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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.23

Aus $\eta (\zeta )=\eta \left(\zeta ^{-1}\right)$ folgt, daß die Zahl $\eta (\zeta )$ reell ist. Damit ist der Beweis des Satzes 127 erbracht.

Die in Satz 126 angegebenen Einheiten sind imaginär. Um reelle Einheiten zu erhalten, bilden wir‚ je nachdem $m$ eine Potenz einer Primzahl ist oder verschiedene Primzahlen enthält, die Ausdrücke:

${\mathsf {E}}_{g}={\sqrt {\frac {\left(1-{\mathsf {Z}}^{g}\right)\left(1-{\mathsf {Z}}^{-g}\right)}{(1-{\mathsf {Z}})\left(1-{\mathsf {Z}}^{-1}\right)}}}$

bez.

${\mathsf {E}}_{g}={\sqrt {\left(1-{\mathsf {Z}}^{g}\right)\left(1-{\mathsf {Z}}^{-g}\right)}},$

wo $g$ eine zu $m$ prime Zahl bedeute und der positive Wert der Quadratwurzel genommen werde. Diese Einheiten sollen kurz Kreiseinheiten genannt werden. Mit Rücksicht auf $1-{\mathsf {Z}}^{-g}=-{\mathsf {Z}}^{-g}\left(1-{\mathsf {Z}}^{g}\right)$^[1] erkennt man, daß in dem ersteren Falle diese Einheiten im Körper $k({\mathsf {Z}})$ selbst liegen, während sie im zweiten Falle als Produkte aus Einheiten des Körpers $k({\mathsf {Z}})$ in $2m$-te bez. $4m$-te Einheitswurzeln erscheinen, je nachdem $m$ gerade oder ungerade ist.

23. Der Kreiskörper in seiner Eigenschaft als Abelscher Körper.

§ 99. Die Gruppe des Kreiskörpers der $m$-ten Einheitswurzeln.

Der Kreiskörper der $m$-ten Einheitswurzeln ist bei jedem Werte von $m$, wie man leicht erkennt, ein Abelscher Körper, und zwar gelten die folgenden eingehenderen Sätze:

Satz 128. Bedeutet $l$ eine ungerade Primzahl, so ist der durch ${\mathsf {Z}}=\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l^{h}}}$ bestimmte Kreiskörper ein zyklischer Körper.

Der durch ${\mathsf {Z}}=\mathrm {e} ^{\frac {i\pi }{2^{h}}}\left(h\geqq 2\right)$ bestimmte Kreiskörper entsteht durch Zusammensetzung des imaginären quadratischen Körpers $k(i)$ und des reellen Körpers $k\left(\mathrm {e} ^{\frac {i\pi }{2^{h}}}+\mathrm {e} ^{-{\frac {i\pi }{2^{h}}}}\right)$. Der reelle Körper $k\left(\mathrm {e} ^{\frac {i\pi }{2^{h}}}+\mathrm {e} ^{-{\frac {i\pi }{2^{h}}}}\right)$ ist zyklisch vom Grade $2^{h-1}$.

Beweis. Der erste Teil des Satzes 128 folgt, wenn wir die Substitution

$s=\left({\mathsf {Z}}:{\mathsf {Z}}^{r}\right)$

(Ersetzung von ${\mathsf {Z}}$ durch ${\mathsf {Z}}^{r}$) einführen, wo unter $r$ eine Primitivzahl nach $l^{h}$ verstanden werden soll. Offenbar sind dann alle Substitutionen der Gruppe des Körpers $k({\mathsf {Z}})$ Potenzen von $s$.

Um den zweiten Teil des Satzes 128 zu beweisen, betrachten wir die Substitutionen

$s=\left({\mathsf {Z}}:{\mathsf {Z}}^{5}\right),\ s'=\left({\mathsf {Z}}:{\mathsf {Z}}^{-1}\right)=(i:-i).$

Dann folgt leicht, daß die Potenzen von $s$ und deren Produkte mit $s'$ die sämtlichen Substitutionen des Körpers $k({\mathsf {Z}})$ ausmachen.

Auf Grund des Satzes 128 ist auch für jede zusammengesetzte Zahl $m$ die Gruppe des Kreiskörpers der $m$-ten Einheitswurzeln unmittelbar anzugeben.

Anmerkungen (Wikisource)

1. Vorlage: $1-{\mathsf {Z}}^{-g}=-{\mathsf {Z}}^{-g}\left(1-Z^{g}\right)$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 205. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/222&oldid=- (Version vom 31.7.2018)