Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/129

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.7

Nach Satz 12 kann ein jedes Ideal in der Gestalt ${\mathfrak {j}}=(\varkappa ,\,\varrho )$ dargestellt werden. Setzen wir $\vartheta ={\frac {\varkappa }{\varrho }}$, so bestimmt die ganze oder gebrochene Zahl $\vartheta$ vollständig die Idealklasse, zu welcher ${\mathfrak {j}}$ gehört. Wir nennen $\vartheta$ einen dieser Idealklasse zugeordneten Zahlbruch. Der Satz 53 zeigt, daß, wenn $\vartheta ^{*}={\frac {\varkappa ^{*}}{\varrho ^{*}}}$ ein anderer der Idealklasse zugeordneter Zahlbruch ist, notwendig vier ganze Zahlen $\alpha$‚ $\beta$, $\gamma$, $\delta$ mit der Determinante $1$ im Körper $k$ existieren müssen derart, daß $\vartheta ^{*}={\frac {\alpha \vartheta +\beta }{\gamma \vartheta +\delta }}$ wird.

§ 24. Aufstellung des Systems der Idealklassen. Engere Fassung des Klassenbegriffes.

Der Beweis des Satzes 50 gibt uns zugleich ein einfaches Mittel an die Hand, durch eine endliche Anzahl rationaler Prozesse ein volles System von nicht äquivalenten Idealen für jeden gegebenen Körper wirklich aufzustellen. Man braucht nur alle diejenigen Ideale in Betracht zu ziehen, deren Normen $\leqq \left|{\sqrt {d}}\right|$ sind. Um die zwischen diesen Idealen irgend vorhandenen Äquivalenzen sämtlich zu ermitteln, haben wir nur nötig, jedes von ihnen mit jedem zu multiplizieren und dann, wenn ${\mathfrak {j}}$ ein solches Produkt bedeutet, jedesmal in ${\mathfrak {j}}$ eine Zahl $\iota \neq 0$ mit absolut kleinster Norm aufzusuchen, um zu sehen, ob ${\mathfrak {j}}=(\iota )$ ist und somit die Faktoren reziproken Klassen angehören. Daß dies ebenfalls nur eine endliche Anzahl von Operationen erfordert, erkennen wir aus dem Satze 46. Ist nämlich $\iota _{1}$, …, $\iota _{m}$ die Basis des Ideals ${\mathfrak {j}}$, so haben wir nur nötig, $u_{1}$, …, $u_{m}$ als ganze rationale, nicht sämtlich verschwindende Zahlen so zu bestimmen, daß die absoluten Werte der reellen und imaginären Teile von $u_{1}\iota _{1}^{(s)}+\cdots +u_{m}\iota _{m}^{(s)}$ für $s=1$, …, $m$ sämtlich unter gewissen gegebenen Grenzen bleiben. Hierzu bedarf es nur einer endlichen Anzahl von Versuchen. Auf gleiche Weise sehen wir auch ein, daß für jedes vorgelegte Ideal die Klasse, der dasselbe angehört, stets durch eine endliche Anzahl von rationalen Operationen bestimmt werden kann.

Es werde bemerkt, daß unter Umständen auch eine engere Fassung des Äquivalenz- und Klassenbegriffes von Nutzen ist, indem zwei Ideale nur dann äquivalent heißen, wenn ihr Quotient eine ganze oder gebrochene Zahl mit positiver Norm ist [Dedekind (1^[1])].

§ 25. Ein Hilfssatz über den asymptotischen Wert der Anzahl aller Hauptideale, welche durch ein festes Ideal teilbar sind.

Nach dem Vorbilde von Dirichlet, welcher die Anzahl der Klassen von

binären quadratischen Formen mit gegebener Determinante auf transzendentem Wege ausgedrückt hat [Dirichlet (7^[2], 8^[3])], und auf Grund der in Kapitel 6 erhaltenen Resultate über die Einheiten eines Zahlkörpers gelang es

---

1. Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 2. bis 4. Aufl. Braunschweig 1871–1894.^{[WS 1]}
2. Sur la manière de résoudre l’équation $t^{2}-pu^{2}=1$ au moyen des fonctions circulaires. Werke 1, 343.
3. Sur l’usage des séries infinies dans la théorie des nombres. Werke 1, 357 (1838).

Anmerkungen (Wikisource)

1. Dedekind, Richard: Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 4. Auflage, Braunschweig, 1894, Internet Archive

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 112. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/129&oldid=- (Version vom 5.8.2016)