David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie/Kapitel 7.6

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David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie (1932) von David Hilbert 7.6 Die Einheiten des Körpers.

7.7 Die Idealklassen des Körpers. →

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6. Die Einheiten des Körpers.

§ 17. Die Existenz konjugierter Zahlen, deren absolute Beträge gewissen Ungleichungen genügen.

Nachdem in Kapitel 2 die Teilbarkeitsgesetze der Zahlen eines algebraischen Körpers ausführlich behandelt sind, gehen wir dazu über, diejenigen Wahrheiten zu entwickeln, bei deren Ergründung der Größenbegriff eine wesentliche Rolle spielt. Das wichtigste Hilfsmittel bei diesen Untersuchungen bildet der folgende Satz [Minkowski (3^[1])]:

Hilfssatz 6. Sind

${\begin{aligned}f_{1}&=a_{11}u_{1}+\cdots +a_{1m}u_{m},\\&\qquad \qquad \quad \vdots \\f_{m}&=a_{m1}u_{1}+\cdots +a_{mm}u_{m}\end{aligned}}$

$m$ lineare homogene Formen von $u_{1},\ \ldots ,\ u_{m}$ mit beliebigen reellen Koeffizienten $a_{11},\ \ldots ,\ a_{mm}$ und der Determinante $1$, so kann man $u_{1},\ \ldots ,\ u_{m}$ stets als ganze rationale Zahlen, die nicht sämtlich $0$ sind, so bestimmen, daß die Werte jener $m$ Formen $f_{1},\ \ldots ,\ f_{m}$ absolut genommen, sämtlich $\leqq 1$ werden.

Dieser Satz erhält durch eine leichte Umformung die Gestalt:

Hilfssatz 7. Sind $f_{1},\ \ldots ,\ f_{m}\ m$ lineare homogene Formen von $u_{1},\ \ldots ,\ u_{m}$ mit beliebigen reellen Koeffizienten und der positiven Determinante $A$, und bedeuten $\varkappa _{1},\ \dots ,\ \varkappa _{m}$ beliebige positive Konstante, deren Produkt gleich A ist, so kann man $u_{1},\ \ldots ,\ u_{m}$ stets als ganze rationale Zahlen, die nicht sämtlich $0$ sind, so bestimmen, daß die absoluten Werte jener $m$ Formen den Bedingungen

$|f_{1}|\leqq \varkappa _{1},\ \ldots ,\ |f_{m}|\leqq \varkappa _{m}$

genügen.

Es sei bemerkt, daß in diesem Kapitel, abweichend von dem Früheren, der Körper $k$ und die $m-1$ zu $k$ konjugierten Körper bezüglich mit $k=k^{(1)},\ k^{(2)},\ \dots ,\ k^{(m)}$ und dem entsprechend allgemein die in $k^{(s)}$ liegenden, zu $\omega _{1},\ \ldots ,\ \omega _{m}$ konjugierten Basiszahlen mit $\omega _{1}^{(s)},\ \ldots ,\ \omega _{m}^{(s)}$ bezeichnet werden.

Den Hilfssatz 7 verwenden wir zum Beweise der folgenden Tatsache:

Satz 42. Sind $\varkappa _{1},\ \ldots ,\ \varkappa _{m}$ beliebige reelle positive Konstante, deren Produkt gleich $|{\sqrt {d}}|$ ist, und die den Bedingungen $\varkappa _{s}=\varkappa _{s'}$ genügen, falls $k^{(s)}$ und $k^{(s')}$ konjugiert imaginäre Körper sind, so gibt es im Körper $k$ immer eine ganze von $0$ verschiedene Zahl $\omega$ so, daß

$\left|\omega ^{(1)}\right|\leqq \varkappa _{1},\ \ldots ,\ \left|\omega ^{(m)}\right|\leqq \varkappa _{m}$

wird.

Beweis: Wir ordnen den Körpern $k^{(1)},\ \ldots ,\ k^{(m)}$ gewisse Linearformen zu, und zwar nach folgendem Gesichtspunkte: Ist $k^{(r)}$ ein reeller Körper, so ordnen wir demselben die Linearform

$f_{r}=\omega _{1}^{(r)}u_{1}+\cdots +\omega _{m}^{(r)}u_{m}$

zu; ist dagegen $k^{(s)}$ ein imaginärer Körper und $k^{(s')}$ der zu demselben konjugiert imaginäre Körper, so ordnen wir den beiden Körpern $k^{(s)}$ und $k^{(s')}$ die beiden Linearformen

$\left.{\begin{aligned}f_{s}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left\{\left(\omega _{1}^{(s)}+\omega _{1}^{(s')}\right)u_{1}+\cdots +\left(\omega _{m}^{(s)}+\omega _{m}^{(s')}\right)u_{m}\right\},\\f_{s'}&={\frac {1}{i{\sqrt {2}}}}\left\{\left(\omega _{1}^{(s)}+\omega _{1}^{(s')}\right)u_{1}+\cdots +\left(\omega _{m}^{(s)}+\omega _{m}^{(s')}\right)u_{m}\right\}\end{aligned}}\right\}$

(8)

zu, deren Koeffizienten wiederum reell sind. Die Determinante der $m$ Formen $f_{1},\ \ldots ,\ f_{m}$ ist, absolut genommen, $=\left|{\sqrt {d}}\right|$. Der Hilfssatz 7 liefert dann unmittelbar die Behauptung, wenn man berücksichtigt, daß für die Paare imaginärer Körper

$f_{s}^{2}+f_{s'}^{2}=2\left|\omega _{1}^{(s)}u_{1}+\cdots +\omega _{m}^{(s)}u_{m}\right|^{2}$

ist.

Andererseits folgt leicht die Tatsache:

Satz 43. Wenn der Grad $m$ und eine beliebige positive Konstante $\varkappa$ gegeben ist, so existiert nur eine endliche Anzahl von ganzen algebraischen Zahlen $m$-ten Grades, die nebst allen ihren Konjugierten, absolut genommen, $<\varkappa$ sind.

Beweis: Die $m$ ganzzahligen Koeffizienten der Gleichung, der eine solche ganze Zahl genügt, müssen absolut sämtlich unterhalb einer nur von $m$ und $\varkappa$ abhängigen Grenze liegen; sie sind daher ihrer Anzahl nach beschränkt.

