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	Nicolaus Copernicus: Nicolaus Coppernicus aus Thorn über die Kreisbewegungen der Weltkörper

4.

Wenn in einem rechtwinkligen Dreiecke noch ein Winkel und irgend eine Seite gegeben sind: so ergiebt sich auch der dritte Winkel und die beiden andern Seiten.

Denn es sei $a$ der rechte Winkel im Dreieck $abc$, und ausserdem irgend einer der beiden andern Winkel z. B. $b$ gegeben. Wegen der gegebenen Seite machen wir einen dreifachen Unterschied. Denn entweder liegt sie den beiden gegebenen Winkeln an, wie $ab$; oder nur dem Rechten, wie $ac$; oder sie liegt dem Rechten gegenüber, wie $bc$. Es sei also zuerst $ab$ die gegebene Seite, und es werde aus dem Pole der Bogen eines grössten Kreises $de$ beschrieben, und nachdem die Quadranten $cad$ und $cbe$ vollendet sind, werden $ab$ und $de$ verlängert, bis sie sich in $f$ schneiden. Es wird also wieder in $f$ der Pol des Kreises $cad$ sein, weil die Winkel bei $a$ und $d$ rechte sind. Weil nun, wenn an einer Kugel grösste Kreise sich gegenseitig rechtwinklig schneiden, sie sich halbiren und gegenseitig durch ihre Pole gehen: so sind sowohl $abf$ als auch $def$ Quadranten von Kreisen; und da $ab$ gegeben ist: so ist auch der Rest des Quadranten $bf$ gegeben, und der Winkel $ebf$ ist als Scheitelwinkel dem gegebenen $abc$ gleich. Nach dem vorhergehenden Beweise aber verhält sich die Sehne der doppelten $bf$ zur Sehne der doppelten $ef$, wie der Durchmesser der Kugel zu der Sehne des doppelten Winkels $ebf$. Drei dieser Grössen sind aber gegeben; der Durchmesser der Kugel, die Sehne des doppelten Bogens $bf$ und des doppelten Winkels $ebf$, oder die Hälften davon. Es ergiebt sich also, nach dem 15ten Satze des sechsten Buches Euklid’s, auch die Hälfte der Sehne des doppelten Bogens $cf$ und aus dem „Verzeichnisse“ der Bogen $ef$ selbst, und daraus der Rest des Quadranten $de$, oder der gesuchte Winkel $c$. Auf dieselbe Weise verhalten sich wieder die Sehnen der doppelten $de$ zu $ab$ wie $ebc$ zu $cb$. Die Sehnen von $de$, $ab$ und vom Kreisquadranten $ebc$ sind aber schon gegeben, es ergiebt sich also auch die vierte Sehne des doppelten $cb$, und die gesuchte Seite $cb$ selbst. Da sich nun die Sehnen der doppelten $cb$ zu $ca$ verhalten wie $bf:ef$, — weil jedes von beiden Verhältnissen gleich dem des Durchmessers der Kugel zur Sehne des doppelten Winkels $cba$ ist, und Verhältnisse, die einem und demselben gleich sind, auch unter sich gleich sind; — und da schon die drei $bf$, $ef$ und $cb$ gegeben sind: so ergiebt sich die vierte $ca$ und daraus die dritte Seite $ca$ des Dreiecks $abc$. Es werde nun die Seite $ac$ als gegeben angenommen, und es sollen gefunden werden die Seiten $ab$ und $bc$ und der Winkel $c$: so wird wiederum die Sehne des doppelten Bogens $ca$ zu der Sehne des doppelten $cb$ dasselbe Verhältniss haben, wie die Sehne des doppelten Winkels $abc$ zum Durchmesser, wodurch die Seite $cb$ sich ergiebt, und aus den Quadranten der Kreise die Reste $ad$ und $be$. Ebenso verhält sich die Sehne des doppelten $abf$, d. h. der Durchmesser, zu der Sehne des doppelten $bf$,

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Nicolaus Copernicus: Nicolaus Coppernicus aus Thorn über die Kreisbewegungen der Weltkörper. Ernst Lambeck, Thorn 1879, Seite 48. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Kreisbewegungen-Coppernicus-0.djvu/76&oldid=- (Version vom 29.1.2018)