Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/443

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

und folglich wegen (2)

$\sum _{({\mathfrak {r}}_{\mathfrak {p}}^{(+)})}{\frac {1}{n({\mathfrak {r}}_{\mathfrak {p}}^{(+)})^{s}}}\geqq {\frac {3}{4}}\log {\frac {1}{s-1}}+f_{\mu }(s)+f_{\mu \mu '}(s)$;

(3)

hier sind die unendlichen Summen wiederum über alle Primideale mit den betreffenden Eigenschaften zu erstrecken.

Die Primideale ${\mathfrak {r}}_{\mathfrak {p}}^{(+)}$, ${\mathfrak {r}}_{\mathfrak {p}}^{(-)}$ erschöpfen offenbar, wenn man von dem einen Primideale ${\mathfrak {p}}$ absieht, die sämtlichen Primideale ${\mathfrak {w}}$ in $k$ und es ist daher

$\sum _{({\mathfrak {r}}_{\mathfrak {p}}^{(+)})}{\frac {1}{n({\mathfrak {r}}_{\mathfrak {p}}^{(+)})^{s}}}+\sum _{({\mathfrak {r}}_{\mathfrak {p}}^{(-)})}{\frac {1}{n({\mathfrak {r}}_{\mathfrak {p}}^{(-)})^{s}}}=-{\frac {1}{n({\mathfrak {p}})^{s}}}+\sum _{({\mathfrak {w}})}{\frac {1}{n({\mathfrak {w}})^{s}}}=\log {\frac {1}{s-1}}+f(s)$,

(4)

wo die Summe $\sum \limits _{({\mathfrak {w}})}$ über sämtliche Primideale ${\mathfrak {w}}$ in $k$ erstreckt werden soll und $f(s)$ wiederum eine für $s=1$ zwischen endlichen Grenzen bleibende Größe bezeichnet. Aus (3) und (4) zusammen folgt die Ungleichung

$\sum _{({\mathfrak {r}}_{\mathfrak {p}}^{(+)})}{\frac {1}{n({\mathfrak {r}}_{\mathfrak {p}}^{(+)})^{s}}}-\sum _{({\mathfrak {r}}_{\mathfrak {p}}^{(-)})}{\frac {1}{n({\mathfrak {r}}_{\mathfrak {p}}^{(-)})^{s}}}\geqq {\frac {1}{2}}\log {\frac {1}{s-1}}+2f_{\mu }(s)+2f_{\mu \mu '}(s)-f(s)$.

(5)

Wegen

$\sum _{({\mathfrak {r}}_{\mathfrak {p}}^{(+)})}{\frac {1}{n({\mathfrak {r}}_{\mathfrak {p}}^{(+)})^{s}}}-\sum _{({\mathfrak {r}}_{\mathfrak {p}}^{(-)})}{\frac {1}{n({\mathfrak {r}}_{\mathfrak {p}}^{(-)})^{s}}}=\sum _{({\mathfrak {w}})}\left({\frac {\mathfrak {w}}{\mathfrak {p}}}\right){\frac {1}{n({\mathfrak {w}})^{s}}}$

enthält die Ungleichung (5) unmittelbar einen Widerspruch gegen den Satz 31 und mithin sind unsere Annahmen zu verwerfen, d. h. es müssen die Exponenten $v_{1}$, ..., $v_{\frac {m}{2}}$ in der Kongruenz (1) oder das zweitemal die Exponenten $v'_{1}$, ..., $v'_{\frac {m}{2}}$ in der entsprechenden Kongruenz sämtlich $0$ sein; dann ist aber, wie bereits hervorgehoben wurde, $\pi =\pi ^{\ast }\varepsilon$ bez. $\pi =\pi ^{\ast }\varepsilon '$ eine Zahl von der Art, wie sie der Satz 32 verlangt und damit haben wir die Richtigkeit dieses Satzes erkannt.

Auch die Umkehrung des Satzes 32 ist gültig, wie der folgende Satz zeigt:

Satz 33. Wenn $\pi$ eine ganze Zahl in $k$ bedeutet, welche dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach $2^{2}$ kongruent ausfällt, und wenn überdies $(\pi )$ gleich ${\mathfrak {p}}^{h}$ ist, wo ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal in $k$ bedeutet, so ist dieses Primideal ${\mathfrak {p}}$ stets primär.

Beweis. Wir betrachten den Körper $K({\sqrt {\pi }})$: Wegen Satz 4 und 5 besitzt die Relativdiskriminante dieses Körpers nur den einen Primfaktor ${\mathfrak {p}}$. Mit Hilfe von Satz 22, nach der Bemerkung am Schluß von § 15, und bei Anwendung der Bezeichnungsweise dieses Satzes 22 für den Körper $K({\sqrt {\pi }})$ erhalten wir wegen $t=1$ die Ungleichung

$1+v^{\ast }-{\frac {m}{2}}>0$   d. h.   $v^{\ast }\geqq {\frac {m}{2}}$.

Da andererseits $v^{\ast }$ nach § 11 nicht größer als $\textstyle {\frac {m}{2}}$ sein kann, so haben wir $v^{\ast }=\textstyle {\frac {m}{2}}$;

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 426. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/443&oldid=- (Version vom 23.2.2020)