§ 18. Sätze über die absolute Größe der Körperdiskriminante.

Wir beweisen die beiden folgenden Sätze:

Satz 44. Die Diskriminante $d$ eines Zahlkörpers $k$ ist stets verschieden von $\pm 1$ [Minkowski (1^[2], 2^[3], 3^[1])].

Satz 45. Es gibt nur eine endliche Anzahl von Körpern $m$-ten Grades mit gegebener Diskriminante $d$ [Hermite (1^[4], 2^[5]), Minkowski (3^[1])].

Zum Beweise dieser Sätze dient der folgende Hilfssatz:

Hilfssatz 8. Wenn $f_{1}$, …, $f_{m}$ die in Formel (8) definierten $m$ reellen Linearformen der Unbestimmten $u_{1}$ ‚ …, $u_{m}$ bedeuten, so existiert im Körper $k$ stets eine solche von $0$ verschiedene ganze Zahl $\alpha =a_{1}\omega _{1}+\cdots +a_{m}\omega _{m}$, für welche die absoluten Beträge dieser Formen für $u_{1}=a_{1}$, …, $u_{m}=a_{m}$ den Bedingungen

$|f_{1}|\leqq \left|{\sqrt {d}}\right|$, $|f_{2}|<1$, $|f_{3}|<1$, …, $|f_{m}|<1$

(9)

genügen.

Beweis: Nach Satz 43 kann es nur eine endliche Anzahl von ganzen Zahlen $\alpha$, $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, … im Körper $k$ geben, welche die Bedingungen

$|f_{1}|<\left|{\sqrt {d}}\right|+1$, $|f_{2}|<1$, …, $|f_{m}|<1$

erfüllen. Diejenige unter diesen Zahlen $\alpha$, $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, …, für welche $|f_{1}|$ den kleinsten Wert besitzt, sei $\alpha$, und dieser kleinste Wert selbst werde mit $\varphi$ bezeichnet. Sollte es keine solche Zahl $\alpha$ geben, so setze man $\varphi =\left|{\sqrt {d}}\right|+1$. Fällt nun $\varphi \leqq \left|{\sqrt {d}}\right|$ aus, so ist die Richtigkeit des Hilfssatzes 8 offenbar. Im anderen Falle bestimmen wir eine positive Zahl $\varepsilon$ derart, daß $(1+\varepsilon )^{m-1}\left|{\sqrt {d}}\right|<\varphi$ wird. Nach Hilfssatz 7 gibt es dann stets ein System ganzer rationaler Zahlen $u_{1}$, …, $u_{m}$, die nicht sämtlich Null sind, von der Art, daß

$|f_{1}|\leqq (1+\varepsilon )^{m-1}\left|{\sqrt {d}}\right|$, $|f_{2}|\leqq {\frac {1}{1+\varepsilon }}$, …, $|f_{m}|\leqq {\frac {1}{1+\varepsilon }}$

und folglich

$|f_{1}|<\varphi$,  $|f_{2}|<1$, …,  $|f_{m}|<1$

wird; dies steht mit der von uns getroffenen Wahl der Zahl $\alpha$ im Widerspruch.

Um nun die beiden Sätze 44 und 45 zu beweisen, verfahren wir wie folgt. Ist $k=k^{(1)}$ ein reeller Körper, so ist die Form $f_{1}$ eine völlig bestimmte. Ist jedoch $k^{(1)}$ ein imaginärer Körper und $k^{(2)}$ der zu ihm konjugierte, so stehen uns für $f_{1}$ zwei Formen zur Auswahl; wir setzen

$f_{1}={\frac {1}{i{\sqrt {2}}}}\left\{\left(\omega _{1}^{(1)}-\omega _{1}^{(2)}\right)u_{1}+\cdots +\left(\omega _{m}^{(1)}-\omega _{m}^{(2)}\right)u_{m}\right\}$.

Die Reihenfolge, in der wir die übrigen Formen $f_{2}$, …‚ $f_{m}$ annehmen, ist gleichgültig. Der Hilfssatz 8 zeigt die Existenz einer ganzen Zahl $\alpha$, welche den Bedingungen (9) genügt. Andererseits ist

$\prod \limits _{(r)}\left|f_{r}\right|\prod \limits _{s,\,s'}{\frac {f_{s}^{2}+f_{s'}^{2}}{2}}=\left|n(\alpha )\right|$,

wo das erste Produkt über alle Formen $f_{r}$, das zweite über alle Formenpaare $f_{s}$, $f_{s'}$ zu erstrecken ist. Da notwendig $|n(\alpha )|\geqq 1$ ausfällt, so folgt $\left|f_{1}\right|>1$ und daher $\left|{\sqrt {d}}\right|>1$, womit der Satz 44 bewiesen ist.

Zugleich folgt aus den Ungleichungen $\left|f_{1}\right|>1$, $\left|f_{2}\right|<1$, $\left|f_{3}\right|<1$, …, $\left|f_{m}\right|<1$, daß $\alpha$ eine Zahl des Körpers $k=k^{(1)}$ ist, welche sich von allen ihren Konjugierten unterscheidet, d. h. es ist die Differente $\delta (\alpha )\neq 0$. Nach der Bemerkung auf S. 71 unten ist daher $\alpha$ eine den Körper $k$ bestimmende Zahl. Da ferner $d$ eine vorgeschriebene Zahl ist, so gibt es nach Satz 43 nur eine endliche Anzahl von ganzen algebraischen Zahlen $m$-ten Grades, welche nebst ihren Konjugierten den Bedingungen (9) genügen, und daraus folgt unmittelbar die Richtigkeit des Satzes 45.

Der Satz 44 spricht die das Wesen der algebraischen Zahl tief berührende Eigenschaft aus, daß die Diskriminante eines jeden Zahlkörpers mindestens eine Primzahl enthalten muß.

