Nicolaus Coppernicus aus Thorn über die Kreisbewegungen der Weltkörper/Fünftes Buch Teil B

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Fünftes Buch Teil A Nicolaus Coppernicus aus Thorn über die Kreisbewegungen der Weltkörper (1879)
von Nicolaus Copernicus
Sechstes Buch


[293]
Capitel 15.
Ueber den Planeten Mars.

Nun haben wir die Bewegungen des Mars zu untersuchen, indem wir drei alte Oppositionen vornehmen, und mit denselben die auch schon damals stattfindende Bewegung der Erde verbinden. Von denen, welche Ptolemäus[1] überliefert hat, war die erste im Jahre 15 Hadrians den 26sten des 5ten ägyptischen Monats Tybi, eine Aequinoctialstunde nach der folgenden Mitternacht, und, wie er sagt, stand Mars in 21° der Zwillinge, in Bezug auf die Fixsternsphäre aber in 74° 20′[2]. Die zweite Beobachtung zeichnete er im Jahre 19 Hadrians am 6ten Tage des 8ten ägyptischen Monats Pharmuthi 3 Stunden vor der folgenden Mitternacht auf, und zwar in 28° 50′ des Löwen, in Bezug auf die Fixsternsphäre aber in 142° 10′. Die dritte war im 2ten Jahre des Antoninus am 12ten Tage des 11ten ägyptischen Monats Epiphi 2 Aequinoctial-Stunden vor der folgenden Mitternacht, in 2° 34′ des Schützen, in Bezug auf die Fixsternsphäre aber in 235° 54′. Es liegen also zwischen der ersten und zweiten 4 ägyptische Jahre 69 Tage 20 Stunden oder 50I, und die erscheinende Bewegung des Planeten betrug während dem, ausser den ganzen Umläufen, 67° 50′. Zwischen der zweiten und dritten Opposition sind es 4 Jahre 96 Tage 1 Stunde, oder 2I 30II, und die erscheinende Bewegung des Planeten ist 93° 44′. Die mittlere Bewegung war aber im ersten Zeitraume, ausser den ganzen Umläufen, 81° 44′; im zweiten 95° 28′. Den ganzen Abstand der Mittelpunkte fand er zu 12 solcher Theile, von denen der Radius des excentrischen Kreises 60 enthält; wird Letzterer aber zu 10000 angenommen: so sind es 2000. In mittlerer Bewegung lagen zwischen der ersten Opposition und der grössten Abside 41° 33′, zwischen der zweiten und der grössten Abside 40° 11′ und zwischen der dritten und der kleinsten Abside 44° 21′. Nach unserer Annahme aber von gleichmässigen Bewegungen, liegen zwischen den Mittelpunkten des excentrischen Kreises und der Erdbahn, drei Viertel von jenen 2000, also 1500, und das noch übrige Viertel, gleich 500, ist der Halbmesser des Epicykels. Hiernach werde der excentrische Kreis construirt, sein Mittelpunkt sei , der Durchmesser durch beide Absiden , in diesem liege der Mittelpunkt der Erdbahn, und es seien der Reihe nach die Punkte der beobachteten Oppositionen: , und . Der Bogen sei gleich 41° 33′[3], gleich 40° 11′ und gleich 44° 21′. Um die einzelnen Punkte , und werden die Epicykel construirt, deren Radien ein Drittel des Abstandes betragen, und die Linien , und gezogen; in den Epicykeln aber werden , und so gezogen, dass die Winkel , und , den Winkeln , und gleich sind. Da nun in dem Dreiecke der Winkel gleich 138° 27′[4], gemäss dem Winkel , und die beiden Seiten und , nämlich gleich 1500, wenn gleich 10000, gegeben sind, so folgt daraus die dritte Seite gleich 11172 derselben Theile, und der Winkel gleich 5° 7′; der ganze Winkel

[294] also gleich 46° 40′[5].
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Ebenso ist in dem Dreiecke der Winkel und die beiden Seiten gleich 11172 und gleich 500, wenn gleich 10000, gegeben; daraus folgt der Winkel gleich 1° 56′, welcher zu dem Winkel addirt, als Summe die ganze Differenz zwischen den Winkeln und gleich 7° 3′, und den Winkel gleich 34° 30′[6] ergiebt. Ebenso ist bei der zweiten Opposition in dem Dreiecke der Winkel gleich 139° 49′ und die Seite gleich 1500, während gleich 10000; es ergeben sich daraus: die Seite gleich 11188, der Winkel gleich 35° 13′ und der dritte Winkel gleich 4° 58′. Der ganze Winkel ist also gleich 45° 13′, und dieser wird von den gegebenen Seiten und eingeschlossen, woraus folgt, dass Winkel gleich 1° 53′ und der dritte Winkel dem gleich 33° 20′. Der ganze Winkel ist also gleich 67° 50′, unter diesem Winkel ist auch die Bewegung des Planeten von der ersten zur zweiten Opposition beobachtet, und die Rechnung stimmt also mit der Erfahrung überein. Bei der dritten Opposition liefern wiederum in dem Dreiecke , die gegebenen Seiten und und der eingeschlossene Winkel gleich 44° 21′, die Basis gleich 8988, während cd[7] gleich 10000, und gleich 1500, und den Winkel gleich 128° 57′[8], und auch den dritten Winkel gleich 6° 42′. Daher ergiebt sich auch wieder in dem Dreiecke der ganze Winkel gleich 142° 21′[9], zwischen bekannten Seiten eingeschlossen, und daraus auch der Winkel gleich 1° 52′. Es bleibt also für die dritte Opposition der Winkel gleich 127° 5′[10]. Es ist aber schon gezeigt, dass dem gleich 33° 20′, folglich ist gleich 93° 45′. Und dies ist der erscheinende Winkel zwischen der zweiten und dritten Opposition, wobei ebenfalls die Berechnung mit der Beobachtung genügend übereinstimmt. Da aber bei der letzten Opposition [295] des Mars, der Planet in 235° 54′ gesehen wurde, und vom Apogeum des excentrischen Kreises, wie bewiesen, um 127° 5′ abstand: so war der Ort des Apogeums des Mars in 108° 50′ in Bezug auf die Fixsternsphäre.
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Nun werde um den Mittelpunkt die Erdbahn beschrieben, und der Durchmesser parallel mit gezogen, so dass das Apogeum der Parallaxe und das Perigeum ist. Da also der Planet in der Richtung , in 235° 54′ der Länge gesehen wurde, und der Winkel , als der Unterschied zwischen der gleichmässigen und der erscheinenden Bewegung, gleich 8° 34′ nachgewiesen ist: so beträgt die mittlere Bewegung 244° 30′. Der Winkel ist aber gleich dem Centriwinkel , also ist auch dieser gleich 8° 34′. Wenn man aber den Bogen , gleich 8° 34′, vom Halbkreise abzieht: so erhält man die mittlere parallactische Bewegung des Planeten, als den Bogen gleich 171° 26′. Und so haben wir auch hier, durch unsere Annahme von der Bewegung der Erde abgeleitet: dass im 2ten Jahre des Antoninus am 12ten Tage des ägyptischen Monats Epiphi, 10 gleichmässige Stunden nach Mittag, der Planet Mars nach seiner mittleren Bewegung der Länge in 244° 30′, und nach der parallactischen Anomalie in 171° 26′ stand.
Capitel 16.
Ueber drei andere neuerlich beobachtete Oppositionen des Planeten Mars.

Auch mit diesen Ptolemäischen Beobachtungen des Mars, haben wir drei andere verglichen, welche wir nicht ohne Sorgfalt ausgeführt haben. Die erste im Jahre Christi 1512 am 5ten Juni eine Stunde nach Mitternacht. Der Ort des Mars wurde in 235° 33′ gefunden, insofern die Sonne auf der entgegengesetzten Seite, um 55° 33′ vom ersten Stern des Widders, als von dem Anfange der Fixsternsphäre abstand. Die zweite war im Jahre Christi 1518 den 12ten December 8 Stunden nach Mittag, und fand sich der Planet in 63° 2′. Die dritte war aber im Jahre Christi 1523 den 22sten Februar 7 Stunden vor Mittag in 133° 20′. Es liegen also zwischen der ersten und zweiten 6 ägyptische Jahre 191 Tage 45I; zwischen der zweiten und dritten 4 Jahre 72 Tage 23I. Die erscheinende Bewegung war im ersten Zeitraume 187° 29′, die gleichmässige aber 168° 7′; im zweiten Zeitraume war die erscheinende Bewegung 70° 18′ und die gleichmässige 83°. Es werde wieder der excentrische Kreis des Mars construirt, nur dass jetzt gleich 168° 7′ und gleich 83° ist. In derselben Weise (um die Weitläufigkeit, Umständlichkeit und den Ueberdruss jener Berechnungen mit

[296] Stillschweigen zu übergehen) wie beim Saturn und Jupiter haben wir endlich gefunden, dass das Apogeum beim Mars in dem Bogen liegt.
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Denn dass es nicht in liegen konnte, war daraus klar, dass die erscheinende Bewegung um 19° 22′ grösser war, als die mittlere; und wiederum, dass es nicht in lag, ergab sich daraus, dass, obgleich die mittlere Bewegung in weniger vorrückte, dennoch dieselbe die erscheinende Bewegung um mehr übertraf, als in ; wie aber oben bewiesen ist, findet im excentrischen Kreise in der Gegend des Apogeums eine kleinere oder langsamere Bewegung statt. Folglich liegt wirklich das Apogeum im Bogen , dasselbe sei , und möge der Durchmesser des Kreises sein, in welcher Linie auch der Mittelpunkt der Erdbahn liege. Wir haben nun gefunden, dass gleich 125° 29′, folglich gleich 66° 18′ und gleich 16° 36′ ist. Im Uebrigen aber ist die Distanz gleich 1460, wenn der Radius gleich 10000, und der Halbmesser des Epicykels gleich 500. Hieraus erweist sich die gegenseitige Abhängigkeit der erscheinenden und der gleichmässigen Bewegung, und ihre vollständige Uebereinstimmung mit den Beobachtungen. Es werde also die Figur wie früher vervollständigt. Da nun im Dreiecke die beiden Seiten und nebst dem Winkel , welcher als Abstand des Mars vom Perigeum bei seiner ersten Opposition gleich 54° 31′ ist, bekannt sind: so ergeben sich die Winkel gleich 7° 24′ und gleich 118° 5′, und die dritte Seite gleich 9229. Es ist aber, nach der Annahme, der Winkel gleich dem Winkel , also ist der ganze Winkel gleich 132° 53′. Daher sind in dem Dreiecke die beiden Seiten und und der eingeschlossene Winkel gegeben, woraus Winkel gleich 2° 12′ und gleich 115° 53′. Ebenso zeigt sich bei der zweiten Opposition, dass, da in dem Dreiecke die beiden gegebenen Seiten und den Winkel [297] gleich 113° 35′ einschliessen, der Winkel nach den Sätzen über die ebenen Dreiecke, gleich 7° 11′ und gleich 59° 13′, und die Basis gleich 10668, während gleich 10000 und gleich 500 ist. Der ganze Winkel ist daher gleich 73° 36′. Auf diese Weise erweist sich in dem Dreiecke , aus dessen beiden gegebenen Seiten und dem eingeschlossenen Winkel, der Winkel gleich 2° 36′ und gleich 56° 38′; und daraus, als Aussenwinkel, der Abstand vom Perigeum gleich 123° 22′. Es ist aber schon gezeigt, dass der Winkel gleich 115° 53′, folglich ist gleich 64° 7′; und addirt man dies zu dem Winkel : so findet man 187° 29′, wenn 360° vier Rechte ausmachen, und dieser Winkel stimmt mit dem erscheinenden Abstande der zweiten von der ersten Opposition überein. In gleicher Weise verfährt man bei der dritten Opposition. Es zeigt sich der Winkel gleich 2° 6′ und die Seite gleich 11407, während gleich 10000. Daher ist der ganze Winkel gleich 18° 42′, und da auch die Seiten und in dem Dreiecke gegeben sind, so erweist sich der Winkel gleich 50′, der zu dem Winkel addirt 2° 56′ ergiebt; um diese Summe ist der erscheinende Winkel den kleiner, als derjenige der gleichmässigen Bewegung, . Folglich ist gleich 13° 40′, was auch dem beobachteten erscheinenden Abstände zwischen der zweiten und dritten Opposition ungefähr entspricht. Da nun, wie wir angegeben haben, der Planet Mars an dieser Stelle um 133° 20′ vom Kopfe des Widders abstehend beobachtet wurde, und der Winkel gleich 13° 40′ nachgewiesen ist: so ergiebt sich, wenn man zurückrechnet, dass der Ort des Apogeums des excentrischen Kreises, bei dieser letzten Beobachtung in 119° 40′ der Fixsternsphäre lag. Diesen Ort fand Ptolemäus zur Zeit des Antoninus in 108° 50′; also ist derselbe bis auf uns um 10° 50′ rechtläufig fortgerückt. Den Abstand der Mittelpunkte haben wir um 40 solcher Theile kleiner gefunden, von denen auf den Radius des excentrischen Kreises 10000 kommen. Nicht als ob Ptolemäus oder wir uns geirrt hätten, sondern zum sicheren Beweise, dass der Mittelpunkt der Erdbahn sich dem Mittelpunkte der Marsbahn genähert hat, während die Sonne unbeweglich geblieben ist. Es steht dies in gegenseitiger Abhängigkeit, wie sich unten auf das Klarste zeigen wird.
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Nun werde die Jahresbahn der Erde um den Mittelpunkt beschrieben und der Durchmesser parallel mit gezogen, dann ist das gleichmässige Apogeum in Bezug auf den Planeten und das Perigeum, in steht die Erde. Die verlängerte Linie , in welcher der Planet gesehen wird, schneidet in ; in dieser Linie, also in , wurde der Planet in 133° 20′ der Länge, wie bei der letzten Opposition angegeben ist, beobachtet. Der Winkel ist, wie nachgewiesen, gleich 2° 56′, er ist nämlich die Differenz, um welche

[298] der mittlere Winkel grösser ist, als der erscheinende Winkel . Der Winkel ist aber gleich dem Winkel , als Wechselwinkel, und macht zugleich die parallactische Prosthaphärese aus; zieht man dieselbe von dem Halbkreise ab: so bleiben 177° 4′ als gleichmässige parallactische Anomalie, von dem gleichmässigen Apogeum aus gerechnet. So dass wir auch hier nachgewiesen haben, dass im Jahre Christi 1523 den 22sten Februar 7 Aequinoctialstunden vor Mittag, der Planet Mars seiner mittleren Bewegung nach in 136° 16′ der Länge, seiner gleichmässigen parallactischen Anomalie nach in 177° 4′ stand, und dass die grösste Abside des excentrischen Kreises in 119° 40′ lag; was wir zu zeigen hatten.

