zwei Punkte, die symmetrisch liegen zu irgend einer Ebene aus den drei Schaaren. Betrachten wir z. B. zwei Punkte $(x_{1},\,y_{1},\,z_{1})$ und $(x_{2},\,y_{2},\,z_{2})$, die zu einer Ebene der ersten Schaar symmetrisch liegen. Dies ist der Fall, wenn die Coordinaten den Gleichungen genügen

$x_{1}=h\,a+(-1)^{h}\xi ,\quad y_{1}=y,\quad z_{1}=z,\,$ $x_{2}=(h+1)a+(-1)^{h+1}\xi ,\quad y_{2}=y,\quad z_{2}=z,\,$

worin $h\,$ irgend eine ganze Zahl ist. Die Punkte liegen symmetrisch zu der Ebene.

(2)	$x=\left(h+{\frac {1}{2}}\right)a.\,$

Der Ausdruck unter dem dreifachen Summenzeichen unterscheidet sich für die beiden Punkte nur in dem ersten Quadrat unter dem Wurzelzeichen des Nenners. Dasselbe lautet für den ersten Punkt

(3)	$\lbrace (k-h)a+(-1)^{k}\,x'-(-1)^{h}\xi \rbrace ^{2}\,$

und für den zweiten Punkt

(4)	$\lbrace (k-h-1)a+(-1)^{k}\,x'-(-1)^{h+1}\xi \rbrace ^{2}.\,$

Statt des Ausdruckes (3) kann man auch schreiben

$\lbrace (-1)^{h}(k-h)a+(-1)^{k-h}x'-\xi \rbrace ^{2}\,$

oder, wenn man $(-1)^{h}(k-h)=\lambda \,$ setzt:

(5)	$\lbrace \lambda a+(-1)^{\lambda }x'-\xi \rbrace ^{2}.\,$

Da $k\,$ allen ganzen Zahlen von $-\infty$ bis $+\infty$ der Reihe nach gleichgesetzt werden soll, so gilt dasselbe von $\lambda \,$. Für den ersten Punkt erhalten wir also

(6)	$U_{1}=\sum _{-\infty }^{\infty }\sum _{-\infty }^{\infty }\sum _{-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{h}(-1)^{\lambda +m+n}}{\sqrt {N_{1}}}},\,$

wobei zur Abkürzung $N_{1}\,$ geschrieben ist für die Summe der drei Quadrate

$\lbrace \lambda a+(-1)^{\lambda }x'-\xi \rbrace ^{2}+\lbrace mb+(-1)^{m}y'-y\rbrace ^{2}+\lbrace nc+(-1)^{n}z'-z\rbrace ^{2}.\,$

Statt des Ausdruckes (4) kann man schreiben

$\lbrace (-1)^{h+1}(k-h-1)a+(-1)^{k-h-1}x'-\xi \rbrace ^{2}\,$

oder, wenn man jetzt $(-1)^{h+1}(k-h-1)=\lambda \,$ setzt:

(7)	$\lbrace \lambda \,a+(-1)^{\lambda }x'-\xi \rbrace ^{2}.\,$

Auch hier hat man bei der Summirung die Grösse $\lambda \,$ allen ganzen Zahlen von $-\infty$ bis $+\infty$ der Reihe nach gleichzusetzen. Folglich ergibt sich für den zweiten Punkt

(8)	$U_{2}=\sum _{-\infty }^{\infty }\sum _{-\infty }^{\infty }\sum _{-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{h+1}(-1)^{\lambda +m+n}}{\sqrt {N_{1}}}},\,$

und es hat hier $N_{1}\,$ dieselbe Bedeutung wie vorher in der Gleichung (6). Aus (6) und (8) erkennt man ohne weiteres, dass