Wenn wir statt des zu Anfang dieses Abschnitts genannten und dieser ganzen Untersuchung zugrunde liegenden Hilfssatzes 6 einen ebenfalls von Minkowski aufgestellten schärferen Satz benutzen, so führt die nämliche Schlußweise auf die Tatsache, daß der absolute Betrag der Diskriminante eines Körpers $m$-ten Grades sicherlich immer die Größe $\textstyle \left({\frac {\pi }{4}}\right)^{2r_{2}}\left({\frac {m^{m}}{m!}}\right)^{2}$ und daher um so mehr die Größe $\textstyle \left({\frac {\pi }{4}}\right)^{2r_{2}}{\frac {\mathrm {e} ^{2m-{\frac {1}{6m}}}}{2\pi m}}$ übertrifft, wo $r_{2}$ die Anzahl derjenigen imaginären Körperpaare bedeutet, welche unter den $m$ konjugierten Körpern $k^{(1)}$, …, $k^{(m)}$ vorhanden sind [Minkowski (1^[2], 2^[3], 3^[1])].

Die letztere Tatsache, in entsprechender Weise verwertet, zeigt, daß auch unter den Körpern aller möglicher Grade nur eine endliche Anzahl vorhanden sein kann, welche die vorgeschriebene Diskriminante $d$ besitzt.

Aus den nämlichen Prinzipien folgt noch eine Tatsache, die für das nächste Kapitel 7 von Wichtigkeit ist [Minkowski (1^[2], 3^[1])]:

Satz 46. Ist ${\mathfrak {a}}$ ein vorgelegtes Ideal des Körpers $k$, so gibt es stets eine ganze von $0$ verschiedene Zahl $\alpha$ des Körpers, welche durch ${\mathfrak {a}}$ teilbar ist, und deren Norm der Bedingung

$|n(\alpha )|\leqq \left|n({\mathfrak {a}}){\sqrt {d}}\right|$

genügt.

Beweis: Sind

${\begin{aligned}\iota _{1}&=a_{11}\omega _{1}+\cdots +a_{1m}\omega _{m},\\&\qquad \qquad \vdots \\\iota _{m}&=a_{m1}\omega _{1}+\cdots +a_{mm}\omega _{m}\end{aligned}}$

die $m$ Basiszahlen des Ideals ${\mathfrak {a}}$, so mögen aus denselben genau, Wie dies vorhin mittels $\omega _{1}$, …, $\omega _{m}$ geschah, $m$ lineare Formen $f_{1}$, …, $f_{m}$ mit reellen Koeffizienten gebildet werden; die Determinante dieser $m$ Formen ist dann dem Werte nach gleich

$\left|{\begin{array}{lll}\iota _{1}^{(1)},&\cdots ,&\iota _{m}^{(1)}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\iota _{1}^{(m)},&\cdots ,&\iota _{m}^{(m)}\\\end{array}}\right|=\left|{\begin{array}{lll}a_{11},&\cdots ,&a_{1m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1},&\cdots ,&a_{mm}\\\end{array}}\right|\left|{\begin{array}{lll}\omega _{1}^{(1)},&\cdots ,&\omega _{m}^{(1)}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\omega _{1}^{(m)},&\cdots ,&\omega _{m}^{(m)}\\\end{array}}\right|$

und folglich nach Satz 19, absolut genommen, gleich $\left|n({\mathfrak {a}}){\sqrt {d}}\right|$. Ordnen wir nun den Formen $f_{1}$, …, $f_{m}$ je eine von irgend $m$ reellen positiven Konstanten $\varkappa _{1}$, …, $\varkappa _{m}$ zu, deren Produkt $=\left|n({\mathfrak {a}}){\sqrt {d}}\right|$ ist, und welche den Bedingungen $\varkappa _{s}=\varkappa _{s'}$ genügen, falls $k^{(s)}$ und $k^{(s')}$ konjugiert imaginäre Körper sind, so folgt aus Satz 42 die Richtigkeit des Satzes 46.

§ 19. Der Satz von der Existenz der Einheiten eines Körpers.

Ein Hilfssatz über die Existenz einer Einheit von besonderer

Eigenschaft.

Die wichtigste Grundlage für das tiefere Studium der ganzen algebraischen Zahlen bildet der folgende fundamentale Satz über die Einheiten des Körpers $k$ [Dirichlet (13^[6], 14^[7], 16^[8]), Dedekind (1^[9]), Kronecker (18^[10], 20^[11]), Minkowski 3^[1]].

Eine ganze Zahl $\varepsilon$ des Körpers $k$, deren reziproker Wert ${\tfrac {1}{\varepsilon }}$ wiederum eine ganze Zahl ist, heißt eine Einheit des Körpers $k$. Die Norm einer Einheit ist $=\pm 1$; umgekehrt, wenn die Norm einer ganzen Zahl des Körpers $=\pm 1$ wird, so ist diese eine Einheit des Körpers.

Satz 47. Sind unter den $m$ konjugierten Körpern $k^{(1)}$‚ …, $k^{(m)}r_{1}$ reelle Körper und $r_{2}={\tfrac {m-r_{1}}{2}}$ imaginäre Körperpaare vorhanden, so gibt es im Körper $k=k^{(1)}$ ein System von $r=r_{1}+r_{2}-1$ Einheiten $\varepsilon _{1}$ , …, $\varepsilon _{r}$ von der Beschaffenheit, daß jede vorhandene Einheit $\varepsilon$ des Körpers $k$ auf eine und nur auf eine Weise in der Gestalt

$\varepsilon =\varrho \varepsilon _{1}^{a_{1}}\cdots \varepsilon _{r}^{a_{r}}$

dargestellt werden kann, wo $a_{1}$, …‚ $a_{r}$ ganze rationale Zahlen sind, und wo $\varrho$ eine in $k$ vorkommende Einheitswurzel bedeutet.

