Seite:Kreisbewegungen-Coppernicus-0.djvu/61

aus Wikisource, der freien Quellensammlung
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Fertig. Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle korrekturgelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext.

Theile enthalten.

Coppernicus 005.svg

Es sei aber die Sechsecksseite , welche nach der ersten Aufgabe des zweiten, oder nach der zehnten des sechsten Buches von Euklid[1] im mittleren und äusseren Verhältnisse im Punkte geschnitten werde,[2] und der grössere Abschnitt sei . An diesen tragen wir an. Dann wird auch die ganze Linie im mittleren und äusseren Verhältnisse geschnitten, und der kleinere, angetragene Abschnitt die Seite des dem Kreise, zu welchem die Sechsecksseite gehört, inbeschriebenen Zehnecks sein,[3] was aus dem fünften und neunten Satze des 13ten Buches Euklids erhellt. Die Linie selbst erhält man aber auf folgende Weise: man halbirt in , so ist aus dem dritten Satze desselben Buches von Euklid bekannt, dass das Quadrat von das Fünffache von dem Quadrate von ist.[4] Aber hat in seiner Länge 50000 Theile, woraus sich das fünffache Quadrat, und eben jene Linie von der Länge von 111803 Theilen ergiebt. Wenn von diesen die 50000 Theile der Linie abgezogen werden, so bleibt mit 61803 Theilen, als die gesuchte Seite des Zehnecks. Die Seite des Fünfecks, deren Quadrat gleich ist der Summe der Quadrate der Sechsecks- und der Zehnecksseite[5], enthält 117557 Theile. Wenn also der Durchmesser eines Kreises gegeben ist: so sind auch die Seiten des Dreiecks, Vierecks, Fünfecks, Sechsecks und Zehnecks, welche demselben Kreise einbeschrieben werden können, gegeben, was zu beweisen war.

Zusatz.

Daraus erhellt, dass wenn die Sehne irgend eines Bogens bekannt ist auch diejenige Sehne gegeben ist, welche dem, jenen zum Halbkreise ergänzenden Bogen zugehört. Denn der Winkel im Halbkreise ist ein Rechter. In rechtwinkligen Dreiecken ist aber das Quadrat der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite, das ist des Durchmessers, gleich den Quadraten, welche über den den rechten Winkel einschliessenden Seiten construirt worden sind. Weil also die Seite des Zehnecks, welche die Sehne eines Bogens von 36 Graden ist, bewiesenermassen 61803 Theile enthält, von denen 200000 auf den Durchmesser gehen: so ist auch die Sehne des jenen zum Halbkreise ergänzenden Bogens von 144 Graden mit 190211 solcher Theile gegeben. Und aus der Fünfecksseite, welche mit 117557 Theilen des Durchmessers 72 Grade spannt, ergiebt sich die Sehne des jenen zum Halbkreise ergänzenden Bogens von 108 Graden mit 161803 Theilen.

Zweiter Lehrsatz.

Wenn ein Viereck einem Kreise einbeschrieben ist: so ist das Rechteck aus den Diagonalen gleich den beiden Rechtecken aus je zweien einander gegenüberliegenden Seiten. Es sei nämlich das dem Kreise einbeschriebene Viereck: so behaupte ich, dass das Rechteck aus den Diagonalen und gleich ist denjenigen aus und und aus und . Denn machen wir den Winkel gleich : so wird der ganze Winkel

Anmerkungen [des Übersetzers]

  1. [12] 41) Die Handschrift hat diese beiden Stellenangaben, während in den Ausgaben steht: „nach XI des zweiten und nach XXX des sechsten Buches“, hier bedeuten aber die römischen Ziffern die Propositionen und nicht die Probleme, wie in der Handschrift. Es sind also beide Arten der Citate identisch.
  2. [12] 42) d. h. es soll sein.
  3. [12] 43)
    Ist , so ist auch und dafür kann man
    nach der Construction im Texte setzen .

    Bezeichnet man nun die Länge mit und mit so ist , woraus folgt

    ,
    also .
    [13] Derselbe Ausdruck ergiebt sich aber auch für die Zehnecksseite, denn, wenn in der nebenstehenden Figur die Zehnecksseite, der Radius des Kreises und dessen Mittelpunkt ist, so muss Winkel und sein. Trägt man nun Winkel in an , so dass Winkel , so werden die Dreiecke und ähnlich, folglich
    Coppernicus 141.png
    oder  
    also
    oder
    also wie oben.
  4. [13] 44) , also , oder also
  5. [13] 45) Ist in der Figur der Anmerkung 43 einer Fünfecksseite, so ist und da , so ist auch , folglich , dies ergiebt ; setzt man hierin , so wird ; setzt man denselben Werth in so wird , mithin .