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§. 46.
Fortsetzung: Lösung der Aufgabe.
Wir wollen mit die constanten Werthe bezeichnen,
welche nach eingetretenem Gleichgewichtszustande die
Potentialfunction im Innern und auf der Oberfläche der einzelnen Leiter besitzt. Die Grössen stehen mit den
Grössen in einem Zusammenhange, der jetzt näher
untersucht werden soll. Zu dem Ende ist es zweckmässig, die
Potentialfunction in folgender Weise in einzelne Bestandtheile zu zerlegen.
Es sei eine Function von die im ganzen unendlichen
Raume der Gleichung von Laplace Genüge leistet:
(1)
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die in der Oberfläche und im Innern des ten Leiters den Werth 1,
in der Oberfläche und im Innern aller übrigen Leiter den Werth 0
besitzt. Wir nehmen der Reihe nach und
stellen so die Functionen her. Dann ist die Differenz
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eine Function, die in der Oberfläche und im Innern sämmtlicher Leiter den Werth Null hat, die überall ausserhalb der Isolatoren
|[185]der Gleichung von Laplace genügt und für einen Punkt im
Innern eines Isolators in derselben Weise wie die Potentialfunction
die Dichtigkeit der Elektricität kundgibt. Wir haben dann also
(2)
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und hieraus
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Nehmen wir nun das Integral
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ausgedehnt über die Oberfläche des ten Leiters, und setzen zur
Abkürzung
(3)
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(4)
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so gehen die Gleichungen (9) des vorigen Paragraphen in folgende über:
(5)
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Die physikalische Bedeutung dieser Gleichungen ist leicht zu erkennen. Wird ein Leiter durch einen unendlich dünnen Draht mit der Erde in leitende Verbindung gesetzt, so ist in seiner
Oberfläche und in seinem Innern die Potentialfunction gleich Null,
weil sie in der Erde (in unendlicher Entfernung) den Werth Null
hat. Nehmen wir also den Fall, dass in den Isolatoren keine
Elektricität vorhanden und dass alle Leiter, mit Ausnahme des
ten, mit der Erde in leitende Verbindung gesetzt sind, so reducirt
sich die Potentialfunction auf
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und die auf den einzelnen Leitern vorhandenen Elektricitätsmengen
sind resp.
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Ebenso findet sich, dass
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|[186]die Elektricitätsmengen auf den einzelnen Leitern sein würden,
wenn alle ableitend berührt sind und nur die Ladungen der Isolatoren
wirken.
Es lässt sich beweisen, dass ist. Nehmen wir nemlich das Integral
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ausgedehnt über sämmtliche Leiter-Oberflächen, so ist der Werth desselben nach dem Satze von Green gleich Null. Das Integral
reducirt sich aber wegen der Eigenschaften der Functionen auf die Differenz
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wobei das erste Integral nur über die Oberfläche des ten, das
zweite nur über die Oberfläche des ten Leiters zu erstrecken ist. Demnach haben wir
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oder
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d. h. nach Gleichung (3):
(6)
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Lösen wir die Gleichungen (5) in Beziehung auf als Unbekannte auf, so ergibt sich
(7)
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Die Coefficienten genügen in Folge der Gleichung (6) den
Bedingungen, dass
(8)
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