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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.33

einen Charakter $\left\{{\frac {\pi ,\varepsilon \lambda }{\mathfrak {l}}}\right\}$ besteht, und da somit nach Hilfssatz 35 (S. 312) auch nur ein Geschlecht, nämlich das Hauptgeschlecht, vorhanden ist, so muß dieser Charakter den Wert 1 besitzen. Hieraus, und da nach § 159 $\left\{{\frac {\varepsilon }{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {\pi ,\varepsilon }{\mathfrak {l}}}\right\}$ ist, folgt sofort die Gleichung $\left\{{\frac {\lambda }{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {\pi ,\lambda }{\mathfrak {l}}}\right\}$.

Des weiteren sei ein Primideal $q$ der zweiten Art vorgelegt, und es bezeichne $\varkappa$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {q}}$; dann sind zwei Fälle zu unterscheiden, je nachdem $\left\{{\frac {\lambda }{\mathfrak {q}}}\right\}=1$ oder $\neq 1$ ausfällt. Im ersteren Falle lehrt die Betrachtung des Kummerschen Körpers $k({\sqrt[{l}]{\lambda }},\zeta )$, daß auch $\left\{{\frac {\varkappa ,\lambda }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$ ist. Im zweiten Palle bestimme man nach Satz 152 (S. 276) ein Primideal ${\mathfrak {p}}$, für welches $\left\{{\frac {\zeta }{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {\varkappa }{\mathfrak {p}}}\right\}^{-1}\neq 1$ ausfällt. Dann ist ${\mathfrak {p}}$ gewiß ein Primideal erster Art, und es folgt nach Satz 162 (S. 319), wenn $\pi$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {p}}$ bedeutet, $\left\{{\frac {\pi }{\mathfrak {q}}}\right\}\neq 1$; mithin läßt sich gewiß eine ganze rationale Zahl $a$ so bestimmen, daß $\left\{{\frac {\lambda \pi ^{a}}{\mathfrak {q}}}\right\}=1$ ausfällt. Betrachten wir den Körper $k({\sqrt[{l}]{\lambda \pi ^{a}}},\zeta )$, so besteht für diesen, weil $\left\{{\frac {\zeta ,\lambda \pi ^{a}}{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {\zeta }{\mathfrak {p}}}\right\}^{a}\neq 1$ ist, das Charakterensystem eines Ideals wiederum nur aus einem Charakter und dieser ist stets gleich $1$. Wenden wir die letztere Tatsache auf einen Primfaktor ${\mathfrak {Q}}$ von ${\mathfrak {q}}$ in diesem Körper an, so folgt $\left\{{\frac {\zeta \varkappa ,\lambda \pi ^{a}}{\mathfrak {l}}}\right\}=\left\{{\frac {\zeta }{\mathfrak {p}}}\right\}^{-a}\left\{{\frac {\varkappa ,\lambda }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$, und berücksichtigen wir die Gleichung $\left\{{\frac {\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\mathfrak {q}}}\right\}$, so entsteht $\left\{{\frac {\lambda }{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\varkappa ,\lambda }{\mathfrak {l}}}\right\}$.

Das Reziprozitätsgesetz für $l$-te Potenzreste ist zuerst von Kummer bewiesen worden. Der hier dargelegte neue Beweis desselben unterscheidet sich von den Kummerschen Beweisen vor allem darin, daß Kummer zunächst den ersten Ergänzungssatz, und zwar unter einem erheblichen Aufwande von Rechnung, durch eine kunstvolle Erweiterung der Formeln der Kreisteilung gewinnt und dann erst auf Grund der errechneten Formeln das Reziprozitätsgesetz zwischen zwei Primidealen ableitet, während die obige Entwicklung die Beweisgründe für das Reziprozitätsgesetz und seine beiden Ergänzungssätze aus gemeinsamer Quelle schöpft.

Von besonderen Reziprozitätsgesetzen, zu deren Behandlung die Formeln der Kreisteilung ausreichen, sind das Reziprozitätsgesetz für biquadratische Reste [Gauss (3^[1]), Eisenstein (8^[2], 9^[3])], das Reziprozitätsgesetz für kubische Reste [Eisenstein (5^[4], 7^[5]), Jacobi (1^[6])], ferner für bikubische Reste [Gmeiner (1^[7], 2^[8], 3^[9])] und die auf $5$-te, $8$-te, $12$-te Potenzreste bezüglichen Untersuchungen von Jacobi zu nennen [Jacobi (4^[10])].

