Zur Elektrodynamik bewegter Systeme I

Zur Elektrodynamik bewegter Systeme.

Von Prof. Emil Cohn
in Straßburg i. E.

(Vorgelegt von Hrn. Warburg.)

Veranlasst durch eine Reihe experimenteller Untersuchungen der letzten Jahre, welche alle die Unabhängigkeit der beobachteten Erscheinungen von der Erdbewegung darthaten, hat H. A. Lorentz neuerdings die Grundlagen der Elektronentheorie durch neue Hypothesen modificirt. Im Folgenden beabsichtige ich zu zeigen, dass nach diesen Modificationen die Lorentz’schen Gleichungen der Elektrodynamik für ausgedehnte Körper übereinstimmen mit den Gleichungen, welche ich vor einigen Jahren aufgestellt habe.

§ 1. Eine Vergleichung meines Ansatzes mit dem Lorentz’schen war bisher in vollem Umfang nicht möglich. Es ist diess darin begründet, dass die beiden „Theorien“ durchaus verschiedener Art sind. Die meinige stellt in wenigen Gleichungen den Einfluss sichtbarer Bewegungen auf die elektromagnetischen Vorgänge in greifbaren Körpern dar. Sie ist auf diesem Gebiet direct mit der Erfahrung vergleichbar. Für eine zu entwickelnde Moleculartheorie gibt sie nur eine Anweisung: dieselbe so auszubilden, dass für die messbaren Mittelwerthe eben diese Gleichungen entstehen.

Lorentz gibt direct eine Regel für die elektromagnetischen Wirkungen, welche supponirte kleinste Theile ausüben und erleiden. Aus diesen sind zunächst Gleichungen zu gewinnen für diejenigen Grossen, „welche sich auf den Zustand sichtbarer Theile des Körpers beziehen und somit der Beobachtung zugänglich sind“. Bis zu diesem Punkt findet sich die Theorie in den Sitzungsberichten der Amsterdamer Akademie von 1902 entwickelt.^[1] Die Gleichungen lauten:

$\left.{\begin{aligned}&\mathrm {P} \{cH-[wE]\}=J+{\frac {\partial D}{\partial t}}+\Gamma (D)w-P[wD]\\&\mathrm {P} (cE)=-{\frac {\partial B}{\partial t}}\\&\Gamma (D)=\rho ;\quad \Gamma (B)=0\\&D=E+P;\quad B=H+M\end{aligned}}\right\}$

(L).

Hier ist $\mathrm {P} =$ Rotation, $\Gamma =$ Divergenz; $c$ die Lichtgeschwindigkeit im Vacuum, $w$ die Geschwindigkeit der Materie; $E$ und $H$ elektrische und magnetische Feldintensität; $D$ und $B$ elektrische Polarisation und magnetische Induction (neuerdings elektrische und magnetische Erregung genannt); $P$ und $M$ elektrisches und magnetisches Moment der Volumeinheit (neuerdings Polarisation genannt); $J$ elektrische Strömung (durch Leitung).

Um die Gleichungen (L) anwenden zu können, muss man offenbar noch $J,P,M$ als Functionen von $E$ und $H$ darstellen. Mit diesem Postulat schliesst der genannte Aufsatz.

Für unsere Zwecke ist nur gefordert, dass man die Form dieser Functionen für beliebiges $w$ angeben könne, wenn sie für $w=0$ bekannt sind. In dieser Beziehung gaben die bisherigen Aufsätze von Lorentz, mit Einschluss des Artikels in der Mathematischen Encyklopädie, nach der eigenen Ansicht des Verfassers, nur naheliegende Annahmen^[2], und auch diese beziehen sich nur auf die Grössen, welche der ersten Potenz des Verhältnisses von Körpergeschwindigkeit und Lichtgeschwindigkeit proportional sind. Ein Vergleich der beiden Theorien war daher in Strenge nur möglich in dem einen Fall, wo $J,P$ und $M$ keine in Betracht kommenden Werthe haben, d. h. bezüglich der Lichtausbreitung in bewegten Gasen. Hier ist er thatsächlich durchgeführt.^[3] Er lag ferner nahe, war aber mit einiger Unsicherheit behaftet, in den Fällen, wo es nur auf die erste Potenz von ${\frac {w}{c}}$ ankam.

Die neueste Arbeit von Lorentz^[4] bringt nun aber eine Reihe neuer Annahmen über Elektronen, Molekeln und die auf diese wirkenden Kräfte, welche zu einer ganz bestimmten Antwort auf die oben gestellte Frage führen, sofern das ganze betrachtete System eine gemeinsame Translationsgeschwindigkeit $w$ besitzt.