Capitel 17.
Bestätigung der Bewegung des Mars.

Es hatte sich oben gezeigt, dass Mars bei der letzten der drei Beobachtungen des Ptolemäus, seiner mittleren Bewegung nach, in 244° 30′, und seiner parallactischen Anomalie nach, in 171° 26′ sich befand. Also sind in der Zwischenzeit, ausser den ganzen Umläufen, 5° 38′ erwachsen. Von dem zweiten Jahre des Antoninus, dem 12ten Tage des 11ten ägyptischen Monats Epiphi, 9 Stunden nach Mittag, d. h. 3 Aequinoctialstunden vor Mitternacht des folgenden Tages, in Bezug auf den Meridian von Krakau, bis zum Jahre Christi 1523 den 22sten Februar 7 Stunden vor Mittag, sind 1384 ägyptische Jahre 251 Tage 19I verflossen. In dieser Zeit kommen, nach der oben gegebenen Berechnung zu den 648 ganzen Umläufen der parallactischen Anomalie 5° 38′ hinzu. Die vermeintliche gleichmässige Bewegung der Sonne beträgt aber 257° 30′; zieht man davon die 5° 38′ der parallactischen Bewegung ab, so bleiben 251° 52′, als mittlere Bewegung des Mars, was Alles mit demjenigen nahe übereinstimmt, was oben entwickelt ist.

Capitel 18.
Feststellung der Oerter des Mars.

Man zählt vom Anfange der Jahre Christi bis zum 2ten Jahre des Antoninus dem 12ten Tage des ägyptischen Monats Epiphi 3 Stunden vor Mitternacht, 138 ägyptische Jahre 180 Tage 52I. Die parallactische Bewegung beträgt in dieser Zeit 293° 4′; zieht man diese von den 171° 26′ der letzten Ptolemäischen Beobachtung ab, so bleiben, indem sich die Anzahl der ganzen Umläufe ändert, 238° 22′ für das erste Jahr Christi um Mitternacht des ersten Januar. Von der ersten Olympiade bis hierher sind es 775 ägyptische Jahre 12 Tage 30I, in welcher Zeit die parallactische Bewegung gleich 254° 1′ ist; zieht man dies von 238° 22′ ab: so bleibt, indem sich ebenfalls die Anzahl der ganzen Umläufe ändert, als Ort der Olympiaden: 344° 21′. Durch eine gleiche Berechnung der Bewegung für [299] die andern Zwischenzeiten erhalten wir als Ort Alexanders 120° 39′, und als Ort Cäsars 111° 25′.

Capitel 19.
Wie viel die Marsbahn in solchen Theilen beträgt, von denen die Erdbahn einen darstellt.
Hierzu haben wir eine Conjunction des Mars mit dem ersten hellen Sterne der Waage, welcher die südliche Schale genannt wird[11], beobachtet; dieselbe trat im Jahre Christi 1512 den 1sten Januar ein. Wir fanden Morgens 6 Aequinoctialstunden vor dem Mittage dieses Tages, dass Mars um den vierten Theil eines Grades von jenem Fixsterne gegen den Aufgang der im Solstitium stehenden Sonne abstand, wodurch angezeigt wurde, dass Mars in rechtläufiger Länge um ⅛°, in nördlicher Breite um ⅕° von dem Fixsterne getrennt war. Der Ort des Fixsternes ist aber vom ersten Sterne des Widders 191° 20′, mit einer nördlichen Breite von 40′, also war der Ort des Mars in 191° 28′ und seine nördliche Breite 51′. Zu dieser Zeit war aber nach der Berechnung die parallactische Anomalie 98° 28′. Der mittlere Ort der Sonne war 262°, und der mittlere Ort des Mars 163° 32′, seine excentrische Anomalie betrug 43° 52′.
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Nachdem dies so festgestellt ist, werde der excentrische Kreis um den Mittelpunkt beschrieben und der Durchmesser gezogen, so dass das Apogeum und das Perigeum ist. Die Excentricität betrage 1460 Theile, von denen 10000 enthält. Der Bogen ist gleich 43° 52′. Um den Mittelpunkt werde mit der Entfernung gleich 500, deren 10000 auf kommen, der Epicykel beschrieben, der Winkel gleich gemacht, und die Linien , und gezogen. Um den Mittelpunkt werde die Erdbahn construirt, und der Durchmesser parallel mit gezogen; in diesem liegt das parallactische Apogeum des Planeten in , sein entsprechendes Perigeum in . Die Erde sei in , wobei der Bogen , gemäss der berechneten gleichmässigen parallactischen Anomalie, gleich 98° 28′ ist. Die grade Linie werde über hinaus nach verlängert, dieselbe schneidet

[300] im Punkte , und den concaven Bogen der Erdbahn im Punkte ; hier liegt das wahre parallactische Apogeum. Da nun in dem Dreiecke die beiden Seiten gleich 1460 und gleich 10000, nebst dem eingeschlossenen Winkel gleich 136° 8′, als Nebenwinkel des Winkels gleich 43° 52′, gegeben sind: so ergiebt sich die dritte Seite gleich 11097 derselben Theile, und der Winkel gleich 5° 13′. Der Winkel ist aber gleich dem Winkel , nach der Voraussetzung: also ist der ganze Winkel gleich 49° 5′, und dieser ist von den bekannten Seiten und eingeschlossen, deshalb ist der Winkel gleich 2°, und die Seite gleich 10776, während gleich 10000. Daher ist der Winkel gleich 7° 13′, als gleich der Summe der beiden inneren gegenüberliegenden Winkel und . Dies ist die abzuziehende Prosthaphärese, um welche der Winkel grösser als der Winkel , oder: der mittlere Ort des Mars grösser als der wahre ist. Der mittlere Ort ist aber zu 163° 32′ berechnet, also ist der wahre in 156° 19′. Er wurde aber bei der Beobachtung von aus in 191° 28′ gesehen, also beträgt seine rechtläufige Parallaxe 35° 9′. Folglich ist der Winkel gleich 35° 9′. Da aber parallel , so ist der Winkel gleich , und also der Bogen ebenfalls gleich 7° 13′, also der ganze Bogen gleich 105° 41′, als ausgeglichene parallactische Anomalie. Hieraus ergiebt sich der Winkel , als Aussenwinkel des Dreiecks , und folglich ist auch der innere gegenüberliegende Winkel gleich 70° 32′, und zwar alle Winkel so angegeben, dass 180° zwei Rechte betragen. In einem Dreiecke von gegebenen Winkeln ist auch das Verhältniss der Seiten gegeben, also gleich 9428, es gleich 5757, wenn der Radius des um das Dreieck beschriebenen Kreises 10000 beträgt. Ist aber gleich 10776, so wird es gleich 6580, während gleich 10000, — entsprechend dem von Ptolemäus Gefundenen, und fast damit gleich. Die ganze Linie wird aber gleich 11460, und der Rest gleich 8540 derselben Theile. Zieht man von dem Ersten den Radius des Epicykels gleich 500 ab, so wird die grösste Abside gleich 10960; addirt man dieselbe Grösse zu dem Letzteren, so wird die kleinste Abside gleich 9040. Nimmt man daher den Halbmesser der Erdbahn zur Einheit, so haben wir für das Apogeum, als grösste Entfernung des Mars 1. 39I 57II, für das Perigeum 1. 22I 26II und als mittlere Entfernung 1. 31I 11II. So ist denn auch für den Mars die Grösse der Bewegung und der Entfernung durch sichere Schlussfolge aus der Bewegung der Erde entwickelt.

Capitel 20.
Ueber den Planeten Venus.

Nachdem die Bewegungen der drei oberen, ausserhalb der Erdbahn umlaufenden Planeten, Saturn, Jupiter und Mars, entwickelt sind, haben wir nun von denen zu sprechen, welche die Erdbahn umschliesst, und zwar zuerst von der Venus, welche eine leichtere und klarere Darlegung ihrer Bewegung [301] zulässt, als jene, wenn nur die nöthigen Beobachtungen einiger Oerter nicht fehlen. Werden nämlich die grössten Entfernungen derselben von dem mittleren Orte der Sonne auf beiden Seiten, des Morgens und des Abends, einander gleich gefunden: so können wir mit Sicherheit schliessen, dass in der Mitte zwischen jenen beiden Oertern der Sonne, die grösste oder kleinste Abside des excentrischen Kreises der Venus liege; und diese beiden lassen sich danach von einander unterscheiden, dass gleiche Bewegungen am Apogeum kleiner, am Perigeum grösser erscheinen. Für die übrigen Oerter endlich wird aus den Differenzen, um welche sie sich von einander unterscheiden, zweifellos erkannt, um wie viel sie von der grössten oder kleinsten Abside der Venusbahn entfernt sind, und wie gross die Excentricität derselben ist; wie dies Ptolemäus auf das Deutlichste dargestellt hat: so dass es nicht nöthig gewesen wäre, dies im Einzelnen zu wiederholen, ausser insofern die Beobachtungen des Ptolemäus selber, unsrer Annahme von der Bewegung der Erde angepasst werden müssen. Als erste dieser Beobachtungen nahm er, wie er sagt[12] diejenige, welche der Alexandriner Mathematiker Theon, im Jahre 16 Hadrian’s den 21sten Pharmuthi, in der ersten Stunde der folgenden Nacht anstellte; und dies war im Jahre Christi 132 den 8ten März in der Abenddämmerung[13]. Venus wurde in ihrem grössten östlichen Abstande, von dem mittleren Orte der Sonne um 47° 15′ entfernt, gesehen; während eben dieser mittlere Ort der Sonne nach der Berechnung in 337° 41′ der Fixsternsphäre lag. Hierzu fügte er eine andere eigene Beobachtung, welche er nach seiner Angabe im 4ten Jahre des Antoninus den 12ten Thoth bei anbrechendem Tage anstellte; also im Jahre Christi 140[14] bei der Morgendämmerung des 30sten Juli, wo, wie er sagt, die äusserste Grenze der Abweichung der Venus, als Morgensterns, von dem mittleren Orte der Sonne wieder 47° 15′, wie damals, gewesen ist. Der mittlere Ort der Sonne lag aber in 119° der Fixsternsphäre, und vorher hatte er in 337° 41′ gelegen. Also liegen die mittleren Oerter der Absiden zwischen diesen in der Mitte, nämlich in 48° 20′ und 228° 20′[15] einander gegenüber; addirt man zu Beiden 6° 40′ als die Präcession der Nachtgleichen, so erhält man 25° vom Stier und vom Scorpion, wie Ptolemäus angiebt; und hier mussten sich die grösste und die kleinste Abside der Venus gegenüberliegen. Zur weiteren Bestätigung dieser Thatsache, nahm er noch eine Beobachtung des Theon aus dem 4ten Jahre Hadrians bei der Morgendämmerung des 20sten Athyr, das war im Jahre 119 nach Christi Geburt den 12ten October früh[16], wo Venus wieder in ihrer grössten Entfernung von 47° 32′, von dem mittleren Orte der Sonne, welcher in 191° 13′ war, stand. Hiermit verband er seine eigene Beobachtung aus dem Jahre 21 Hadrians oder dem Jahre Christi 136, am 9ten Tage des ägyptischen Monats Mechir, also nach römischem Kalender den 25ten December, in der ersten Stunde der folgenden Nacht, wo der östliche Abstand wieder zu 47° 32′, von der mittleren Sonne in 265° gefunden wurde. Bei der vorangegangenen Beobachtung des Theon war aber der mittlere Ort der Sonne in [302] 191° 13′. Zwischen diesen fallen wieder die mittleren Oerter ungefähr in 48° 20′ und 228° 20′, und hier mussten das Apogeum und das Perigeum liegen, d. h. nach dem Frühlingspunkte in 25° vom Stier und vom Scorpion. Diese Absiden unterschied er wieder durch folgende beiden anderen Beobachtungen von einander. Die erste von Theon im Jahre 13 Hadrians den 3ten Tag des Monats Epiphi, im Jahre Christi aber 129 den 21sten Mai bei der Morgendämmerung, wo er die äusserste westliche Abweichung der Venus zu 44° 48′ fand, während die mittlere Bewegung der Sonne 48° 50′ und die erscheinende Bewegung der Venus 4°, in Bezug auf die Fixsternsphäre, betrug. Die zweite stellte Ptolemäus selbst an im Jahre 21 Hadrians am 2ten Tage des ägyptischen Monats Tybi, wofür wir erhalten das 136ste römische Jahr nach Christi Geburt den 28sten December in der ersten Stunde der Nacht[17]. Die Sonne war in ihrer mittleren Bewegung in 228° 54′, und von derselben war Venus bei ihrer grössten östlichen Abweichung um 47° 16′ entfernt, da ihre erscheinende Bewegung 276° 10′ betrug. Hiernach sind die Absiden von einander unterschieden, nämlich die grösste liegt in 48° 20′, wo die seitlichen Abweichungen der Venus am kleinsten erscheinen, und die kleinste Abside liegt in 228° 20′, wo die Abweichungen am grössten erscheinen, und dies hatten wir nachzuweisen.

