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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.34

(S. 257) die Zahl $\pi$ Normenrest des Kummerschen Körpers $K$ nach ${\mathfrak {m}}$ und folglich nach Satz 151 (S. 272) stets $\left\{{\frac {\pi ,\mu }{\mathfrak {m}}}\right\}=1$. Mit Rücksicht auf diesen Umstand und wegen (159) lehrt der Satz 163 (S. 328), daß auch $\left\{{\frac {\pi ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right\}=1$, d. h. $\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {p}}}\right\}=1$ sein muß. Infolge der letzteren Gleichung zerfällt das Primideal ${\mathfrak {p}}$ nach Satz 149 (S. 254) im Körper $K$ in $l$ Primideale. Ist ${\mathfrak {P}}$ eines derselben, so hat, wenn wir (157) und (158) berücksichtigen, das Ideal ${\mathfrak {P}}^{m}$ offenbar die vorgeschriebenen Einheitswurzeln $\gamma _{1}$, …, $\gamma _{r}$ als Charaktere, und damit ist der Satz 164 für den hier betrachteten Fall vollständig bewiesen.

Geht ${\mathfrak {l}}$ in der Relativdiskriminante von $K$ auf, so hat man, um den Satz 164 zu beweisen, an den vorstehenden Ausführungen eine geeignete Abänderung anzubringen, die man leicht aus der Analogie mit den entsprechenden Betrachtungen für den quadratischen Körper (vgl. S. 184 bis 185) ersieht. Kummer hat seinen Untersuchungen einen gewissen Zahlring im Körper $K=k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$, nicht die Gesamtheit der ganzen Zahlen dieses Körpers zugrunde gelegt. Der Begriff des Geschlechtes bedarf dann einer gewissen veränderten Fassung. Es ist Kummers großes Verdienst, für den von ihm ausgewählten Zahlring diejenige Tatsache aufgestellt und bewiesen zu haben, die für den Körper $K$ selbst sich in dem Satze 164 ausdrückt [Kummer (20^[1])]. Außer dem von Kummer behandelten Ringe sind noch unendlich viele andere Ringe in $K$ vorhanden, deren Theorie mit entsprechendem Erfolge zu entwickeln sein würde.

§ 164. Die Klassen des Hauptgeschlechtes in einem regulären Kummerschen Körper.

Wir heben in diesem und dem nächsten Paragraphen einige wichtige Folgerungen hervor, die aus dem Fundamentalsatz 164 für den Kummerschen Körper $K=k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$ sich ergeben, und die den in § 71 und § 72 oder in § 82 für den quadratischen Körper entwickelten Sätzen entsprechen.

Satz 165. Die Anzahl $g$ der Geschlechter in einem regulären Kummerschen Körper ist gleich der Anzahl seiner ambigen Komplexe.

Beweis. Wenn $t$ und $n$ die Bedeutung wie in Satz 159 (S. 302) haben, und wenn wir berücksichtigen, daß nach Satz 164 (S. 329) $g=l^{r-1}$ ist, so folgt aus Hilfssatz 34 (S. 310) $r-1\leqq t+n-{\frac {l+1}{2}}$, und da nach Hilfssatz 33 (S. 308) andererseits $t+n-{\frac {l+1}{2}}\leqq r-1$ sein muß, so folgt

$r-1=t+n-{\frac {l+1}{2}}$.

Die im Beweise (S. 311) zu Hilfssatz 34 bestimmte Anzahl $a$ der ambigen Komplexe ist mithin $=l^{r-1}$; wir haben daher $a-g$.

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1. Über die allgemeinen Reziprozitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist. Abh. K. Akad. Wiss. Berlin 1859.^{[WS 1]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Kummer, Ernst Eduard: Über die allgemeinen Reciprozitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist, in: Abhandlungen der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Mathematische Abhandlungen, 1859, S. 19–159 Internet Archive; Auszug in: Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1858 S. 158–171 Berlin-Brandenburgische Akademie

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 331. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/348&oldid=- (Version vom 17.1.2020)