Um den Beweis dieses Satzes vorzubereiten, ordnen wir die $m$ konjugierten Körper $k^{(1)}$, …, $k^{(m)}$ in bestimmter Weise, wie folgt, an. Voran stellen wir die $r_{1}$ reellen Körper $k^{(1)}$, …‚ $k^{(r_{1})}$; dann wählen wir aus jedem der $r_{2}$ Paare konjugiert imaginärer Körper je einen aus; diese Körper seien: $k^{(r_{1}+1)}$, …, $k^{(r_{1}+r_{2})}$; darauf lassen wir die zu diesen konjugiert imaginären Körper folgen: $k^{(r_{1}+r_{2}+1)}$‚ …, $k^{(m)}$. Wir bilden nun mit den $m$ beliebigen reellen Veränderlichen $u_{1}$, …‚ $u_{m}$ die $m$ Linearformen

$\xi _{s}=\omega _{1}^{(s)}u_{1}+\cdots +\omega _{m}^{(s)}u_{m}$, ($s=1$, $2$, …, $m$)

und schreiben noch $\xi _{1}=\xi$. Sind $\xi _{1}$, …, $\xi _{m}$ sämtlich $\neq 0$, so setzen wir im Falle, daß $k^{(s)}$ ein reeller Körper ist,

$\log \left|\xi _{s}\right|=l_{s}(\xi )$

und im Falle, daß $k^{(s)}$ und $k^{(s')}$ konjugiert imaginäre Körper sind,

${\begin{aligned}\log(\xi _{s})&={\tfrac {1}{2}}l_{s}(\xi )-il_{s'}(\xi ),\\\log(\xi _{s'})&={\tfrac {1}{2}}l_{s}(\xi )+il_{s'}(\xi ),\end{aligned}}$

wo $l_{1}(\xi )$, …‚ $l_{m}(\xi )$ sämtlich reelle Größen sind und insbesondere die Werte $l_{s'}(\xi )$ den Ungleichungen

$0\leqq l_{s'}(\xi )<2\pi$

genügen sollen; die Größen $l_{1}(\xi )$, …, $l_{m}(\xi )$ sind hierdurch als eindeutige reelle Funktionen der reellen Veränderlichen $u_{1}$, …, $u_{m}$ definiert; sie sollen die Logarithmen zur Form $\xi$ heißen. Bezeichnet ferner $ln(\xi )$ den reellen Teil des Logarithmus von $n(\xi )$, so ist

$l_{1}(\xi )+\cdots +l_{r+1}(\xi )=ln(\xi )$.

Sind $u_{1}$, …, $u_{m}$ ganze rationale Zahlen, die nicht sämtlich verschwinden, so stellt $\xi =\xi _{1}$ eine ganze von $0$ verschiedene Zahl $\alpha$ des Körpers $k=k^{(1)}$ dar. Die Größen $l_{1}(\xi )$, …‚ $l_{m}(\xi )$ sind dann eindeutig durch die Zahl $\alpha$ bestimmt und sollen die Logarithmen zur Zahl $\alpha$ heißen. Ist $\varepsilon$ eine Einheit des Körpers $k$, so besteht wegen $n(\varepsilon )=\pm 1$ die Gleichung

$l_{1}(\varepsilon )+l_{2}(\varepsilon )+\cdots +l_{r+1}(\varepsilon )=0$.

Die reellen Variabeln $u_{1}$, …, $u_{m}$ sind umgekehrt durch die Werte der Logarithmen $l_{1}(\xi )$‚ …‚ $l_{m}(\xi )$ $2^{r_{1}}$-deutig bestimmt, da durch letztere die $r_{1}$ reellen Werte $\xi _{1}$, …, $\xi _{r_{1}}$ nur bis auf das Vorzeichen, dagegen die übrigen konjugiert imaginären Wertepaare $\xi _{r_{1}+1}$, …,$\xi _{m}$ vollständig bestimmt sind.

Um die später anzuwendende Funktionaldeterminante dieses Abhängigkeitsverhältnisses zu berechnen, bezeichnen wir, wenn $f_{1}$, …‚ $f_{m}$ $m$ beliebige Funktionen der Variabeln $x_{1}$, …‚ $x_{m}$ sind, die Funktionaldeterminante der $f_{1}$, …‚ $f_{m}$ bezüglich der $x_{1}$, …‚ $x_{m}$ mit ${\tfrac {f_{1},\,\ldots ,\,f_{m}}{x_{1},\,\ldots ,\,x_{m}}}$; dann gelten für die absoluten Beträge die Formeln

$\left|{\frac {u_{1},\,\ldots ,\,u_{m}}{\xi _{1},\,\ldots ,\,\xi _{m}}}\right|={\frac {1}{\sqrt {d}}}$, $\left|{\frac {\xi _{1},\,\ldots ,\,\xi _{m}}{l_{1}(\xi ),\,\ldots ,\,l_{m}(\xi )}}\right|=\left|\xi _{1}\ldots \xi _{m}\right|=\left|n(\xi )\right|$,

woraus durch Multiplikation der Wert von $\left|{\frac {u_{1},\,\ldots ,\,u_{m}}{l_{1}(\xi ),\,\ldots ,\,l_{m}(\xi )}}\right|$ sich ergibt.

Im folgenden werden vornehmlich die ersten $r$ Logarithmen $l_{1}$, …, $l_{r}$ zur Form $\xi$ oder zu einer Zahl $\alpha$ betrachtet. Für die $r$ ersten Logarithmen zu Formen $\xi$, $\eta$ oder Zahlen $\alpha$, $\beta$ gelten offenbar die Gleichungen

$\left.{\begin{aligned}l_{s}(\xi \eta )&=l_{s}(\xi )+l_{s}(\eta )\\l_{s}(\alpha \beta )&=l_{s}(\alpha )+l_{s}(\beta )\end{aligned}}\right\}$ ($s=1$, …, $r$).

Nunmehr beweisen wir folgende Tatsache:

Hilfssatz 9. Im Körper $k$ gibt es stets eine Einheit $\varepsilon$, welche die Bedingung

$\gamma _{1}l_{1}(\varepsilon )+\cdots +\gamma _{r}l_{r}(\varepsilon )\neq 0$

erfüllt, wobei $\gamma _{1}$, …, $\gamma _{r}$ beliebige vorgeschriebene, nicht sämtlich verschwindende reelle Konstante sind.