§ 2. Wir wollen die gesuchten Beziehungen ableiten und in (L) einführen.^[5] Dabei wollen wir voraussetzen, dass alle Körper „unmagnetisirbar“ seien, d. h. allgemein $B=H$. Ferner wollen wir zu relativen Coordinaten übergehen und die entsprechende Differentiation nach der Zeit durch ${\frac {d}{dt}}$ bezeichnen, so dass allgemein ist

${\frac {\partial A}{\partial t}}+\Gamma (A)w-\mathrm {P} [wA]={\frac {dA}{dt}}$.

Wählen wir noch als Einheit der Geschwindigkeit die Lichtgeschwindigkeit im Vacuum, so wird aus (L):

$\left.{\begin{aligned}\mathrm {P} \{H-[wE]\}&=J+{\frac {dD}{dt}}\\\mathrm {P} \{E+[wH]\}&=-{\frac {dH}{dt}}\\\Gamma (D)=\rho ;\quad \Gamma (H)=0\\D=E+P\end{aligned}}\right\}$

(L1).

Hier sind nun die Lorentz’schen Hypothesen anzufügen. Sei $w$ parallel $x$; dann lauten sie:

1. Durch die Translation erleidet jeder Körper eine Deformation derart, dass eine Strecke $r_{0}$ mit den Componenten $x_{0}y_{0}z_{0}$ übergeht in $r$ mit den Componenten $x={\frac {x_{0}}{k}},\ y=y_{0},\ z=z_{0}$, wo

$k^{2}={\frac {1}{1-w^{2}}}$.

(1)

Diess soll nach Lorentz bezeichnet werden durch das Symbol

$r=\left({\frac {1}{k}},\ 1,\ 1\right)r_{0}$.

(2)

2. Wenn die Vertheilung der Elektricität $e$ auf die materiellen Elemente fest gegeben ist, so erfahren alle Kräfte $F_{0}$ auf gegebene Theilchen durch die Translation eine Veränderung, welche sich in der gleichen Symbolik darstellt durch

$F=\left(1,\ {\frac {1}{k}},\ {\frac {1}{k}}\right)F_{0}$.

(3)

3. Die Bewegungen, welche ein materielles Theilchen des fortgeführten Systems unter der Wirkung der Kräfte $F$ im Räume der $r$ ausführt, unterscheiden sich nur dadurch von den Bewegungen, welche dasselbe Theilchen im Fall der Ruhe unter der Wirkung der Kräfte $F_{0}$ im Raum der $r_{0}$ ausführt, dass der Ablauf in constantem Verhältniss verlangsamt ist. Entsprechende Strecken werden durchlaufen in Zeiten $t$ und $t_{0}$, die durch die Gleichung

$t=kt_{0}$

(4)

verknüpft sind.

Bildet an einem bestimmten Theilchen $r_{0}t_{0}F_{0}$ ein zusammengehöriges System von Strecken, Zeiten, Kräften im Fall der Ruhe, so gehören die $rtF$, welche den Gleichungen (1) bis (4) genügen, ebenfalls zusammen als Werthe, welche einen möglichen Zustand darstellen im Fall der Translation.

Wir wenden diese Sätze an: definitionsmässig ist in der Elektronentheorie

die „elektrische Kraft“ $E+[wH]$ der räumliche Mittelwerth der Kraft auf ein mit der Elektricitätsmenge 1 geladenes Theilchen; –

das „elektrische Moment der Volumeneinheit“ $P={\frac {\Sigma (er)}{\tau }}$, wo $r$ die relative Verschiebung von $e$, $\tau$ ein Volumen bedeutet, und die Summe über alle $e$ in diesem Volumen zu erstrecken ist; –

der „Leitungsstrom“ $J={\frac {\Sigma (eu)}{\tau }}$, wo $u$ die relative Geschwindigkeit von $e$ ist.

