Seite:Kreisbewegungen-Coppernicus-0.djvu/64

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dass ein grösseres Verhältniss sei, als das der Sehnen , welche den Winkel bilden, welcher durch die Linie halbirt wird.

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Wir ziehen , welche in schneidet. Ebenso ziehen wir und , welche gleich sind, weil sie Sehnen gleicher Bogen sind. Da nun in dem Dreiecke die Linie , welche den Winkel halbirt, in schneidet, so verhalten sich die Abschnitte der Basis wie , und weil grösser als , so ist auch grösser als . Nun möge senkrecht gegen gezogen werden, diese halbirt in , welcher Punkt in dem grösseren Abschnitte liegen muss. Und da in jedem Dreiecke dem grösseren Winkel auch die grössere Seite gegenüberliegt, so ist im Dreiecke die Seite größer als , und grösser als , weswegen der um den Mittelpunkt mit dem Radius beschriebene Bogen schneidet und überschreitet. Er schneide in , und werde bis zur Graden verlängert. Da nun der Sector grösser als das Dreieck , aber das Dreieck grösser als der Sector ist, so hat Dreieck zu Dreieck ein kleineres Verhältniss, als Sector zu Sector . Und da die Sectoren den Bogen oder den Centriwinkeln, die Dreiecke von denselben Scheitelpunkten aber ihren Basen proportional sind, so ist das Verhältniss der Winkel zu grösser, als dasjenige der Basen zu . Folglich ist auch das Verhältniss des summirten Winkels zu grösser, als zu . Und auf dieselbe Weise ist Winkel zu grösser, als zu , oder durch Subtraction Winkel zu grösser, als zu . Es verhalten sich aber die Winkel zu wie die Bogen zu , die Basis zu dagegen wie die Sehnen zu . Folglich ist das Verhältniss der Bogen zu grösser, als dasjenige der Sehnen zu , was zu beweisen war.

Aufgabe.
Coppernicus 011.svg

Weil aber der Bogen immer grösser ist, als seine Sehne, indem die Grade der kürzeste Weg zwischen zweien Punkten ist; diese Ungleichheit aber beim Uebergange von den grösseren zu den kleineren Abschnitten des Kreises zur Gleichheit convergirt, so dass endlich bei der Berührung mit dem Kreise die grade mit der krummen Linie gleichzeitig verschwindet: so ist nothwendig, dass sie sich vorher durch eine merkliche Differenz von einander unterscheiden. Es sei nämlich z. B. ein Bogen von drei Graden, und ein solcher von anderthalb Graden, so ist bewiesen, dass die Sehne 5235 Theile enthält, wenn der Durchmesser deren 200000 zählt, und gleich 2618 solcher Theile ist. Und während das Verhältniss der Bogen zu gleich 2 zu 1 ist, ist dagegen die Sehne weniger als das doppelte von