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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.10

Ein Ideal ${\mathfrak {J}}$, welches ungeändert bleibt, wenn man die Zahlen desselben durch ihre Konjugierten ersetzt, d. h. wenn man sie einer der $M-1$ Substitutionen $s_{2}$, …, $s_{M}$ unterwirft, nenne ich ein invariantes Ideal. Ein invariantes Ideal ${\mathfrak {J}}$ besitzt die folgende Eigenschaft:

Hilfssatz 11. Die $M!$-te Potenz eines jeden invarianten Ideals ${\mathfrak {J}}$ ist gleich einer ganzen rationalen Zahl.

Beweis. Es sei ${\mathsf {A}}$ eine Zahl des Ideals ${\mathfrak {J}}$, und $A_{1}$, $A_{2}$, …, $A_{M}$ seien die $M$ elementaren symmetrischen Funktionen von ${\mathsf {A}}=s_{1}{\mathsf {A}}$, $s_{2}{\mathsf {A}}$, …, $s_{M}{\mathsf {A}}$. Den größten gemeinsamen Teiler der $M$ ganzen rationalen Zahlen

$A_{1}^{\frac {M!}{1}}$, $A_{2}^{\frac {M!}{2}}$, …, $A_{M}^{\frac {M!}{M}}$

(18)

bezeichnen wir mit $A$. In gleicher Weise denken wir uns zu jeder anderen Zahl ${\mathsf {B}}$, ${\mathsf {\Gamma }}$, …^[1] des Ideals ${\mathfrak {J}}$ und ihren konjugierten die betreffenden elementaren symmetrischen Funktionen berechnet und die Teiler $B$, $C$, … in entsprechender Weise abgeleitet. Der größte gemeinsame Teiler aller möglichen dabei auftretenden Zahlen $A$, $B$, $C$, … werde mit $J$ bezeichnet. Dann ist ${\mathfrak {J}}^{M!}=J$. In der Tat: da die zu ${\mathsf {A}}$ konjugierten Zahlen ebenfalls Zahlen des Ideals ${\mathfrak {J}}$ sind, so ist

$A_{1}\equiv 0$, $({\mathfrak {J}})$, $A_{2}\equiv 0$, $({\mathfrak {J}}^{2})$, …, $A_{M}\equiv 0$, $({\mathfrak {J}}^{M})$;

und folglich sind die sämtlichen Zahlen (18) und mithin auch $A\equiv 0$ nach ${\mathfrak {J}}^{M!}$. Da das Gleiche auch von den Zahlen $B$, $C$, … gilt, so ist auch $J\equiv 0$ nach ${\mathfrak {J}}^{M!}$. Andererseits sind die Koeffizienten $A_{1}$, $A_{2}$, …, $A_{M}$ der Gleichung $M$-ten Grades für ${\mathsf {A}}$ bezüglich durch $J^{\frac {1}{M!}}$, $J^{\frac {2}{M!}}$, …, $J^{\frac {M}{M!}}$ teilbar, und somit ist ${\mathsf {A}}$ selbst durch $J^{\frac {1}{M!}}$ teilbar. Da das nämliche von allen Zahlen ${\mathsf {B}}$, ${\mathsf {\Gamma }}$, … des Ideals ${\mathfrak {J}}$ gilt, so ist ${\mathfrak {J}}^{M!}$ durch $J$ teilbar.

Aus dem eben bewiesenen Hilfssatz 11 folgt unmittelbar die weitere Tatsache:

Satz 67. Zu einem jeden beliebigen Ideal ${\mathfrak {A}}$ des Galoisschen Körpers $K$ läßt sich stets ein Ideal ${\mathfrak {B}}$ so finden, daß das Produkt ${\mathfrak {AB}}$ ein Hauptideal wird.

Beweis. Das Ideal ${\mathfrak {J}}={\mathfrak {A}}\cdot s_{2}{\mathfrak {A}}\ldots s_{M}{\mathfrak {A}}$ ist offenbar ein invariantes Ideal; es ist daher nach dem Hilfssatz 11 das Ideal

${\mathfrak {B}}={\mathfrak {J}}^{M!-1}s_{2}{\mathfrak {A}}\ldots s_{M}{\mathfrak {A}}$

ein Ideal von der Art, wie es Satz 67 verlangt.

Der Satz 67 gestattet, die weiteren Teilbarkeitsgesetze für die Ideale des Galoisschen Körpers in derselben Weise zu entwickeln, wie dies in § 5 auf Grund des Satzes 8 für einen beliebigen Zahlkörper $k$ geschehen ist.

Um dann aus den Teilbarkeitsgesetzen innerhalb des Galoisschen Körpers die Teilbarkeitsgesetze für einen beliebigen Körper $k$ abzuleiten, beweise man

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 130. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/147&oldid=- (Version vom 31.7.2018)

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