Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/347

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.34

Primideale und außerdem das Primideal ${\mathfrak {l}}$ durchläuft. Ferner ist, wenn ${\mathfrak {l}}_{r+1}$, ${\mathfrak {l}}_{r+2}$, …, ${\mathfrak {l}}_{t}$ die außer ${\mathfrak {l}}_{1}$, ${\mathfrak {l}}_{2}$, …, ${\mathfrak {l}}_{r}$ in der Relativdiskriminante aufgehenden Primideale bedeuten, nach § 149

$\left\{{\frac {{\bar {\nu }},\mu }{{\mathfrak {l}}_{r+1}}}\right\}=1$, $\left\{{\frac {{\bar {\nu }},\mu }{{\mathfrak {l}}_{r+2}}}\right\}=1,\ldots ,\left\{{\frac {{\bar {\nu }},\mu }{{\mathfrak {l}}_{t}}}\right\}=1$.

(154)

Kommt nun in der Relativdiskriminante des Körpers $K$ das Primideal ${\mathfrak {l}}$ vor, so ist wegen (153) schon hiermit bewiesen, daß das Produkt sämtlicher $r$ Charaktere gleich $1$ ist. Kommt andererseits das Primideal ${\mathfrak {l}}$ in jener Relativdiskriminante nicht vor, so ist nach Satz 150 (S. 257) die Zahl ${\bar {\nu }}$ Normenrest des Körpers $K$ nach ${\mathfrak {l}}$, und folglich ist nach Satz 151 (S. 272) $\left\{{\frac {{\bar {\nu }},\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$; damit erkennen wir aus (153) und (154) auch in diesem Falle den einen Teil der Aussage des Satzes 164 als richtig.

Den Beweis für den anderen Teil der Aussage des Satzes 164 führen wir der Kürze wegen nur in dem Fall, daß die Relativdiskriminante des Körpers $K$ den Primfaktor ${\mathfrak {l}}$ nicht enthält. Es seien dann wiederum ${\mathfrak {l}}_{1}$, …, ${\mathfrak {l}}_{t}$ die $t$ in der Relativdiskriminante von $K$ aufgehenden Primideale des Körpers $k(\zeta )$, und $\lambda _{1}$, …, $\lambda _{t}$ seien bezüglich Primärzahlen von ${\mathfrak {l}}_{1}$, …, ${\mathfrak {l}}_{t}$; ferner gehe allgemein ${\mathfrak {l}}_{i}$ in $\mu$ genau $e_{i}$ mal auf, und es sei $e_{i}*$ dann eine ganze rationale Zahl mit der Kongruenzeigenschaft $e_{i}e_{i}^{*}\equiv 1$ nach $l$. Endlich mögen $\gamma _{1}$, …, $\gamma _{r}$ beliebig gewählte $r$ der Bedingung $\gamma _{1}\cdots \gamma _{r}=1$ genügende $l$-te Einheitswurzeln sein; nach Satz 152 (S. 276) gibt es dann stets in $k(\zeta )$ ein Primideal ${\mathfrak {p}}$, das in $\mu$ nicht aufgeht und überdies die Forderungen

$\left\{{\frac {\lambda _{1}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{m}=\gamma _{1}^{e_{1}^{*}}$, $\left\{{\frac {\lambda _{2}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{m}=\gamma _{2}^{e_{2}^{*}},\ldots ,\left\{{\frac {\lambda _{r}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{m}=\gamma _{r}^{e_{r}^{*}}$,

(155)

$\left\{{\frac {\lambda _{r+1}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{m}=1$, $\left\{{\frac {\lambda _{r+2}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{m}=1,\ldots ,\left\{{\frac {\lambda _{t}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{m}=1$

(156)

für irgendeinen Exponenten $m$ aus der Reihe $1$, $2$, …, $l-1$ erfüllt. Ist $\pi$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {p}}$, so folgt wegen (155) mit Benutzung von Satz 161 (S. 312)

$\left\{{\frac {\pi ^{m},\mu }{{\mathfrak {l}}_{i}}}\right\}=\left\{{\frac {\pi ,\mu }{{\mathfrak {l}}_{i}}}\right\}^{m}=\left\{{\frac {\pi }{{\mathfrak {l}}_{i}}}\right\}^{me_{i}}=\left\{{\frac {\lambda _{i}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{me_{i}}=\gamma _{i}$, $(i=1,2,\ldots ,r)$.

(157)

Ferner ergibt sich wegen (156) in ähnlicher Weise

$\left\{{\frac {\pi ,\mu }{{\mathfrak {l}}_{i}}}\right\}=\left\{{\frac {\pi }{{\mathfrak {l}}_{i}}}\right\}^{e_{i}}=\left\{{\frac {\lambda _{i}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{e_{i}}=1$, $(i=r+1,r+2,\ldots ,t)$.

(158)

Da $\gamma _{1}\cdots \gamma _{r}=1$ ist, so ist wegen (157) und (158)

$\prod _{({\mathfrak {w}})}\left\{{\frac {\pi ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=1$,

(159)

wenn hierin ${\mathfrak {w}}$ alle Primideale ${\mathfrak {l}}_{1}$, …, ${\mathfrak {l}}_{t}$ durchläuft. Bedeutet nun ${\mathfrak {m}}$ ein von ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {l}}_{1}$, …, ${\mathfrak {l}}_{t}$ verschiedenes Primideal in $k(\zeta )$, so ist gemäß Satz 150

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 330. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/347&oldid=- (Version vom 9.9.2019)