Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/107

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.4

die Diskriminante der Fundamentalgleichung und $d$ die Körperdiskriminante bedeutet.

Durch Auflösung der Gleichungen (2) ergibt sich ferner die folgende Tatsache:

Satz 36. Jede ganze Zahl des Körpers $k$ ist gleich einer ganzen rationalen Funktion $(m-1)$-ten Grades der Fundamentalform $\xi$, und zwar sind die Koeffizienten dieser Funktion ganzzahlige Funktionen von $u_{1}$, …, $u_{m}$, dividiert durch die rationale Einheitsform $U$ [Kronecker (16^[1]), Hensel (4^[2])].

§ 12. Die Elemente und die Differente des Körpers. Beweis des Satzes über die Teiler der Körperdiskriminante.

Der Satz 35 gestattet die Zerlegung der Körperdiskriminante $d$ in gewisse ideale Faktoren. Die $m-1$ Ideale

${\begin{aligned}{\mathfrak {e}}'&=\left(\left(\omega _{1}-\omega '_{1}\right),\quad \ \,\ldots ,\,\left(\omega _{m}-\omega '_{m}\right)\right),\\{\mathfrak {e}}''&=\left(\left(\omega _{1}-\omega ''_{1}\right),\quad \ \,\ldots ,\,\left(\omega _{m}-\omega ''_{m}\right)\right),\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \vdots \\{\mathfrak {e}}^{(m-1)}&=\left(\left(\omega _{1}-\omega _{1}^{(m-1)}\right),\ldots ,\,\left(\omega _{m}-\omega _{m}^{(m-1)}\right)\right)\end{aligned}}$

nenne ich die $m-1$ Elemente des Körpers $k$. Dieselben sind Ideale, welche im allgemeinen dem Zahlkörper $k$ nicht angehören; dagegen ist das Produkt ${\mathfrak {d}}={\mathfrak {e'e''}}\,\ldots {\mathfrak {e}}^{(m-1)}$ ein Ideal^[3] des Körpers $k$. Bedenken wir nämlich, daß die Elemente ${\mathfrak {e}}'$, …‚ ${\mathfrak {e}}^{(m-1)}$ bez. die Inhalte der Formen $\xi -\xi '$, …‚ $\xi -\xi ^{(m-1)}$ sind, so erkennen wir nach Satz 13, daß das Ideal ${\mathfrak {d}}$ den Inhalt von der Differente der Fundamentalform, nämlich von

${\frac {\partial F}{\partial \xi }}=(\xi -\xi ')\ldots (\xi -\xi ^{(m-1)})$

bildet, und diese ist eine Form des Körpers $k$. Das Ideal ${\mathfrak {d}}$ nenne ich die Differente^[4] des Körpers. Die Norm derselben ist gleich dem größten Zahlenfaktor der Diskriminante der Fundamentalform, und, da dieser nach Satz 35 gleich $d$ ist, so folgt der Satz:

Satz 37. Die Norm der Differente des Körpers ist gleich der Diskriminante des Körpers.

Aus der Kongruenz

${\frac {\partial F(x)}{\partial x}}\equiv e\Pi ^{e-1}{\frac {\partial \Pi }{\partial x}}\Pi ^{\prime e'}\cdots +e'\Pi ^{e}\Pi ^{\prime e'-1}{\frac {\partial \Pi '}{\partial x}}\cdots +\cdots$,     $(p)$

folgt ferner, daß die Differente des Körpers stets durch ${\mathfrak {p}}^{e-1}$ teilbar ist, und daß sie jedenfalls dann keine höhere Potenz von ${\mathfrak {p}}$ enthält, sobald der Exponent $e$ zu $p$ prim ist. Durch Übergang zur Norm ergibt sich hieraus, daß die

---

1. Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Größen. J. Math. 92 (1882).^{[WS 1]}
2. Untersuchung der Fundamentalgleichung einer Gattung für eine reelle Primzahl als Modul und Bestimmung der Teiler ihrer Diskriminante. J. Math. 113 (1894).^{[WS 2]}
3. Siehe Seite 93 Zeile 3 v. u. ff.
4. Nach Dedekind „das Grundideal“.

Anmerkungen (Wikisource)

1. Kronecker, Leopold: Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Größen, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 92 (1882), S. 1–122 GDZ Göttingen
2. Hensel, Kurt: Untersuchung der Fundamentalgleichung einer Gattung für eine reelle Primzahl als Modul und Bestimmung der Theiler ihrer Discriminante, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 113 (1894), S. 61–83 GDZ Göttingen

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 90. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/107&oldid=- (Version vom 31.7.2018)