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	Nicolaus Copernicus: Nicolaus Coppernicus aus Thorn über die Kreisbewegungen der Weltkörper

dass $bc:ab$ ein grösseres Verhältniss sei, als das der Sehnen $bc:ab$, welche den Winkel $b$ bilden, welcher durch die Linie $bd$ halbirt wird.

Wir ziehen $ac$, welche $bd$ in $e$ schneidet. Ebenso ziehen wir $ad$ und $cd$, welche gleich sind, weil sie Sehnen gleicher Bogen sind. Da nun in dem Dreiecke $abc$ die Linie $ac$, welche den Winkel halbirt, in $e$ schneidet, so verhalten sich die Abschnitte der Basis $ec:ae$ wie $bc:ab$, und weil $bc$ grösser als $ab$, so ist auch $ec$ grösser als $ae$. Nun möge $df$ senkrecht gegen $ac$ gezogen werden, diese halbirt $ac$ in $f$, welcher Punkt in dem grösseren Abschnitte $ec$ liegen muss. Und da in jedem Dreiecke dem grösseren Winkel auch die grössere Seite gegenüberliegt, so ist im Dreiecke $def$ die Seite $de$ größer als $df$, und $ad$ grösser als $de$, weswegen der um den Mittelpunkt $d$ mit dem Radius $de$ beschriebene Bogen $ad$ schneidet und $df$ überschreitet. Er schneide $ad$ in $h$, und werde bis zur Graden $dfi$ verlängert. Da nun der Sector $edi$ grösser als das Dreieck $edf$, aber das Dreieck $dea$ grösser als der Sector $deh$ ist, so hat Dreieck $def$ zu Dreieck $dea$ ein kleineres Verhältniss, als Sector $dei$ zu Sector $deh$. Und da die Sectoren den Bogen oder den Centriwinkeln, die Dreiecke von denselben Scheitelpunkten aber ihren Basen proportional sind, so ist das Verhältniss der Winkel $cdf$ zu $ade$ grösser, als dasjenige der Basen $ef$ zu $ae$. Folglich ist auch das Verhältniss des summirten Winkels $fda$ zu $ade$ grösser, als $af$ zu $ae$. Und auf dieselbe Weise ist Winkel $cda$ zu $ade$ grösser, als $ac$ zu $ae$, oder durch Subtraction Winkel $cde$ zu $eda$ grösser, als $ce$ zu $ea$. Es verhalten sich aber die Winkel $cde$ zu $eda$ wie die Bogen $cb$ zu $ab$, die Basis $ce$ zu $ae$ dagegen wie die Sehnen $cb$ zu $ab$. Folglich ist das Verhältniss der Bogen $cb$ zu $ab$ grösser, als dasjenige der Sehnen $bc$ zu $ab$, was zu beweisen war.

Aufgabe.

Weil aber der Bogen immer grösser ist, als seine Sehne, indem die Grade der kürzeste Weg zwischen zweien Punkten ist; diese Ungleichheit aber beim Uebergange von den grösseren zu den kleineren Abschnitten des Kreises zur Gleichheit convergirt, so dass endlich bei der Berührung mit dem Kreise die grade mit der krummen Linie gleichzeitig verschwindet: so ist nothwendig, dass sie sich vorher durch eine merkliche Differenz von einander unterscheiden. Es sei nämlich z. B. $ab$ ein Bogen von drei Graden, und $ac$ ein solcher von anderthalb Graden, so ist bewiesen, dass die Sehne $ab$ 5235 Theile enthält, wenn der Durchmesser deren 200000 zählt, und $ac$ gleich 2618 solcher Theile ist. Und während das Verhältniss der Bogen $ab$ zu $ac$ gleich 2 zu 1 ist, ist dagegen die Sehne $ab$ weniger als das doppelte von

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Nicolaus Copernicus: Nicolaus Coppernicus aus Thorn über die Kreisbewegungen der Weltkörper. Ernst Lambeck, Thorn 1879, Seite 36. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Kreisbewegungen-Coppernicus-0.djvu/64&oldid=- (Version vom 17.2.2018)