Capitel 21.
In welchem Verhältnisse die Durchmesser der Erd- und Venusbahn zu einander stehen.
Hieraus ergiebt sich auch ferner das Verhältniss der Durchmesser der Erd- und Venusbahn.
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Man construire nämlich die Erdbahn um den Mittelpunkt , ihr Durchmesser gehe durch die beiden Absiden; in demselben werde als Mittelpunkt der Venusbahn, welche zum Kreise excentrisch ist, angenommen. Es sei aber der Ort des Apogeums, so dass die Erde, wenn sie sich hier befindet, von dem Mittelpunkte der Venusbahn am weitesten absteht, während selbst, die Linie der mittleren Bewegung der Sonne, mit auf 48° 20′ und mit auf 228° 20′ gerichtet ist. Man ziehe die geraden Linien und , als Tangenten an die Venusbahn in den Punkten und , und die Radien und . Da nun der Winkel als Centriwinkel einen Bogen von 44° 48′ spannt, und der Winkel ein Rechter ist, so sind die Winkel des Dreiecks , und also auch die Seiten desselben gegeben, nämlich , als halbe Sehne des doppelten Winkels gleich 7046, wenn

[303] gleich 10000. In derselben Weise ist in dem rechtwinkligen Dreiecke , der Winkel gleich 47° 20′ gegeben, also wird auch gleich 7346, wenn gleich 10000, woraus folgt, dass, wenn man gleich gleich 7046 nimmt, gleich 9582 wird; also die ganze Linie gleich 19582 und , als Hälfte, gleich 9791, also gleich 209. Wenn aber gleich 1, so ist gleich 0. 43I 10II und gleich 0. 1I 15II; und wenn gleich 10000, so ist gleich 7193 und gleich 213, was nachzuweisen war.[18]

Capitel 22.
Ueber die doppelte Bewegung der Venus.
Um den Punkt ist jedoch die gleichmässige Bewegung der Venus nicht einfach, was sich vorzüglich aus zweien Beobachtungen des Ptolemäus[19] erweist, von denen er die erste im 18ten Jahre Hadrians am 2ten Tage des ägyptischen Monats Pharmuthi anstellte. Das war nach römischem Kalender das Jahr 134 nach Christo den 18ten Februar bei anbrechendem Tage. Damals war die mittlere Bewegung der Sonne 318° 50′. Venus erschien als Morgenstern in 275° 15′ der Ekliptik und hatte die Grenze ihrer grössten Abweichung von 43° 35′ erreicht. Die zweite Beobachtung machte er im 3ten Jahre des Antoninus am vierten Tage desselben ägyptischen Monats Pharmuthi; das war nach römischem Kalender das Jahr 140 nach Christo den 18ten Februar in der Abenddämmerung.
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Damals war der mittlere Ort der Sonne auch in 318° 50′, und Venus stand von derselben in ihrer grössten östlichen Entfernung um 48° 20′ ab, sie befand sich aber in 7° 50′ der Länge. Nach diesen Feststellungen nehme man an, die Erde stehe in ihrer Bahn im Punkte , so dass ein Kreisquadrant ist, und um diesen war bei beiden Beobachtungen die Sonne nach ihrer mittleren Bewegung dem Apogeum des excentrischen Kreises der Venus voraus. Nun ziehe man und damit parallel , ferner die Tangenten, und an die Venusbahn, endlich noch , , und . Da nun der Winkel als die westliche Abweichung bei der ersten Beobachtung gleich 43° 35′ und als die östliche Abweichung bei der zweiten gleich 48° 20′ war, und sich beide zu dem Winkel gleich 91° 55′ summiren, so ist die Hälfte davon, oder der Winkel gleich 45° 57′ 30″ und gleich 2° 23′. Aber der Winkel ist ein Rechter, also sind in dem

[304] Dreiecke die Winkel, und also auch das Verhältniss der Seiten gegeben, und ist gleich 416, wenn gleich 10000. Vorhin ist aber bewiesen, dass dieser Abstand der Mittelpunkte gleich 208 derselben Theile war, also ist derselbe jetzt doppelt so gross. Halbirt man daher im Punkte , so ist gleich 208 als ganze Differenz dieses Hin- und Herganges: und halbirt man diese Differenz wieder im Punkte , so scheint dieser Punkt der mittlere Ort oder der Punkt der gleichmässigen Bewegung zu sein. Es kommt also wie bei den drei oberen Planeten, auch bei der Venus eine Bewegung vor, welche aus zweien gleichmässigen zusammengesetzt ist, mag dieselbe in einem excentrischen Epicykel, wie dort, vor sich gehen, oder in einer andern der früher bezeichneten Weisen. Jedoch hat dieser Planet etwas von Jenen Verschiedenes in dem Gesetze und dem Maasse dieser Bewegungen, und dies wird, denke ich, leichter und bequemer an einem excentrischen Kreise eines excentrischen Kreises nachgewiesen. Wir beschreiben also um den Mittelpunkt mit dem Radius einen kleinen Kreis und nehmen an, dass die Kreisbahn der Venus in der Peripherie desselben herumgeführt und dadurch verändert wird, und zwar nach dem Gesetze: dass, so oft die Erde in den Durchmesser kommt, in welchem die grösste und kleinste Abside des excentrischen Kreises liegt, der Mittelpunkt der Kreisbahn des Planeten immer in der kleinsten Entfernung, d. h. im Punkte , sich befindet. Bei den mittleren Absiden aber, wie in , kommt der Mittelpunkt der Kreisbahn in den Punkt , und gelangt also zu seiner grössten Entfernung . Hieraus lässt sich einsehen, dass in der Zeit, in welcher die Erde einmal ihre Kreisbahn durchläuft, der Mittelpunkt der Kreisbahn des Planeten zwei Umläufe um den Mittelpunkt vollendet, und zwar in demselben Sinne, wie die Erde, d. h. rechtläufig. Durch eine solche Annahme über die Venus, stehen, bei jedem Beispiele, die gleichmässige und die erscheinende Bewegung im Einklange, wie sich bald zeigen wird. Alles das aber, was bisher über die Venus entwickelt ist, zeigt sich auch für unsere Zeiten so weit in Uebereinstimmung, als nur der ganze Abstand, welcher früher 416 Theile betrug, fast um seinen sechsten Theil abgenommen hat, und jetzt 350 Theile enthält, was uns viele Beobachtungen lehren.[20]

Capitel 23.
Ueber die Prüfung der Bewegung der Venus.

Unter diesen heben wir zwei sehr sorgfältig beobachtete Oerter hervor; den einen von Timochares beobachtet im Jahre 13 des Ptolemäus Philadelphus, also im Jahre 52 nach Alexanders Tode, bei anbrechendem 18ten Tage des ägyptischen Monats Mesori[21], wovon berichtet wird, dass Venus den Vorangehenden von den vier Fixsternen am linken Flügel der Jungfrau bedeckt habe; es ist dieser der sechste Stern in der Beschreibung jenes Sternbildes, welcher eine Länge von 151° 30′, eine nördliche Breite von

[305] 1° 10′ und die dritte Grösse hat. Es war daher auch der Ort der Venus selbst hierdurch bestimmt. Der mittlere Ort der Sonne war aber nach der Berechnung 194° 23′.
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Für dieses Beispiel wird, während in der construirten Figur der Punkt in 48° 20′ liegt, der Bogen = 146° 3′, der Rest = 33° 57′ und der Winkel , des Abstandes des Planeten vom mittleren Orte der Sonne, = 42° 53′. Da nun die Linie 312 solcher Theile enthält, von denen auf 10000 kommen, und der Winkel = 33° 57′ beträgt: so sind in dem Dreiecke der Winkel = 1° 1′ und die dritte Seite = 9743. Der Winkel ist aber doppelt so gross, als der Winkel , also gleich 67° 54′, es bleibt also als Rest vom Halbkreise, der Winkel gleich 112° 6′, und der Winkel , als Aussenwinkel des Dreiecks , gleich 34° 58′[22]. Daraus summirt sich der ganze Winkel zu 147° 4′[23] und ist gleich 104, wenn gleich 9743; folglich wird in dem Dreiecke der Winkel gleich 20′, der ganze Winkel gleich 1° 21′, und die Seite gleich 9831[24]. Nun war aber schon der ganze Winkel gleich 42° 53′, also ist der Rest gleich 41° 32′ und der Radius der Bahn ist gleich 7193, wenn gleich 9831; also ergeben sich in dem Dreiecke aus dem gegebenen Verhältnisse der Seiten und aus dem Winkel die übrigen Winkel, und zwar: gleich 72° 5′[25] addirt man diesen zu einem Halbkreise: so erhält man 252° 5′, als für den Bogen , von der grössten Abside der Bahn selbst gerechnet. So haben wir also auch bewiesen, dass im Jahre 13 des Ptolemäus Philadelphus bei anbrechendem 18ten Tage des Monats Mesori die parallactische Anomalie der Venus 252° 5′ betrug. Einen andern Ort der Venus haben wir selbst beobachtet: im Jahre Christi 1529 den 12. März eine Stunde nach Untergang der Sonne, und am Anfange der 8ten Stunde nach Mittag. Wir sahen, dass [306] der Mond mit seinem dunkeln Theile anfing, die Venus zu bedecken, und zwar in gleicher Entfernung von beiden Hörnern. Diese Bedeckung dauerte bis zum, oder etwas nach dem Ende derselben Stunde, wo der Planet an der andern Seite, in der Mitte des convexen westlichen Randes wieder zum Vorschein kam. Es ergiebt sich hieraus, dass die Conjunction der Mittelpunkte von Mond und Venus ungefähr um die Mitte dieser Stunde stattgefunden hat. Diese Erscheinung haben wir in Frauenburg beobachtet. Die Venus war als Abendstern noch im Zunehmen und diesseits der Tangente an ihre Bahn. Seit Christi Geburt waren 1529 ägyptische Jahre 87 Tage 7 Stunden 30 Minuten scheinbare Zeit verstrichen, ausgeglichene aber 7 Stunden 34m, und der einfache mittlere Ort der Sonne ergiebt sich zu 232° 11′, die Präcession der Nachtgleichen ist 27° 24′, die gleichmässige Bewegung des Mondes von der Sonne 33° 57′, die Bewegung seiner gleichmässigen Anomalie 205° 1′, und die Bewegung der Breite 71° 59′. Hieraus ist der wahre Ort des Mondes gleich 10°, vom Frühlingsnachtgleichenpunkte aber 7° 24′ des Stiers mit einer nördlichen Breite von 1° 13′ berechnet. Da aber 15° der Waage aufgingen, so betrug die Parallaxe des Mondes in Länge 48′, in Breite 32′, und daher lag der scheinbare Ort in 6° 26′ des Stiers, in Bezug auf die Fixsternsphäre aber in 9° 11′ Länge, mit einer nördlichen Breite von 41′; und derselbe erscheinende Ort kommt der Venus, als Abendstern, zu, welche vom mittleren Orte der Sonne um 37° 1′ abstand.
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Der Abstand der Erde von der grössten Abside der Venus betrug aber 76° 9′. Jetzt werde die Figur nach der vorhergehenden Constructionsweise wieder ausgeführt, nur dass der Bogen oder der Winkel 76° 9′ misst. Doppelt so gross ist , also gleich 152° 18′[26], die Excentricität , wie sie jetziger Zeit gefunden wird, ist gleich 246, und gleich 104, wenn

[307] gleich 10000. Wir haben also im Dreiecke den gegebenen Nebenwinkel gleich 103° 51′, von gegebenen Seiten eingeschlossen, und daraus ergiebt sich der Winkel gleich 1° 15′, und die Seite gleich 10056, und der Winkel gleich 74° 54′. Aber ist doppelt so gross als , also 152° 18′, zieht man davon ab, so bleibt gleich 77° 24′; also schliessen in dem Dreiecke die beiden Seiten, gleich 104 und gleich 10056, den gegebenen Winkel ein, und es ergiebt sich: Winkel gleich 35′, und die dritte Seite gleich 10034, und hieraus der ganze Winkel gleich 1° 50′. Da ferner der ganze Winkel gleich 37° 1′ ist, und um diesen Winkel der Planet vom mittleren Orte der Sonne abstehend beobachtet wurde, so wird, wenn man davon abzieht, der Winkel als Rest gleich 35° 11′. Ferner sind in dem Dreiecke mit dem gegebenen Winkel bei auch die beiden Seiten gleich 10034 und gleich 7193 gegeben, woraus sich die übrigen Winkel gleich 53° 30′ und gleich 91° 19′ berechnen, und um diesen letzten Winkel stand der Planet von dem wahren Perigeum seiner Bahn ab. Da aber der Durchmesser parallel mit gezogen, so dass das mittlere Apogeum, das Perigeum ist: so bleibt, wenn man den Winkel gleich von abzieht, der Winkel [27] oder der Bogen gleich 89° 29′, und der Rest des Halbkreises gleich 90° 31′ als die parallactische Anomalie des Planeten von der berechneten gleichmässigen grössten Abside seiner Bahn,[25] welche wir für diese Stunde unserer Beobachtung suchten. Bei der Beobachtung des Timochares war dieselbe aber 252° 5′. In der Zwischenzeit sind also, ausser den 1115 ganzen Umläufen noch 198° 26′[28] erwachsen. Die Zeit aber von dem 13ten Jahre des Ptolemäus Philadelphus, bei Morgendämmerung des 18ten Mesori, bis zum 1529sten Jahre Christi den 12ten März 7h 30m nach Mittag, beträgt 1800 ägyptische Jahre 236d 40I. Multipliciren wir daher die Bewegung von 1115e 198° 26′ mit 365d und dividiren das Product durch 1800a 236d 40I, so erhalten wir die jährliche Bewegung gleich 225° 1′ 45″ 3‴ 40⁗. Und dies wieder auf 365 Tage vertheilt, giebt eine tägliche Bewegung von 36′ 59″ 28‴. Hiernach ist die oben[29] gegebene Tafel berechnet.[30]

Capitel 24.
Ueber die Oerter der Anomalie der Venus.

Vom Anfange der Olympiaden bis zum 13ten Jahre des Ptolemäus Philadelphus, bei Morgendämmerung des 18ten Mesori sind 503 ägyptische Jahre 228d 40I vergangen. Für diese Zeit berechnet sich die Bewegung auf 290° 39′, zieht man diese von 252° 5′, mit Hinzunahme eines Umlaufes, ab, so bleiben 321° 26′ als Ort der Olympiaden. Hiernach erhält man nach Verhältniss der oft wiederholten Bewegung und Zeit, die übrigen Oerter: für Alexander 81° 52′, für Cäsar 70° 26′, für Christus 126° 45′.

[308]
Capitel 25.
Ueber den Merkur.