Es seien nun $E_{0}P_{0}J_{0}$ zusammengehörige Werthe im Fall der Ruhe. Ihnen entsprechen für $e=e_{0}$ im Fall der Translation nach (3):

$E+[wH]=\left(1,\ {\frac {1}{k}},\ {\frac {1}{k}}\right)E_{0}$;

ferner, da nach (2) $\tau ={\frac {\tau _{0}}{k}}$ und nach (2) und (4) $u=\left({\frac {1}{k^{2}}},\ {\frac {1}{k}},\ {\frac {1}{k}}\right)u_{0}$ ist:

${\begin{aligned}P&=(1,\ k,\ k)P_{0}\\J&=\left({\frac {1}{k}},\ 1,\ 1\right)J_{0}.\end{aligned}}$

Ist also gegeben für die Ruhe:

${\begin{aligned}P_{0}&=\eta E_{0}\\J_{0}&=\sigma E_{0},\end{aligned}}$

so folgt daraus für die Translation:

$\left.{\begin{aligned}P&=(1,\ k^{2},\ k^{2})\eta \{E+[wH]\}\\J&=\left({\frac {1}{k}},\ k,\ k\right)\sigma \{E+[wH]\}\end{aligned}}\right\}$

(L2),

oder anders geschrieben:

$\left.{\begin{aligned}P&=(\eta )\{E+[wH]\}&&\qquad (\eta )=(1,\ k^{2},\ k^{2})\eta \\&&{\text{wo}}\\J&=(\sigma )\{E+[wH]\}&&\qquad (\sigma )=\left({\frac {1}{k}},\ k,\ k\right)\sigma \end{aligned}}\right\}$

(L′2).

Die Werthe aus (L₂) sind in (L₁) einzuführen. Dann folgen Differentialgleichungen für $E$ und $H$ mit gegebenen Coefficienten. Diese Gleichungen haben als unabhängig Veränderliche die Coordinaten $xyz$ und die Zeit $t$.

Statt dieser wollen wir neue Variabele $x_{0}..t_{0}$ einführen durch die Gleichungen

$x_{0}=kx;\ y_{0}=y;\ z_{0}=z;\ t_{0}={\frac {t}{k}}\cdot (L_{3})$.

Wir bezeichnen ferner durch $\rho _{0}$ die Grösse ${\frac {\rho }{k}}={\frac {de}{dx_{0}\cdot dy_{0}\cdot dz_{0}}}$, und ebenso durch $\mathrm {P} _{0}$ und $\Gamma _{0}$ die Operatoren, die den $\mathrm {P}$ und $\Gamma$ im System der neuen Variabeln formal entsprechen. Endlich definiren wir zwei neue Vectoren $\mathrm {E}$ und $\mathrm {M}$ durch:

$\left.{\begin{aligned}\mathrm {E} &=(1,\ k,\ k)\{E+[wH]\}\\\mathrm {M} &=(1,\ k,\ k)\{H-[wE]\}\end{aligned}}\right\}$

(L4),

woraus wegen (1) umgekehrt folgt:

$\left.{\begin{aligned}E&=(1,\ k,\ k)\{\mathrm {E} -[w\mathrm {M} ]\}\\H&=(1,\ k,\ k)\{\mathrm {M} +[w\mathrm {E} ]\}\end{aligned}}\right\}$

(L′4).

Dann entsteht:

$\left.{\begin{aligned}\mathrm {P} _{0}(\mathrm {M} )&=\sigma \mathrm {E} +{\frac {d{\mathfrak {E}}}{dt_{0}}}\\\mathrm {P} _{0}(\mathrm {E} )&=-{\frac {d{\mathfrak {M}}}{dt_{0}}}\\\Gamma _{0}({\mathfrak {E}})&=\rho _{0};\quad \Gamma _{0}({\mathfrak {M}})=0\\{\text{wo}}\\{\mathfrak {E}}&=(1+\eta )\mathrm {E} -[w\mathrm {M} ]\\{\mathfrak {M}}&=\mathrm {M} +[w\mathrm {E} ]\end{aligned}}\right\}$

(C′).

Aus (C′) lässt sich ableiten: $\mathrm {E}$ und $\mathrm {M}$ sind Functionen von $x_{0}..t_{0}w$, welche $t_{0}$ und die Translationsgeschwindigkeit $w$ nur in der Verbindung

$t_{1}=t_{0}-(w\cdot r_{0})$

enthalten. Daher hängen sie bei stationären Zuständen überhaupt nicht von der Translation ab, bei Strahlungsvorgängen nur insofern, als für jeden Punkt eine ihm eigenthümliche Verschiebung der Zeit eintritt: die „Ortszeit“ $t_{1}$ ersetzt die „allgemeine“ Zeitgrösse $t_{0}$.

