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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.34

34. Die Anzahl der vorhandenen Geschlechter im regulären Kummerschen Körper.

§ 162. Ein Satz über das Symbol $\left\{{\frac {\nu ,\ \mu }{\mathfrak {w}}}\right\}.$

Die wichtigste Aufgabe in der Theorie der Geschlechter eines Kummerschen Körpers betrifft die Ermittlung der Anzahl der wirklich vorhandenen Geschlechter. Wir beweisen hier zunächst einen Satz, welcher dem Hilfssatz 14 (S. 171) aus der Theorie des quadratischen Körpers entspricht.

Satz 163. Wenn $\nu$ und $\mu$ zwei beliebige ganze Zahlen $(\neq 0)$ eines regulären Kreiskörpers $k(\zeta )$ bedeuten, so ist stets

$\prod _{({\mathfrak {w}})}\left\{{\frac {\nu ,\ \mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=1,$

wenn das Produkt linker Hand über sämtliche Primideale ${\mathfrak {w}}$ in $k(\zeta )$ erstreckt wird.

Beweis. Es sei $h$ die Anzahl der Idealklassen in $k(\zeta )$ und $h^{\ast }$ eine ganze rationale positive Zahl mit der Kongruenzeigenschaft $hh^{\ast }\equiv 1$ nach $l.$ Wir setzen $\nu ={\mathfrak {l}}^{a}{\mathfrak {p}}_{1}{\mathfrak {p}}_{2}\cdots$ und $\mu ={\mathfrak {l}}^{b}{\mathfrak {q}}_{1}{\mathfrak {q}}_{2}\cdots ,$ so daß $a$ und $b$ ganze rationale Exponenten und ${\mathfrak {p}}_{1},\ {\mathfrak {p}}_{2},\ \ldots ,\ {\mathfrak {q}}_{1},\ {\mathfrak {q}}_{2},\ \ldots$ gewisse von ${\mathfrak {l}}$ verschiedene Primideale in $k(\zeta )$ sind. Bedeuten ferner $\pi _{1},\ \pi _{2},\ \ldots ,\ \varkappa _{1},\ \varkappa _{2},\ \ldots$ Primärzahlen der Prim-Ideale bez. ${\mathfrak {p}}_{1},\ {\mathfrak {p}}_{2},\ \ldots ,\ {\mathfrak {q}}_{1},\ {\mathfrak {q}}_{2},\ \ldots ,$ und zwar derart, daß

$\pi _{1}={\mathfrak {p}}_{1}^{hh^{\ast }},\quad \pi _{2}={\mathfrak {p}}_{2}^{hh^{\ast }},\ \ldots ,\ \varkappa _{1}={\mathfrak {q}}_{1}^{hh^{\ast }},\quad \varkappa _{2}={\mathfrak {q}}_{2}^{hh^{\ast }},\ \ldots$

gilt, und wird noch $\lambda =1-\zeta$ gesetzt, so bestehen zwei Gleichungen von der Gestalt:

$\nu ^{hh^{\ast }}=\varepsilon \lambda ^{ahh^{\ast }}\pi _{1}\pi _{2}\ldots ,\qquad \mu ^{hh^{\ast }}=\eta \lambda ^{bhh^{\ast }}\varkappa _{1}\varkappa _{2}\ldots ,$

(150)

worin $\varepsilon$ und $\eta$ Einheiten in $k(\zeta )$ sind. Wenn ${\mathfrak {w}}$ ein beliebiges Primideal bedeutet, so ist allgemein

$\left\{{\frac {\nu ,\ \mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=\left\{{\frac {\nu ^{hh^{\ast }},\ \mu ^{hh^{\ast }}}{\mathfrak {w}}}\right\}.$

(151)

Es seien nun ${\mathfrak {p}},\ {\mathfrak {q}}$ zwei voneinander und von ${\mathfrak {l}}$ verschiedene Primideale in $k(\zeta )$ und $\pi ,\ \varkappa$ bez. Primärzahlen von ${\mathfrak {p}},\ {\mathfrak {q}};$ ferner seien $\varepsilon ,\ \eta$ beliebige Einheiten in $k(\zeta ).$ Aus Hilfssatz 36 (S. 313) und aus Satz 161 (S. 312) folgen dann leicht die Formeln

$\left.{\begin{alignedat}{3}\left\{{\frac {\varepsilon ,\ \eta }{\mathfrak {l}}}\right\}&=1,&&\left\{{\frac {\varepsilon ,\ \lambda }{\mathfrak {l}}}\right\}&=1,\\\left\{{\frac {\varepsilon ,\ \pi }{\mathfrak {l}}}\right\}\left\{{\frac {\varepsilon ,\ \pi }{\mathfrak {p}}}\right\}&=1,&\qquad \left\{{\frac {\pi ,\ \varkappa }{\mathfrak {p}}}\right\}&\left\{{\frac {\pi ,\ \varkappa }{\mathfrak {q}}}\right\}&=1.\end{alignedat}}\right\}$

(152)

Ist ${\mathfrak {w}}$ ein von ${\mathfrak {l}}$ verschiedenes Primideal, welches nicht in $\mu$ aufgeht, so ist nach Satz 148 (S. 251) die Relativdiskriminante des Kummerschen Körpers $k\left({\sqrt[{l}]{\mu }},\ \zeta \right)$ zu ${\mathfrak {w}}$ prim; fällt dann ${\mathfrak {w}}$ auch zu $\nu$ prim aus, so ist nach Satz 150 (S. 257) die Zahl $\nu$ Normenrest des Kummerschen Körpers $k\left({\sqrt[{l}]{\mu }},\ \zeta \right),$ und daher gilt nach

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 328. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/345&oldid=- (Version vom 31.7.2018)