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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.17

3-ten, 4-ten, 6-ten Wurzeln der Einheit vorkommen können, so sind die einzigen imaginären quadratischen Körper, welche noch andere Einheiten als $\pm 1$ enthalten, die zwei Körper $k\left({\sqrt {-1}}\right)$ und $k\left({\sqrt {-3}}\right)$. Der erstere Körper enthält die beiden Einheiten $\pm i$, der letztere die 4 Einheiten $\pm {\frac {1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}$. Die Diskriminanten dieser zwei Körper sind $-4$ bez. $-3$; nach Satz 50 muß daher in jeder Idealklasse dieser Körper ein Ideal vorkommen, dessen Norm $\leqq 2$ bezüglich $\leqq \left|{\sqrt {3}}\right|$ ist. Da ferner im Körper $k\left({\sqrt {-1}}\right)$ die Zahl $2$ gleich der Norm des Hauptideals $(1+i)$ wird, so folgt, daß jeder dieser beiden quadratischen Körper nur eine Idealklasse besitzt. Mithin gibt es in diesen Körpern nur Hauptideale, und es ist also jede positive ganze rationale Zahl, welche zur Norm eines Ideals in $k\left({\sqrt {-1}}\right)$ bez. $k\left({\sqrt {-3}}\right)$ geeignet ist, stets Norm einer ganzen algebraischen Zahl in dem betreffenden Körper; hieraus folgen die bekannten Sätze über die Darstellung ganzer rationaler positiver Zahlen in den Gestalten $x^{2}+y^{2}$, bezüglich $x^{2}+xy+y^{2}$, wo $x$ und $y$ ganze rationale Zahlen sein sollen.

Ist dagegen $k$ ein reeller Körper, so gibt es nach Satz 47 stets eine Grundeinheit $\varepsilon$, welche verschieden von $\pm 1$ ist, und durch welche sich jede vorhandene Einheit des Körpers auf eine Weise in der Gestalt $\pm \varepsilon ^{a}$ darstellen läßt, wo $a$ eine ganze rationale Zahl bedeutet.

Die Umstände, unter denen die Norm dieser Grundeinheit $\varepsilon$ gleich $+1$ oder gleich $-1$ ausfällt, sind bisher nur in besonderen Fällen aufgedeckt worden [Arndt (1), Dirichlet (4), Legendre (1), Tano (1)]. Vgl. überdies S. 168 den ersten Abschnitt des Beweises zu Hilfssatz 13.

§ 63. Die Aufstellung des Systems der Idealklassen.

Die Ausführungen in § 24 ermöglichen für jeden besonderen Wert $m$ die Aufstellung aller Idealklassen des quadratischen Körpers $k$ und die Berechnung der Anzahl $h$ dieser Klassen. Hierher gehörige Tabellen sind auf dem Grunde der Theorie der reduzierten quadratischen Formen angefertigt worden [Gauss(1), Cayley (1)].

17. Die Geschlechter im quadratischen Körper und ihre Charakterensysteme.

§ 64. Das Symbol $\left({\frac {n,\ m}{w}}\right)$.

Bei der weiteren Entwickelung der Theorie der quadratischen Körper, insbesondere behufs einer gewissen Einteilung der Idealklassen eines und desselben Körpers, bedienen wir uns eines neuen Symbols. Sind $n$, $m$ ganze rationale Zahlen, dabei $m$ nicht Quadratzahl, und ist $w$ eine beliebige rationale

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 161. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/178&oldid=- (Version vom 31.7.2018)