Die Gleichungen (C′) haben wir abgeleitet aus der Elektronentheorie in der Modification, welche ihr Lorentz neuerdings gegeben hat, um sie den Ergebnissen der Versuche anzupassen. Diese Gleichungen sind nun vollkommen identisch mit denjenigen, welche aus meinen allgemeinen Gleichungen für den hier behandelten speciellen Fall gleichförmiger Geschwindigkeit folgen. Sie finden sich in meiner Abhandlung „Über die Gleichungen des elektromagnetischen Feldes für bewegte Körper“^[6] unter (B₂) (C₂). Bei der Vergleichung ist lediglich zu beachten, dass wir hinsichtlich der dort benutzten Bezeichnungen thatsächlich vorausgesetzt haben: $\mu =\mu _{0}$, $K=0$, und willkürlich geschrieben:

$\sigma ,\ 1+\eta ,\ 1,\ 1,\ w$ für $\lambda ,\ \varepsilon ,\ \varepsilon _{0},\ \mu _{0},p$.

§ 3. Verschieden aber ist bei Lorentz und bei mir die Deutung dieser Gleichungen. Bei Lorentz handelt es sich darum, die beiden Feldstärken $E$ und $H$ als Functionen der Ort und Zeit bestimmenden $xyzt$ darzustellen. Diess geschieht durch (L₁) und (L₂). Das System, für das diese Gleichungen gelten, hat folgende Eigenschaften: es deformirt sich in Folge der Bewegung entsprechend (2); es verändert zugleich seine dynamischen Eigenschaften derart, wie es die Gleichungen (2) (3) (4) vereint aussagen; es wird anisotrop nach Art eines einaxigen Krystalls, wie es die Gleichungen (L′₂) anzeigen. Um die Elektrodynamik dieses Systems übersichtlich darzustellen, wurden die Substitutionen (L₃) und (L₄) eingeführt. Die $x_{0}..t_{0}$ sind zunächst blosse Rechnungsgrössen. Sie besitzen aber zugleich eine einfache physikalische Bedeutung. Nach (2) sind $x_{0}y_{0}z_{0}$ diejenigen Maasszahlen, welche wir an einem „ursprünglich (d. h. während der Ruhe) richtigen“ Maassstab ablesen werden, nachdem er dem System eingefügt und demgemäss deformirt ist. Und nach (2) (3) (4) sind die $t_{0}$ diejenigen Zeitintervalle, die uns eine „ursprünglich richtig gehende“ Uhr anzeigt, nachdem sie dem System eingefügt ist und demgemäss ihren Gang verändert hat.

In meiner Auffassung der Gleichungen (C′) bedeuten $\mathrm {E} ,\mathrm {M}$ die Feldstärken, $x_{0}..t_{0}$ wahre Coordinaten und wahre Zeiten. Sie sind mit den gemessenen Coordinaten und Zeiten identisch. Das bewegte System ist nicht deformirt, besitzt kein specifisches Zeitmaass und ist durch die Bewegung nicht anisotrop geworden.

§ 4. Die Lorentz’sche Deutung fordert von uns, zwischen den gemessenen Längen und Zeiten $x_{0}..t_{0}$ und den wahren $x..t$ zu unterscheiden. Aber sie versagt uns die Mittel, die Aufgabe – selbst unter Voraussetzung idealer Messinstrumente – experimentell zu lösen. Die Lorentz’sche Elektrodynamik und Mechanik ist nur entwickelt für $w={\text{constans}}$. Wir haben daher gar keine Möglichkeit, Strecken anders als mit den „falschen“ mitbewegten Maassstäben, und Zeiten anders als mit den „falschgehenden“ mitbewegten Uhren zu messen. Damit wir „richtige“, also ruhende, Instrumente zu Messungen an unserm bewegten System benutzen könnten, müsste uns eine Mechanik oder Optik gegeben sein, die nicht nur innerhalb der beiden Gebiete $w={\text{const.}}$ und $w=0$ Geltung hätte, sondern aus dem einen in das andere durch das Gebiet der variabelen $w$ hinüberleitete. – Bis auf weiteres besteht daher die Bedeutung der „wahren“ Längen und Zeiten $x..t$ ausschliesslich darin, dass für sie die Elektrodynamik der Gleichungen (L₁) (L₂) gilt, zugleich mit der Mechanik, welche in den Hypothesen 1, 2, 3 ihren Ausdruck findet. Durch keine hiervon unabhängige Erfahrung können sie festgelegt werden.

