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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.7

Dedekind, eine fundamentale Formel abzuleiten, vermöge welcher sich die Anzahl $h$ der Idealklassen eines beliebigen Zahlkörpers als Grenzwert einer gewissen unendlichen Reihe darstellt [Dedekind (1^[1])]. Um zu dieser Formel zu gelangen, beweisen wir zunächst folgenden Hilfssatz:

Hilfssatz 10. Ist $t$ eine reelle positive Veränderliche und $T$ die Anzahl aller derjenigen durch das gegebene Ideal ${\mathfrak {a}}$ teilbaren Hauptideale, deren Normen $\leqq t$ sind, so ist

${\underset {t=\infty }{L}}{\frac {T}{t}}={\frac {2^{r_{1}+r_{2}}\pi ^{r_{2}}}{w}}\cdot {\frac {1}{n({\mathfrak {a}})}}{\frac {R}{|{\sqrt {d}}|}},$

wo $w$ die Anzahl der in $k$ vorkommenden Einheitswurzeln und $R$ den Regulator des Körpers $k$ bezeichnet. Die Bedeutung von $r_{1}$, $r_{2}$ ist in Satz 47 erklärt. $L$ dient zur Abkürzung für Limes.

Beweis. Es sei $\alpha _{1}$, …, $\alpha _{m}$ um eine Basis des Ideals ${\mathfrak {a}}$; jede durch ${\mathfrak {a}}$ teilbare ganze Zahl besitzt dann die Gestalt:

$\eta =\eta (v)=v_{1}\alpha _{1}+\cdots +v_{m}\alpha _{m}=f_{1}(v)\omega _{1}+\cdots +f_{m}(v)\omega _{m}$,

wo $v_{1}$, …, $v_{m}$ ganze rationale Werte annehmen und $f_{1}(v)$, …, $f_{m}(v)$ lineare ganzzahlige Funktionen der $v_{1}$, …, $v_{m}$ sind. Wenn wir $v_{1}$, …, $v_{m}$ als reelle Veränderliche ansehen und

$u_{1}={\frac {f_{1}(v)}{\left|{\sqrt[{m}]{n(\eta )}}\right|}}$, …, $u_{m}={\frac {f_{m}(v)}{\left|{\sqrt[{m}]{n(\eta )}}\right|}}$, $\xi =\xi (v)=u_{1}\omega _{1}+\cdots +u_{m}\omega _{m}={\frac {\eta (v)}{\left|{\sqrt[{m}]{n(\eta )}}\right|}}$

setzen, so sind $u_{1}$, …, $u_{m}$ eindeutige Funktionen von $v_{1}$, …, $v_{m},$ und $\xi$ ist eine Form, für welche $n(\xi )=\pm 1$ wird. Wir berechnen nun die $r$ ersten Logarithmen zur Form $\xi$ und hieraus $r$ reelle Größen $e_{1}(\xi )$, …, $e_{r}(\xi )$ derart, daß, wenn $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{r}$ ein System von Grundeinheiten bezeichnen,

${\begin{aligned}l_{1}(\xi )&=e_{1}(\xi )l_{1}(\varepsilon _{1})+\cdots +e_{r}(\xi )l_{1}(\varepsilon _{r}),\\&\;\vdots \\l_{r}(\xi )&=e_{1}(\xi )l_{r}(\varepsilon _{1})+\cdots +e_{r}(\xi )l_{r}(\varepsilon _{r})\end{aligned}}$

ist; diese $r$ Größen $e_{1}$, …, $e_{r}$ werden in diesem § 25 kurz die $r$ Exponenten von $\eta$ genannt.

Nimmt man für $v_{1}$, …, $v_{m}$ ganze rationale, nicht sämtlich verschwindende Zahlen, so ist klar, daß die so entstehende ganze Zahl $\eta$ stets durch Multiplikation mit ganzen Potenzen der Einheiten $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{r}$, in eine solche Zahl verwandelt werden kann, deren Exponenten $e_{1}$, …, $e_{r}$ den Bedingungen

$0\leqq e_{1}<1$, …, $0\leqq e_{r}<1$

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genügen. Umgekehrt sehen wir, daß zwei ganze Zahlen $\eta$, $\eta ^{\ast }$, deren Normen und Exponenten gleich sind, sich nur um einen Faktor unterscheiden können, welcher eine Einheitswurzel ist. Wenn daher $w$ die Anzahl der in $k$ liegenden

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1. Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 2. bis 4. Aufl. Braunschweig 1871–1894.^{[WS 1]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Dedekind, Richard: Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 4. Auflage, Braunschweig, 1894, Internet Archive

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 113. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/130&oldid=- (Version vom 5.8.2016)