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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

und setzen wiederum ${{\mathfrak {q}}'_{1}}^{h}=(\varkappa '_{1})$, ..., ${{\mathfrak {q}}'_{\frac {m}{2}}}^{h}=(\varkappa '_{\frac {m}{2}})$, wo $\varkappa '_{1}$, ..., $\varkappa '_{\frac {m}{2}}$ ganze Zahlen in $k$ sind; sodann denken wir uns die sämtlichen Schlußfolgerungen dieses Beweises für das neue System von Primidealen ${\mathfrak {q}}'_{1}$, ..., ${\mathfrak {q}}'_{\frac {m}{2}}$ wiederholt.

Auf diese Weise gelangen wir zu einem Ausdruck

$\mu '=\pi ^{\ast }\varepsilon '{\varkappa '_{1}}^{v'_{1}}\cdots {\varkappa '_{\frac {m}{2}}}^{v'_{\frac {m}{2}}}\equiv {\alpha '}^{2},\quad (2^{2})$,

in dem $\varepsilon '$ eine gewisse Einheit und $v'_{1}$, ..., $v'_{\frac {m}{2}}$ gewisse Exponenten $0$, $1$ bedeuten. Hätten hier die Exponenten $v'_{1}$, ..., $v'_{\frac {m}{2}}$ sämtlich den Wert $0$, so wäre wiederum $\pi =\pi ^{\ast }\varepsilon '$ eine Zahl von der Art, wie sie Satz 32 verlangt; wir nehmen also an, daß diese Exponenten $v'_{1}$, ..., $v'_{\frac {m}{2}}$ nicht sämtlich gleich $0$ ausfallen und folgern dann wie vorhin, daß jedes Primideal ${\mathfrak {r}}$, für welches $\textstyle \left({\frac {\mu '}{\mathfrak {r}}}\right)=+1$ ist, auch die Eigenschaft $\textstyle \left({\frac {\mathfrak {r}}{\mathfrak {p}}}\right)=+1$ besitzt.

Wir bezeichnen nun kurz mit ${\mathfrak {r}}_{\mu }$ alle diejenigen Primideale in $k$, für welche

$\left({\frac {\mu }{{\mathfrak {r}}_{\mu }}}\right)=+1$

ist und mit ${\mathfrak {r}}_{\mu \mu '}$ alle diejenigen Primideale in $k$, für welche zugleich

$\left({\frac {\mu }{{\mathfrak {r}}_{\mu \mu '}}}\right)=-1$   und   $\left({\frac {\mu '}{{\mathfrak {r}}_{\mu \mu '}}}\right)=+1$

ausfällt, ferner mit ${\mathfrak {r}}_{\mathfrak {p}}^{(+)}$, ${\mathfrak {r}}_{\mathfrak {p}}^{(-)}$ diejenigen Primideale, für welche

$\left({\frac {{\mathfrak {r}}_{\mathfrak {p}}^{(+)}}{\mathfrak {p}}}\right)=+1$   bez.   $\left({\frac {{\mathfrak {r}}_{\mathfrak {p}}^{(-)}}{\mathfrak {p}}}\right)=-1$

wird. Da die Zahlen $\mu$, $\mu '$ sicher nicht Quadrate von ganzen Zahlen in $k$ sind und bei unseren Annahmen das nämliche auch für das Produkt $\mu \mu '$ gilt, so folgen aus Satz 17 die Gleichungen

$\left.{\begin{aligned}\sum _{({\mathfrak {r}}_{\mu })}{\frac {1}{n({\mathfrak {r}}_{\mu })^{s}}}=&{\frac {1}{2}}\log {\frac {1}{s-1}}+f_{\mu }(s),&&(s>1),\\\sum _{({\mathfrak {r}}_{\mu \mu '})}{\frac {1}{n({\mathfrak {r}}_{\mu \mu '})^{s}}}=&{\frac {1}{4}}\log {\frac {1}{s-1}}+f_{\mu \mu '}(s),&&(s>1);\end{aligned}}\right\}$

(2)

hier sind die unendlichen Summen über alle Primideale ${\mathfrak {r}}_{\mu }$ bez. ${\mathfrak {r}}_{\mu \mu '}$ zu erstrecken und $f_{\mu }(s)$, $f_{\mu \mu '}(s)$ bedeuten Funktionen der reellen Veränderlichen $s$, welche stets zwischen endlichen Grenzen bleiben, wenn $s$ sich dem Werte $1$ nähert.

Die Primideale ${\mathfrak {r}}_{\mu }$ sind offenbar sämtlich von den Primidealen ${\mathfrak {r}}_{\mu \mu '}$ verschieden und da nach dem vorhin Bewiesenen die Primideale ${\mathfrak {r}}_{\mu }$, ${\mathfrak {r}}_{\mu \mu '}$ sämtlich unter den Primidealen ${\mathfrak {r}}_{\mathfrak {p}}^{(+)}$ vorkommen, so haben wir

$\sum _{({\mathfrak {r}}_{\mathfrak {p}}^{(+)})}{\frac {1}{n({\mathfrak {r}}_{\mathfrak {p}}^{(+)})^{s}}}\geqq \sum _{({\mathfrak {r}}_{\mu })}{\frac {1}{n({\mathfrak {r}}_{\mu })^{s}}}+\sum _{({\mathfrak {r}}_{\mu \mu '})}{\frac {1}{n({\mathfrak {r}}_{\mu \mu '})^{s}}}$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 425. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/442&oldid=- (Version vom 23.2.2020)