(9)	$U_{2}=-U_{1}\,$

ist. Nimmt man nun speciell $\xi =(-1)^{h}{\frac {a}{2}}$, so fallen beide Punkte zusammen in einen und denselben Punkt der Ebene (2). Da die Function $U\,$ einwerthig ist, so muss in diesem Falle

$U_{2}=U_{1}\,$

sein, und dies gibt mit Rücksicht auf (9):

(10)	$U_{1}=U_{2}=0.\,$

 Auf demselben Wege ist der Beweis zu führen, wenn die beiden Punkte symmetrisch liegen zu einer Ebene der zweiten oder der dritten Schaar. Demnach erfüllt der Ausdruck (1) auch die erste der aufgestellten Bedingungen.

 Dies kann man auch aus der mechanischen Bedeutung der durch (1) ausgedrückten Function $U\,$ erkennen. Danach ist nemlich $U\,$ die Potentialfunction für den Fall, dass in jedem Unstetigkeitspunkte eine Masseneinheit concentrirt ist, und zwar die positive oder die negative, je nachdem $k+m+n\,$ gerade oder ungerade ist. Da eine positive Masse den Punkt $(x,\,y,\,z)$ anzieht, so ist die Bedeutung der negativen Masse leicht zu erkennen. Sie stösst den Punkt ab. Nehmen wir nun irgend eine Ebene aus den drei Schaaren, so findet sich zu jedem anziehenden Massenpunkte ein abstossender, so dass beide in Beziehung auf die Ebene symmetrisch liegen. Von einem Punkte $(x,\,y,\,z)$ in dieser Ebene haben demnach beide Massenpunkte gleiche Entfernung. Ihre Massen sind entgegengesetzt gleich. Sie liefern also zu der Potentialfunction den Beitrag Null. Dies gilt aber von allen mit Masse erfüllten Punkten, und daher ist der Werth der Potentialfunction für jeden Punkt $(x,\,y,\,z)$ in der Ebene überhaupt gleich Null.

 Wir können die Function $U\,$ auch in Form eines bestimmten Integrals ausdrücken. Es ist nemlich

$\int \limits _{0}^{\infty }e^{-s}\,{\frac {ds}{\sqrt {s}}}={\sqrt {\pi }}.$

Setzt man $s=Nt\,$, so ergibt sich

${\frac {1}{\sqrt {t}}}\int \limits _{0}^{\infty }e^{-Nt}\,{\frac {dt}{\sqrt {t}}}={\frac {1}{\sqrt {N}}}.$

 Wir erhalten danach für $U\,$ den neuen Ausdruck:

(11)	$U=\sum _{-\infty }^{\infty }\sum _{-\infty }^{\infty }\sum _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{\infty }(-1)^{k+m+n}\,e^{-Nt}\,{\frac {dt}{\sqrt {t}}}.$

Hier ist nun freilich zuerst die Integration und nachher sind die drei Summirungen auszuführen. Man darf aber auch zuerst die drei Summirungen vornehmen und dann integriren, also:

(12)	$U={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{\infty }\,{\frac {dt}{\sqrt {t}}}\left(\sum _{-\infty }^{\infty }\sum _{-\infty }^{\infty }\sum _{-\infty }^{\infty }(-1)^{k+m+n}\,e^{-Nt}\right).$

Die dreifach unendliche Reihe in (12) zerfällt ohne weiteres in das Product der drei einfachen Reihen:

$\sum _{-\infty }^{\infty }(-1)^{k}\,e^{-t[ka+(-1)^{k}x'-x]^{2}},$ $\sum _{-\infty }^{\infty }(-1)^{m}\,e^{-t[mb+(-1)^{m}y'-y]^{2}},$ $\sum _{-\infty }^{\infty }(-1)^{n}\,e^{-t[nc+(-1)^{n}z'-z]^{2}}.$

 Jede dieser Reihen lässt sich leicht durch die Functionen $\vartheta$ ausdrücken, welche Jacobi in die Theorie der elliptischen Functionen eingeführt hat.

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