Auf welche Weise Venus mit der Bewegung der Erde zusammenhängt, und worin die Gleichmässigkeit ihrer Kreise zu finden ist, haben wir gezeigt. Es bleibt noch Merkur übrig, welcher sich ohne Zweifel demselben angenommenen Grundsatze fügen wird, obgleich er sich unter noch mehr Verhüllungen bewegt, als jene, ja als irgend einer von den vorher Besprochenen. Das steht durch die Erfahrung der alten Beobachter fest, dass Merkur seine kleinsten Abweichungen von der Sonne im Zeichen der Waage, grössere auf der entgegengesetzten Seite zeigt, wie das auch in der Ordnung ist; — er erreicht jedoch an diesem letzteren Orte nicht seine grössten, sondern an gewissen anderen, diesseits und jenseits, wie in den Zwillingen und im Wassermann, besonders zur Zeit des Antoninus, nach des Ptolemäus Meinung,[31] was bei keinem andern Planeten vorkommt. Da die alten Mathematiker, — welche glaubten, dass die Erde unbeweglich sei, und der Merkur sich in einem grossen excentrischen Epicykel bewege, — einsahen, dass ein einziger und einfacher excentrischer Kreis diesen Erscheinungen nicht genügen könne, auch wenn man annähme, dass dieser excentrische Kreis sich nicht um seinen eigenen, sondern um einen fremden Mittelpunkt bewegte: — so sahen sie sich aus jenem Grunde gezwungen, ausserdem anzunehmen, dass derselbe excentrische Kreis, während er den Epicykel leitete, sich auf einem andern kleinen Kreise bewege, wie sie einen solchen bei dem excentrischen Kreise des Mondes angenommen hatten; so dass es also drei Mittelpunkte gab, nämlich erstens denjenigen des den Epicykel leitenden excentrischen Kreises, zweitens den des kleinen Kreises, und drittens den Mittelpunkt desjenigen Kreises, den die Neueren den ausgleichenden nennen. Mit Uebergehung der beiden Ersteren, nahmen sie an, dass der Epicykel nur um den Mittelpunkt des ausgleichenden Kreises sich gleichmässig bewege, welcher doch dem wahren Mittelpunkte und dessen Beziehung, sowie den beiden anderen Mittelpunkten, ganz fremd ist. Auch glaubten sie, dass die Erscheinungen dieses Planeten auf keine andere Weise erhalten werden könnten, wie dies im Almagest[32] des Ptolemäus weitläufiger auseinandergesetzt ist. Um aber auch diesen letzten Planeten gegen die Unbill und den Vorwurf solcher Verläumder zu vertheidigen, und um bei diesem nicht weniger, als bei den anderen Vorhergehenden, unter der Annahme der Bewegung der Erde, seine Gleichmässigkeit darzuthun: — legen wir ihm, anstatt dessen, was man im Alterthume für einen Epicykel ansah, einen excentrischen Kreis eines excentrischen Kreises bei; aber in etwas anderer Weise, als bei der Venus, und zwar bewegt sich nichtsdestoweniger ein Epicykel auf jenem excentrischen Kreise, bei welchem der Planet nicht in der Peripherie, sondern in dessen Durchmesser sich hin und her bewegt, was ebenfalls aus gleichmässigen Kreisbewegungen herrühren kann,

[309] wie das oben bei der Präcession der Nachtgleichen dargethan ist. Und dies kann nicht befremden, da auch Proclus in seiner Erläuterung der Elemente Euklid’s behauptet, dass auch durch mehrere Bewegungen, eine grade Linie beschrieben werden könne. Aus allen Diesen werden seine Erscheinungen sich ergeben.
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Damit aber diese Annahme deutlicher erfasst werde, sei die grosse Erdbahn, ihr Mittelpunkt, ihr Durchmesser; in diesem werde zwischen den Punkten und der Punkt als ein Mittelpunkt angenommen, und um denselben mit einem Radius, der ein Drittel von beträgt, ein kleiner Kreis beschrieben, so dass in der grösste, in der kleinste Abstand von liegt. Um aber werde die Kreisbahn des Merkur construirt, und dann um deren grösste Abside noch ein Epicykel hinzugefügt, welchen der Planet durchläuft. Nun werde der Kreis , welcher ein excentrischer Kreis eines excentrischen Kreises, in Wirklichkeit aber ein excentrischer Epicykel ist. Wenn auf diese Weise die Figur construirt worden, so mögen der Reihe nach alle die Punkte in eine grade Linie fallen; der Planet aber stehe inzwischen in , d. h. in seinem kleinsten Abstande vom Mittelpunkte. Wenn so der Anfang der Kreisbewegungen des Merkur festgesetzt ist, so stelle man sich vor, dass der Mittelpunkt auf einen Umlauf der Erde zwei Kreisbewegungen vollendet, und zwar nach derselben Seite wie die Erde, d. h. rückläufig. Ebenso bewege sich auch der Planet in , aber in dem Durchmesser selbst hin und her, in Bezug auf den Mittelpunkt des Kreises . Hieraus folgt nämlich, dass so oft die Erde in oder ankommt, der Mittelpunkt der Merkursbahn in dem von entferntesten Punkte sich befindet; wenn aber die Erde in dem mittleren Quadranten steht, so liegt der Mittelpunkt der Merkursbahn, dem am nächsten, in : also in entgegengesetzter Weise, als bei der Venus. Und indem Merkur

[310] nach demselben Gesetze den Durchmesser des Epicjkels durchläuft, befindet er sich im Punkte , dem Mittelpunkte des den Epicykel leitenden Kreises am nächsten, wenn die Erde in den Durchmesser eintritt; und ist Letztere zu beiden Seiten in ihrer mittleren Stellung, so gelangt der Planet zu dem entferntesten Punkte . Auf diese Weise verlaufen für den Mittelpunkt der Bahn auf der Peripherie des kleinen Kreises , und für den Planeten auf dem Durchmesser [33], zwei geschwisterte, einander entsprechende, und mit dem Zeitraume eines Erdenjahres commensurable Bewegungen. Unterdessen bewegt sich aber der Epicykel, oder die Linie , mit eigener Bewegung in dem Kreise um dessen Mittelpunkt gleichmässig, ungefähr in 88 Tagen; vollendet auch in Bezug auf die Fixsternsphäre einfach einen Umlauf, kehrt aber mit der Bewegung, um welche diejenige der Erde übertroffen wird, und welche wir die parallactische nennen, in 116 Tagen in dieselbe Lage zurück, wie das genauer aus der Tafel der mittleren Bewegungen entnommen werden kann. Ferner folgt, dass Merkur bei seiner eigenen Bewegung nicht immer dieselbe Kreisperipherie beschreibt, sondern, nach Verhältniss des Abstandes von dem Mittelpunkte seiner Bahn, sehr verschiedene: und zwar die kleinste im Punkte , die grösste in , die mittlere in , fast in derselben Weise, welche man an dem Epicykel des Epicykels beim Monde wahrnehmen kann; denn was beim Monde in der Peripherie, das geschieht beim Merkur im Durchmesser in veränderlicher, jedoch aus gleichmässigen zusammengesetzter Bewegung. Wie dies zugeht, haben wir oben bei der Präcession der Nachtgleichen gezeigt. Wir werden aber hierüber noch einiges Andere und Näheres weiter unten bei den Breiten anführen. Diese Annahme genügt allen Erscheinungen, welche man am Merkur auftreten sieht, was aus der Geschichte der Beobachtungen des Ptolemäus und Anderer deutlich werden wird.

Capitel 26.
Ueber den Ort der grössten und kleinsten Abside des Merkur.

Ptolemäus beobachtete den Merkur im ersten Jahre des Antoninus nach Sonnenuntergang des 20sten Tages des Monats Epiphi,[34] während der Planet als Abendstern in seiner grössten östlichen Entfernung von dem mittleren Orte der Sonne sich befand. Vom Anfange der Jahre Christi bis zu dieser Zeit waren es aber 137 ägyptische Jahre[35] 188d 42I 30II Krakauer Zeit, und folglich lag der mittlere Ort der Sonne nach unserer Berechnung in 63° 50′, und der Planet wurde durch das Instrument, wie er sagt, in 7° des Krebses gesehen. Zieht man davon die Präcession der Nachtgleichen, welche damals 6° 40′ betrug, ab, so war der Ort des Merkur in 90° 20′ vom ersten Sterne des Widders in der Fixsternsphäre; und seine grösste Entfernung von der mittleren Sonne gleich 26° 30′. Eine zweite Beobachtung machte er im 4ten Jahre des Antoninus bei anbrechendem 19ten Tage des Monats Phamenoth[34], nachdem seit dem Anfange der Jahre Christi [311] 140 ägyptische Jahre und 67d 12I ungefähr verstrichen waren, und wobei der mittlere Ort der Sonne in 303° 19′ sich fand. Merkur erschien aber durch das Instrument in 13° 30′ des Steinbocks, vom festen Anfange des Widders aber in 276° 49′ ungefähr. Folglich betrug seine grösste westliche Entfernung 26° 30′. Da also die Grenzen der Abweichung zu beiden Seiten von dem mittleren Orte der Sonne gleich waren, so müssen nothwendig die Absiden des Merkur einander gegenüber in der Mitte zwischen eben diesen Oertern liegen, d. h. zwischen 63° 50′ und 303° 19′[36], also in 3° 34′ und 183° 34′; hier mussten die grösste und die kleinste Abside Merkurs sich befinden, und man kann dieselben, wie bei der Venus, durch zwei Beobachtungen von einander unterscheiden. Die erste dieser Beobachtungen stellte Ptolemäus im 19ten Jahre Hadrians, bei anbrechendem 15ten Tage des Monats Athyr[34], an, während der mittlere Ort der Sonne 182° 38′ war; die grösste westliche Entfernung des Merkur von demselben betrug 19° 3′, indem der erscheinende Ort Merkurs in 163° 35′[37] lag. Und in demselben Jahre Hadrians, welches seit der Gebart Christi das 135ste war[38] bei der Abenddämmerung des 19ten Tages des ägyptischen Monats Pachon[34] wurde Merkur mit Hülfe des Instruments in 27° 43′ der Fixsternsphäre gefunden; während die Sonne, ihrer mittleren Bewegung nach, in 4° 28′ stand. Der grösste östliche Abstand des Planeten ergab sich zu 23° 15′, also grösser als vorhin. Woraus hinreichend klar wird, dass das Apogeum Merkurs zu jener Zeit nur in ungefähr 183° 20′ liegen konnte, was zu bemerken war.

Capitel 27.
Wie gross die Excentricität des Merkur ist, und welches Verhältniss der Bahnen herrscht.

Hieraus ergeben sich auch zugleich die Entfernung der Mittelpunkte und die Grössen der Kreise. Es schneide die Linie die Absiden des Merkur, und zwar bei die grösste, bei die kleinste derselben; zugleich stelle dieselbe den Durchmesser der Erdbahn dar, deren Mittelpunkt in liege. Um den Mittelpunkt werde die Bahn des Planeten beschrieben. Man ziehe an dieselbe die Tangenten und , und endlich die Radien und . Da nun bei der ersten der beiden letzten Beobachtungen die grösste westliche Abweichung zu 19° 3′ gefunden wurde, so war der Winkel gleich 19° 3′. Bei der zweiten Beobachtung aber erschien die grösste östliche Abweichung gleich 23° 15′. Es sind also in den beiden rechtwinkligen Dreiecken und wegen der gegebenen Winkel auch die Verhältnisse der Seiten gegeben, so dass, wenn gleich 100000[39], der Radius gleich 32639; wenn aber gleich 100000[39] war, so wurde gleich 39474 solcher Theile. Da aber gleich , als Radien eines Kreises und beide gleich 32639, so wird gleich 82685 solcher Theile, von denen 100000 enthält. Daher ist die Hälfte gleich 91342, und als Rest die

[312] Entfernung der Mittelpunkte gleich 8658.
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Wenn aber gleich 1, oder gleich 60I wäre, so würde der Radius der Merkursbahn gleich 0. 21I 26II und gleich 0. 5I 41II. Und wenn gleich 100000, so ist gleich 35733 und gleich 9479, was nachzuweisen war. Aber auch diese Grössen bleiben nicht überall dieselben, und zwar sind sie von denen am meisten verschieden, welche in der Gegend der mittleren Absiden stattfinden, was die an diesen Punkten beobachteten westlichen und östlichen Abweichungen lehren, wie solche von Theon und Ptolemäus angegeben werden. Theon beobachtete nämlich die grösste östliche Abweichung Merkurs im Jahre 14 Hadrians am 18ten Tage des Monats Mesori, nach Sonnenuntergang[40], das sind 129 ägyptische Jahre 216d 45I nach Christi Geburt. Damals war der mittlere Ort der Sonne in 93° 30′, d. h. fast in der mittleren Abside des Merkur. Durch das Instrument wurde aber gemessen, dass der Planet den Basiliskus des Löwen um 3° 50′ voranging, sein Ort war also 119° 45′ und seine östliche Abweichung betrug 26° 15′. Eine andere grösste Abweichung, überliefert Ptolemäus, als von ihm selbst im zweiten Jahre des Antoninus bei anbrechendem 21sten[41] Tage des Monats Mesori beobachtet; bis zu dieser Zeit waren 138 ägyptische Jahre 219d 12I seit Christus verflossen. Der mittlere Ort der Sonne war ebenfalls 93° 39′, und die grösste westliche Abweichung Merkurs fand er zu 20° 15′. Denn Merkur wurde in 73° 24′ der Fixsternsphäre gesehen. Nun sei, wie vorher der durch die Absiden des Merkur gezogene Durchmesser der Erdbahn und im Punkte werde die Linie , als die Linie der mittleren Bewegung der Sonne rechtwinklig errichtet; um den Punkt zwischen und , werde die Bahn Merkurs beschrieben, an welche die graden Linien und Tangenten sein mögen, und endlich werden noch die graden Linien , und gezogen. Es ist wieder die Aufgabe, den Punkt und das Verhältniss zu finden, in welchem der Radius zu steht. Da nun der Winkel gleich 26° 15′ und der Winkel gleich 20° 15′ gegeben ist: so misst der ganze Winkel 46° 30′, dessen Hälfte 23° 15′, also der Rest 3°; folglich sind in dem rechtwinkligen Dreiecke , die Seiten gleich 524 und gleich 10014 solcher Theile, von denen oder 10000 enthält. Früher ist aber gezeigt, dass die ganze Linie gleich 948 derselben Theile ist, wenn die Erde in der grössten oder kleinsten Abside des Planeten steht; die Differenz , als Durchmesser des kleinen Kreises, welchen der Mittelpunkt der Merkursbahn beschreibt, wird also gleich 424, und der Radius gleich 212; [313] folglich die ganze Linie gleich 736.
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Ebenso ist in dem Dreiecke der Winkel bei als ein rechter, und der Winkel gleich 23° 15′ gegeben, daraus ergiebt sich gleich 3947, wenn gleich 10000: wenn aber gleich 10014, also gleich 10000; so wird gleich 3953. Früher ist aber gezeigt, dass gleich 3573 sei, und dies mag darstellen, also ist der Rest gleich 380, als grösste Differenz der Entfernung des Planeten vom Mittelpunkte seiner Bahn, welche zwischen den mittleren und den grössten und kleinsten Absiden eintritt. Wegen dieser Entfernung und ihrer Verschiedenheit, beschreibt der Planet um den Mittelpunkt seiner Bahn ungleiche Kreise in ungleichen Abständen, von denen der kleinste 3573, der grösste 3953 und der mittlere 3763 sein muss, was nachzuweisen war.
Capitel 28.
Weshalb die Abweichungen des Merkur in den Gegenden der Sechsecksseiten grösser erscheinen, als diejenigen, welche im Perigeum eintreten.

