Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 59.

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§. 59. Die von der bewegten Elektricität geleistete Arbeit.

 Wir wollen noch untersuchen, welche Bedeutung das Integral (1) des vorigen Paragraphen in dem Falle hat, dass sein Werth ein Minimum ist. Dasselbe lautet:

(1)	$\int k\left\lbrace \left({\frac {\partial V}{\partial x}}+\Xi \right)^{2}+\left({\frac {\partial V}{\partial y}}+\mathrm {H} \right)^{2}+\left({\frac {\partial V}{\partial z}}+\mathrm {Z} \right)^{2}\right\rbrace dS.$

Die Function $V\!$, welche den Minimalwerth zu Stande bringt, ist bewiesenermaassen die Potentialfunction der freien Elektricität; folglich gelten die Gleichungen (§. 57):

(2)	$w\,i_{1}={\frac {\partial V}{\partial x}}+\Xi ,$ $w\,i_{2}={\frac {\partial V}{\partial y}}+\mathrm {H} ,$ $w\,i_{3}={\frac {\partial V}{\partial z}}+\mathrm {Z} ,$

mit deren Hülfe der Ausdruck (1) sich schreiben lässt:

(3)	$\int \left\lbrace i_{1}\left({\frac {\partial V}{\partial x}}+\Xi \right)+i_{2}\left({\frac {\partial V}{\partial y}}+\mathrm {H} \right)+i_{3}\left({\frac {\partial V}{\partial z}}+\mathrm {Z} \right)\right\rbrace dS$

oder auch:

(4)	$\int w(i_{1}^{2}+i_{2}^{2}+i_{3}^{2})dS$

oder endlich:

(5)	$\int dS\cdot w\,i^{2}.$

 Die mechanische Bedeutung dieser Ausdrücke ist leicht zu erkennen. Wegen der Gleichungen (5) des §. 54 kann man statt (3) auch schreiben:

(6)

$\sum \varepsilon \left\lbrace \left({\frac {\partial V}{\partial x}}+\Xi \right){\frac {\partial x}{\partial t}}+\left({\frac {\partial V}{\partial y}}+\mathrm {H} \right){\frac {\partial y}{\partial t}}+\left({\frac {\partial V}{\partial z}}+\mathrm {Z} \right){\frac {\partial z}{\partial t}}\right\rbrace .$

Die Summirung bezieht sich auf alle elektrischen Theilchen des ganzen Leiters. Bezeichnet man mit $A\!$ die zur Zeit $t\!$ von der bewegten Elektricität geleistete Arbeit, so ist der Ausdruck (6) nichts anderes als ${\frac {dA}{dt}}$. Wir haben also:

(7)	$\int dS\cdot w\;i^{2}={\frac {dA}{dt}}.\,$

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