Es handelt sich also bei Lorentz und bei mir lediglich um zwei verschiedene Arten, den gleichen Sachverhalt auszusprechen: entweder durch (L₁) (L₂) und die Mechanik der Sätze 1, 2, 3 – oder durch (C′) und die gewöhnliche Mechanik. Keine denkbare Beobachtung kann zwischen den beiden Erklärungssystemen entscheiden.

§ 5. Eine Verallgemeinerung der Gleichungen (C′) für den Fall beliebig im Raum vertheilter Geschwindigkeiten liegt in meinen „Gleichungen des elektromagnetischen Feldes …“ vor. Sie ersetzt, ohne im übrigen etwas zu ändern, die ersten beiden der Gleichungen (C′) durch die folgenden:^[7]

$\left.{\begin{aligned}\int \limits _{\circ }\mathrm {M} _{s}ds&={\frac {d}{dt}}\int \limits _{S}{\mathfrak {E}}_{N}dS+\int \limits _{S}\Lambda _{N}dS\\\int \limits _{\circ }\mathrm {E} _{s}ds&=-{\frac {d}{dt}}\int \limits _{S}{\mathfrak {M}}_{N}dS\end{aligned}}\right\}$

(C)

wo $S$ eine in der Materie feste Fläche, $s$ ihre Randcurve bedeutet.

Diese Gleichungen ergeben, auf geschlossene Flächen angewandt, die bekannten „Continuitätsgleichungen“ der Elektricität und des Magnetismus, und führen, auf undeformirbare Flächen angewandt, zu (C′) zurück. Umgekehrt ist, soweit ich sehe, durch diese beiden Forderungen den Gleichungen (C) ihre Form vorgeschrieben. Die in ihnen auftretenden Vectoren könnten nur verändert werden durch Zusatzvectoren, welche Differentialquotienten der Geschwindigkeiten enthalten, d. h. mit anderen Worten: eine zulässige Verallgemeinerung von (C′), welche nicht mit (C) zusammenfällt, müsste, in der Form von Differentialgleichungen geschrieben, Differentialquotienten zweiter Ordnung enthalten. Wenn man solche Complicationen vermeiden will, so muss also jede Theorie – ihr Ausgangspunkt sei, welcher er wolle – die einmal im Specialfall $w={\text{const.}}$ formal zu (C′) geführt hat, für den allgemeinen Fall formal zu (C) führen.

Bestehen diese Schlüsse zu Recht, so muss sich ferner alles, was über die zweierlei Deutung der speciellen Gleichungen (C′) gesagt ist, auf die möglichen verschiedenen Deutungen der allgemeinen Gleichungen (C) übertragen: es entfiele jeder begrifflich fassbare Unterschied zwischen ihnen.

§ 6. Ein thatsächlicher Unterschied bleibt aber bestehen zwischen den Lorentz’schen Gleichungen und den meinigen, sobald man – was wir hier vermieden haben – auch die paramagnetischen und diamagnetischen Körper in den Kreis der Betrachtung zieht. Meine Gleichungen sind^[8], wie die Hertz’schen, symmetrisch in den elektrischen und magnetischen Grössen, die Lorentz’schen sind es nicht.^[9] Diess erscheint als ein wesentlicher Zug der Elektronentheorie: ihre Ausgangsgleichungen bereits weisen ihn auf. Obwohl nun hier, im Gegensatz zu den sonstigen Differenzen, eine Abweichung in Gliedern erster Ordnung besteht, so scheint dennoch praktisch ein Experimentum crucis auch in dieser Beziehung ausgeschlossen zu sein. Ich beabsichtige diess demnächst näher auszuführen und zugleich den wesentlichen Inhalt meiner genannten Abhandlung in wie ich glaube befriedigenderer Form nochmals darzulegen.

§ 7. Gegen die Zulässigkeit meiner Gleichungen – genauer gesprochen, meiner Deutung der Gleichungen (C′) – hat Lorentz einen Einwand erhoben.^[10] Es ist nach diesen Gleichungen, sobald $x_{0}..t_{0}$ als wahre Coordinaten und Zeiten angesehen werden, die absolute (d. h. gegen ein ruhendes Coordinatensystem geschätzte) Lichtgeschwindigkeit $V$ in der Richtung $\nu$ bestimmt durch ${\frac {1}{V-w_{\nu }}}={\sqrt {\eta +1}}+w_{\nu }$ (a. a. O., Gleichung 16); also in einem Medium, wie Luft, für welches merklich $\eta =0$ ist:

$V=1+{\frac {w_{\nu }^{2}}{1+w_{\nu }}}$.

