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4.

Wenn in einem rechtwinkligen Dreiecke noch ein Winkel und irgend eine Seite gegeben sind: so ergiebt sich auch der dritte Winkel und die beiden andern Seiten.

Denn es sei der rechte Winkel im Dreieck , und ausserdem irgend einer der beiden andern Winkel z. B. gegeben. Wegen der gegebenen Seite machen wir einen dreifachen Unterschied. Denn entweder liegt sie den beiden gegebenen Winkeln an, wie ; oder nur dem Rechten, wie ; oder sie liegt dem Rechten gegenüber, wie . Es sei also zuerst die gegebene Seite, und es werde aus dem Pole der Bogen eines grössten Kreises beschrieben, und nachdem die Quadranten und vollendet sind, werden und verlängert, bis sie sich in schneiden. Es wird also wieder in der Pol des Kreises sein, weil die Winkel bei und rechte sind. Weil nun, wenn an einer Kugel grösste Kreise sich gegenseitig rechtwinklig schneiden, sie sich halbiren und gegenseitig durch ihre Pole gehen: so sind sowohl als auch Quadranten von Kreisen; und da gegeben ist: so ist auch der Rest des Quadranten gegeben, und der Winkel ist als Scheitelwinkel dem gegebenen gleich. Nach dem vorhergehenden Beweise aber verhält sich die Sehne der doppelten zur Sehne der doppelten , wie der Durchmesser der Kugel zu der Sehne des doppelten Winkels . Drei dieser Grössen sind aber gegeben; der Durchmesser der Kugel, die Sehne des doppelten Bogens und des doppelten Winkels , oder die Hälften davon. Es ergiebt sich also, nach dem 15ten Satze des sechsten Buches Euklid’s, auch die Hälfte der Sehne des doppelten Bogens und aus dem „Verzeichnisse“ der Bogen selbst, und daraus der Rest des Quadranten , oder der gesuchte Winkel . Auf dieselbe Weise verhalten sich wieder die Sehnen der doppelten zu wie zu . Die Sehnen von , und vom Kreisquadranten sind aber schon gegeben, es ergiebt sich also auch die vierte Sehne des doppelten , und die gesuchte Seite selbst. Da sich nun die Sehnen der doppelten zu verhalten wie , — weil jedes von beiden Verhältnissen gleich dem des Durchmessers der Kugel zur Sehne des doppelten Winkels ist, und Verhältnisse, die einem und demselben gleich sind, auch unter sich gleich sind; — und da schon die drei , und gegeben sind: so ergiebt sich die vierte und daraus die dritte Seite des Dreiecks . Es werde nun die Seite als gegeben angenommen, und es sollen gefunden werden die Seiten und und der Winkel : so wird wiederum die Sehne des doppelten Bogens zu der Sehne des doppelten dasselbe Verhältniss haben, wie die Sehne des doppelten Winkels zum Durchmesser, wodurch die Seite sich ergiebt, und aus den Quadranten der Kreise die Reste und . Ebenso verhält sich die Sehne des doppelten , d. h. der Durchmesser, zu der Sehne des doppelten ,