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	Nicolaus Copernicus: Nicolaus Coppernicus aus Thorn über die Kreisbewegungen der Weltkörper

7.

Wenn alle Seiten eines Dreiecks gegeben sind: so ergeben sich die Winkel. Von dem gleichseitigen Dreiecke ist es zu bekannt, als dass es hervorgehoben zu werden brauchte, dass seine einzelnen Winkel den dritten Theil von zweien Rechten betragen. In dem gleichschenkligen Dreiecke ist es auch klar; denn die gleichen Seiten verhalten sich zur dritten, wie die Hälfte des Durchmessers zu der Sehne des Bogens, woraus der von den gleichen Seiten eingeschlossene Winkel sich aus dem Verzeichnisse in Theilen ergiebt, von denen 360 um den Mittelpunkt herum vier Rechten gleich sind. Demnächst ergeben sich die übrigen Winkel an der Basis, als die Hälften des Restes von zweien Rechten. Es ist also nun noch übrig, dasselbe von den ungleichseitigen Dreiecken zu beweisen, die wir wieder in rechtwinklige zerlegen. Es sei also $abc$ ein ungleichseitiges Dreieck von gegebenen Seiten, und auf die längste Seite z. B. $bc$, ein Loth $ad$ gefällt. Der 13te Satz des zweiten Buches von Euklid sagt uns aber, dass das Quadrat der Seite $ab$, welche einem spitzen Winkel gegenüberliegt, um das doppelte Rechteck von $bc$ und $cd$ kleiner sei, als die Summe der Quadrate der beiden andern Seiten. Der Winkel $c$ muss aber ein spitzer sein, sonst wäre $ab$ gegen die Voraussetzung die längste Seite, was aus dem 17ten Satze des ersten Buches von Euklid und den beiden folgenden Sätzen ersehen werden kann. Es ergeben sich also $bd$ und $dc$, und von den rechtwinkligen Dreiecken $abd$ und $adc$ sind die Seiten und Winkel bekannt, wie das schon öfters wiederholt ist, wodurch denn auch die gesuchten Winkel des Dreiecks $abc$ sich ergeben.

Oder. Dasselbe wird aus dem vorletzten Satze des dritten Buches von Euklid, vielleicht für uns bequemer, sich ableiten lassen. Wenn wir mit der kürzeren Seite $bc$ als Radius, um den Mittelpunkt $c$, einen Kreis beschreiben: so schneidet derselbe entweder die beiden andern Seiten oder bloss eine von ihnen. Zunächst schneide der Kreis beide: $ab$ in $e$, $ac$ in $d$. Wir verlängern $adc$ nach $f$ um den Durchmesser $dcf$ zu vervollständigen. Nach dieser Construction ist aus jenem Satze von Euklid^[1] klar, dass das Rechteck von $fad$^[2] gleich sei dem Rechtecke von $bae$, indem jedes von Beiden gleich ist dem Quadrate der Tangente von $a$ aus an den Kreis. Die ganze Linie $af$ ist aber gegeben, weil alle ihre Stücke gegeben sind; denn $cf$ und $cd$ sind gleich $bc$ als Radien eines Kreises, und $ad$ ist die Differenz von $ca$ und $cd$. Deshalb ist auch das Rechteck von $bae$ gegeben und folglich auch $ae$ seiner Länge nach^[3], und der Rest

Anmerkungen [des Übersetzers]

1. ⁵¹) Euklid’s Elemente Buch III. Propos. 35.
2. ⁵²) Die Bedeutung der Bezeichnung „Rechteck $fad$ und $bae$“ ist $fa\cdot ad$ und $ba\cdot ae$.
3. ⁵³) Da $ab\cdot ae=af\cdot ad$, so ist $ae={\frac {af\cdot ad}{ab}}$

Empfohlene Zitierweise:
Nicolaus Copernicus: Nicolaus Coppernicus aus Thorn über die Kreisbewegungen der Weltkörper. Ernst Lambeck, Thorn 1879, Seite 45. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Kreisbewegungen-Coppernicus-0.djvu/73&oldid=- (Version vom 27.1.2018)