Hiernach wird es auch wenig befremdend erscheinen, dass Merkur in den Gegenden der Seiten eines Sechsecks im Kreise grössere Abweichungen zeigt, als im Perigeum; da jene auch wirklich grösser sind, als diejenigen, von denen wir bereits nachgewiesen haben; dass die Alten glaubten, die Merkursbahn käme, bei einem Umlaufe der Erde, zweimal der Erde am

[314] nächsten. Man mache den Winkel gleich 60°, folglich den Winkel gleich 120°, denn soll ja, während eines Umlaufes der Erde , zwei Umläufe vollenden[42].
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Man ziehe noch und . Da nun erwiesen, dass gleich 736, während gleich 10000, und da der Winkel gleich 60° gegeben ist, so wird in dem Dreiecke die dritte Seite gleich 9655, und der Winkel nahe gleich 3° 47′, und um diesen ist kleiner als ; dieser ist aber gleich 120° gegeben, also wird gleich 116° 13′[43]. Der Winkel ist aber auch gleich 120°, als, nach der Voraussetzung, doppelt so gross als , und also der Rest des Halbkreises gleich 60°, es wird also gleich 56° 13′. Es ist aber gezeigt, dass gleich 212, wenn gleich 9655[44], und diese Seiten schliessen den gegebenen Winkel ein; hieraus berechnet sich der Winkel zu 1° 4′ und der Rest zu 2° 43′, um welchen Winkel der Mittelpunkt der Planetenbahn von dem mittleren Orte der Sonne abweicht, — und die dritte Seite wird gleich 9540. Nun werde um den Mittelpunkt die Merkursbahn beschrieben, von aus die Tangenten und , und endlich noch und gezogen. Wir haben zuerst zu berechnen, wie gross bei dieser Stellung der Radius oder ist, und das führen wir so aus. Wir nehmen an, dass der Durchmesser , des kleinen Kreises, gleich 380 Theilen sei, von denen 10000 enthält; in diesem Durchmesser, oder in einem ihm gleichen, bewege sich der Planet in der Richtung der graden Linie oder , in Bezug auf den Mittelpunkt hin und her, in der Weise, welche wir früher bei der Präcession der Nachtgleichen dargethan haben. Der Voraussetzung gemäss, dass der Winkel einen Bogen von 60° misst, machen wir gleich 120° und ziehen rechtwinklig gegen , welche, als halbe Sehne des doppelten oder , das Stück gleich dem vierten Theile des Durchmessers, also gleich 95 abschneidet, was sich aus dem 12ten und

[315] 13ten Lehrsatze, in Verbindung mit dem 15ten des 5ten Buches der Elemente Euklid’s ergiebt. Die übrigen drei Theile, also , betragen 285, welche zu der kleinsten Entfernung des Planeten addirt, die hier gesuchte Länge von oder zu 3858 ergeben, während 10000, und , wie gezeigt ist, 9540 enthält. Folglich sind in den rechtwinkligen Dreiecken oder zwei Seiten gegeben, und deshalb ist der Winkel oder auch bestimmt. Wenn nämlich gleich 10000: so wird oder gleich 4054, als halbe Sehne des doppelten Winkels von 23° 52′, woraus sich der ganze Winkel zu 47° 45′ ergiebt. Aber bei der kleinsten Abside, so wie bei der mittleren, sind nur 46° 30′ beobachtet, also ist hier der Winkel um 1° 14′ grösser geworden, als bei jenen Stellungen; – nicht weil die Bahn des Planeten der Erde näher als beim Perigeum wäre, sondern weil der Planet hier einen grösseren Kreis beschreibt, als dort. Alles dieses stimmt sowohl mit heutigen als auch mit ehemaligen Beobachtungen überein, und geht aus gleichmässigen Bewegungen hervor.

Capitel 29.
Prüfung der mittleren Bewegung des Merkur.

Unter den alten Beobachtungen findet man, dass im 21sten Jahre des Ptolemäus Philadelphus, bei anbrechendem 19ten Tage des ägyptischen Monats Thoth[45], Merkur von der, durch den ersten und zweiten derjenigen Sterne, welche an der Stirn des Skorpion[46] stehen, gezogenen graden Linie, um zwei Monddurchmesser nach Osten, und von dem ersten Sterne um einen Monddurchmesser nach Norden, abstand. Nun ist bekannt, dass der Ort des ersten Sterns in 209° 40′ der Länge, und in 1° 20′ nördlicher Breite, und der des zweiten in 209° der Länge und in 1° 40′ südlicher Breite liegt. Hieraus wurde der Ort Merkurs zu 210° 40′ der Länge und 1° 50′ nördlicher Breite berechnet. Seit Alexanders Tode waren aber 59a 17d 45I [45] verflossen, und der mittlere Ort der Sonne war daher nach unserer Berechnung 228° 8′, die westliche Abweichung des Planeten aber 17° 28′. Letztere war noch im Zunehmen begriffen, was noch 4 Tage nachher notirt wurde[47], woraus hervorging, dass der Planet noch nicht zu seiner grössten westlichen Abweichung, oder zu der Tangente seiner Bahn gelangt war, sondern dass er sich noch in dem unteren, der Erde näher liegenden Bogen bewege. Da aber die grösste Abside in 183° 20′ lag, so war der Merkur vom mittleren Orte der Sonne um 44° 48′ entfernt. Nun möge wieder, wie früher, der Durchmesser der Erdbahn sein, und von dem Mittelpunkte werde die Linie der mittleren Bewegung der Sonne gezogen; so dass der Winkel gleich 44° 48′ wird; ferner werde um den Mittelpunkt der kleine Kreis construirt, auf welchem sich der Mittelpunkt des excentrischen Kreises bewegt, der Winkel wird nach der Annahme doppelt so gross als , also gleich 89° 36′ gemacht, und und gezogen. Da nun in dem Dreiecke

[316]
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die beiden Seiten gleich 736¼ und gleich 10000, welche den, durch Winkel gegebenen, Winkel gleich 135° 12′ einschliessen, gegeben sind: so wird die dritte Seite gleich 10534, und der Winkel gleich 2° 49′, um welchen kleiner ist als . Also ergiebt sich gleich 41° 59′. Der Winkel ist aber, als Nebenwinkel des Winkels , gleich 90° 24′, also ist der ganze Winkel gleich 132° 23′, welchen ebenfalls gegebene Seiten des Dreiecks einschliessen, nämlich gleich 10534 und gleich 211½, wobei gleich 10000. Hieraus wird der Winkel gleich 50′, nebst der Seite gleich 10678 und der dritte Winkel gleich 1° 59′[48], gefunden. Nun werde der kleine Kreis genommen, dessen Durchmesser gleich 380 sein muss, wenn gleich 10000, und dessen Bogen gemäss der Voraussetzung, gleich 89° 36′ sei. Ferner ziehe man die Sehne , und endlich senkrecht auf . Da nun das Quadrat von gleich ist dem Rechtecke mal , so ergiebt sich aus dem gegebenen Verhältnisse auch fast zu 189, wenn der Durchmesser gleich 380 ist, und um diese grade Linie, oder um eine dieser gleiche hat sich der Planet von dem Mittelpunkte seiner Bahn in der Zeit weiter entfernt, in welcher die Linie den Winkel durchlaufen hat. Addirt man also dies zu der kleinsten Entfernung von 3573, so erhält man für diesen Ort 3762. Um den Mittelpunkt werde also mit dem Radius gleich 3762 ein Kreis beschrieben und die Linie gezogen, welche die convexe Peripherie in schneidet; und zwar so, dass der Winkel gleich 17° 28′ wird, um welchen Winkel der Planet vom mittleren Orte der Sonne abstehend beobachtet wurde. Ferner werde , und endlich parallel mit gezogen. Ziehen wir aber den Winkel von dem ganzen Winkel ab, so bleibt gleich 15° 29′. Daher sind in dem Dreiecke die beiden Seiten gleich 10678 und gleich 3762, und der Winkel gleich 15° 29′ bekannt, und aus diesem

[317] ergiebt sich der Winkel gleich 33° 46′. Zieht man davon gleich ab, so bleibt , also auch der Bogen gleich 31° 47′[49], als Entfernung des Planeten von dem mittleren Perigeum seiner Bahn und addirt man dazu den Halbkreis, so erhält man 211° 47′, als mittlere Bewegung der parallactischen Anomalie bei dieser Beobachtung, welche abzuleiten war.

Capitel 30.
Ueber neuere Beobachtungen der Bewegung des Merkur.

Diesen Weg, den Lauf unseres Planeten zu prüfen, hatten uns die Alten vorgezeichnet. Sie waren von einem heitern Himmel begünstigt, da der Nil, wie sie berichten, nicht solche Dünste aushaucht, wie bei uns die Weichsel. Uns aber, die wir in einem rauheren Klima wohnen, versagte die Natur diese Bequemlichkeit, da die Luft seltener ruhig ist, und ausserdem, wegen der grossen Schiefe der Himmelskugel seltener Gelegenheit ist den Merkur zu sehen. Obgleich er in seiner grössten Entfernung von der Sonne sich befindet, wenn diese im Widder oder in den Fischen steht, so geht er für unsern Gesichtskreis nicht auf, noch ist sein Untergang bei der Stellung in der Jungfrau oder in der Waage zu sehen. Aber auch im Krebse oder den Zwillingen erscheint er in keiner Weise, weder in der Abenddämmerung noch in der Morgendämmerung, in der Nacht niemals, ausser, wenn die Sonne in den günstigsten Theil des Löwen tritt. Deshalb hat uns dieser Planet viele Umstände und Arbeit gemacht, um seine Ungleichmässigkeiten zu berechnen. Zu diesem Zwecke haben wir drei Oerter von denen, welche zu Nürnberg sorgfältig beobachtet sind, entlehnt. Den Ersten beobachtete Bernhard Walther[50], ein Schüler des Regiomontanus, im Jahre Christi 1491 den 9ten September 5 gleichmässige Stunden nach Mitternacht, indem er ihn mittelst des Astrolabiums mit dem Aldebaran verglich, und fand, dass Merkur in 13° 30′ der Jungfrau, mit einer nördlichen Breite von 1° 50′, stand. Der Planet fing damals an, als Morgenstern zu verschwinden, da seine westliche Abweichung in den vorhergehenden Tagen fortwährend abgenommen hatte. Seit dem Anfange der Jahre Christi waren nun 1491 ägyptische Jahre 258d 12I 30II verflossen, und der einfache mittlere Ort der Sonne lag in 149° 48′, vom Frühlingsnachtgleichenpunkte aber in 26° 47′ der Jungfrau, daher betrug auch der Abstand des Merkur ungefähr 13° 15′. Die zweite Beobachtung machte Johannes Schoner im Jahre Christi 1504 am 9ten Januar, 6½ Stunden nach Mitternacht, als der 10te Grad des Skorpion zu Nürnberg culminirte. Der Planet stand in 3° 20′ des Steinbocks, mit einer nördlichen Breite von 45′. Der mittlere Ort der Sonne war aber nach der Berechnung vom Frühlingsnachtgleichenpunkte in 27° 7′ des Steinbocks[51], ihm ging Merkur westlich voraus um 23° 42′. Die dritte Beobachtung ist von demselben Johannes, auch in demselben Jahre 1504 den 18ten März, bei welcher er durch Vergleichung des Planeten mit dem

[318] Aldebaran mittelst des Astrolabiums, den Merkur in 26° 6′ des Widders, mit einer nördlichen Breite von ungefähr 3°, fand; während der 25ste Grad des Krebses zu Nürnberg culminirte, also 7h 30m nach Mittag; zu welcher Zeit der mittlere Ort der Sonne vom Frühlingsnachtgleichenpunkte in 5° 39′ des Widders lag, in welchem Zeichen Merkur als Abendstern um 21° 17′ von der Sonne östlich abstand. Von der ersten bis zur zweiten Beobachtung sind 12 ägyptische Jahre 125d 3I 45II vergangen, in welcher Zeit die einfache Bewegung der Sonne 120° 14′, und die Bewegung der parallactischen Anomalie Merkurs 316° 1′ beträgt. Im zweiten Zeitraume liegen 69d 31I 45II, der einfache mittlere Ort der Sonne ist 68° 32′, die mittlere parallactische Anomalie Merkurs beträgt 216°. Aus diesen dreien Beobachtungen wollen wir für die jetzige Zeit prüfen, in wie weit wir annehmen dürfen, dass die Maassverhältnisse in den Kreisen der Merkursbewegung seit Ptolemäus bis jetzt dieselben geblieben sind, da man bei den anderen Beobachtungen auch nicht findet, dass die früheren guten Gewährsmänner in dieser Beziehung Fehler begangen hätten.
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Wenn wir mit diesen denselben Ort der Abside des excentrischen Kreises gemein hätten, so bedürften wir ausserdem nichts, für die erscheinende Bewegung auch dieses Planeten. Wir haben den Ort der grössten Abside in 211° 30′, d. h. in 28° 30′ des Zeichens des Skorpion angenommen, denn wir durften denselben nicht weiter zurücksetzen, wenn wir nicht von vorn herein gegen die Beobachter uns entscheiden wollten; und so werden mir nun die Anomalie des excentrischen Kreises, nämlich die Entfernung des mittleren Ortes der Sonne vom Apogeum bei der ersten Beobachtung gleich 298° 15′, bei der zweiten gleich 58° 29′ und bei der dritten gleich 127° 1′ erhalten. Nun möge die Figur in der früheren Weise construirt werden, nur dass der Winkel gleich 61° 45′, um welchen die Bewegung der mittleren Sonne dem Apogeum bei der ersten Beobachtung voraus ging; und das Uebrige, was daraus folgt, der Voraussetzung gemäss gemacht wird. Da nun gleich 736¼, wenn

