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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.25

nicht durch $l$ teilbare Zahl ist hiernach stets semiprimär. Eine beliebige ganze, nicht durch ${\mathfrak {l}}$ teilbare Zahl $\alpha$ des Körpers $k(\zeta )$ kann durch Multiplikation mit einer geeigneten Potenz der Einheitswurzel $\zeta$ stets in eine semiprimäre Zahl verwandelt werden. Ist nämlich

$\alpha \equiv a+b(1-\zeta )$,  $({\mathfrak {l}}^{2})$,

wo $a$ und $b$ ganze rationale Zahlen bedeuten, so ist

$\zeta ^{b^{*}}\cdot \alpha \equiv a$,  $({\mathfrak {l}}^{2})$,

wenn $b^{*}$ aus der Kongruenz $ab^{*}\equiv b$ nach $l$ bestimmt wird. Die Zahl $\zeta ^{b^{*}}\cdot \alpha$ ist mithin semiprimär.

Nach dieser Vorbemerkung läßt sich nunmehr das Eisensteinsche Reziprozitätsgesetz, wie folgt, aussprechen:

Satz 140. Wenn $a$ eine beliebige ganze rationale, nicht durch die ungerade Primzahl $l$ teilbare Zahl und $\alpha$ eine beliebige semiprimäre und zu $a$ prime ganze Zahl des Körpers $k(\zeta )$ der $l$-ten Einheitswurzeln ist, so gilt in diesem Körper die Reziprozitätsgleichung

$\left\{{\frac {a}{\alpha }}\right\}=\left\{{\frac {\alpha }{a}}\right\}$.

[Eisenstein (2)^[1]].

Beweis. Wir verstehen unter $r$ eine Primitivzahl nach $l$ und schreiben $s=(\zeta :\zeta ^{r})$. Es werde zunächst angenommen, daß $a=q$ eine rationale Primzahl ist, und daß die Zahl $\alpha$ nur Primideale ersten Grades enthält. Es sei ${\mathfrak {q}}$ ein in $q$ aufgehendes Primideal in $k(\zeta )$ und $g$ der Grad von ${\mathfrak {q}}$, ferner sei $p$ eine in der Norm $n(\alpha )$ vorkommende rationale Primzahl, und es mögen ${\mathfrak {p}}$ und $\pi$ dazu die gleiche Bedeutung wie in Hilfssatz 21 haben. Ist nun $s^{u}$ eine beliebige Potenz der Substitution $s$, und wenden wir den Hilfssatz 21 auf die Primideale $s^{-u}{\mathfrak {q}}$ und ${\mathfrak {p}}$ an, so ergibt sich:

$\left\{{\frac {\pi }{s^{-u}{\mathfrak {q}}}}\right\}=\left\{{\frac {q}{\mathfrak {p}}}\right\}^{g}$.

Unterwerfen wir diese Gleichung der Substitution $s^{u}$, so folgt:

$\left\{{\frac {s^{u}\pi }{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {q}{s^{u}{\mathfrak {p}}}}\right\}^{g}$.

(49)

Die in der Norm $n(\alpha )$ vorkommenden, voneinander verschiedenen rationalen Primzahlen seien $p=ml+1$, $p^{*}=m^{*}l+1$, …; ferner mögen $R$, $R^{*}$, … bez. Primitivzahlen nach $p$, $p^{*}$, … bedeuten; endlich werde

${\mathfrak {p}}=(p,\,\zeta -R^{-m})$, ${\mathfrak {p}}^{*}=(p^{*},\,\zeta -R^{*-m^{*}})$, …

gesetzt, und es gestatte die Zahl $\alpha$ die Zerlegung

$\alpha ={\mathfrak {p}}^{F(s)}{\mathfrak {p}}^{*F^{*}(s)}\ldots$,

wo die Exponenten $F$ , $F^{*}$, … ganzzahlige Funktionen in $s$ vom Grade $l-2$ mit lauter Koeffizienten, die $\geqq 0$ sind, bedeuten.

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1. Beweis der allgemeinsten Reziprozitätsgesetze zwischen reellen und komplexen Zahlen. Ber. K. Akad. Wiss. Berlin 1850.^{[WS 1]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Eisenstein, Gotthold: Eine neue Gattung zahlentheoretischer Funktionen, welche von zwei Elementen abhängen und durch gewisse lineare Funktional-Gleichungen definiert werden, in: Bericht über die zur Bekanntmachung geeigneten Verhandlungen der Königlich Preussischen Akademie, 1850, S. 36–42 Berlin-Brandenburgische Akademie

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 231. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/248&oldid=- (Version vom 31.7.2018)