Beweis: Man setze, wenn $\omega$ irgendeine ganze von $0$ verschiedene Zahl in $k$ bedeutet, zur Abkürzung

$L(\omega )=\gamma _{1}l_{1}(\omega )+\cdots +\gamma _{r}l_{r}(\omega )$;

ferner bestimme man irgendein System von $r$ reellen Größen $\lambda _{1}$, …‚ $\lambda _{r}$, so daß $\gamma _{1}\lambda _{1}+\cdots +\gamma _{r}\lambda _{r}=1$ wird, und setze dann

$\Lambda _{1}=\mathrm {e} ^{\lambda _{1}t}$, …, $\Lambda _{r_{1}}=\mathrm {e} ^{\lambda _{r_{1}}t}$, $\Lambda _{r_{1}+1}=\mathrm {e} ^{{\tfrac {1}{2}}\lambda _{r_{1}+1}t}$, …, $\Lambda _{r}=\mathrm {e} ^{{\tfrac {1}{2}}\lambda _{r}t}$,

wo $t$ einen willkürlichen reellen Parameter bezeichnet. Es sind dann zwei Fälle zu unterscheiden, je nachdem sämtliche $m$ konjugierte Körper $k^{(1)}$, …‚ $k^{(m)}$ reell sind oder nicht. Im ersten Falle ordnen wir den $r=m-1$ Körpern $k^{(1)}$, …‚ $k^{(r)}$ die Größen $\Lambda _{1}$, …‚ $\Lambda _{r}$ und dem übriggebliebenen letzten Körper $k^{(m)}$ die Konstante $\Lambda _{m}={\tfrac {\left|{\sqrt {d}}\right|}{\Lambda _{1}\cdots \Lambda _{m-1}}}$ zu. Im zweiten Fall ordnen wir den Körpern $k^{(1)}$, …‚ $k^{(r)}$ wiederum die Größen $\Lambda _{1}$, …‚ $\Lambda _{r}$ zu, dem imaginären Körper $k^{(r+1)}$ werde die Konstante $\Lambda _{r+1}=\left|\left\{{\tfrac {\sqrt {d}}{\Lambda _{1}\cdots \Lambda _{r_{1}}\Lambda _{r_{1}+1}^{2}\cdots \Lambda _{r}^{2}}}\right\}^{\tfrac {1}{2}}\right|$ zugeordnet. Endlich ordnen wir den $m-r-1$ übriggebliebenen imaginären Körpern $k^{(r+2)}$, …‚ $k^{(m)}$ bezüglich die nämlichen Konstanten zu, wie sie bereits den konjugiert imaginären Körpern zugeordnet sind; wir bezeichnen die betreffenden Konstanten mit $\Lambda _{r+2}$, …‚ $\Lambda _{m}$. In beiden Fällen wird das Produkt

$\Lambda _{1}\cdots \Lambda _{m}=\left|{\sqrt {d}}\right|$,

und die Konstanten $\Lambda _{1}$, …‚ $\Lambda _{m}$ erfüllen mithin die Bedingungen, denen die Konstanten $\varkappa _{1}$, …, $\varkappa _{m}$ des Satzes 42 genügen sollten.

Dem Satz 42 zufolge gibt es daher im Körper $k$ eine von $0$ verschiedene Zahl $\alpha$ derart, daß

$\left|\alpha ^{(1)}\right|\leqq \Lambda _{1}$, …, $\left|\alpha ^{(m)}\right|\leqq \Lambda _{m}$

(10)

und folglich zugleich $|n(\alpha )|\leqq \left|{\sqrt {d}}\right|$ wird. Wegen $|n(\alpha )|\geqq 1$ ist für alle Werte $s=1$, $2$‚ …, $m$:

$\left|\alpha ^{(s)}\right|\geqq {\frac {1}{\left|\alpha ^{(1)}\right|\cdots \left|\alpha ^{(s-1)}\right|\left|\alpha ^{(s+1)}\right|\cdots \left|\alpha ^{(m)}\right|}}$;

wenn wir daher die Ungleichungen

$\left|{\frac {1}{\alpha ^{(1)}}}\right|\geqq {\frac {1}{\Lambda _{1}}}$, …, $\left|{\frac {1}{\alpha ^{(m)}}}\right|\geqq {\frac {1}{\Lambda _{m}}}$,

$\Lambda _{1}\ldots \Lambda _{m}=\left|{\sqrt {d}}\right|$

berücksichtigen, so folgt

$\left|\alpha ^{(s)}\right|\geqq {\frac {\Lambda _{s}}{\left|{\sqrt {d}}\right|}}$.

(11)

Aus den beiden Ungleichungen (10) und (11) ergibt sich, wenn der reelle Wert von $\textstyle \log \left|{\sqrt {d}}\right|$ mit $\delta$ bezeichnet wird,

oder	$\left.{\begin{aligned}\lambda _{s}t\geqq l_{s}(\alpha )\geqq \lambda _{s}t-2\delta \\0\leqq \left|l_{s}(\alpha )-\lambda _{s}t\right|\leqq 2\delta \end{aligned}}\right\}$   ($s-1$, $2$, … $r$),

woraus zu ersehen ist, daß der Ausdruck

$\gamma _{1}\left\{l_{1}(\alpha )-\lambda _{1}t\right\}+\cdots +\gamma _{r}\left\{l_{r}(\alpha )-\lambda _{r}t\right\}=L(\alpha )-t$

zwischen gewissen endlichen Grenzen $\delta _{1}$ und $\delta _{2}>\delta _{1}$ liegt, welche nur von $d$ und $\gamma _{1}$, …‚ $\gamma _{r}$, dagegen nicht von dem Wert des Parameters $t$ abhängig sind.

Es werde nun eine Größe $\Delta >\delta _{2}-\delta _{1}$ bestimmt; bringt man dann für $t$ der Reihe nach die Werte $t=0$, $\Delta$, $2\Delta$‚ $3\Delta$, … in Anwendung, so wird man durch das beschriebene Verfahren eine unendliche Reihe von Zahlen $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, … erhalten, deren Normen, absolut genommen, sämtlich $\leqq \left|{\sqrt {d}}\right|$ sind, und für welche außerdem die Bedingungen $L(\alpha )<L(\beta )<L(\gamma )<\cdots$ erfüllt sind. Da in den ganzen rationalen Zahlen; deren absolute Beträge $\leqq \left|{\sqrt {d}}\right|$ sind, nur eine endliche Anzahl untereinander verschiedener Ideale als Faktoren aufgehen, so kann in der unendlichen Reihe der Hauptideale $(\alpha )$, $(\beta )$, $(\gamma )$, … nur eine endliche Anzahl verschiedener Ideale vorkommen, und es werden daher unendlich viele Male zwei dieser Ideale einander gleich. Ist etwa $(\alpha )=(\beta )$, so stellt $\varepsilon ={\tfrac {\beta }{\alpha }}$ eine Einheit dar, welche wegen $L(\varepsilon )=L(\beta )-L(\alpha )>0$ die Bedingung unseres Hilfssatzes 9 erfüllt.

