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	Nicolaus Copernicus: Nicolaus Coppernicus aus Thorn über die Kreisbewegungen der Weltkörper

in demselben Verhältnisse steht auch $dg$ zu $db$, es ergiebt sich also auch $dg$ in denselben Maasstheilen, in welchen $dc$ gegeben ist, nämlich in 100000. Auch ist der Winkel $gdc$ durch den Bogen $cb$ gegeben. Es ergiebt sich also nach dem 2ten Satze der ebenen Dreiecke die Seite $gc$ in denselben Maasstheilen, in welchen die übrigen Seiten des Dreiecks $gfc$ gegeben sind, folglich haben wir nach dem letzten Satze der ebenen Dreiecke den Winkel $gfc$, das ist der gesuchte sphärische $bac$, und dann erhalten wir die übrigen nach dem 11ten Satze der sphärischen Dreiecke.

14.

Wenn ein gegebener Kreisbogen irgend wo geschnitten wird, so dass jeder von beiden Abschnitten kleiner ist, als ein Halbkreis, und das Verhältniss der halben Sehne des doppelten einen Abschnittes zur halben Sehne des doppelten andern gegeben ist: so ergeben sich auch die Bogen der Abschnitte selbst.

Denn es sei der Bogen $abc$, dessen Mittelpunkt $d$, gegeben, und er werde in irgend einem Punkte $b$ geschnitten und zwar so, dass die Abschnitte kleiner sind, als der Halbkreis; das Längen-Verhältniss der halben Sehne des doppelten $ab$ zur halben Sehne des doppelten $bc$ sei auf irgend eine Weise gegeben: so behaupte ich, dass auch die Bogen $ab$ und $bc$ sich ergeben. Denn man ziehe die Grade $ac$, welche den Durchmesser im Punkte $e$ schneidet; von den Endpunkten $a$ und $c$ aber fälle man Perpendikel auf den Durchmesser, nämlich $af$ und $cg$: so müssen dies die Hälften der Sehnen von den doppelten $ab$ und $bc$ sein. Die Winkel der rechtwinkligen Dreiecke $aef$ und $ceg$ am Scheitel $e$ sind gleich, und deshalb sind die Dreiecke selbst gleichwinklig und ähnlich, und ihre, gleichen Winkeln gegenüberliegenden, Seiten sind proportional, z. B. $af$ zu $cg$ wie $ae$ zu $ec$. In welchen Zahlen also $af$ oder $cg$ gegeben sind, in denen haben wir auch $ae$ und $ec$, aus diesen ergiebt sich auch die ganze $aec$ in denselben Zahlen. Aber die Sehne des Bogens $abc$ ergiebt sich in Maasstheilen, in welchen der Radius $deb$, die Hälfte $ak$ von $ac$, und der Rest $ek$ sich ergeben. Man ziehe $da$ und $dk$, welche ebenfalls in denselben Maasstheilen sich ergeben, in welchen $db$, als die halbe Sehne des Abschnittes, welcher vom Halbkreise übrig bleibt, wenn man $abc$ davon abzieht, und welcher von dem Winkel $dak$ umfasst wird, und folglich ergiebt sich der Winkel $adk$, welcher die Hälfte des Bogens $abc$ umfasst. Aber auch in dem Dreiecke $edk$, das zwei gegebene Seiten und den rechten Winkel $ekd$ enthält, ergiebt sich $edk$, und hieraus der ganze Winkel $eda$, welcher den Bogen $ab$ umfasst, wodurch auch der Rest $cb$ sich herausstellt, was nachzuweisen erzielt wurde.

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Nicolaus Copernicus: Nicolaus Coppernicus aus Thorn über die Kreisbewegungen der Weltkörper. Ernst Lambeck, Thorn 1879, Seite 55. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Kreisbewegungen-Coppernicus-0.djvu/83&oldid=- (Version vom 12.7.2018)