[319] gleich 10000, und der Winkel in dem Dreiecke gegeben ist: so ergiebt sich auch der Winkel zu 3° 35′, und die Seite zu 10369, während gleich 10000 und gleich 211½ ist. Also sind auch in dem Dreiecke zwei Seiten, ihrem Verhältnisse nach, gegeben. Der Winkel ist aber 123° 30′, weil er nach der Voraussetzung, doppelt so gross sein soll als ; folglich ist auch gleich 56° 30′, und der ganze Winkel gleich 114° 40′, also auch gleich 1° 5′, und die Seite gleich 10371, und daraus auch der Winkel gleich 2° 30′. Um aber zu bestimmen, wie viel die Bahn, deren Mittelpunkt , durch die hin- und hergehende Bewegung, gegen das Apogeum oder Perigeum sich geändert hat, construiren wir den kleinen, mittelst der Durchmesser in vier gleiche Theile getheilten, Kreis um den Mittelpunkt , machen den Winkel [52] doppelt so gross, als , also gleich 123° 30′, und fällen von dem Punkte das Loth auf . Es wird also nach dem gegebenen Verhältnisse oder die ihr gleiche zu wie 10000 zu 8349, oder wie 190 zu 105, welche sich summiren zu gleich 295, wobei gleich 10000, und um so viel ist der Planet vom Mittelpunkte weiter entfernt. Addirt man dies zu der kleinsten Entfernung gleich 3573, so erhält man die gegenwärtige Entfernung gleich 3868, mit welcher, als Radius, um den Mittelpunkt der Kreis beschrieben werde. Man ziehe noch und , und verlängere zu . Da nun der Winkel gleich 2° 30′ erwiesen, und Winkel gleich 13° 15′, als der westliche Abstand des Sterns von der mittleren Sonne, beobachtet ist: so ist der ganze Winkel gleich 15° 45′. In dem Dreiecke ist aber das Verhältniss von zu wie 10371 zu 3868, nebst dem Winkel gegeben; es ergiebt sich uns der Winkel gleich 49° 8′. Aus diesem und dem andern innern Winkel, ergiebt sich der äussere[53] gleich 64° 53′, und dieser von dem ganzen Kreise abgezogen, giebt 295° 7′, als den Winkel der wahren parallactischen Anomalie. Addirt man hierzu den Winkel , so erhält man die mittlere oder gleichmässige gleich 297° 37′, welche wir suchten. Wenn wir hierzu 316° 1′ addiren, so erhalten wir die gleichmässige parallactische Anomalie für die zweite Beobachtung gleich 253° 38′, was wir ebenfalls als richtig und mit der Beobachtung übereinstimmend nachweisen wollen. Machen wir nämlich den Winkel , nach Maassgabe der Anomalie des excentrischen Kreises bei der zweiten Beobachtung gleich 58° 29′: dann sind (s. F. a. f. S.) in dem Dreiecke zwei Seiten, gleich 736 und gleich 10000, nebst dem Winkel gleich 121° 31′ gegeben; folglich auch die dritte Seite gleich 10404 und der Winkel gleich 3° 28′. Ebenso wird in dem Dreiecke , da der Winkel gleich 118° 3′, die Seite gleich 211½ und gleich 10404 ist: die dritte Seite gleich 10505 und der Winkel gleich 61′, und der Rest gleich 2° 27′: dies ist die Prosthaphärese des excentrischen Kreises, welche zu der mittleren parallactischen Bewegung addirt, die wahre gleich 256° 5′[54] ergiebt. Nehmen wir nun in dem Epicykel des Hin- und Hergehens, den Bogen oder den Winkel , doppelt so gross als , also gleich 116° 58′: so ist in

[320] dem rechtwinkligen Dreiecke aus dem gegebenen Verhältnisse der Seiten zu , wie 10000 zu 4535[55], selbst gleich 86, während oder gleich 190, und die ganze Linie gleich 276.
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Addirt man diese Grösse zu der kleinsten Distanz 3573, so erhält man 3849. Mit dieser Entfernung als Radius wird um den Mittelpunkt , der Kreis beschrieben, so dass im Punkte das parallactische Apogeum liegt, welchem der Planet um den Bogen gleich 103° 55′ vorangeht, diese fehlten bei der eben untersuchten parallactischen Bewegung, welche 256° 5′ betrug, an einem ganzen Umlaufe. Deswegen ist der Nebenwinkel gleich 76° 5′, in dem Dreiecke , dessen beide Seiten gleich 3849 und gleich 10505 gegeben sind. Folglich wird der Winkel gleich 21° 19′, der zu hinzuaddirt, den ganzen Winkel gleich 23° 46′ macht; und dies ist der erscheinende Abstand zwischen dem Mittelpunkte der Erdbahn und dem Planeten , was ebenfalls wenig von der Beobachtung abweicht. Dies wird auch noch durch die dritte Beobachtung bestätigt, bei welcher wir den Winkel gleich 127° 1′, oder den Nebenwinkel gleich 52° 59′ zu machen haben. Wir erhalten hier wieder ein Dreieck, dessen Seiten, gleich 736½ und gleich 10000, und der eingeschlossene Winkel gleich 52° 59′ bekannt sind; hieraus ergiebt sich der Winkel gleich 3° 31′ und die Seite gleich 9575, während gleich 10000; und da der Winkel , nach der Construction gleich 49° 28′ ist, während die ihn einschliessenden Seiten gleich 211½ und gleich 9575 gegeben sind; so ergiebt sich auch die dritte Seite gleich 9440 und der Winkel gleich 59′. Zieht man diesen von dem ganzen Winkel ab, so bleibt der Winkel gleich 2° 32′ übrig, und dies ist die abzuziehende Prosthaphärese der Anomalie des excentrischen Kreises. Addiren wir diese zur mittleren parallactischen Anomalie, welche wir durch Hinzuzählung der 216° aus dem zweiten Zeitraume auf 109° 38′ berechnet haben, so entsteht die wahre gleich 112° 10′[56]. Nun werde in dem Epicykel der Winkel , doppelt so gross als , also gleich 105° 58′ genommen, und wir erhalten auch hier aus dem Verhältnisse von zu , das Stück gleich 52, und also das ganze gleich 242. Addiren wir dies zu der kleinsten Distanz gleich [321] 3573, so erhalten wir 3815. Mit diesem Radius wird um den Mittelpunkt ein Kreis beschrieben, in welchem die grösste parallactische Abside in , nämlich in der gradlinigen Verlängerung der Graden liegt.
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Nach Maassgabe der wahren parallactischen Anomalie, werde der Bogen gleich 112° 10′ gemacht, und gezogen; folglich ist der Nebenwinkel gleich 67° 50′, welchen die beiden Seiten gleich 3815 und gleich 9440 einschliessen. Hieraus ergiebt sich der Winkel gleich 23° 50′; zieht man davon die Prosthaphärese ab, so bleibt gleich 21° 18′, als erscheinender östlicher Abstand des Planeten von dem Mittelpunkte der Erdbahn, wie derselbe ungefähr bei der Beobachtung gefunden ist. So bestätigen diese mit den Beobachtungen übereinstimmenden drei Oerter zweifellos den Ort der grössten Abside des excentrischen Kreises, welchen wir für unsere Zeit in 211° 30′ der Fixsternsphäre annahmen, und also auch das als wahr, was daraus folgt, nämlich die gleichmässige parallactische Anomalie für den ersten Ort gleich 297° 37′, für den zweiten gleich 253° 38′ und für den dritten gleich 109° 38′, was wir untersuchen wollten. Bei jener alten Beobachtung aber, aus dem Jahre 21 des Ptolemäus Philadelphus bei anbrechendem 19ten Tage des ersten ägyptischen Monats Thoth, war der Ort der grössten Abside des excentrischen Kreises, nach der Behauptung des Ptolemäus, in Bezug auf die Fixsternsphäre in 183° 20′, der Ort der gleichmässigen parallactischen Anomalie aber in 211° 47′. Die Zeit aber zwischen der neuesten und jener alten Beobachtung beträgt 1768 ägyptische Jahre 200d 33I; in dieser Zeit hat sich die grösste Abside des excentrischen Kreises gegen die Fixsternsphäre um 28° 10′ verändert, und der Ort der parallactischen Bewegung, ausser den ganzen Umläufen, deren 5570 sind, noch um 257° 51′; weil nämlich in 20 Jahren etwa 63 Umläufe vollendet werden, was in 1760 Jahren, 5544 Umläufe und in den übrigen 8 Jahren und den 200 Tagen noch 26 Umläufe beträgt. In 1768a 200d 33I erwuchsen also ausser 5570 Umläufen noch 257° 51′, um welche die beiden beobachteten Oerter, jener erste alte und der unsrige von einander abwichen. Dies

[322] stimmt denn auch mit den Zahlen, welche wir in den Tafeln aufgestellt haben, überein. Indem wir aber die 28° 10′, um welche das Apogeum des excentrischen Kreises sich bewegt hat, mit derselben Zeit verglichen, ergab sich, dass diese Bewegung in 63 Jahren einen Grad beträgt, wenn dieselbe überhaupt gleichmässig ist.

Capitel 31.
Ueber die Feststellung der Oerter des Merkur.

Nun sind vom Anfange der Jahre Christi bis zur letzten Beobachtung 1504 ägyptische Jahre 87d 48I verflossen, und in dieser Zeit beträgt die Bewegung der parallactischen Anomalie des Merkur, nach Beseitigung der ganzen Umläufe 63° 14′; zieht man dies von 109° 38′ ab, so bleiben 46° 24′ als Ort der parallactischen Anomalie des Merkur für den Anfang der Jahre Christi. Von da rückwärts bis zum Anfange der ersten Olympiade sind es 775 ägyptische Jahre 12d 30I[57], hierfür berechnen sich, ausser den ganzen Umläufen 95° 3′. Zieht man dies von dem Orte Christi ab, indem man einen ganzen Umlauf entlehnt, so bleibt als Ort für die erste Olympiade 311° 21′. Hieraus wird in 451a 247d bis zum Tode Alexanders durch die Berechnung dieser Ort zu 213° 3′ gefunden.

Capitel 32.
Ueber eine andere Ableitungsmethode des Hin- und Hergehens.
Ehe wir den Merkur verlassen, wollen wir noch eine andere Anschauungsweise, welche nicht weniger annehmbar ist, als die obige, untersuchen, durch welche jenes Hin- und Hergehen entstanden gedacht werden könnte.
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Es sei ein Kreis, , durch seinen Mittelpunkt in vier gleiche Theile getheilt; mit diesem sei der kleine Kreis concentrisch, und um den Mittelpunkt , mit dem Radius , gleich oder , ein dritter Kreis beschrieben. Nun nehme man an, diese ganze Zusammenstellung von Kreisen, mit ihren Schnittlinien und , bewege sich rechtläuflg, um den Mittelpunkt , täglich ungefähr 2° 7′ vom Apogeum des excentrischen Kreises des Planeten; um so viel ist nämlich die parallactische Bewegung des Planeten grösser, als die Bewegung der Erde in der Ekliptik. Unterdessen vollführt der Planet vom Punkte aus, im Kreise den Rest seiner eigenen parallactischen Bewegung, nahe übereinstimmend mit der Bewegung der Erde. Ferner denke man sich, dass, während dieses selben jährlichen Umlaufes, der

[323] Mittelpunkt des den Planeten leitenden Kreises , in hin- und hergehender Bewegung, den Durchmesser doppelt so geschwind, als wir früher angenommen haben, durchlaufe. Wenn wir nach diesen Bestimmungen die Erde in ihrer mittleren Bewegung dem Apogeum des excentrischen Kreises des Planeten gegenüber setzen, und zu derselben Zeit der Mittelpunkt des den Planeten leitenden Kreises in , der Planet selbst aber im Punkte sich befindet: so beschreibt Letzterer in seinem kleinsten Abstände von , den kleinsten Kreis seiner Bewegung, dessen Radius ist, und daraus folgt weiter, dass, wenn die Erde in der Gegend der mittleren Absiden, der Planet im Punkte steht, Letzterer, wegen seiner grössten Entfernung von , die grössten Bogen, und zwar in einem Kreise, dessen Mittelpunkt ist, beschreibt; dann fällt nämlich der leitende Kreis mit dem Kreise zusammen, weil sie den gemeinsamen Mittelpunkt haben. Rückt von hier aus die Erde weiter in die Gegend des Perigeums, und der Mittelpunkt des Kreises in den andern äussersten Punkt , so greift auch der Kreis über hinaus, und der Planet tritt in wieder in seine kleinste Entfernung von ; und nun verläuft das Uebrige, wie vom Anfange. Denn hier treffen die drei unter sich gleichen Umläufe zusammen, nämlich die Bewegung der Erde mit derjenigen des Apogeums des excentrischen Kreises des Merkur; die im Durchmesser hin- und hergehende Bewegung des Mittelpunktes mit der Bewegung des Planeten von der Linie an bis zu derselben zurück, und von diesen weicht nur die Bewegung in den Abschnitten und von der Abside des excentrischen Kreises ab, wie wir gesagt haben. So spielt die Natur bei diesem Planeten ebenso in wunderbarer Veränderung, als sie sich an eine ewige, sichere und unveränderliche Ordnung bindet. Es ist aber hierbei zu beachten, dass der Planet die mittleren Gegenden der Quadranten und nicht ohne eine Ungleichheit in der Länge durchläuft, da ja der Planet, indem die Veränderung der Mittelpunkte hinzukommt, nothwendig eine Prosthaphärese bewirken wird; es besteht aber eine solche Veränderlichkeit seines Mittelpunktes. Denn wenn z. B. während der Mittelpunkt in bliebe, der Planet von aus vorwärts rückte, so würde nach Maassgabe der Excentricität , in der Gegend von eine grösste Differenz eintreten. Aus den Voraussetzungen folgt aber, dass der Planet von aus zwar anfängt, sich zu entfernen, und die Differenz, welche der Entfernung der Mittelpunkte zukommt, zu durchlaufen verspricht; indem aber der bewegliche Mittelpunkt sich dem mittleren nähert, wird er mehr und mehr an dieser erstrebten Verschiedenheit gehindert, und sein Streben wird so sehr vereitelt, dass an den mittleren Punkten und , wo man die grösste Differenz erwarten sollte, dieselbe ganz Null wird. Wenn aber auch eine kleine Differenz einträte, so müssen wir doch nichtsdestoweniger zugeben, dass dieselbe in den Strahlen der Sonne sich verbergen würde; und dass der Planet, wenn er in Osten oder Westen als Morgen- oder Abendstern erscheint, an dem Rande des Kreises nicht genau gesehen wird. Wir haben aber diese nicht weniger vernunftgemässe Anschauungsweise [324] nicht übergehen wollen, da dieselbe den Abweichungen der Breiten ganz offenbar zu Grunde liegt.

