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Capitel 12.
Ueber die graden Linien, welche Sehnen im Kreise sind.[1]

Weil die Entwicklungen, deren wir uns fast in dem ganzen Werke bedienen, mit graden Linien und Bogen, mit ebenen und sphärischen Dreiecken sich beschäftigen, und man, obgleich darüber schon Vieles in Euklid’s Elementen vorliegt, dennoch nicht Dasjenige besitzt, warum es sich hier hauptsächlich handelt: wie man nämlich aus den Winkeln die Seiten, und aus den Seiten die Winkel finden kann; indem der Winkel nicht die Sehne, und nicht diese, sondern der Bogen den Winkel misst; und deswegen eine Methode erfunden ist, durch welche man die Sehne eines beliebigen Bogens erkennen, und aus der Sehne mit Hülfe des Winkels den entsprechenden Bogen, und umgekehrt aus dem Bogen die Sehne, welche einem Winkel zugehört, erhalten kann: — so wird es nicht befremden, wenn wir von diesen Linien handeln. Auch über die Seiten und Winkel, sowohl der ebenen, als auch der sphärischen Dreiecke, werden wir das, was Ptolemäus zerstreut und beispielsweise mitgetheilt hat, an dieser Stelle ein für alle Mal soweit untersuchen, als später Dasjenige, was wir besprechen müssen, dadurch klarer wird. Wir theilen den Kreis nach der allgemeinen Sitte der Mathematiker in 360 Theile. Den Durchmesser nehmen die Alten als aus 120 Theilen bestehend an. Um aber bei der Multiplication und Division mit diesen Linien, die wie meistens in der Länge, so auch in der Potenz incommensurabel sind, die Verwicklung sehr kleiner Zahlen zu vermeiden, führten die Späteren von der Zeit an, wo die indischen Zahlzeichen in Gebrauch kamen, entweder einen zwölfmal oder zwanzigmal hunderttausendtheiligen, oder einen andern rationalen Durchmesser ein. Eine solche Zahlenangabe aber übertrifft jede andere, sowohl die griechische als auch die lateinische, durch ihre besondere Brauchbarkeit, und fügt sich am besten jeder Art von Rechnung. Auch wir haben deswegen 200000 Theile des Durchmessers für hinreichend gehalten, um einen merklichen Irrthum ausschliessen zu können. Was sich nämlich nicht wie eine Zahl zu einer Zahl verhält, davon genügt es, einen Näherungswerth zu erlangen. Wir wollen nun nachstehende sechs Lehrsätze und eine Aufgabe erörtern, indem wir meistentheils dem Ptolemäus folgen.

Erster Lehrsatz.

Wenn der Durchmesser eines Kreises gegeben ist, so sind auch die Seiten des Dreiecks, Vierecks, Sechsecks, Fünfecks und Zehnecks, welche derselbe Kreis umschreibt, gegeben. Der Radius, als die Hälfte des Durchmessers, ist nämlich gleich der Seite des Sechsecks. Das Quadrat der Dreiecksseite ist aber das Dreifache, und dasjenige der Quadratsseite das Doppelte von dem Quadrate der Sechsecksseite, wie das bei Euklid in den Elementen bewiesen ist.[2] Die Seite des Sechsecks wird also in der Länge 100000 Theile, die des Vierecks 141422 Theile, die des Dreiecks 173205

Anmerkungen [des Übersetzers]

  1. [12] 39) Almagest I. 9 & 10. Ueber dieses und die beiden folgenden Kapitel der Revolutionen vergl. ein Programm des Gymnasiums und der Realschule erster Ordnung in Thorn für 1872 von Prof. Dr. Fasbender.
  2. [12] 40)
    Coppernicus 139.png Coppernicus 140.png