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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.6

wo $m_{1}$, …‚ $m_{r}$ gewisse ganze rationale Zahlen sind. Durch Übergang zu den Logarithmen folgt daraus

${\begin{aligned}m_{1}l_{1}(\eta _{1})&+\cdots +m_{r}l_{1}(\eta _{r})=0,\\&\qquad \vdots \\m_{1}l_{r}(\eta _{1})&+\cdots +m_{r}l_{r}(\eta _{r})=0,\end{aligned}}$

d. h. $m_{1}=0$, …‚ $m_{r}=0$ und $\varrho ^{M}=1$. Hieraus ergibt sich die Darstellung der Einheit ${\mathsf {H}}$, welche unser Satz 47 verlangt.

Aus der Bestimmungsweise der Einheiten $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{r}$ folgt leicht:

$\left|{\begin{array}{lll}l_{1}(\eta _{1}),&\ldots ,&l_{1}(\eta _{r})\\\vdots &\ddots &\vdots \\l_{r}(\eta _{1}),&\ldots ,&l_{r}(\eta _{r})\end{array}}\right|=AR,$

wo $A$ eine ganze rationale Zahl bedeutet und zur Abkürzung

$R=\left|{\begin{array}{lll}l_{1}(\varepsilon _{1}),&\ldots ,&l_{1}(\varepsilon _{r})\\\vdots &\ddots &\vdots \\l_{r}(\varepsilon _{1}),&\ldots ,&l_{r}(\varepsilon _{r})\end{array}}\right|$

gesetzt ist. Diese Determinante $R$ ist $\neq 0$, und hieraus folgt, daß die Darstellung der Einheit ${\mathsf {H}}$ durch die Einheiten $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{r}$ nur auf eine Weise geschehen kann. Der Beweis des fundamentalen Satzes 47 ist somit in allen Teilen erbracht.

§ 21. Die Grundeinheiten. Der Regulator des Körpers. Ein System von unabhängigen Einheiten.

Das System der Einheiten $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{r}$ mit der in Satz 47 dargelegten Eigenschaft heißt ein System von Grundeinheiten des Körpers $k$. Es folgt leicht, daß wenn $\varepsilon _{1}^{*}$, …, $\varepsilon _{r}^{*}$ ein anderes System von Grundeinheiten bedeutet, die Determinante aus den zugehörigen $r$ Systemen von je $r$ ersten Logarithmen bis auf das Vorzeichen mit $R$ übereinstimmt. Wir wählen die Reihenfolge der Grundeinheiten stets so, da8 $R$ eine positive Zahl wird. Die Zahl $R$ ist dann durch den Körper $k$ eindeutig bestimmt und wird der Regulator des Körpers $k$ genannt.

Beim obigen Beweise des Hauptsatzes 47 erkannten wir zugleich, daß eine Einheit, deren zugehörige Logarithmen sämtlich $=0$ sind, notwendig eine Einheitswurzel ist. Diese Tatsache erhält in dem folgenden Satz Ausdruck, welcher sich übrigens auch in unmittelbarer Weise leicht begründen läßt [Kronecker (6^[1]), Minkowski (3^[2])]:

Satz 48. Eine jede Einheit, die selbst und deren Konjugierte sämtlich den absoluten Betrag $1$ besitzen, ist eine Einheitswurzel.

Da in jedem Zahlkörper die beiden Einheitswurzeln $+1$ und $-1$ vorkommen, so ist die Anzahl aller Einheitswurzeln in $k$ stets gerade; sie kann offenbar nur dann $>2$ sein, wenn alle $m$ konjugierten Körper imaginär sind.

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1. Zwei Sätze über Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten. Werke 1, 103 (1857).
2. Geometrie der Zahlen. Leipzig 1896.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 108. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/125&oldid=- (Version vom 31.7.2018)