Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 62.

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§. 62. Fortsetzung: Verzweigte Drähte.

 Ist das Leitersystem aus beliebigen drahtförmigen Zweigen zusammengesetzt, so wenden wir die Gleichung (6) des vorigen Paragraphen auf jeden Theil zwischen zwei Knotenpunkten an. Die Knotenpunkte seien numerirt. Der Werth, welchen die Function $V\,$ in irgend einem derselben hat, werde dadurch bezeichnet,

dass die Nummer des Punktes bei $V\!$ als Index angehängt wird. Bei $J,\,E$ und $W\!$ sollen zwei Indices angebracht werden, die resp.

Fig. 34.

den Anfangs- und den Endpunkt des Zweiges angeben, welchem die Werthe von $J,\,E$ und $W\!$ angehören. Dann ist allgemein

$J_{h,k}=-J_{k,h},\,$ $E_{h,k}=-E_{k,h},\,$ $W_{h,k}=W_{k,h}.\,$

Die Anzahl der unverzweigten Bestandtheile des Leitersystems sei $m\!$, die Anzahl der Knotenpunkte $n\!$. Dann haben wir zunächst $m\!$ Gleichungen von der Form:

(1)	$J_{h,k}\,W_{h,k}=V_{k}-V_{h}+E_{h,k}.$

Ausserdem ist noch auszudrücken, dass in keinem Knotenpunkt eine Ansammlung von Elektricität stattfindet. Es muss also zu jeder Zeit die im nächsten Zeitelement $dt\!$ in den Knotenpunkt eintretende Elektricitätsmenge ebenso gross sein, wie die während desselben Zeitelementes aus ihm austretende Elektricitätsmenge. Oder, mit anderen Worten, die algebraische Summe der Stromintensitäten in allen von dem Knotenpunkte ausgehenden Zweigen, überall in der Richtung von dem Knotenpunkte weg, muss gleich Null sein. Gehen z. B. von dem Knotenpunkte 1 nur die Zweige 1, 2; 1, 3; 1, 4 aus und keine anderen, so hat man:

(2)	$J_{1,2}+J_{1,3}+J_{1,4}=0.\,$

Von dieser Form sind $n\!$ Gleichungen vorhanden. Eine von ihnen ist aber eine identische Folge der $n-1\!$ übrigen. Denn vermöge der Relation $J_{h,k}=-J_{k,h}\!$ erhält man identisch $0=0\!$, wenn man die sämmtlichen Gleichungen (2) durch Addition zusammenfasst.

 Die Werthe von $E\!$ und $W\!$ sind für jeden Zweig des Leitersystems bekannt. Dagegen sind $V\!$ und $J\!$ unbekannt. Die Anzahl dieser Unbekannten ist $m+n\!$. Da nun die Anzahl der von einander unabhängigen lineären Gleichungen (1) und (2) gleich $m+n-1\!$ ist, so kann man aus ihnen jene Unbekannten eindeutig berechnen, wenn eine von ihnen, z. B. $V_{1}\!$, bekannt ist. In der That kann in der Function $V\!$ eine additive Constante von willkürlichem Werthe vorkommen, ohne dass die Differenzen in (1) sich ändern.

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