Beweis. In der Reihe , , …, stimmen notwendig zwei Klassen,
etwa und , miteinander überein. Aus folgt . Ist zugleich der kleinste Exponent () von der Beschaffenheit, daß wird, so folgt, daß die Klassen , , …, sämtlich untereinander verschieden sind. Ist eine von diesen Klassen verschiedene Klasse, so sind die Klassen , , …, wiederum sämtlich untereinander und von den vorigen Klassen verschieden; die Fortsetzung dieses Verfahrens zeigt, daß ein Vielfaches von sein muß, und hieraus folgt der zu beweisende Satz 51.
Die -te Potenz eines jeden beliebigen Ideals ist nach diesem Satz stets ein Hauptideal.
Satz 52. Wenn und beliebige ganze Zahlen sind, so gibt es stets eine sowohl in wie in aufgehende ganze von verschiedene Zahl , welche eine Darstellung gestattet, wo , geeignet gewählte ganze Zahlen sind. Die Zahlen , , gehören im allgemeinen nicht dem durch und bestimmten Zahlkörper an [Dedekind (1[1])].
Satz 53. Es seien , und , zwei Zahlenpaare des Körpers ; damit werde, ist es notwendig und hinreichend, daß man im Körper vier ganze Zahlen , , , finden kann, deren Determinante ist, und durch welche die Gleichungen
|
|
erfüllt sind [Hurwitz (4[2])].
Beweis. Daß die genannte Bedingung hinreichend ist, folgt aus dem Umstande, daß diese beiden Gleichungen eine Umkehrung von der Gestalt
|
|
gestatten, wo , , , ganze Zahlen sind. Die Bedingung ist ferner auch notwendig. Bezeichnet nämlich die Anzahl der Idealklassen, so wird , wo eine ganze Zahl des Körpers ist. Es sei
|
|
wo , , , ganze Zahlen in sind; dann erfüllen offenbar die vier ganzen Zahlen
, , ,
|
|
die Bedingung des Satzes 53. Daß ist, ergibt sich, wenn man die
beiden Determinanten
und
|
|
nach dem Multiplikationssatze miteinander zusammensetzt.
- ↑ [356] Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 2. bis 4. Aufl. Braunschweig 1871–1894.[WS 1]
- ↑ [358] Die unimodularen Substitutionen in einem algebraischen Zahlkörper. Nachr. K. Ges. Wiss. Göttingen 1895.[WS 2]
Anmerkungen (Wikisource)