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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.7

Einheitswurzeln bezeichnet, so ist das $w$-fache der Anzahl $T$ aller durch ${\mathfrak {a}}$ teilbaren Hauptideale mit einer Norm $\leqq t$ notwendig gleich der Anzahl der verschiedenen Systeme von ganzzahligen Wertsystemen $v_{1}$, …, $v_{m}$, für welche $|n(\eta )|\leqq t$ ausfällt, und für welche überdies die Exponenten $e_{1}$, …, $e_{r}$ den Bedingungen (13) genügen.

Nunmehr setzen wir

$\tau =t^{-{\frac {1}{m}}}$, $v_{1}={\frac {\varphi _{1}}{\tau }}$, …, $v_{m}={\frac {\varphi _{m}}{\tau }}$;

dabei bleiben die Form $\xi$ und folglich auch die Größen $l_{1}(\xi )$, …, $l_{r}(\xi ),$ $e_{1}$, …, $e_{r}$ von $\tau$ unabhängig und enthalten lediglich die $m$ neuen Veränderlichen $\varphi _{1}$, …, $\varphi _{m}$. Die Ungleichung $|n(\eta )|\leqq t$ geht in $\left|n\left(\eta (\varphi )\right)\right|\leqq 1$ über; da ferner in Folge der Bedingungen (13) die $r$ Logarithmen $l_{1}(\xi )$, …, $l_{r}(\xi )$ und folglich wegen $l_{1}(\xi )+\cdots +l_{r+1}(\xi )=\ln(\xi )=0$ auch der Logarithmus $l_{r+1}(\xi )$ absolut unter einer endlichen, durch $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{r}$ bestimmten Grenze liegen, so folgt das Gleiche für die sämtlichen Größen $\left|\xi ^{(1)}(\varphi )\right|$, …, $\left|\xi ^{(m)}(\varphi )\right|,$ und damit liegen wegen $\left|n\left(\eta (\varphi )\right)\right|\leqq 1$ auch die $m$ Größen $\left|\eta ^{(1)}(\varphi )\right|$, …, $\left|\eta ^{(m)}(\varphi )\right|$ sämtlich unterhalb einer endlichen Grenze. Hieraus folgt, daß die Ungleichungen (13) unter Zuhilfenahme der Ungleichung $\left|n\left(\eta (\varphi )\right)\right|\leqq 1$ in dem durch die $m$ Koordinaten $\varphi _{1}$, …, $\varphi _{m}$ bestimmten $m$-dimensionalen Raume ein endliches Raumgebiet abgrenzen.

Bedenken wir nun, daß nach den Ausführungen in § 19 S. 103 die Funktionswerte $l_{1}(\eta )$, …, $l_{m}(\eta )$ die Werte der Variabeln $\varphi _{1}$, …, $\varphi _{m}$ $2^{r_{1}}$-deutig bestimmen, so ist nach der Definition des Begriffs eines vielfachen Integrals

${\underset {\tau =0}{L}}\left\{wT\tau ^{m}\right\}=2^{r_{1}}\iint \ldots \int d\varphi _{1}\;d\varphi _{2}\ldots d\varphi _{m}$,

wo das Integral rechter Hand über das durch die Ungleichungen

$0\leqq e_{1}\leqq 1$, …, $0\leq e_{r}\leqq 1$, $\left|n\left(\eta (\varphi )\right)\right|\leqq 1$

bestimmte $m$-dimensionale Raumgebiet zu erstrecken ist und daher einen endlichen bestimmten Wert besitzt.

Um diesen Wert zu ermitteln, führen wir statt der Integrationsverändenlichen $\varphi _{1}$, …, $\varphi _{m}$ die neuen Veränderlichen $\psi _{1}=e_{1}(\xi )$, …, $\psi _{r}=e_{r}(\xi )$, $\psi _{r+1}=|n(\eta )|$, $\psi _{r+2}=l_{r+2}(\xi )$, …, $\psi _{m}=l_{m}(\xi )$ ein, wo $\xi$ und $\eta$ von $\varphi _{1}$, …, $\varphi _{m}$ abhängig zu nehmen sind. Da diese $m$ Größen sämtlich analytische und in dem Integrationsgebiet

$0\leqq \psi _{1}\leqq 1$, …, $0\leqq \psi _{r}\leqq 1$, $0\leqq \psi _{r+1}\leqq 1$, $0\leqq \psi _{r+2}\leqq 2\pi$, …, $0\leqq \psi _{m}\leqq 2\pi$

sich regulär verhaltende, eindeutige Funktionen von $\varphi _{1}$, …, $\varphi _{m}$ sind, so ist

$\int \ldots \int d\varphi _{1}\ldots d\varphi _{m}=\int \ldots \int \left|{\frac {\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{m}}{\psi _{1},\ldots ,\psi _{m}}}\right|d\psi _{1}\ldots d\psi _{m}$.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 114. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/131&oldid=- (Version vom 31.7.2018)