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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.10

entweder zunächst im Galoisschen Körper die Kroneckerschen Sätze 13 und 14 über Formen und schließe hieraus die Richtigkeit dieser Sätze für den Unterkörper $k$, oder man wende ein geeignetes direktes Übergangsverfahren an [Hilbert(3^[1])].

§ 37. Die Elemente, die Differente und die Diskriminante des Galoisschen Körpers.

Im Galoisschen Körper $K$ erhalten manche der früher eingeführten Begriffe eine einfachere Bedeutung. So sind die Elemente eines Galoisschen Körpers stets Ideale in diesem Körper selbst, und zwar gelten die Tatsachen:

Satz 68. Die Elemente eines Galoisschen Körpers $K$ vertauschen sich untereinander bei Anwendung einer der $M$ Substitutionen $s_{1}$, …‚ $s_{M}$. Die Differente ${\mathfrak {D}}$ des Körpers $K$ ist ein invariantes Ideal, und die Diskriminante $D=\pm N({\mathfrak {D}})$ ist daher, als Ideal, die $M$-te Potenz der Differente ${\mathfrak {D}}$.

Beweis. Bezeichnen wir mit $\Omega _{1}$, …‚ $\Omega _{M}$ eine Basis des Körpers $K$, so sind die Elemente von $K$ Ideale von der Gestalt:

${\begin{aligned}{\mathfrak {E}}_{2}&=(\Omega _{1}-s_{2}\Omega _{1},\ldots ,\Omega _{M}-s_{2}\Omega _{M}),\\&\qquad \qquad \qquad \quad \vdots \\{\mathfrak {E}}_{M}&=(\Omega _{1}-s_{M}\Omega _{1},\ldots ,\Omega _{M}-s_{M}\Omega _{M}).\end{aligned}}$

Wenden wir irgendeine der Substitutionen $s$ auf eines dieser Elemente ${\mathfrak {E}}_{i}$ an und bedenken, daß die Zahlen $s\Omega _{1}$, …, $s\Omega _{M}$ wiederum eine Basis des Körpers darstellen müssen, so folgt, wenn $ss_{i}=s_{i'}s$ gesetzt wird:

$s{\mathfrak {E}}_{i}=(s\Omega _{1}-s_{i'}s\Omega _{1},\ldots ,s\Omega _{M}-s_{i'}s\Omega _{M})={\mathfrak {E}}_{i'}$.

Die Invarianz der Körperdifferente folgt nunmehr aus ihrer Darstellung ${\mathfrak {D}}={\mathfrak {E}}_{2}\ldots {\mathfrak {E}}_{M}$.

§ 38. Die Unterkörper des Galoisschen Körpers.

Der Galoissche Körper gestattet ein sehr genaues Studium der Zerlegungsgesetze seiner Zahlen mit Rücksicht auf die in ihm enthaltenen Unterkörper, und die hierbei sich ergebenden Resultate sind vor allem für die Anwendung der allgemeinen Körpertheorie auf besondere Zahlkörper von Wichtigkeit [Hilbert(4^[2])].

Um einen beliebigen Unterkörper des Galoissehen Körpers in einfacher Art zu charakterisieren, bedienen wir uns folgender Ausdrucksweise. Wenn $r$ Substitutionen $s_{1}=1$, $s_{2}$, …, $s_{r}$ der Gruppe $G$ eine Untergruppe $g$ vom $r$-ten Grade liefern, so bildet offenbar die Gesamtheit aller derjenigen Zahlen des

Körpers $K$‚ welche bei Anwendung einer jeden Substitution von $g$ ungehindert bleiben, einen in $K$ enthaltenen Körper $k$ vom Grade $m={\frac {M}{r}}$. Dieser Körper $k$ heiße der zur Untergruppe $g$ gehörige Unterkörper. Der Galoissche Körper

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1. Über die Zerlegung der Ideale eines Zahlkörpers in Primideale. Math. Ann. 44 (1894).
2. Grundzüge einer Theorie des Galoisschen Zahlkörpers. Nachr. K. Ges. Wiss. Göttingen 1894.^{[WS 1]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Hilbert, David: Grundzüge einer Theorie der Galois’schen Zahlkörper, in: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen – Mathematisch-Physikalische Klasse, 1894, S. 224–236 GDZ Göttingen

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 131. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/148&oldid=- (Version vom 2.7.2019)