Auch sei endlich noch erwähnt, daß Eisenstein ohne Beweis ein Reziprozitätsgesetz für $l$-te Potenzreste aufgestellt und dabei auch den Fall in Betracht gezogen hat, daß die Klassenanzahl des Kreiskörpers der $l$-ten Einheitswurzeln durch $l$ teilbar ist [Eisenstein (1^[11], 12^[12])].

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1. Theoria residuorum biquadraticorum, commentatio prima et secunda. Werke 2, 65 u. 93.
2. Loi de reciprocité. Nouvelle démonstration du théorème fondamental sur les résidus quadratiques dans la théorie des nombres complexes. Démonstration du théorème fondamental sur les résidus biquadratiques qui comprend comme cas particulier le théorème fondamental. J. Math. 28 (1844).^{[WS 1]}
3. Einfacher Beweis und Verallgemeinerung des Fundamentaltheorems für die biquadratischen Reste. J. Math. 28 (1844).^{[WS 2]}
4. Beweis des Reziprozitätsgesetzes für die kubischen Reste in der Theorie der aus dritten Wurzeln der Einheit zusammengesetzten komplexen Zahlen. J. Math. 27 (1844).^{[WS 3]}
5. Nachtrag zum kubischen Reziprozitätssatze für die aus dritten Wurzeln der Einheit zusammengesetzten komplexen Zahlen. Kriterien des kubischen Charakters der Zahl $3$ und ihrer Teiler. J. Math. 28 (1844).^{[WS 4]}
6. De residuis cubicis oommentatio numerosa. Werke 6, 233 (1827)
7. Die Ergänzungssätze zum bikubischen Reziprozitätsgesetze. Ber. K. Akad. Wiss. Wien 1891.^{[WS 5]}
8. Das allgemeine bikubische Reziprozitätsgesetz. Ber. Akad. Wiss. Wien 1892.^{[WS 6]}
9. Die bikubische Reziprozität zwischen einer reellen und einer zweigliedrigen regulären Zahl. Monatsh. Math. Phys. 3 (1892).
10. Über die komplexen Primzahlen, welche in der Theorie der Reste der 5ten, 8ten und 12ten Potenzen zu betrachten sind. Werke 6, 275 (1839)
11. Über eine neue Gattung zahlentheoretischer Funktionen. Ber. K. Akad. Wiss. Berlin 1850.^{[WS 7]}
12. Über ein einfaches Mittel zur Auffindung der höheren Reziprozitätsgesetze und der mit ihnen zu verbindenden Ergänzungssätze. J. Math. 39 (1850).^{[WS 8]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Eisenstein, Gotthold: La loi de réciprocité tirée des formules de Mr. Gauss sans avoir déterminé préalablement le signe du radical, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 28 (1844), S. 41–43 GDZ Göttingen
2. Eisenstein, Gotthold: Neuer Beweis und Verallgemeinerung des Binomischen Lehrsatzes, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 28 (1844), S. 44–48 GDZ Göttingen
3. Eisenstein, Gotthold: Beweis des Reciprocitätssatzes für die cubischen Reste in der Theorie der aus dritten Wurzeln der Einheit zusammengesetzten complexen Zahlen, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 27 (1844), S. 289–310 GDZ Göttingen
4. Eisenstein, Gotthold: Nachtrag zum cubischen Reciprocitätssatze für die aus dritten Wurzeln der Einheit zusammengesetzten complexen Zahlen. Criterien des cubischen Characters der Zahl 3 und ihre Theiler, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 28 (1844), S. 28–35 GDZ Göttingen
5. Gmeiner, Josef Anton: Die Ergänzungssätze zum bikubischen Reziprozitätsgesetze, in: Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in Wien – mathematisch-naturwissenschaftliche Classe, Bd. 100 (1891), S. 1330–1361 zobodat.at
6. Gmeiner, Josef Anton: Das allgemeine bikubische Reziprozitätsgesetz, in: Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in Wien – mathematisch-naturwissenschaftliche Classe, Bd. 101 (1892), S. 562-584 zobodat.at
7. Eisenstein, Gotthold: Eine neue Gattung zahlentheoretischer Funktionen, welche von zwei Elementen abhängen und durch gewisse lineare Funktional-Gleichungen definiert werden, in: Bericht über die zur Bekanntmachung geeigneten Verhandlungen der Königlich Preussischen Akademie, 1850, S. 189–198 Berlin-Brandenburgische Akademie
8. Eisenstein, Gotthold: Über ein einfaches Mittel zur Auffindung der höheren Reciprocitätsgesetze und der mit ihnen zu verbindenden Ergänzungssätze, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 39 (1850), S. 351–364 GDZ Göttingen

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 327. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/344&oldid=- (Version vom 9.9.2019)