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§. 49.
Fortsetzung: Fingirte Ladungen einzelner Punkte.
Wir wollen zunächst den Punkt auf der Centrallinie
zwischen beiden Kugeln nehmen. Es ist also , , und wir haben
(1)
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Hier hat man besonders die Nenner zu beachten. Sie sind
dadurch entstanden, dass man in den Gleichungen (7) des vorigen
Paragraphen setzt und die Quadratwurzeln auszieht.
Aber es sind, dem Wesen der Potentialfunction entsprechend, immer
die positiven Wurzeln zu nehmen. Will man also für eine der
in (1) ausgedrückten Functionen die Variable über das vorgeschriebene
Gebiet hinausgehen lassen, so hat man die Vorsicht zu
beobachten, dass jedesmal nach Ueberschreitung eines Unstetigkeitspunktes
derjenige Nenner, welcher in diesem Punkte Null
wird, wieder positiv gemacht, d. h. mit -1 multiplicirt werden
muss. Lässt man dagegen die Variable nur auf solche Gebiete
übergehen, die keinen Unstetigkeitspunkt der betreffenden Function
enthalten, so bleibt der in (1) gegebene Ausdruck ohne weiteres
gültig. Es darf also die Variable in und in auch grösser
als , in und in auch kleiner als gemacht werden, ohne
dass die Ausdrücke (1) ihre Gültigkeit verlieren.
Wir schreiben zur Abkürzung:
(2)
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(3)
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Für einen Punkt auf der Centrallinie zwischen den beiden Kugeln
gilt die Gleichung
(4)
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in welcher und beide positiv und nicht kleiner als 1 sind.
|[195]Die Function kann in doppelter Weise aufgefasst werden,
je nachdem man oder als unabhängige Variable ansieht. Wir setzen also
(5)
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Die Gleichungen (4) und (5) des vorigen Paragraphen lauten jetzt:
(6)
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(7)
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Aus (5), (6) und (7) folgt
(8)
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Um dieser Functionalgleichung in bequemer Weise genügen zu
können, zerlegen wir jede der beiden Functionen und in zwei Bestandtheile
(9)
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(10)
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und setzen fest, dass
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sein soll. Der Gleichung (8) ist Genüge geleistet, wenn
(11)
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(12)
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gesetzt wird. Da eine Potentialfunction ist, so findet man leicht die Form der Entwicklung im allgemeinen, nemlich
(13)
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und es kommt nur noch darauf an, die Coefficienten und zu
bestimmen. Nach der über getroffenen Bestimmung ist
(14)
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Aus den Gleichungen (13) und (14) leiten wir ab:
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Wir disponiren nun über die Coefficienten so, dass das te
Glied in der Entwicklung von gleich dem ten
Gliede in der Entwicklung von ist. Dann erhält man
(15)
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Damit dies zu Stande komme, hat man
(16)
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zu setzen. In den Bedingungsgleichungen (16) kommt nicht
explicite vor. Wir schreiben deshalb
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Dadurch gehen die Gleichungen (16) über in
(17)
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und wenn man und eliminirt, so ergibt sich zur Bestimmung von die quadratische Gleichung
(18)
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Wir bezeichnen die Wurzeln mit und , und bemerken, dass
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ist. Da nun vorausgesetzt ist, so zeigt sich, dass
positiv ist, und da beide Wurzeln einerlei Vorzeichen haben (ihr
Product ist ), so muss und sein.
Aus der zweiten der Gleichungen (17) findet sich
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Je nachdem wir die Wurzel oder nehmen, erhalten wir particuläre Lösungen für und . Daraus setzt sich die allgemeine Lösung zusammen, nemlich
(19)
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Es bleiben jetzt nur noch die beiden Constanten und zu bestimmen. Zu dem Ende bemerken wir, dass aus (15) und (11)
hervorgehen würde
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Dieser Gleichung lässt sich nicht ohne weiteres genügen. Wir
können aber die Function wieder zerlegen:
(20)
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und setzen dann, sofern als unabhängige Variable eingeführt wird,
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Die Gleichung (11) kann in der Weise befriedigt werden, dass wir
setzen
(21)
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(22)
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Nimmt man nun zunächst für die Entwicklung (13)
vor, so ergibt sich aus den Gleichungen (15) und (21):
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d.h.
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Aus (19) haben wir aber
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Folglich müssen wir hier setzen:
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Wird dies in die Gleichungen (19) und von da in (13) eingeführt,
so erhält man speciell für die Entwicklung
(23)
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In entsprechender Weise findet man aus (15) und (22) die
Bedingung
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also muss jetzt für die Entwicklung von gesetzt werden
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Daraus lassen sich und bestimmen, und wenn man ihre Werthe in (19) und von da in (13) einführt, so hat man speciell die Entwicklung von .
Man gelangt dazu einfacher auf dem folgenden Wege. Wir setzen
(24)
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folglich nach Gleichung (21)
(25)
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und wollen beweisen, dass hierdurch die Gleichung (22) befriedigt
wird. Es ist nemlich
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und hieraus ergibt sich durch Subtraction
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d. h. die Bedingungsgleichung (22). Vermöge der Gleichungen (23) und (25) erhält man
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oder kürzer:
(26)
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Setzt man die Entwicklungen (23) und (26) in die Gleichung (20)
ein, so ist nun die Function vollständig bestimmt.
Die Function , welche an die Gleichung (12) gebunden ist, zerlegen wir in zwei Bestandtheile
(27)
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und setzen, sofern als unabhängige Variable eingeführt wird:
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Dann lässt sich die Gleichung (12) in die beiden einfacheren zerlegen :
(28)
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(29)
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Vergleicht man nun (28) mit (21) und (29) mit (22), so erkennt
man, dass aus und aus hervorgeht, indem man die erste Kugel mit der zweiten vertauscht, also mit , mit , mit . Sobald die Ausdrücke für und für gefunden sind, ist nur für an die Stelle zu setzen
|[200]Dann hat man die Functionen und . Die durchgeführte Rechnung gibt nach leichter Reduction:
(30)
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(31)
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Für einen Punkt auf der Centrallinie zwischen beiden Kugeln ist hiernach die Potentialfunction
(32)
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Es handelt sich noch darum, die Convergenz der Reihen (23),
(26), (30), (31) zu untersuchen. In jeder dieser Reihen ist das
allgemeine Glied von der Form
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und es bedeutet in einer und derselben Entwicklung
in allen Gliedern dasselbe, ebenso . Dividirt man nun ein Glied durch
das vorhergehende, so lautet der Quotient:
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Bei Gleichung (18) ist aber bemerkt worden, dass ist und dass beide Wurzeln positiv sind. Wir nehmen ,
folglich , und können den eben gewonnenen Quotienten so
schreiben
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Der Grenzwerth für ist . Folglich convergiren die Reihen unter allen Umständen.