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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.22

Primzahlen als $m$ teilbar ist; es trifft dann dieser Satz für den Kreiskörper zu, der durch die $\textstyle {\frac {m}{l_{1}^{h_{1}}}}$-ten Einheitswurzeln bestimmt ist. Danach sind dann Zähler und Nenner des auf der rechten Seite von (37) stehenden Bruches für sich Einheiten. Der Ausdruck (36) ist ein Faktor des Produktes auf der linken Seite von (37) und daher gleichfalls in jedem Falle eine Einheit. Damit ist der Satz 126 vollständig bewiesen.

Von einer jeden beliebigen Einheit eines Kreiskörpers $k\left(\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{m}}\right)$ gilt die Tatsache, daß sie gleich dem Produkte aus einer Einheitswurzel und einer reellen Einheit ist. Die Einheitswurzel liegt dabei nicht notwendig immer in dem Körper $k\left(\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{m}}\right)$ selbst, sondern kann, wenn $m$ verschiedene Primzahlen enthält, bei geradem $m$ eine $2m$-te‚ bei ungeradem $m$ eine $4m$-te Einheitswurzel sein [Kronecker (7)]. Wir sprechen insbesondere die folgende, schon von Kummer erkannte Tatsache aus:

Satz 127. Bezeichnet $l$ eine ungerade Primzahl, und betrachten wir in dem durch $\zeta =\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l}}$ bestimmten Kreiskörper $k(\zeta )$ den durch $\zeta +\zeta ^{-1}$ bestimmten reellen Unterkörper $k\left(\zeta +\zeta ^{-1}\right)$ vom Grade ${\frac {l-1}{2}}$, so ist ein beliebiges System von Grundeinheiten dieses reellen Körpers $k\left(\zeta +\zeta ^{-1}\right)$ stets auch für den Körper $k(\zeta )$ ein System von Grundeinheiten.

Beweis. Ist $\varepsilon (\zeta )$ eine beliebige Einheit in $k(\zeta ),$ so ist $\textstyle {\frac {\varepsilon (\zeta )}{\varepsilon \left(\zeta ^{-1}\right)}}$ eine solche Einheit in $k(\zeta ),$ die selbst und deren Konjugierte sämtlich den absoluten Betrag $1$ besitzen, und sie stellt daher nach Satz 48 eine Einheitswurzel dar; wir setzen $\textstyle {\frac {\varepsilon (\zeta )}{\varepsilon \left(\zeta ^{-1}\right)}}=\pm \zeta ^{2g},$ wo $g$ eine ganze Zahl sei. Die Einheit $\eta (\zeta )=\varepsilon (\zeta )\zeta ^{-g}$ besitzt dann die Eigenschaft:

${\frac {\eta (\zeta )}{\eta \left(\zeta ^{-1}\right)}}=\pm 1.$

(38)

In dieser Formel (38) kann rechter Hand nur das positive Vorzeichen gelten. Anderenfalls nämlich wäre $\eta (\zeta )$ eine rein imaginäre Einheit; dann setzen wir $\eta ^{2}=\vartheta ,$ so daß $\vartheta$ eine Einheit des reellen Unterkörpers $k\left(\zeta +\zeta ^{-1}\right)$ wird. Die Relativdifferente der Zahl $\eta ={\sqrt {\vartheta }}$ in bezug auf den reellen Unterkörper $k\left(\zeta +\zeta ^{-1}\right)$ ist $2\eta$ und mithin prim zu $l$. Demnach müßte auch die Relativdifferente des Körpers $k(\zeta )$ in bezug auf den Körper $k\left(\zeta +\zeta ^{-1}\right)$ prim zu $l$ sein. Bedeutet nun $\mathrm {l} ^{\ast }$ ein beliebiges in $l$ aufgehendes Primideal des reellen Körpers $k\left(\zeta +\zeta ^{-1}\right),$ so würde daher nach Satz 93 dieses Ideal nicht gleich dem Quadrate eines Primideals des Körpers $k(\zeta )$ sein. Da aber $l^{\ast }$ in $l$ höchstens zur $\textstyle {\frac {l-1}{2}}$-ten Potenz vorkommt, so fände sich diese letzte Folgerung in Widerspruch mit dem Satze 117 über die Zerlegung der Zahl $l$ im Körper $k(\zeta );$ also gilt in der Tat auf der rechten Seite der Formel (38) das obere Vorzeichen.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 204. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/221&oldid=- (Version vom 31.7.2018)