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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

es ist mithin jede Einheit $\xi$ in $k$ die Relativnorm einer Einheit des Körpers $K({\sqrt {\pi }})$ und hieraus folgt nach Satz 9

$\left({\frac {\xi ,\pi }{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\xi }{\mathfrak {p}}}\right)=+1$,

d. h. ${\mathfrak {p}}$ ist ein primäres Primideal.

§ 24. Zwei besondere Fälle des Reziprozitätsgesetzes für quadratische Reste im Körper ${\boldsymbol {k}}$.

Auf Grund des Satzes 32 können wir folgende neue Definition aufstellen:

Definition 15. Wenn ${\mathfrak {p}}$ ein primäres Primideal in $k$ ist und ${\mathfrak {p}}^{h}=(\pi )$ wird, wo $\pi$ eine solche ganze Zahl in $k$ bedeutet, die dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach dem Modul $2^{2}$ kongruent ausfällt, so nenne ich $\pi$ eine Primärzahl des primären Primideals ${\mathfrak {p}}$. Wegen Satz 28 ist die Primärzahl $\pi$ durch das primäre Primideal ${\mathfrak {p}}$ bis auf das Quadrat einer Einheit in $k$ bestimmt.

Satz 34. Es sei ${\mathfrak {p}}$ ein primäres Primideal in $k$ und ${\mathfrak {r}}$ ein beliebiges Primideal in $k$; ferner sei $\pi$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {p}}$ und $\varrho$ irgendeine ganze Zahl in $k$, so daß $(\varrho )={\mathfrak {r}}^{h}$ wird: wenn dann $\textstyle \left({\frac {\pi }{\mathfrak {r}}}\right)=+1$ ist, so fällt auch $\textstyle \left({\frac {\varrho }{\mathfrak {p}}}\right)=+1$ aus.

Beweis. Mit Rücksicht auf Definition 15 und wegen Satz 4 und 5 besitzt die Relativdiskriminante des Körpers $K({\sqrt {\pi }})$ nur den einen Primfaktor ${\mathfrak {p}}$, und daher ist wegen Satz 26 in diesem Relativkörper die Anzahl der Geschlechter gleich $1$, d. h. es gehören alle Ideale des Körpers $K({\sqrt {\pi }})$ dem Hauptgeschlechte an. Wegen der Annahme $\textstyle \left({\frac {\pi }{\mathfrak {r}}}\right)=+1$ ist nach Satz 7 ${\mathfrak {r}}$ in $K({\sqrt {\pi }})$ in das Produkt zweier Primideale zerlegbar; für den Charakter eines jeden dieser beiden Primideale erhalten wir den Wert

$\left({\frac {\varrho ,\pi }{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\varrho }{\mathfrak {p}}}\right)=+1$,

womit der Satz 34 bewiesen ist.

Satz 35. Wenn ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {p}}^{\ast }$ zwei primäre Primideale in $k$ und $\pi$, $\pi ^{\ast }$ bez. Primärzahlen von ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {p}}^{\ast }$ sind, so gilt die Gleichung

$\left({\frac {\pi }{{\mathfrak {p}}^{\ast }}}\right)=\left({\frac {\pi ^{\ast }}{\mathfrak {p}}}\right)$.

Beweis. Im Falle $\textstyle \left({\frac {\pi }{{\mathfrak {p}}^{\ast }}}\right)=+1$ folgt die Richtigkeit dieses Satzes unmittelbar aus dem Satze 34. Nehmen wir andererseits $\textstyle \left({\frac {\pi }{{\mathfrak {p}}^{\ast }}}\right)=-1$ an, so muß notwendig auch $\textstyle \left({\frac {\pi ^{\ast }}{\mathfrak {p}}}\right)=-1$ sein; denn wäre $\textstyle \left({\frac {\pi ^{\ast }}{\mathfrak {p}}}\right)=+1$, so würde aus dem nämlichen Satze 34 die Gleichung $\textstyle \left({\frac {\pi }{{\mathfrak {p}}^{\ast }}}\right)=+1$ folgen, was der Annahme widerspricht.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 427. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/444&oldid=- (Version vom 23.2.2020)