Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/219

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.22

als $f$-ten Grade enthalten kann. Da $k$ als Trägheitskörper des Primideals ${\mathfrak {P}}$ eine zyklische Relativgruppe in bezug auf $k_{z}$ besitzen muß und der Körper $k_{z}$ den Körper $k_{z}^{(1,\ 2)}$ enthält, so folgt, daß jene zyklische Relativgruppe von $k$ in bezug auf $k_{z}$ höchstens den Grad $f$ hat.

Andrerseits stellen wir folgende Betrachtungen an. Die beiden Körper $k^{(1)}$ und $k_{z}$ haben den Körper $k_{z}^{(1)}$, aber keinen Körper höheren Grades als gemeinsamen Unterkörper, da sonst ${\mathfrak {p}}^{(1)}$ in $k^{(1)}$ noch weiter zerlegbar sein müßte. Desgleichen haben die beiden Körper $k^{(2)}$ und $k_{z}$ den Körper $k_{z}^{(2)}$ zum größten gemeinsamen Unterkörper. Wir legen nun $k_{z}^{(1,\ 2)}$ als Rationalitätsbereich zugrunde; es ist dann $k_{z}$ ein solcher Relativkörper in bezug auf $k_{z}^{(1,\ 2)}$, der weder mit $k^{(1)}$, noch mit $k^{(2)}$ einen Relativkörper in bezug auf $k_{z}^{(1,\ 2)}$ gemein hat. Hieraus schließen wir ohne Mühe, daß $k_{z}$, höchstens vom Relativgrade ${\frac {f_{1}f_{2}}{f}}$ in bezug auf $k_{z}^{(1,\ 2)}$ sein kann. Der Körper $k_{z}$, ist daher höchstens vom Grade ${\frac {e_{1}f_{1}e_{2}f_{2}}{f}}$, d. h. die Relativgruppe von $k$ in bezug auf $k_{z}$ hat mindestens den Grad $f$. Dies zusammen mit der oben bewiesenen Tatsache zeigt, daß der Grad der Relativgruppe von $k$ in bezug auf $k_{z}$ gleich $f$ sein muß, womit sich für den gegenwärtig betrachteten besonderen Fall die Aussage des Satzes 125 deckt.

Nach Satz 123 genügt ${\mathsf {Z}}=\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{m}}$ einer irreduziblen Gleichung $F(x)=0$ vom $\Phi (m)$-ten Grade mit ganzen rationalen Koeffizienten, und nach dem Beweise zu Satz 87 bleibt diese Gleichung $F(x)=0$ auch noch irreduzibel, wenn man als Rationalitätsbereich irgendeinen Körper zugrunde legt, dessen Diskriminante zu $m$ prim ist [Kronecker (3^[1], 21^[2])].

Die Bildung der linken Seite $F(x)$ dieser Gleichung geschieht in folgender Weise. Wird für den Augenblick zur Abkürzung allgemein

$x^{m}-1=[m]$

und

${\begin{aligned}\Pi _{0}=&[m],\\\Pi _{1}=&\left[{\frac {m}{l_{1}}}\right]\left[{\frac {m}{l_{2}}}\right]\cdots ,\\\Pi _{2}=&\left[{\frac {m}{l_{1}l_{2}}}\right]\left[{\frac {m}{l_{1}l_{3}}}\right]\cdots \left[{\frac {m}{l_{2}l_{3}}}\right]\cdots ,\\\Pi _{3}=&\left[{\frac {m}{l_{1}l_{2}l_{3}}}\right]\left[{\frac {m}{l_{1}l_{2}l_{4}}}\right]\cdots \left[{\frac {m}{l_{2}l_{3}l_{4}}}\right]\cdots ,\\\vdots \,&\end{aligned}}$

gesetzt, so ist:

$F(x)={\frac {\Pi _{0}\Pi _{2}\Pi _{4}\ldots }{\Pi _{1}\Pi _{3}\Pi _{5}\ldots }}$ .

[Dedekind (1^[3]), Bachmann (2^[4])].

Ist $a$ eine ganze rationale Zahl und $p$ eine in $F(a)$ aufgehende zu $m$ prime Primzahl, so hat mit Rücksicht auf Satz 125 $p$ stets die Kongruenzeigenschaft $p\equiv 1$ nach $m$. Es gibt danach offenbar unendlich viele Primzahlen $p$ mit dieser Kongruenzeigenschaft.

---

1. Mémoire sur les facteurs irréductibles de l’expression $x^{n}-1$. Werke 1, 75 (1854).
2. Ein Satz über Diskriminanten-Formen. J. Math. 100 (1886).^{[WS 1]}
3. Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 2. bis 4. Aufl. Braunschweig 1871–1894.^{[WS 2]}
4. Die Lehre von der Kreisteilung und ihre Beziehungen zur Zahlentheorie. Leipzig 1872.

Anmerkungen (Wikisource)

1. Kronecker, Leopold: Ein Satz über Discriminanten-Formen, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 100 (1886), S. 79–82 GDZ Göttingen
2. Dedekind, Richard: Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 4. Auflage, Braunschweig, 1894, Internet Archive

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 202. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/219&oldid=- (Version vom 31.7.2018)