(5)

Im Vacuum aber muss nothwendig $V_{0}=1$ sein. Der Einfluss des Mediums verschwindet also nicht bereits dadurch, dass seine elektromagnetischen Constanten in die des Vacuums übergehen, sondern erst dadurch, dass zugleich seine Geschwindigkeit $w$ den Werth annimmt, den wir im Vacuum ein für allemal voraussetzen: den Werth 0. Dass zwischen $V$ und $V_{0}$ eine endliche Differenz besteht, welche von der Dichte des Gases nicht mehr abhängt, erscheint Lorentz als eine unzulässige Consequenz meiner Gleichungen.

Dem gegenüber möchte ich zu bedenken geben: man stelle sich vor, dass Maxwell seine Beobachtungen über die Reibung der Gase vor seinen theoretischen Untersuchungen ausgeführt hätte. Er hätte dann als experimentelles Ergebniss auszusprechen gehabt, dass der Reibungscoefficient $\varkappa$ von der Dichte $\rho$ unabhängig sei. Er hätte vermuthlich hinzugefügt, dass dieses Gesetz natürlich nicht bis zu den äussersten Verdünnungen gelten könne, dass aber das letzte Stück der Curve $\varkappa =f(\rho )$, welches von dem constanten endlichen Werth zu dem Punkte: $\rho =0,\varkappa =0$ hinüberleiten müsse, nach Form und Ausdehnung unbekannt sei.

In einer ähnlichen Lage sind wir bezüglich der Function $V=f(\rho )$. Eine Theorie, welche die Eigenschaften eines Continuums darstellt, muss nothwendig da eine Lücke haben, wo der Begriff des Continuums versagt. Damit ist aber auch die Grenze für die Anwendbarkeit der Gleichung (5) gegeben: wenn wir uns das Gas soweit verdünnt denken, dass von einer Geschwindigkeit des Gases als einer stetigen Raumfunction (die in unserm Fall eine Constante ist) nicht mehr gesprochen werden kann, so hat das Symbol $w$ keinen Sinn mehr. Es entfallen die Vorstellungen, mit denen wir operirt haben; in diesem Gebiet kann nur eine atomistische Theorie die Erscheinungen darzustellen versuchen.^[11]

Das Dilemma ist: Entweder: die Gleichung (5) besteht thatsächlich; die Differenz $V-V_{0}$ ist durch die Luft bedingt (C). Oder: in Wahrheit ist $V=V_{0}$; bei dem Michelson’schen Versuch ist der Werth in (5) durch die Deformation der Steinconsole vorgetäuscht (L). Keine der beiden Annahmen dürfen wir m. E. auf Grund physikalischer Erfahrung als unzulässig zurückweisen. Eine Entscheidung zwischen den Theorien kann hier nicht geschöpft werden.

§ 8. Es ist in den vorstehenden Erörterungen ausschliesslich von dem Einfluss der Bewegung auf die Elektrodynamik ausgedehnter Körper die Rede gewesen. Das ist nur eine Provinz des grossen Reiches, in dem sich uns die Elektronentheorie als Führer anbietet. In diesem Gebiet aber liegen die Probleme, an denen die Lorentz’sche Theorie ursprünglich entwickelt wurde, und in denen sie fortlaufend ihren Prüfstein und Regulator gefunden hat.

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1. Lorentz, Amsterdam Proceedings, 27. September 1902, S. 254. Vorstehendes Citat aus der Einleitung. Dieselben Gleichungen Mathematische Encyklopädie V,2, S. 209.
2. Siehe Math. Enc. V, 2, S. 215 ff.
3. Siehe unten § 7.
4. Kon. Akad. van Wetensch. te Amsterdam Dl. XII, S. 986 (23. April 1904). Mir war nur diese holländische Ausgabe zugänglich.
5. Die jetzt folgenden Entwickelungen benutzen die gleichen rechnerischen Operationen, durch welche Lorentz auf seine Annahmen geführt ist. Bezüglich der Einzelheiten der Rechnung sei auf Lorentz a. a. O. verwiesen.
6. Göttinger Nachrichten 1901, Heft 1; auch Ann. der Physik 7, S. 29, 1902. (Im wesentlichen schon Arch. Néerland. (2) 5, S. 516, 1900.)
7. Vergl. a. a. O. unter (B).
8. Vergl. a. a. O.
9. Vergl. Lorentz, Math. Enc. V 2, p. 238.
10. Math. Enc. V 2, p. 275 f.
11. Auf das hier Ausgeführte habe ich bereits a. a. O. in der Einleitung hingewiesen.