Capitel 33.
Ueber die Tafeln der Prosthaphäresen der fünf Planeten.

Dies haben wir über die gleichmässige und erscheinende Bewegung des Merkur und der übrigen Planeten entwickelt und mit Zahlen erläutert, und durch diese Vorbilder ist der Weg eröffnet, beliebige andere Oerter und Differenzen der Bewegungen zu berechnen. Zur leichteren Erreichung dieses Zweckes haben wir für Jeden besondere Tafeln mit sechs Spalten und dreissig Zeilen von 3 zu 3 Graden, wie wir das gewohnt sind, aufgestellt. Die erste und zweite Spalte enthalten die gemeinschaftlichen Zahlen, sowohl für die Anomalie des excentrischen Kreises, als auch für die parallactische Anomalie. In der dritten Spalte finden sich die gesammten Prosthaphäresen des excentrischen Kreises, nämlich die ganzen Differenzen, welche zwischen der mittleren und der ungleichmässigen Bewegung jener Bahnen eintreten. Die vierte Spalte stellt die Proportionaltheile als Sechzigstel dar, um welche die Parallaxen, wegen der grösseren oder geringeren Entfernung von der Erde vergrössert oder verkleinert werden müssen. In der fünften Spalte stehen diejenigen Prosthaphäresen, welche aus der Erdbahn für die Parallaxen in der grössten Abside des excentrischen Kreises des Planeten hervorgehen. Die sechste Spalte enthält endlich die Differenzen, um welche die in der kleinsten Abside des excentrischen Kreises entstehenden Prosthaphäresen grösser sind. Hier folgen diese Tafeln. [325]

TAFEL DER PROSTHAPHÄRESEN DES SATURN.
Gemeinschaftliche Zahlen Prosthaphärese des excentrischen Kreises Proportional-Minuten Parallaxe der Erdbahn bei der grössten Abside Ueberschuss der Parallaxe bei der kleinsten Abside 00 Gemeinschaftliche Zahlen Prosthaphärese des excentrischen Kreises Proportional-Minuten Parallaxe der Erdbahn bei der grössten Abside Ueberschuss der Parallaxe bei der kleinsten Abside
Grad Grad Grad Min. Min. Grad Min. Grad Min. Grad Grad Grad Min. Min. Grad Min. Grad Min.
003 357 0 20 00 0 17 0 02 093 267 6 31 25 5 52 0 43
006 354 0 40 00 0 34 0 04 096 264 6 30 27 5 53 0 44
009 351 0 58 00 0 51 0 06 099 261 6 28 29 5 53 0 45
0
012 348 1 17 00 1 07 0 08 102 258 6 26 31 5 51 0 46
015 345 1 36 01 1 23 0 10 105 255 6 22 32 5 48 0 46
018 342 1 55 01 1 40 0 12 108 252 6 17 34 5 45 0 45
0
021 339 2 13 01 1 56 0 14 111 249 6 12 35 5 40 0 45
024 336 2 31 02 2 11 0 16 114 246 6 06 36 5 36 0 44
027 333 2 49 02 2 26 0 18 117 243 5 58 38 5 29 0 43
0
030 330 3 06 03 2 42 0 19 120 240 5 49 39 5 22 0 42
033 327 3 23 03 2 56 0 21 123 237 5 40 41 5 13 0 41
036 324 3 39 04 3 10 0 23 126 234 5 28 42 5 03 0 40
0
039 321 3 55 04 3 25 0 24 129 231 5 10 44 4 52 0 39
042 318 4 10 05 3 38 0 26 132 228 5 03 46 4 41 0 37
045 315 4 25 06 3 52 0 27 135 225 4 48 47 4 29 0 35
0
048 312 4 39 07 4 05 0 29 138 222 4 33 48 4 15 0 34
051 309 4 52 08 4 17 0 31 141 219 4 17 50 4 01 0 32
054 306 5 05 09 4 28 0 33 144 216 4 00 51 3 46 0 30
0
057 303 5 17 10 4 38 0 34 147 213 3 42 52 3 30 0 28
060 300 5 29 11 4 49 0 35 150 210 3 24 53 3 13 0 26
063 297 5 41 12 4 59 0 36 153 207 3 06 54 2 56 0 24
0
066 294 5 50 13 5 08 0 37 156 204 2 46 55 2 38 0 22
069 291 5 59 14 5 17 0 38 159 201 2 27 56 2 21 0 19
072 288 6 07 16 5 24 0 38 162 198 2 07 57 2 02 0 17
0
075 285 6 14 17 5 31 0 39 165 195 1 46 58 1 42 0 14
078 282 6 19 18 5 37 0 39 168 192 1 25 59 1 22 0 12
081 279 6 23 19 5 42 0 40 171 189 1 04 59 1 02 0 09
0
084 276 6 27 21 5 46 0 41 174 186 0 43 60 0 42 0 07
087 273 6 29 22 5 50 0 42 177 183 0 22 60 0 21 0 04
090 270 6 31 23 5 52 0 42 180 180 0 00 50 0 00 0 00

[326]

TAFEL DER PROSTHAPHÄRESEN DES JUPITER.
Gemeinschaftliche Zahlen Prosthaphärese des excentrischen Kreises Proportional-Minuten Parallaxe der Erdbahn bei der grössten Abside Ueberschuss der Parallaxe bei der kleinsten Abside 00 Gemeinschaftliche Zahlen Prosthaphärese des excentrischen Kreises Proportional-Minuten Parallaxe der Erdbahn bei der grössten Abside Ueberschuss der Parallaxe bei der kleinsten Abside
Grad Grad Grad Min. Min. Sec. Grad Min. Grad Min. Grad Grad Grad Min. Min. Sec. Grad Min. Grad Min.
003 357 00 16 00 03 00 28 00 02 093 267 05 15 28 33 10 25 00 59
006 354 00 31 00 12 00 56 00 04 096 264 05 15 30 12 10 33 01 00
009 351 00 47 00 18 01 25 00 06 099 261 05 14 31 00 10 34 01 01
0
012 348 01 02 00 30 01 53 00 08 102 258 05 12 33 17 10 34 01 01
015 345 01 18 00 45 02 19 00 10 105 255 05 10 34 50 10 33 01 02
018 342 01 33 01 03 02 46 00 13 108 252 05 06 36 21 10 29 01 03
0
021 339 01 48 01 23 03 13 00 15 111 249 05 01 37 47 10 23 01 03
024 336 02 02 01 48 03 40 00 17 114 246 04 55 39 00 10 15 01 03
027 333 02 17 02 18 04 06 00 19 117 243 04 49 40 25 10 05 01 03
0
030 330 02 31 02 50 04 32 00 21 120 240 04 41 41 50 09 54 01 02
033 327 02 44 03 26 04 57 00 23 123 237 04 32 43 18 09 41 01 01
036 324 02 58 04 10 05 22 00 25 126 234 04 23 44 46 09 25 01 00
0
039 321 03 11 05 40 05 47 00 27 129 231 04 13 46 11 09 08 00 59
042 318 03 23 06 43 06 11 00 29 132 228 04 02 47 37 08 56 00 58
045 315 03 35 07 48 06 34 00 31 135 225 03 50 49 02 08 27 00 57
0
048 312 03 47 08 50 06 56 00 34 138 222 03 38 50 22 08 05 00 55
051 309 03 58 09 53 07 18 00 36 141 219 03 25 51 46 07 39 00 53
054 306 04 08 10 57 07 39 00 38 144 216 03 13 53 06 07 12 00 50
0
057 303 04 17 12 00 07 58 00 40 147 213 02 59 54 10 06 43 00 47
060 300 04 26 13 10 08 17 00 42 150 210 02 45 55 15 06 13 00 43
063 297 04 35 14 20 08 35 00 44 153 207 02 30 56 12 05 41 00 39
0
066 294 04 42 15 30 08 52 00 46 156 204 02 15 57 00 05 07 00 35
069 291 04 50 16 50 09 08 00 48 159 201 01 59 57 37 04 32 00 31
072 288 04 56 18 10 09 22 00 50 162 198 01 43 58 06 03 56 00 27
0
075 285 05 01 19 17 09 35 00 52 165 195 01 27 58 34 03 18 00 23
078 282 05 05 20 40 09 47 00 54 168 192 01 11 59 03 02 40 00 19
081 279 05 09 22 20 09 59 00 55 171 189 00 53 59 36 02 00 00 15
0
084 276 05 12 23 50 10 08 00 56 174 186 00 35 59 58 01 20 00 11
087 273 05 14 25 23 10 17 00 57 177 183 00 17 60 00 00 40 00 06
090 270 05 15 26 57 10 24 00 58 180 180 00 00 60 00 00 00 00 00

[327]

TAFEL DER PROSTHAPHÄRESEN DES MARS.
Gemeinschaftliche Zahlen Prosthaphärese des excentrischen Kreises Proportional-Minuten Parallaxe der Erdbahn bei der grössten Abside Ueberschuss der Parallaxe bei der kleinsten Abside 00 Gemeinschaftliche Zahlen Prosthaphärese des excentrischen Kreises Proportional-Minuten Parallaxe der Erdbahn bei der grössten Abside Ueberschuss der Parallaxe bei der kleinsten Abside
Grad Grad Grad Min. Min. Sec. Grad Min. Grad Min. Grad Grad Grad Min. Min. Sec. Grad Min. Grad Min.
003 357 00 32 00 00 01 08 00 08 093 267 11 07 21 32 31 45 05 20
006 354 01 05 00 02 02 16 00 17 096 264 11 08 22 58 32 30 05 35
009 351 01 37 00 07 03 24 00 25 099 261 11 07 24 32 33 13 05 51
0
012 348 02 08 00 15 04 31 00 33 102 258 11 05 26 07 33 53 06 07
015 345 02 39 00 28 05 38 00 41 105 255 11 01 27 43 34 30 06 25
018 342 03 10 00 42 06 45 00 50 108 252 10 56 29 21 35 03 06 45
0
021 339 03 41 00 57 07 52 00 59 111 249 10 45 31 02 35 34 07 04
024 336 04 11 01 13 08 58 01 08 114 246 10 33 32 46 35 59 07 25
027 333 04 41 01 34 10 05 01 16 117 243 10 11 34 31 36 21 07 46
0
030 330 05 10 02 01 11 11 01 25 120 240 10 07 36 16 36 37 08 11
033 327 05 38 02 31 12 16 01 34 123 237 09 51 38 01 36 49 08 34
036 324 06 06 03 02 13 22 01 43 126 234 09 33 39 46 36 54 08 59
0
039 321 06 32 03 32 14 26 01 52 129 231 09 13 41 30 36 53 09 24
042 318 06 58 04 03 15 31 02 02 132 228 08 50 43 12 36 45 09 49
045 315 07 23 04 37 16 35 02 11 135 225 08 27 44 50 36 25 10 17
0
048 312 07 47 05 16 17 39 02 20 138 222 08 02 46 26 35 59 10 47
051 309 08 10 06 02 18 42 02 30 141 219 07 36 48 01 35 25 11 15
054 306 08 32 06 50 19 45 02 40 144 216 07 07 49 35 34 30 11 45
0
057 303 08 53 07 39 20 47 02 50 147 213 06 37 51 02 33 24 12 12
060 300 09 12 08 30 21 49 03 00 150 210 06 07 52 22 32 03 12 35
063 297 09 30 09 27 22 50 03 11 153 207 05 34 53 38 30 26 12 54
0
066 294 09 47 10 25 23 48 03 22 156 204 05 00 54 50 28 05 13 28
069 291 10 03 11 28 24 47 03 34 159 201 04 25 56 00 26 08 13 07
072 288 10 19 12 33 25 44 03 46 162 198 03 49 57 06 23 28 12 47
0
075 285 10 32 13 38 26 40 03 59 165 195 03 12 57 54 20 21 12 12
078 282 10 42 14 46 27 35 04 11 168 192 02 35 58 22 16 51 10 59
081 279 10 50 16 04 28 29 04 24 171 189 01 57 58 50 13 01 09 01
0
084 276 10 56 17 24 29 21 04 36 174 186 01 18 59 11 08 51 06 40
087 273 11 01 18 45 30 12 04 50 177 183 00 39 59 44 04 32 03 28
090 270 11 05 20 08 31 00 05 05 180 180 00 00 60 00 00 00 00 00

[328]

