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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.6

Satz 46. Ist ${\mathfrak {a}}$ ein vorgelegtes Ideal des Körpers $k$, so gibt es stets eine ganze von $0$ verschiedene Zahl $\alpha$ des Körpers, welche durch ${\mathfrak {a}}$ teilbar ist, und deren Norm der Bedingung

$|n(\alpha )|\leqq \left|n({\mathfrak {a}}){\sqrt {d}}\right|$

genügt.

Beweis: Sind

${\begin{aligned}\iota _{1}&=a_{11}\omega _{1}+\cdots +a_{1m}\omega _{m},\\&\qquad \qquad \vdots \\\iota _{m}&=a_{m1}\omega _{1}+\cdots +a_{mm}\omega _{m}\end{aligned}}$

die $m$ Basiszahlen des Ideals ${\mathfrak {a}}$, so mögen aus denselben genau, Wie dies vorhin mittels $\omega _{1}$, …, $\omega _{m}$ geschah, $m$ lineare Formen $f_{1}$, …, $f_{m}$ mit reellen Koeffizienten gebildet werden; die Determinante dieser $m$ Formen ist dann dem Werte nach gleich

$\left|{\begin{array}{lll}\iota _{1}^{(1)},&\cdots ,&\iota _{m}^{(1)}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\iota _{1}^{(m)},&\cdots ,&\iota _{m}^{(m)}\\\end{array}}\right|=\left|{\begin{array}{lll}a_{11},&\cdots ,&a_{1m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1},&\cdots ,&a_{mm}\\\end{array}}\right|\left|{\begin{array}{lll}\omega _{1}^{(1)},&\cdots ,&\omega _{m}^{(1)}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\omega _{1}^{(m)},&\cdots ,&\omega _{m}^{(m)}\\\end{array}}\right|$

und folglich nach Satz 19, absolut genommen, gleich $\left|n({\mathfrak {a}}){\sqrt {d}}\right|$. Ordnen wir nun den Formen $f_{1}$, …, $f_{m}$ je eine von irgend $m$ reellen positiven Konstanten $\varkappa _{1}$, …, $\varkappa _{m}$ zu, deren Produkt $=\left|n({\mathfrak {a}}){\sqrt {d}}\right|$ ist, und welche den Bedingungen $\varkappa _{s}=\varkappa _{s'}$ genügen, falls $k^{(s)}$ und $k^{(s')}$ konjugiert imaginäre Körper sind, so folgt aus Satz 42 die Richtigkeit des Satzes 46.

§ 19. Der Satz von der Existenz der Einheiten eines Körpers.

Ein Hilfssatz über die Existenz einer Einheit von besonderer

Eigenschaft.

Die wichtigste Grundlage für das tiefere Studium der ganzen algebraischen Zahlen bildet der folgende fundamentale Satz über die Einheiten des Körpers $k$ [Dirichlet (13^[1], 14^[2], 16^[3]), Dedekind (1^[4]), Kronecker (18^[5], 20^[6]), Minkowski 3^[7]].

Eine ganze Zahl $\varepsilon$ des Körpers $k$, deren reziproker Wert ${\tfrac {1}{\varepsilon }}$ wiederum eine ganze Zahl ist, heißt eine Einheit des Körpers $k$. Die Norm einer Einheit ist $=\pm 1$; umgekehrt, wenn die Norm einer ganzen Zahl des Körpers $=\pm 1$ wird, so ist diese eine Einheit des Körpers.

Satz 47. Sind unter den $m$ konjugierten Körpern $k^{(1)}$‚ …, $k^{(m)}r_{1}$ reelle Körper und $r_{2}={\tfrac {m-r_{1}}{2}}$ imaginäre Körperpaare vorhanden, so gibt es im Körper $k=k^{(1)}$ ein System von $r=r_{1}+r_{2}-1$ Einheiten $\varepsilon _{1}$ , …, $\varepsilon _{r}$ von der Beschaffenheit, daß jede vorhandene Einheit $\varepsilon$ des Körpers $k$ auf eine und nur auf eine Weise in der Gestalt

$\varepsilon =\varrho \varepsilon _{1}^{a_{1}}\cdots \varepsilon _{r}^{a_{r}}$

Anmerkungen (Wikisource)

1. Dedekind, Richard: Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 4. Auflage, Braunschweig, 1894, Internet Archive

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 102. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/119&oldid=- (Version vom 31.7.2018)

1. Sur la théorie des nombres. Werke 1, 619 (1840).
2. Einige Resultate von Untersuchungen über eine Klasse homogener Funktionen des dritten und der höheren Grade. Werke 1, 625 (1841).
3. Verallgemeinerung eines Satzes aus der Lehre von den Kettenbrüchen nebst einigen Anwendungen auf die Theorie der Zahlen. Werke 1, 633 (1842) und: Zur Theorie der komplexen Einheiten. Werke 1, 639 (1846).
4. Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 2. bis 4. Aufl. Braunschweig 1871–1894.^{[WS 1]}
5. Sur les unités complexes. (Drei Noten.) Comptes rendus 96 (1883); vgl. auch J. Molk: Sur les unités complexes. Bull. sciences math. astron. 1883.
6. Additions au mémoire sur les unités complexes. Comptes rendus 99 (1884).
7. Geometrie der Zahlen. Leipzig 1896.