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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.18

§ 82. Der transzendente Beweis für die Existenz der Geschlechter und für die übrigen in § 71 bis § 77 erlangten Resultate.

Der Satz 112 zeigt nicht nur die Existenz der $2^{r-1}$ Geschlechter von neuem, sondern er deckt zugleich eine andere tiefer liegende Tatsache auf:

Satz 113. Unter den Idealen eines beliebigen Geschlechtes im quadratischen Körper gibt es stets unendlich viele Primideale.

Hat man den Satz von der Existenz der $2^{r-1}$ Geschlechter auf dem zweiten transzendenten Wege unabhängig von den Sätzen 102, 103 und 108 festgestellt, so ist es leicht, nachträglich auch diese Sätze zu gewinnen. Man hat nämlich dazu nur noch die Kenntnis der Tatsache nötig, daß die Anzahl $a$ der ambigen Klassen in $k$ jedenfalls $\leqq 2^{r-1}$ ist. Diese Tatsache folgt aus Satz 106 über die Anzahl derjenigen ambigen Klassen, welche aus ambigen Idealen entspringen, in Verbindung mit den Schlüssen im zweiten und dritten Absatz des Beweises zu Satz 107; sie steht bei solcher Ableitung völlig unabhängig von Satz 102 da.

Es bezeichne dann, wie oben, $f$ die Anzahl der Klassen des Hauptgeschlechtes, $g$ die Anzahl der Geschlechter und ferner $f'$ die Anzahl derjenigen unter den $f$ Klassen des Hauptgeschlechtes, welche gleich Quadraten von Klassen sind. Es folgt wie in § 78, daß $gf=af'$ ist, und da nunmehr bereits $g=2^{r-1}$ bewiesen, ferner $a\leqq 2^{r_{1}}$ sicher ist, und selbstverständlich $f'\leqq f$ besteht, so ergibt sich hieraus $f'=f$ und $a=2^{r-1}$. Die erste Gleichung beweist den Satz 103, die zweite den Satz 108 und sodann den Satz 102 für $n=-1$. Aus Satz 103 und dem letzten Ergebnisse endlich folgt der Satz 102 vollständig. Denn die Zahl $n$ darin ist wegen der für sie gestellten Bedingungen gleich der Norm eines Ideals ${\mathfrak {h}}$ des Hauptgeschlechtes, versehen mit einem Vorzeichen in der in § 65 festgesetzten Weise. Bedeutet dann ${\mathfrak {k}}$ ein solches Ideal, daß ${\mathfrak {h}}\sim {\mathfrak {k}}^{2}$ ist, so muß $\alpha ={\frac {{\mathfrak {h}}\cdot n({\mathfrak {k}})}{{\mathfrak {k}}^{2}}}$ eine ganze oder gebrochene Zahl des Körpers $k$ sein, und zwar ergibt sich $n(\alpha )=\pm n$, woraus der Satz 102 folgt, sobald man berücksichtigt, daß er für $n=-1$ gilt.

So sind durch die zuletzt entwickelte transzendente Methode die Resultate in § 71 bis § 78 gerade in umgekehrter Reihenfolge zum Nachweise gelangt, als sie auf dem zuerst eingeschlagenen rein arithmetischen Wege gefunden wurden.

§ 83. Die engere Fassung des Äquivalenz- und Klassenbegriffes.

Wenn wir den in § 24 dargelegten engeren Begriff der Äquivalenz zweier Ideale zugrunde legen, so erfahren die in den Kapiteln 17 und 18 aufgestellten Sätze nur einfache, leicht zu ermittelnde Modifikationen.

Zunächst ist klar, daß der engere Äquivalenzbegriff in einem imaginären Körper $k$ unter allen Umständen und in einem reellen Körper $k$ sicherlich

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 186. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/203&oldid=- (Version vom 31.7.2018)