Seite:Kreisbewegungen-Coppernicus-0.djvu/62

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gleich dem ganzen , indem zu jedem der Beiden hinzuaddirt ist.

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Auch sind die Winkel und einander gleich, als Winkel in demselben Kreisabschnitte, und es werden die beiden deswegen ähnlichen Dreiecke und proportionirte Seiten haben, also und . Aber auch die Dreiecke und sind ähnlich, weil die Winkel und gleichgemacht, und und als Winkel über gleichen Bogen gleich sind. Deshalb wird wieder und . Es ist aber schon nachgewiesen, dass ist. Zusammen also ist , was bewiesen zu haben vorteilhaft ist.

Dritter Lehrsatz.
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Denn daraus ergiebt sich: wenn im Halbkreise die Sehnen ungleicher Bogen gegeben sind, ist auch die Sehne des Bogens gegeben, um welchen der grössere den kleineren übertrifft. In dem Halbkreise von dem Durchmesser mögen die Sehnen der ungleichen Bogen und gegeben sein. Wollen wir nun die Sehne finden, so ergeben sich aus dem Obengesagten die Sehnen der jene zum Halbkreise ergänzenden Bogen und , mit denen das Viereck im Halbkreise zusammentrifft. Die Diagonalen desselben und ergeben sich zugleich mit den drei Seiten , und , und in demselben ist, wie schon bewiesen, . Wenn nun von abgezogen wird, so bleibt . Dividiren wir dann mit , so weit dies möglich ist, so erhalten wir die gesuchte Sehne in Zahlen. Da nun nach dem Früheren z. B. die Seiten des Fünfecks und Sechsecks gegeben sind, so ergiebt sich auf diese Weise, dass die Sehne von 12 Graden, um welche jene verschieden sind, 20905 Theile des Durchmessers beträgt.[1]

Vierter Lehrsatz.
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Wenn die Sehne irgend eines Bogens gegeben ist, so ist auch die Sehne des halben Bogens gegeben. Beschreiben wir einen Kreis , dessen Durchmesser sei; wenn nun der mit seiner Sehne gegebene Bogen ist, so möge die Linie vom Mittelpunkte aus, rechtwinklig schneiden, dieselbe wird also, nach dem dritten Satze des dritten Buches von Euklid, die Linie in , und verlängert den Bogen in halbiren. Wir ziehen noch die Sehnen und . Weil nun die Dreiecke und rechtwinklig sind, und ausserdem den Winkel

Anmerkungen [des Übersetzers]

  1. [13] 46) . Nun ist als Fünfecksseite , als Dreiecksseite , als Sechsecksseite , , als Durchmesser : folglich , , und daraus .