§ 20. Beweis des Satzes von der Existenz der Einheiten.

Um nunmehr den Satz 47 zu beweisen, wählen wir dem Hilfssatz 9 gemäß in $k$ eine Einheit $\eta _{1}$, für welche $l_{1}(\eta _{1})\neq 0$ ausfällt, dann eine Einheit $\eta _{2}$, für welche die Determinante

$\left|{\begin{array}{lll}l_{1}(\eta _{1}),&l_{1}(\eta _{2})\\l_{2}(\eta _{1}),&l_{2}(\eta _{2})\end{array}}\right|\neq 0$

ferner eine Einheit $\eta _{3}$, für welche die Determinante

$\left|{\begin{array}{lll}l_{1}(\eta _{1}),&l_{1}(\eta _{2}),&l_{1}(\eta _{3})\\l_{2}(\eta _{1}),&l_{2}(\eta _{2}),&l_{2}(\eta _{3})\\l_{3}(\eta _{1}),&l_{3}(\eta _{2}),&l_{3}(\eta _{3})\end{array}}\right|\neq 0$

ausfällt usf.; man gelangt so zu einem System von Einheiten $\eta _{1}$, …, $\eta _{r}$, für welche schließlich die Determinante

$\left|{\begin{array}{lll}l_{1}(\eta _{1}),&\ldots ,&l_{1}(\eta _{r})\\\vdots &\ddots &\vdots \\l_{r}(\eta _{1}),&\ldots ,&l_{r}(\eta _{r})\end{array}}\right|\neq 0$

ist. Infolgedessen lassen sich, wenn ${\mathsf {H}}$ eine beliebige Einheit im Körper ist, die $r$ ersten Logarithmen zu ${\mathsf {H}}$ stets in die Gestalt

${\begin{aligned}l_{1}({\mathsf {H}})&=e_{1}l_{1}(\eta _{1})+\cdots +e_{r}l_{1}(\eta _{r}),\\&\qquad \qquad \vdots \\l_{r}({\mathsf {H}})&=e_{1}l_{r}(\eta _{1})+\cdots +e_{r}l_{r}(\eta _{r})\end{aligned}}$

bringen, wo $e_{1}$, …, $e_{r}$ reelle Größen bedeuten. Diese Darstellung wiederum zeigt, daß

${\begin{aligned}l_{1}({\mathsf {H}})&=m_{1}l_{1}(\eta _{1})+\cdots +m_{r}l_{1}(\eta _{r})+E_{1},\\&\qquad \qquad \vdots \\l_{r}({\mathsf {H}})&=m_{1}l_{r}(\eta _{1})+\cdots +m_{r}l_{r}(\eta _{r})+E_{r}\end{aligned}}$

gesetzt werden kann, wo $m_{1}$, …‚ $m_{r}$ die numerisch größten ganzen rationalen, bezüglich in $e_{1}$, …, $e_{r}$ enthaltenen Zahlen bedeuten. Die Zahlen $E_{1}$, …‚ $E_{r}$ sind nun ebenfalls von der Gestalt

${\begin{aligned}E_{1}({\mathsf {H}})&=\mu _{1}l_{1}(\eta _{1})+\cdots +\mu _{r}l_{1}(\eta _{r}),\\&\qquad \qquad \vdots \\E_{r}({\mathsf {H}})&=\mu _{1}l_{r}(\eta _{1})+\cdots +\mu _{r}l_{r}(\eta _{r}).\end{aligned}}$

Da hierin $\mu _{1}$, …, $\mu _{r}$ reelle Größen $\geqq 0$ und $<1$ bedeuten, so liegen die Werte $E_{1}$, …‚ $E_{r}$, absolut genommen, sämtlich unterhalb einer Grenze $\varkappa$, welche nicht von ${\mathsf {H}}$ abhängig ist, d. h. die sämtlichen $r$ ersten Logarithmen zur Einheit

${\overline {\mathsf {H}}}={\frac {\mathsf {H}}{\eta _{1}^{m_{1}}\cdots \eta _{r}^{m_{r}}}}$

liegen absolut unterhalb der Grenze $\varkappa$. Wegen $l_{1}\left({\overline {\mathsf {H}}}\right)+\cdots +l_{r+1}\left({\overline {\mathsf {H}}}\right)=0$ liegt daher der absolute Wert von $l_{r+1}\left({\overline {\mathsf {H}}}\right)$ unterhalb der Grenze $r\varkappa$, und mithin bestehen die Ungleichungen

$\left|{\overline {\mathsf {H}}}^{(1)}\right|<\mathrm {e} ^{\varkappa }$, …, $\left|{\overline {\mathsf {H}}}^{(r)}\right|<\mathrm {e} ^{\varkappa }$, $\left|{\overline {\mathsf {H}}}^{(r+1)}\right|<\mathrm {e} ^{r\varkappa }$,

d. h. sämtliche konjugierten Werte der Einheit ${\overline {\mathsf {H}}}$ sind absolut kleiner als die Größe $\mathrm {e} ^{r\varkappa }$.

