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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.6

Um nun die beiden Sätze 44 und 45 zu beweisen, verfahren wir wie folgt. Ist $k=k^{(1)}$ ein reeller Körper, so ist die Form $f_{1}$ eine völlig bestimmte. Ist jedoch $k^{(1)}$ ein imaginärer Körper und $k^{(2)}$ der zu ihm konjugierte, so stehen uns für $f_{1}$ zwei Formen zur Auswahl; wir setzen

$f_{1}={\frac {1}{i{\sqrt {2}}}}\left\{\left(\omega _{1}^{(1)}-\omega _{1}^{(2)}\right)u_{1}+\cdots +\left(\omega _{m}^{(1)}-\omega _{m}^{(2)}\right)u_{m}\right\}$.

Die Reihenfolge, in der wir die übrigen Formen $f_{2}$, …‚ $f_{m}$ annehmen, ist gleichgültig. Der Hilfssatz 8 zeigt die Existenz einer ganzen Zahl $\alpha$, welche den Bedingungen (9) genügt. Andererseits ist

$\prod \limits _{(r)}\left|f_{r}\right|\prod \limits _{s,\,s'}{\frac {f_{s}^{2}+f_{s'}^{2}}{2}}=\left|n(\alpha )\right|$,

wo das erste Produkt über alle Formen $f_{r}$, das zweite über alle Formenpaare $f_{s}$, $f_{s'}$ zu erstrecken ist. Da notwendig $|n(\alpha )|\geqq 1$ ausfällt, so folgt $\left|f_{1}\right|>1$ und daher $\left|{\sqrt {d}}\right|>1$, womit der Satz 44 bewiesen ist.

Zugleich folgt aus den Ungleichungen $\left|f_{1}\right|>1$, $\left|f_{2}\right|<1$, $\left|f_{3}\right|<1$, …, $\left|f_{m}\right|<1$, daß $\alpha$ eine Zahl des Körpers $k=k^{(1)}$ ist, welche sich von allen ihren Konjugierten unterscheidet, d. h. es ist die Differente $\delta (\alpha )\neq 0$. Nach der Bemerkung auf S. 71 unten ist daher $\alpha$ eine den Körper $k$ bestimmende Zahl. Da ferner $d$ eine vorgeschriebene Zahl ist, so gibt es nach Satz 43 nur eine endliche Anzahl von ganzen algebraischen Zahlen $m$-ten Grades, welche nebst ihren Konjugierten den Bedingungen (9) genügen, und daraus folgt unmittelbar die Richtigkeit des Satzes 45.

Der Satz 44 spricht die das Wesen der algebraischen Zahl tief berührende Eigenschaft aus, daß die Diskriminante eines jeden Zahlkörpers mindestens eine Primzahl enthalten muß.

Wenn wir statt des zu Anfang dieses Abschnitts genannten und dieser ganzen Untersuchung zugrunde liegenden Hilfssatzes 6 einen ebenfalls von Minkowski aufgestellten schärferen Satz benutzen, so führt die nämliche Schlußweise auf die Tatsache, daß der absolute Betrag der Diskriminante eines Körpers $m$-ten Grades sicherlich immer die Größe $\textstyle \left({\frac {\pi }{4}}\right)^{2r_{2}}\left({\frac {m^{m}}{m!}}\right)^{2}$ und daher um so mehr die Größe $\textstyle \left({\frac {\pi }{4}}\right)^{2r_{2}}{\frac {\mathrm {e} ^{2m-{\frac {1}{6m}}}}{2\pi m}}$ übertrifft, wo $r_{2}$ die Anzahl derjenigen imaginären Körperpaare bedeutet, welche unter den $m$ konjugierten Körpern $k^{(1)}$, …, $k^{(m)}$ vorhanden sind [Minkowski (1^[1], 2^[2], 3^[3])].

Die letztere Tatsache, in entsprechender Weise verwertet, zeigt, daß auch unter den Körpern aller möglicher Grade nur eine endliche Anzahl vorhanden sein kann, welche die vorgeschriebene Diskriminante $d$ besitzt.

Aus den nämlichen Prinzipien folgt noch eine Tatsache, die für das nächste Kapitel 7 von Wichtigkeit ist [Minkowski (1^[1], 3^[3])]:

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1. Über die positiven quadratischen Formen und über kettenbruchähnliche Algorithmen. J. Math. 107 (1891).^{[WS 1]}
2. Théorèmes arithmétiques. Extrait d’une lettre à M. Hermite. Comptes rendus. 92 (1891).
3. Geometrie der Zahlen. Leipzig 1896.

Anmerkungen (Wikisource)

1. Minkowski, Hermann: Über die positiven quadratischen Formen und über kettenbruchähnliche Algorithmen, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 107 (1891), S. 278–297 GDZ Göttingen

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 101. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/118&oldid=- (Version vom 21.1.2022)