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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.6

$f_{1}$, …‚ $f_{m}$ bezüglich der $x_{1}$, …‚ $x_{m}$ mit ${\tfrac {f_{1},\,\ldots ,\,f_{m}}{x_{1},\,\ldots ,\,x_{m}}}$; dann gelten für die absoluten Beträge die Formeln

$\left|{\frac {u_{1},\,\ldots ,\,u_{m}}{\xi _{1},\,\ldots ,\,\xi _{m}}}\right|={\frac {1}{\sqrt {d}}}$, $\left|{\frac {\xi _{1},\,\ldots ,\,\xi _{m}}{l_{1}(\xi ),\,\ldots ,\,l_{m}(\xi )}}\right|=\left|\xi _{1}\ldots \xi _{m}\right|=\left|n(\xi )\right|$,

woraus durch Multiplikation der Wert von $\left|{\frac {u_{1},\,\ldots ,\,u_{m}}{l_{1}(\xi ),\,\ldots ,\,l_{m}(\xi )}}\right|$ sich ergibt.

Im folgenden werden vornehmlich die ersten $r$ Logarithmen $l_{1}$, …, $l_{r}$ zur Form $\xi$ oder zu einer Zahl $\alpha$ betrachtet. Für die $r$ ersten Logarithmen zu Formen $\xi$, $\eta$ oder Zahlen $\alpha$, $\beta$ gelten offenbar die Gleichungen

$\left.{\begin{aligned}l_{s}(\xi \eta )&=l_{s}(\xi )+l_{s}(\eta )\\l_{s}(\alpha \beta )&=l_{s}(\alpha )+l_{s}(\beta )\end{aligned}}\right\}$ ($s=1$, …, $r$).

Nunmehr beweisen wir folgende Tatsache:

Hilfssatz 9. Im Körper $k$ gibt es stets eine Einheit $\varepsilon$, welche die Bedingung

$\gamma _{1}l_{1}(\varepsilon )+\cdots +\gamma _{r}l_{r}(\varepsilon )\neq 0$

erfüllt, wobei $\gamma _{1}$, …, $\gamma _{r}$ beliebige vorgeschriebene, nicht sämtlich verschwindende reelle Konstante sind.

Beweis: Man setze, wenn $\omega$ irgendeine ganze von $0$ verschiedene Zahl in $k$ bedeutet, zur Abkürzung

$L(\omega )=\gamma _{1}l_{1}(\omega )+\cdots +\gamma _{r}l_{r}(\omega )$;

ferner bestimme man irgendein System von $r$ reellen Größen $\lambda _{1}$, …‚ $\lambda _{r}$, so daß $\gamma _{1}\lambda _{1}+\cdots +\gamma _{r}\lambda _{r}=1$ wird, und setze dann

$\Lambda _{1}=\mathrm {e} ^{\lambda _{1}t}$, …, $\Lambda _{r_{1}}=\mathrm {e} ^{\lambda _{r_{1}}t}$, $\Lambda _{r_{1}+1}=\mathrm {e} ^{{\tfrac {1}{2}}\lambda _{r_{1}+1}t}$, …, $\Lambda _{r}=\mathrm {e} ^{{\tfrac {1}{2}}\lambda _{r}t}$,

wo $t$ einen willkürlichen reellen Parameter bezeichnet. Es sind dann zwei Fälle zu unterscheiden, je nachdem sämtliche $m$ konjugierte Körper $k^{(1)}$, …‚ $k^{(m)}$ reell sind oder nicht. Im ersten Falle ordnen wir den $r=m-1$ Körpern $k^{(1)}$, …‚ $k^{(r)}$ die Größen $\Lambda _{1}$, …‚ $\Lambda _{r}$ und dem übriggebliebenen letzten Körper $k^{(m)}$ die Konstante $\Lambda _{m}={\tfrac {\left|{\sqrt {d}}\right|}{\Lambda _{1}\cdots \Lambda _{m-1}}}$ zu. Im zweiten Fall ordnen wir den Körpern $k^{(1)}$, …‚ $k^{(r)}$ wiederum die Größen $\Lambda _{1}$, …‚ $\Lambda _{r}$ zu, dem imaginären Körper $k^{(r+1)}$ werde die Konstante $\Lambda _{r+1}=\left|\left\{{\tfrac {\sqrt {d}}{\Lambda _{1}\cdots \Lambda _{r_{1}}\Lambda _{r_{1}+1}^{2}\cdots \Lambda _{r}^{2}}}\right\}^{\tfrac {1}{2}}\right|$ zugeordnet. Endlich ordnen wir den $m-r-1$ übriggebliebenen imaginären Körpern $k^{(r+2)}$, …‚ $k^{(m)}$ bezüglich die nämlichen Konstanten zu, wie sie bereits den konjugiert imaginären Körpern zugeordnet sind; wir bezeichnen die betreffenden Konstanten mit $\Lambda _{r+2}$, …‚ $\Lambda _{m}$. In beiden Fällen wird das Produkt

$\Lambda _{1}\cdots \Lambda _{m}=\left|{\sqrt {d}}\right|$,

und die Konstanten $\Lambda _{1}$, …‚ $\Lambda _{m}$ erfüllen mithin die Bedingungen, denen die Konstanten $\varkappa _{1}$, …, $\varkappa _{m}$ des Satzes 42 genügen sollten.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 104. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/121&oldid=- (Version vom 31.7.2018)