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	Hermann Minkowski: Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern

(37) die Identität ${\text{Det}}^{\frac {1}{2}}({\mathsf {\overline {A}}}f{\mathsf {A}})={\text{Det }}{\mathsf {A}}\ {\text{Det}}^{\frac {1}{2}}f$. Es wird danach ${\text{Det}}^{\frac {1}{2}}f$ eine Invariante bei den Lorentz-Transformationen (s. Gleich. (26) in § 5).

Für die duale Matrix $f^{*}$ folgt dann mit Rücksicht auf (36):

$({\mathsf {A}}^{-1}f^{*}{\mathsf {A}})({\mathsf {A}}^{-1}f{\mathsf {A}})={\mathsf {A}}^{-1}f^{*}f{\mathsf {A}}={\text{Det}}^{\frac {1}{2}}f.\,{\mathsf {A}}^{-1}{\mathsf {A}}={\text{Det}}^{\frac {1}{2}}f,$

woraus zu ersehen ist, daß mit dem Raum-Zeit-Vektor II. Art $f$ zusammen auch die zugehörige duale Matrix $f^{*}$ sich wie ein Raum-Zeit-Vektor II. Art abändert, und es heiße deshalb $f^{*}$ mit den Komponenten $f_{14},\ f_{24},\ f_{34},\ f_{23},\ f_{31},\ f_{12}$ der duale Raum-Zeit-Vektor von $f$.

6°. Sind $w$ und $s$ zwei Raum-Zeit-Vektoren I. Art, so wird unter $w{\overline {s}}$ (wie auch unter $s{\overline {w}}$) die Verbindung

(43)	$w_{1}s_{1}+w_{2}s_{2}+w_{3}s_{3}+w_{4}s_{4}$

aus den bezüglichen Komponenten zu verstehen sein. Bei einer Lorentz-Transformation ${\mathsf {A}}$ ist wegen $(w{\mathsf {A}})({\mathsf {\overline {A}}}\,{\overline {s}})=w{\overline {s}}$ diese Verbindung invariant. — Ist $w{\overline {s}}=0$, so sollen $w$ und $s$ normal zu einander heißen.

Zwei Raum-Zeit-Vektoren I. Art $w,\ s$ geben ferner zur Bildung der $2\times 4$-reihigen Matrix

${\begin{vmatrix}w_{1},&w_{2},&w_{3},&w_{4}\\s_{1},&s_{2},&s_{3},&s_{4}\end{vmatrix}}$

Anlaß. Es zeigt sich dann sofort, daß das System der sechs Größen

(44)	$w_{2}s_{3}-w_{3}s_{2},\ w_{3}s_{1}-w_{1}s_{3},\ w_{1}s_{2}-w_{2}s_{1},\ w_{1}s_{4}-w_{4}s_{1},\ w_{2}s_{4}-w_{4}s_{2},\ w_{3}s_{4}-w_{4}s_{3}$

sich bei den Lorentz-Transformationen als Raum-Zeit Vektor II. Art verhält. Der Vektor II. Art mit diesen Komponenten (44) werde mit $[w,s]$ bezeichnet. Man erschließt leicht ${\text{Det}}^{\frac {1}{2}}[w,s]=0$. Der duale Vektor von $[w,s]$ soll $[w,s]^{*}$ geschrieben werden.

Ist $w$ ein Raum-Zeit-Vektor I. Art, $f$ ein Raum-Zeit-Vektor II. Art, so bedeutet $wf$ zunächst jedenfalls eine $1\times 4$-reihige Matrix. Bei einer Lorentz-Transformation ${\mathsf {A}}$ geht $w$ in $w'=w{\mathsf {A}},\ f$ in $f'={\mathsf {A}}^{-1}f{\mathsf {A}}$ über; dabei wird $w'f'=w{\mathsf {A}}\ {\mathsf {A}}^{-1}f{\mathsf {A}}=(wf){\mathsf {A}}$, d. h. $wf$ transformiert sich wieder als ein Raum-Zeit-Vektor I. Art.

Man verifiziert, wenn $w$ ein Vektor I., $f$ ein Vektor II. Art ist, leicht die wichtige Identität

(45)	$[w,wf]+[w,wf^{*}]^{*}=(w{\overline {w}})f.$

Empfohlene Zitierweise:
Hermann Minkowski: Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern. Weidmannsche Buchhandlung, Berlin 1908, Seite 83. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Grundgleichungen_(Minkowski).djvu/31&oldid=- (Version vom 1.8.2018)