Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 90.

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§. 90. Fortsetzung: Zwei lineäre constante Ströme.

 Wir kehren zu dem speciellen Falle von zwei constanten geschlossenen lineären Strömen zurück. Der erste Leiter (Fig. 48) ist ein in sich zurücklaufender Draht vom Querschnitt $q\,$. Die im Innern

Fig. 48.

des Drahtes normal gegen alle Querschnitte verlaufende Axe ist eine Curve, deren Länge von einem festen Punkte aus bis zum Punkte $(x,\,y,\,z)$ mit $s\,$ bezeichnet werden möge. Der zweite Leiter ist ebenfalls ein in sich zurücklaufender Draht. Sein Querschnitt werde mit $q'\,$ bezeichnet. Auf der Axe wählen wir einen festen Ausgangspunkt und einen beweglichen Punkt $(x',\,y',\,z')$. Der zwischen beiden liegende Bogen der Axe habe die Länge $s'\,$.

 Die Querschnitte $q\,$ und $q'\,$ sollen im Vergleich zu den Drahtlängen so klein sein, dass in allen Punkten eines und desselben Querschnittes die specifische Stromintensität constant und überall normal gegen den Querschnitt gerichtet ist. Wir bezeichnen dieselbe im Punkte $(x,\,y,\,z)$ des ersten Leiters mit $i\,$, im Punkte $(x',\,y',\,z')$ des zweiten Leiters mit $i'\,$.

 Hiernach sind $x,\,y,\,z,\,q$ und $i\,$ Functionen von $s\,$, und es sind $x',\,y',\,z',\,q'$, und $i'\,$ Functionen von $s'\,$. Für constante lineäre Ströme gilt der §. 61. Es ist also

$q\,i=J,\quad q'\,i'=J',$

und hier sind $J\,$ und $J'\,$ constant.

 Im vorliegenden Falle ist $dS=dq\,ds\,$ und $dS'=dq'\,ds'\,$. Folglich lautet jetzt die Gleichung (8) des vorigen Paragraphen

$P=\iiiint {\frac {1}{r}}dqds\cdot dq'ds'\cdot i\cdot i'\cdot \cos(ii'),$

oder kürzer

(1)	$P=JJ'\iint {\frac {dsds'}{r}}\cos(ii').$

Der Winkel $(ii')\,$ ist derselbe, wie der Winkel, welchen die Bogenelemente $ds\,$ und $ds'\,$ mit einander einschliessen. Folglich haben wir

(2)	$\cos(i\,i')={\frac {\partial x}{\partial s}}{\frac {\partial x'}{\partial s'}}+{\frac {\partial y}{\partial s}}{\frac {\partial y'}{\partial s'}}+{\frac {\partial z}{\partial s}}{\frac {\partial z'}{\partial s'}}.$

Ferner ist zu beachten, dass

$r^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2};\,$

daraus findet sich

(3)

${\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}\,(r^{2})}{\partial s\,\partial s'}}={\frac {\partial \left(r{\frac {\partial r}{\partial s}}\right)}{\partial s'}}=-\left({\frac {\partial x}{\partial s}}\,{\frac {\partial x'}{\partial s'}}+{\frac {\partial y}{\partial s}}\,{\frac {\partial y'}{\partial s'}}+{\frac {\partial z}{\partial s}}\,{\frac {\partial z'}{\partial s'}}\right).$

Gibt man hierauf Acht, so lässt sich statt der Gleichung (1) auch schreiben:

(4)	$P=-JJ'\iint {\frac {ds\,ds'}{r}}\cdot {\frac {\partial \left(r{\frac {\partial r}{\partial s}}\right)}{\partial s'}},$

oder, was auf dasselbe hinauskommt:

(5)	$P=-{\frac {1}{2}}JJ'\iint {\frac {ds\,ds'}{r}}{\frac {\partial ^{2}\,(r^{2})}{\partial s\,\partial s'}}.$

Den Ausdruck (4) kann man transformiren. Die unbestimmte Integration nach Theilen gibt

$\int {\frac {ds'}{r}}{\frac {\partial \left(r{\frac {\partial r}{\partial s}}\right)}{\partial s'}}={\frac {1}{r}}\cdot r{\frac {\partial r}{\partial s}}-\int {\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial s'}}r{\frac {\partial r}{\partial s}}ds'\,$ $={\frac {\partial r}{\partial s}}+\int {\frac {ds'}{r}}{\frac {\partial r}{\partial s}}{\frac {\partial r}{\partial s'}}.$

Setzt man die Grenzen ein, so fällt der vom Integralzeichen freie Theil heraus, da die Integration durch die geschlossene Linie $s'\,$ auszudehnen ist. Folglich erhalten wir

(6)	$P=-J\,J'\iint {\frac {ds\,ds'}{r}}{\frac {\partial r}{\partial s}}{\frac {\partial r}{\partial s'}}.$

Nun ergibt sich aus dem Ausdrucke für $r\,$ durch Differentiation

${\begin{aligned}dr&={\frac {x-x'}{r}}\left({\frac {\partial x}{\partial s}}ds-{\frac {\partial x'}{\partial s'}}ds'\right)\\&+{\frac {y-y'}{r}}\left({\frac {\partial y}{\partial s}}ds-{\frac {\partial y'}{\partial s'}}ds'\right)\\&+{\frac {z-z'}{r}}\left({\frac {\partial z}{\partial s}}ds-{\frac {\partial z'}{\partial s'}}ds'\right).\\\end{aligned}}$

Andererseits ist $dr={\frac {\partial r}{\partial s}}ds+{\frac {\partial r}{\partial s'}}ds'$. Durch Vergleichung finden wir

${\begin{aligned}&{\frac {x-x'}{r}}\cdot {\frac {\partial x}{\partial s}}+{\frac {y-y'}{r}}\cdot {\frac {\partial y}{\partial s}}+{\frac {z-z'}{r}}\cdot {\frac {\partial z}{\partial s}}={\frac {\partial r}{\partial s}},\\&{\frac {x-x'}{r}}\cdot {\frac {\partial x'}{\partial s'}}+{\frac {y-y'}{r}}\cdot {\frac {\partial y'}{\partial s'}}+{\frac {z-z'}{r}}\cdot {\frac {\partial z'}{\partial s'}}=-{\frac {\partial r}{\partial s'}}.\\\end{aligned}}$

Bezeichnet man mit $\theta \,$ und $\theta '\,$ die Winkel, welche die Richtung der von $(x',\,y',\,z')\,$ nach $(x,\,y,\,z)\,$ führenden Linie $r\,$ mit den Richtungen des wachsenden $s\,$ und des wachsenden $s'\,$ einschliesst, so erkennt man leicht, dass die beiden letzten Gleichungen auch so geschrieben werden können:

(7)	$\cos \theta ={\frac {\partial r}{\partial s}},\quad \cos \theta '=-{\frac {\partial r}{\partial s'}}.$

Folglich geht die Gleichung (6) in die neue Form über:

(8)	$P=J\,J'\iint {\frac {ds\,ds'}{r}}\cos \theta \cos \theta '.$

Die Winkel $\theta \,$ und $\theta '\,$ sind in Fig. 48 bezeichnet.

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