Nach Satz 43 kann nur eine endliche Anzahl solcher Einheiten existieren. Bezeichnen wir dieselben mit ${\mathsf {H}}_{1}$, …‚ ${\mathsf {H}}_{G}$, so folgt ${\overline {\mathsf {H}}}={\mathsf {H}}_{S}$ oder ${\mathsf {H}}={\mathsf {H}}_{S}\eta _{1}^{m_{1}}\cdots \eta _{r}^{m_{r}}$, wo $S$ einen der Werte $1$, $2$, …, $G$ hat. Ist ${\mathsf {H}}_{T}$ eine beliebige jener $G$ Einheiten ${\mathsf {H}}_{1}$, …, ${\mathsf {H}}_{G}$, und bildet man die ersten $G+1$ Potenzen von ${\mathsf {H}}_{T}$, so werden nach dem eben Bewiesenen zwei geeignete von diesen Potenzen sich in der Gestalt ${\mathsf {H}}_{S}\eta _{1}^{m'_{1}}\cdots \eta _{r}^{m'_{r}}$ bezüglich ${\mathsf {H}}_{S}\eta _{1}^{m''_{1}}\cdots \eta _{r}^{m''_{r}}$ darstellen, wo ${\mathsf {H}}_{S}$ beidemal die gleiche jener $G$ Einheiten bezeichnet; ihr Quotient besitzt mithin eine Darstellung von der Gestalt $\eta _{1}^{m_{1}}\cdots \eta _{r}^{m_{r}}$. Hiermit ist bewiesen, daß für jede Einheit ${\mathsf {H}}_{T}$ ein Exponent $M_{T}$ existiert derart, daß ${\mathsf {H}}_{T}^{M_{T}}$ ein Produkt von Potenzen der Einheiten $\eta _{1}$, …, $\eta _{r}$ ist. Bezeichnen wir das kleinste gemeinschaftliche Vielfache aller $G$ Exponenten $M_{1}$, …‚ $M_{G}$ mit $M$, so hat dieser Exponent $M$ für alle $G$ Einheiten ${\mathsf {H}}_{1}$, …‚ ${\mathsf {H}}_{G}$ zugleich jene Eigenschaft, und hieraus folgt, daß die $r$ ersten Logarithmen zu einer jeden beliebigen Einheit ${\mathsf {H}}$ des Körpers $k$ die Darstellung

$\left.{\begin{aligned}l_{1}({\mathsf {H}})&={\frac {m_{1}l_{1}(\eta _{1})+\cdots +m_{r}l_{1}(\eta _{r})}{M}},\\&\qquad \qquad \qquad \vdots \\l_{r}({\mathsf {H}})&={\frac {m_{1}l_{r}(\eta _{1})+\cdots +m_{r}l_{r}(\eta _{r})}{M}}\end{aligned}}\right\}$

(12)

gestatten, wo $m_{1}$, …, $m_{r}$ ganze rationale Zahlen sind.

Nunmehr wenden wir auf dieses unendliche System (12) der Logarithmen aller Einheiten die nämliche Schlußweise an, wie sie in Satz 5 (§3) zum Beweise der Existenz einer Körperbasis auseinandergesetzt worden ist; dann folgt, daß es ein System von $r$ Einheiten $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{r}$ gibt, durch deren zugehörige Logarithmen die Logarithmen zu jeder beliebigen Einheit ${\mathsf {H}}$ des Körpers sich in der Gestalt

${\begin{aligned}l_{1}({\mathsf {H}})&=a_{1}l_{1}(\varepsilon _{1})+\cdots +a_{r}l_{1}(\varepsilon _{r}),\\&\qquad \qquad \qquad \vdots \\l_{r}({\mathsf {H}})&=a_{1}l_{r}(\varepsilon _{1})+\cdots +a_{r}l_{r}(\varepsilon _{r})\end{aligned}}$

(12)

ausdrücken lassen, wo $a_{1}$, …, $a_{r}$ ganze rationale Zahlen sind. Dieses System von Einheiten $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{r}$ genügt den Bedingungen des Satzes 47.

In der Tat: ist ${\mathsf {H}}$ eine beliebige Einheit, deren zugehörige Logarithmen obige Gestalt besitzen, so ist $\varrho ={\frac {\mathsf {H}}{\varepsilon _{1}^{a_{1}}\cdots \varepsilon _{r}^{a_{r}}}}$ eine Einheit, deren zugehörige Logarithmen offenbar sämtlich $=0$ sind. Eine solche Einheit $\varrho$ ist notwendig eine Einheitswurzel. Denn nach dem vorhin Bewiesenen ist $\varrho ^{M}=\eta _{1}^{m_{1}}\cdots \eta _{r}^{m_{r}}$, wo $m_{1}$, …‚ $m_{r}$ gewisse ganze rationale Zahlen sind. Durch Übergang zu den Logarithmen folgt daraus

${\begin{aligned}m_{1}l_{1}(\eta _{1})&+\cdots +m_{r}l_{1}(\eta _{r})=0,\\&\qquad \vdots \\m_{1}l_{r}(\eta _{1})&+\cdots +m_{r}l_{r}(\eta _{r})=0,\end{aligned}}$

d. h. $m_{1}=0$, …‚ $m_{r}=0$ und $\varrho ^{M}=1$. Hieraus ergibt sich die Darstellung der Einheit ${\mathsf {H}}$, welche unser Satz 47 verlangt.

Aus der Bestimmungsweise der Einheiten $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{r}$ folgt leicht:

$\left|{\begin{array}{lll}l_{1}(\eta _{1}),&\ldots ,&l_{1}(\eta _{r})\\\vdots &\ddots &\vdots \\l_{r}(\eta _{1}),&\ldots ,&l_{r}(\eta _{r})\end{array}}\right|=AR,$

wo $A$ eine ganze rationale Zahl bedeutet und zur Abkürzung

$R=\left|{\begin{array}{lll}l_{1}(\varepsilon _{1}),&\ldots ,&l_{1}(\varepsilon _{r})\\\vdots &\ddots &\vdots \\l_{r}(\varepsilon _{1}),&\ldots ,&l_{r}(\varepsilon _{r})\end{array}}\right|$

gesetzt ist. Diese Determinante $R$ ist $\neq 0$, und hieraus folgt, daß die Darstellung der Einheit ${\mathsf {H}}$ durch die Einheiten $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{r}$ nur auf eine Weise geschehen kann. Der Beweis des fundamentalen Satzes 47 ist somit in allen Teilen erbracht.

§ 21. Die Grundeinheiten. Der Regulator des Körpers. Ein System von unabhängigen Einheiten.

Das System der Einheiten $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{r}$ mit der in Satz 47 dargelegten Eigenschaft heißt ein System von Grundeinheiten des Körpers $k$. Es folgt leicht, daß wenn $\varepsilon _{1}^{*}$, …, $\varepsilon _{r}^{*}$ ein anderes System von Grundeinheiten bedeutet, die Determinante aus den zugehörigen $r$ Systemen von je $r$ ersten Logarithmen bis auf das Vorzeichen mit $R$ übereinstimmt. Wir wählen die Reihenfolge der Grundeinheiten stets so, da8 $R$ eine positive Zahl wird. Die Zahl $R$ ist dann durch den Körper $k$ eindeutig bestimmt und wird der Regulator des Körpers $k$ genannt.

