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	Nicolaus Copernicus: Nicolaus Coppernicus aus Thorn über die Kreisbewegungen der Weltkörper

Theile enthalten.

Es sei aber die Sechsecksseite $ab$, welche nach der ersten Aufgabe des zweiten, oder nach der zehnten des sechsten Buches von Euklid^[1] im mittleren und äusseren Verhältnisse im Punkte $c$ geschnitten werde,^[2] und der grössere Abschnitt sei $bc$. An diesen tragen wir $bd=bc$ an. Dann wird auch die ganze Linie $abd$ im mittleren und äusseren Verhältnisse geschnitten, und der kleinere, angetragene Abschnitt die Seite des dem Kreise, zu welchem die Sechsecksseite $ab$ gehört, inbeschriebenen Zehnecks sein,^[3] was aus dem fünften und neunten Satze des 13ten Buches Euklids erhellt. Die Linie $bd$ selbst erhält man aber auf folgende Weise: man halbirt $ab$ in $e$, so ist aus dem dritten Satze desselben Buches von Euklid bekannt, dass das Quadrat von $ebd$ das Fünffache von dem Quadrate von $eb$ ist.^[4] Aber $eb$ hat in seiner Länge 50000 Theile, woraus sich das fünffache Quadrat, und eben jene Linie $ebd$ von der Länge von 111803 Theilen ergiebt. Wenn von diesen die 50000 Theile der Linie $eb$ abgezogen werden, so bleibt $bd$ mit 61803 Theilen, als die gesuchte Seite des Zehnecks. Die Seite des Fünfecks, deren Quadrat gleich ist der Summe der Quadrate der Sechsecks- und der Zehnecksseite^[5], enthält 117557 Theile. Wenn also der Durchmesser eines Kreises gegeben ist: so sind auch die Seiten des Dreiecks, Vierecks, Fünfecks, Sechsecks und Zehnecks, welche demselben Kreise einbeschrieben werden können, gegeben, was zu beweisen war.

Zusatz.

Daraus erhellt, dass wenn die Sehne irgend eines Bogens bekannt ist auch diejenige Sehne gegeben ist, welche dem, jenen zum Halbkreise ergänzenden Bogen zugehört. Denn der Winkel im Halbkreise ist ein Rechter. In rechtwinkligen Dreiecken ist aber das Quadrat der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite, das ist des Durchmessers, gleich den Quadraten, welche über den den rechten Winkel einschliessenden Seiten construirt worden sind. Weil also die Seite des Zehnecks, welche die Sehne eines Bogens von 36 Graden ist, bewiesenermassen 61803 Theile enthält, von denen 200000 auf den Durchmesser gehen: so ist auch die Sehne des jenen zum Halbkreise ergänzenden Bogens von 144 Graden mit 190211 solcher Theile gegeben. Und aus der Fünfecksseite, welche mit 117557 Theilen des Durchmessers 72 Grade spannt, ergiebt sich die Sehne des jenen zum Halbkreise ergänzenden Bogens von 108 Graden mit 161803 Theilen.

Zweiter Lehrsatz.

Wenn ein Viereck einem Kreise einbeschrieben ist: so ist das Rechteck aus den Diagonalen gleich den beiden Rechtecken aus je zweien einander gegenüberliegenden Seiten. Es sei nämlich $abcd$ das dem Kreise einbeschriebene Viereck: so behaupte ich, dass das Rechteck aus den Diagonalen $ac$ und $bd$ gleich ist denjenigen aus $ab$ und $cd$ und aus $ad$ und $bc$. Denn machen wir den Winkel $abe$ gleich $cbd$: so wird der ganze Winkel

Anmerkungen [des Übersetzers]

1. ⁴¹) Die Handschrift hat diese beiden Stellenangaben, während in den Ausgaben steht: „nach XI des zweiten und nach XXX des sechsten Buches“, hier bedeuten aber die römischen Ziffern die Propositionen und nicht die Probleme, wie in der Handschrift. Es sind also beide Arten der Citate identisch.
2. ⁴²) d. h. es soll $ab:bc=bc:ac$ sein.
3. ⁴³)

   Ist $ab:bc=bc:ac$, so ist auch	$ab+bc$	$:ab=$	$bc+ac$	$:bc$	und dafür kann man
   nach der Construction im Texte setzen	$ad$	$:ab=$	$ab$	$:bd$.

   Bezeichnet man nun die Länge $bd$ mit $z$ und $ab$ mit $r$ so ist $r+z:r=r:z$, woraus folgt

   	$z^{2}+rz=r^{2}$,
   also	$z=\left({\sqrt {5}}-1\right){\frac {r}{2}}$.

   Derselbe Ausdruck ergiebt sich aber auch für die Zehnecksseite, denn, wenn in der nebenstehenden Figur $ag=z$ die Zehnecksseite, $r$ der Radius des Kreises und $b$ dessen Mittelpunkt ist, so muss Winkel $abg={\tfrac {2}{5}}R$ und $bag=bga={\tfrac {4}{5}}R$ sein. Trägt man nun Winkel $abg$ in $g$ an $bg$, so dass Winkel $cgb={\tfrac {2}{5}}R$ , so werden die Dreiecke $abg$ und $agc$ ähnlich, folglich

   		$bg:ag=ag:ac$
   oder		$r:z=z:r-z$
   also		$z^{2}=r^{2}-rz$
   oder		$z^{2}+rz=r^{2}$
   also		$z=\left({\sqrt {5}}-1\right){\frac {r}{2}}$ wie oben.

4. ⁴⁴) $eb={\frac {r}{2}}$, also $(eb)^{2}={\frac {r^{2}}{4}}$, oder $5(eb)^{2}=5{\frac {r^{2}}{4}}$ $ebd=eb+bd={\frac {r}{2}}+z={\frac {r}{2}}+\left({\sqrt {5}}-1\right){\frac {r}{2}}={\frac {r}{2}}{\sqrt {5}}$ also $(ebd)^{2}=5{\frac {r^{2}}{4}}=5(eb)^{2}$
5. ⁴⁵) Ist in der Figur der Anmerkung 43 $hg=v=$ einer Fünfecksseite, so ist $fg={\frac {v}{2}}$ und da $ac=r-z$, so ist auch $af={\frac {r-z}{2}}$, folglich $z^{2}={\frac {v^{2}}{4}}+{\frac {(r-z)^{2}}{4}}$, dies ergiebt $v^{2}=3z^{2}+2rz-r^{2}$; setzt man hierin $z=\left({\sqrt {5}}-1\right){\frac {r}{2}}$, so wird $v^{2}=\left(5-{\sqrt {5}}\right){\frac {r^{2}}{2}}$; setzt man denselben Werth in $r^{2}+z^{2}$ so wird $r^{2}+z^{2}=\left(5-{\sqrt {5}}\right){\frac {r^{2}}{2}}$, mithin $v^{2}=r^{2}+z^{2}$.

Empfohlene Zitierweise:
Nicolaus Copernicus: Nicolaus Coppernicus aus Thorn über die Kreisbewegungen der Weltkörper. Ernst Lambeck, Thorn 1879, Seite 33. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Kreisbewegungen-Coppernicus-0.djvu/61&oldid=- (Version vom 4.10.2017)