Beim obigen Beweise des Hauptsatzes 47 erkannten wir zugleich, daß eine Einheit, deren zugehörige Logarithmen sämtlich $=0$ sind, notwendig eine Einheitswurzel ist. Diese Tatsache erhält in dem folgenden Satz Ausdruck, welcher sich übrigens auch in unmittelbarer Weise leicht begründen läßt [Kronecker (6^[12]), Minkowski (3^[1])]:

Satz 48. Eine jede Einheit, die selbst und deren Konjugierte sämtlich den absoluten Betrag $1$ besitzen, ist eine Einheitswurzel.

Da in jedem Zahlkörper die beiden Einheitswurzeln $+1$ und $-1$ vorkommen, so ist die Anzahl aller Einheitswurzeln in $k$ stets gerade; sie kann offenbar nur dann $>2$ sein, wenn alle $m$ konjugierten Körper imaginär sind.

Ein beliebiges System von $t$ Einheiten $\eta _{1}$, …, $\eta _{t}$ heißt ein System von $t$ unabhängigen Einheiten, wenn zwischen denselben keine Gleichung von der Gestalt $\eta _{1}^{m_{1}}\dots \eta _{t}^{m_{t}}=1$ besteht, wo $m_{1}$, …, $m_{t}$ ganze rationale, nicht sämtlich verschwindende Zahlen sind. Die Zahl $t$ ist stets $\leqq r$; insbesondere bilden die Grundeinheiten $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{r}$ ein System von $r$ unabhängigen Einheiten. Hat man andererseits irgendein System von $r$ unabhängigen Einheiten $\eta _{1}$, …, $\eta _{r}$, so existiert stets eine ganze rationale Zahl $M$ von der Art, daß für jede beliebige Einheit $\varepsilon$ des Körpers $k$ eine Gleichung von der Gestalt $\varepsilon ^{M}=\eta _{1}^{m_{1}}\dots \eta _{r}^{m_{r}}$ gilt, wo die Exponenten $m_{1}$, …, $m_{r}$ ganze rationale Zahlen sind. Ist nämlich $\eta _{s}=\varrho _{s}\varepsilon _{1}^{a_{1s}}\dots \varepsilon _{r}^{a_{rs}}$ für $s=1$, $2$, …, $r$, wo $\varrho _{s}$ Einheitswurzeln und $a_{1s}$, …‚ $a_{rs}$ ganzzahlige Exponenten sind, so ist die Determinante der ganzzahligen Exponenten $a_{11}$, …, $a_{rr}$ wegen der vorausgesetzten Unabhängigkeit der Einheiten $\eta _{1}$, …, $\eta _{r}$ notwendig $\neq 0$. Wird diese Determinante $A$ genannt, so folgt, daß die $A$-te Potenz jeder beliebigen Einheit $\varepsilon$ des Körpers gleich einem Produkt von Potenzen der Einheiten $\eta _{1}$, …, $\eta _{r}$, multipliziert in eine Einheitswurzel $\varrho$, wird. Ist $\varrho ^{E}=1$ für alle Einheitswurzeln $\varrho$ in $k$, so ist offenbar die ganze Zahl $M=AE$ von der gewünschten Beschaffenheit.

Der obige Beweis unseres Hauptsatzes 47 zeigt zugleich die Möglichkeit, die Grundeinheiten $\varepsilon _{1}$, …‚ $\varepsilon _{r}$ durch eine endliche Anzahl von rationalen Operationen aufzustellen. Die eingehendere Behandlung der Frage nach der einfachsten Berechnung der Einheiten führt auf die Theorie der kettenbruchähnlichen Algorithmen, wobei dann die weitere Frage nach der Periodizität solcher Entwicklungen im Vordergrund des Interesses steht [Minkowski (3,4)].

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1. Geometrie der Zahlen. Leipzig 1896.
2. Über die positiven quadratischen Formen und über kettenbruchähnliche Algorithmen. J. Math. 107 (1891).^{[WS 1]}
3. Théorèmes arithmétiques. Extrait d’une lettre à M. Hermite. Comptes rendus. 92 (1891).
4. Sur la théorie des formes quadratiques ternaires indéfinies. J. Math. 47 (1854).^{[WS 2]}
5. Extrait d’une lettre de M. Ch. Hermite à M. Borchardt sur le nombre limité d’irrationalités aux quelles se réduisent les racines des équations à coefficients entiers complexes d’un degré et d’un discriminant donnés. J. Math. 53 (1857).^{[WS 3]}
6. Sur la théorie des nombres. Werke 1, 619 (1840).
7. Einige Resultate von Untersuchungen über eine Klasse homogener Funktionen des dritten und der höheren Grade. Werke 1, 625 (1841).
8. Verallgemeinerung eines Satzes aus der Lehre von den Kettenbrüchen nebst einigen Anwendungen auf die Theorie der Zahlen. Werke 1, 633 (1842) und: Zur Theorie der komplexen Einheiten. Werke 1, 639 (1846).
9. Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 2. bis 4. Aufl. Braunschweig 1871–1894.^{[WS 5]}
10. Sur les unités complexes. (Drei Noten.) Comptes rendus 96 (1883); vgl. auch J. Molk: Sur les unités complexes. Bull. sciences math. astron. 1883.
11. Additions au mémoire sur les unités complexes. Comptes rendus 99 (1884).
12. Zwei Sätze über Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten. Werke 1, 103 (1857).

Anmerkungen (Wikisource)

1. Minkowski, Hermann: Über die positiven quadratischen Formen und über kettenbruchähnliche Algorithmen, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 107 (1891), S. 278–297 GDZ Göttingen
2. Hermite, Charles^(WP): Sur la théorie des formes quadratiques ternaires, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 47 (1854), S. 173–177 GDZ Göttingen
3. Hermite, Charles^(WP): Extrait d’une lettre de M. C. Hermite à M. Borchardt sur le nombre limité d’irrationalités auxquelles se réduisent les racines des équations à coefficients entiers complexes d’un degré et d’un discriminant donnés, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 53 (1857), S. S. 182–192 GDZ Göttingen
4. Minkowski, Hermann: Über die positiven quadratischen Formen und über kettenbruchähnliche Algorithmen, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 107 (1891), S. 278–297 GDZ Göttingen
5. Dedekind, Richard: Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 4. Auflage, Braunschweig, 1894, Internet Archive

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