TAFEL DER PROSTHAPHÄRESEN DER VENUS.
Gemeinschaftliche Zahlen Prosthaphärese des excentrischen Kreises Proportional-Minuten Parallaxe der Erdbahn bei der grössten Abside Ueberschuss der Parallaxe bei der kleinsten Abside 00 Gemeinschaftliche Zahlen Prosthaphärese des excentrischen Kreises Proportional-Minuten Parallaxe der Erdbahn bei der grössten Abside Ueberschuss der Parallaxe bei der kleinsten Abside
Grad Grad Grad Min. Min. Sec. Grad Min. Grad Min. Grad Grad Grad Min. Min. Sec. Grad Min. Grad Min.
003 357 00 06 00 00 01 15 00 01 093 267 02 00 29 58 36 20 00 50
006 354 00 13 00 00 02 30 00 02 096 264 02 00 31 28 37 17 00 53
009 351 00 19 00 10 03 45 00 03 099 261 01 59 32 57 38 13 00 55
0
012 348 00 25 00 39 04 59 00 05 102 258 01 58 34 26 39 07 00 58
015 345 00 31 00 58 06 13 00 06 105 255 01 57 35 55 40 00 01 00
018 342 00 36 01 20 07 28 00 07 108 252 01 55 37 23 40 49 01 04
0
021 339 00 42 01 39 08 42 00 09 111 249 01 53 38 52 41 36 01 08
024 336 00 48 02 23 09 56 00 11 114 246 01 51 40 19 42 18 01 11
027 333 00 53 02 59 11 10 00 12 117 243 01 48 41 45 42 59 01 14
0
030 330 00 59 03 38 12 24 00 13 120 240 01 45 43 10 43 35 01 18
033 327 01 04 04 18 13 37 00 14 123 237 01 42 44 37 44 07 01 22
036 324 01 10 05 03 14 50 00 16 126 234 01 39 46 06 44 32 01 26
0
039 321 01 15 05 45 16 03 00 17 129 231 01 35 47 36 44 49 01 30
042 318 01 20 06 32 17 16 00 18 132 228 01 31 49 06 45 04 01 36
045 315 01 25 07 22 18 28 00 20 135 225 01 27 50 12 45 10 01 41
0
048 312 01 29 08 18 19 40 00 21 138 222 01 22 51 17 45 05 01 47
051 309 01 33 09 31 20 52 00 22 141 219 01 17 52 33 44 51 01 53
054 306 01 30 10 48 22 03 00 24 144 216 01 12 53 48 44 22 02 00
0
057 303 01 40 12 08 23 14 00 26 147 213 01 07 54 28 43 36 02 06
060 300 01 43 13 32 24 24 00 27 150 210 01 01 55 00 42 34 02 13
063 297 01 46 15 08 25 34 00 28 153 207 00 55 55 57 41 12 02 19
0
066 294 01 49 16 35 26 43 00 30 156 204 00 49 56 47 39 20 02 34
069 291 01 52 18 00 27 52 00 32 159 201 00 43 57 33 36 58 02 27
072 288 01 54 19 33 28 57 00 34 162 198 00 37 58 16 33 58 02 27
0
075 285 01 56 21 08 30 04 00 36 165 195 00 31 58 59 30 14 02 27
078 282 01 58 22 32 31 09 00 38 168 192 00 25 59 39 25 42 02 16
081 279 01 59 24 07 32 13 00 41 171 189 00 19 59 48 20 20 01 56
0
084 276 02 00 25 30 33 17 00 43 174 186 00 13 59 54 14 07 01 20
087 273 02 00 27 05 34 20 00 45 177 183 00 07 59 58 07 16 00 46
090 270 02 00 28 28 35 21 00 47 180 180 00 00 60 00 00 16 00 00

[329]

TAFEL DER PROSTHAPHÄRESEN DES MERKUR.
Gemeinschaftliche Zahlen Prosthaphärese des excentrischen Kreises Proportional-Minuten Parallaxe der Erdbahn bei der grössten Abside Ueberschuss der Parallaxe bei der kleinsten Abside 00 Gemeinschaftliche Zahlen Prosthaphärese des excentrischen Kreises Proportional-Minuten Parallaxe der Erdbahn bei der grössten Abside Ueberschuss der Parallaxe bei der kleinsten Abside
Grad Grad Grad Min. Min. Sec. Grad Min. Grad Min. Grad Grad Grad Min. Min. Sec. Grad Min. Grad Min.
003 357 00 08 00 03 00 44 00 08 093 267 03 00 53 43 18 23 04 03
006 354 00 17 00 12 01 28 00 15 096 264 03 01 55 04 18 37 04 11
009 351 00 26 00 24 02 12 00 23 099 261 03 00 56 14 18 48 04 19
0
012 348 00 34 00 50 02 56 00 31 102 258 02 59 57 14 18 56 04 27
015 345 00 43 01 43 03 41 00 38 105 255 02 58 58 01 19 02 04 34
018 342 00 51 02 42 04 25 00 45 108 252 02 56 58 40 19 03 04 42
0
021 339 00 59 03 51 05 08 00 53 111 249 02 55 59 14 19 03 04 49
024 336 01 08 05 10 05 51 01 01 114 246 02 53 59 40 18 59 04 54
027 333 01 16 06 41 06 34 01 08 117 243 02 49 59 57 18 53 04 58
0
030 330 01 24 08 29 07 15 01 16 120 240 02 44 60 00 18 42 05 02
033 327 01 32 10 35 07 57 01 24 123 237 02 39 59 49 18 27 05 04
036 324 01 39 12 50 08 38 01 32 126 234 02 34 59 35 18 08 05 06
0
039 321 01 46 15 07 09 18 01 40 129 231 02 28 59 19 17 44 05 09
042 318 01 53 17 26 09 59 01 47 132 228 02 22 58 59 17 17 05 09
045 315 02 00 19 47 10 38 01 55 135 225 02 16 58 32 16 44 05 06
0
048 312 02 06 22 08 11 17 02 02 138 222 02 10 57 56 16 07 05 03
051 309 02 12 24 31 11 54 02 10 141 219 02 03 56 41 15 25 04 59
054 306 02 18 26 17 12 31 02 18 144 216 01 55 55 27 14 38 04 52
0
057 303 02 24 29 17 13 07 02 26 147 213 01 47 54 55 13 47 04 41
060 300 02 29 31 39 13 41 02 34 150 210 01 38 54 25 12 52 04 26
063 297 02 34 33 59 14 14 02 42 153 207 01 29 53 54 11 51 04 10
0
066 294 02 38 36 12 14 46 02 51 156 204 01 19 53 23 10 44 03 53
069 291 02 43 38 29 15 17 02 59 159 201 01 10 52 54 09 34 03 33
072 288 02 47 40 45 15 46 03 08 162 198 01 00 52 33 08 20 03 10
0
075 285 02 50 42 58 16 14 03 16 165 195 00 51 52 18 07 04 02 43
078 282 02 53 45 06 16 40 03 24 168 192 00 41 52 08 05 43 02 14
081 279 02 56 46 59 17 04 03 32 171 189 00 31 52 03 04 19 01 43
0
084 276 02 58 48 50 17 27 03 40 174 186 00 21 52 02 02 54 01 09
087 273 02 59 50 36 17 48 03 48 177 183 00 10 52 02 01 27 00 35
090 270 03 00 52 02 18 06 03 56 180 180 00 00 52 02 00 00 00 00
[330]
Capitel 34.
Wie die Längen der Oerter der fünf Planeten berechnet werden.

Mit Hülfe dieser so von uns aufgestellten Tafeln, können wir die Längen der Oerter der fünf Planeten ohne Schwierigkeit berechnen. Bei allen diesen ist nämlich die Methode der Berechnung fast dieselbe, wobei jedoch die Aeusseren sich etwas von der Venus und dem Merkur unterscheiden. Zuerst wollen wir daher vom Saturn, Jupiter und Mars sprechen, bei denen die Berechnung darin besteht, dass für eine beliebige, vorliegende Zeit, in der oben angegebenen Weise, die mittleren Bewegungen, nämlich die einfache der Sonne und die parallactische des Planeten, gesucht werden. Hierauf wird der Ort der grössten Abside des excentrischen Kreises des Planeten von dem einfachen Orte der Sonne abgezogen, und von dem Reste noch die parallactische Bewegung: was dann übrig bleibt, ist die Anomalie des excentrischen Kreises des Planeten, deren Zahl wir unter den gemeinsamen, in einer der beiden ersten Spalten der Tafel aufsuchen, daneben finden wir in der dritten Spalte die Prosthaphärese des excentrischen Kreises, und weiterhin die Proportionaltheile. Diese Prosthaphärese addiren wir zur parallactischen Bewegung, und ziehen dieselbe von der Anomalie des excentrischen Kreises ab, wenn die Zahl, mit welcher wir in die Tafel eingegangen sind, sich in der ersten Spalte gefunden hat; umgekehrt ziehen wir dieselbe von der parallactischen Bewegung ab, und addiren sie zu der Anomalie des excentrischen Kreises, wenn die Zahl in der zweiten Spalte steht. Die erhaltenen Summen oder Differenzen stellen die ausgeglichene Anomalie der Parallaxe und des excentrischen Kreises dar. Die Proportionaltheile heben wir uns zu einer gleich anzugebenden Verwendung auf. Die so ausgeglichene parallactische Anomalie suchen wir ebenfalls unter den ersten gemeinsamen Zahlen auf, und nehmen aus der fünften Spalte die Prosthaphärese der Parallaxe, nebst ihrem Ueberschusse aus der letzten Spalte daneben. Für diesen Ueberschuss nehmen wir den entsprechenden Theil aus den Proportionaltheilen, und addiren denselben stets zu der Prosthaphärese. Diese Summe giebt uns die wahre Parallaxe des Planeten, welche von der ausgeglichenen parallactischen Anomalie abgezogen werden muss, wenn jene kleiner, — und addirt werden muss, wenn sie grösser als der Halbkreis ist. So erhalten wir den wahren und erscheinenden Abstand des Planeten von dem mittleren Orte der Sonne im rückläufigen Sinne. Ziehen wir diesen Abstand von dem Orte der mittleren Sonne ab, so ist der Rest der gesuchte Ort des Planeten in Bezug auf die Fixsternsphäre. Wenn hierzu endlich die Präcession der Nachtgleichen addirt worden ist, so haben wir den Ort des Planeten vom Frühlingsnachtgleichenpunkte. Bei der Venus und dem Merkur nehmen wir anstatt der Anomalie des excentrischen Kreises, den Abstand der grössten Abside von dem mittleren Orte der Sonne, und gleichen durch diese Anomalie, die parallactische Bewegung und die Anomalie [331] des excentrischen Kreises, auf die eben angegebene Weise, aus. Wenn aber die Prosthaphärese des excentrischen Kreises mit der ausgeglichenen Parallaxe dasselbe Vorzeichen hat oder derselben Art ist, so wird ihre Summe, addirt zu, oder abgezogen von dem mittleren Orte der Sonne; sind sie aber von verschiedenen Vorzeichen, so zieht man die kleinere von der grösseren Grösse ab, und mit dem Reste verfährt man in der angegebenen Weise, gemäss dem positiven oder negativen Vorzeichen der grösseren Zahl; so ergiebt sich der gesuchte erscheinende Ort[58].

Capitel 35.
Ueber die Stillstände und die rückläufigen Bewegungen der fünf Planeten.[59]

Zu den Bestimmungen der Bewegung in Bezug auf die Länge, gehört auch noch die Kenntniss von den Stillständen und den rückgängigen oder rückläufigen Bewegungen; wo, wann und in welchem Maasse dieselben stattfinden. Auch hierüber haben die Mathematiker und vorzüglich Apollonius von Perga viel gehandelt; aber in solcher Weise, als ob die Planeten nur mit einer einzigen Ungleichheit und zwar in Bezug auf die Sonne sich bewegten, welche Ungleichheit wir, wegen der Bewegung der Erde in ihrer Bahn, die Parallaxe genannt haben. Wenn nämlich die Bahnen der Planeten mit der Erdbahn concentrisch wären, und die Planeten in derselben mit ungleichen Geschwindigkeiten, alle in demselben Sinne, d. h. rechtläufig sich bewegten; — und ein Planet in seiner Bahn, innerhalb der Erdbahn, wie Venus und Merkur, geschwinder ist, als die Bewegung der Erde; und eine von der Erde gezogene grade Linie die Bahn des Planeten so schneidet, dass die Hälfte des Abschnittes derselben innerhalb der Bahn, zu dem Stücke zwischen unserm Auge, nämlich der Erde und dem untern convexen Bogen der geschnittenen Bahn, dasselbe Verhältniss hat, in welchem die Bewegung der Erde zu der Geschwindigkeit des Planeten steht: so scheidet der von einer so gezogenen Linie bestimmte Punkt den Bogen nach dem Perigeum der Planetenbahn hin, als den der rückläufigen Bewegung von demjenigen der rechtläufigen Bewegung; so dass der Planet, wenn er in diesem Punkte selbst steht, den Eindruck eines Stillstandes macht. Schneidet ebenso bei den übrigen dreien äusseren Planeten, deren Bewegung langsamer als die Geschwindigkeit der Erde ist, eine durch unser Auge gezogene gerade Linie die Erdbahn so, dass die Hälfte des innerhalb der Erdbahn gelegenen Abschnittes, zu dem zwischen dem Planeten und unserm in dem näheren und convexen Bogen der Erdbahn befindlichen Auge, liegenden Abschnitte dasselbe Verhältniss hat, als die Bewegung des Planeten zu der Geschwindigkeit der Erde: so bietet der Planet an diesem Orte unserm Auge den Anblick eines Stillstandes dar. Wenn aber die Hälfte des innerhalb des Kreises gelegenen Abschnittes, wie gesagt, zu dem ausserhalb gelegenen

[332] übrigen Stücke ein grösseres Verhältniss[WS 3] hat, als die Geschwindigkeit der Erde zu der Geschwindigkeit der Venus oder des Merkur; oder als die Geschwindigkeit eines der oberen dreien Planeten zu der Geschwindigkeit der Erde: so ist der Planet rechtläufig; ist das Verhältniss kleiner, so ist er rückläufig. Um dieses zu beweisen wendet Apollonius einen Satz an, der zwar die Unbeweglichkeit der Erde voraussetzt, nichtsdestoweniger auch auf unser Princip von der Beweglichkeit der Erde passt, weshalb wir uns desselben ebenfalls bedienen. Wir können denselben in folgender Form aussprechen. Wenn die grössere Seite eines Dreiecks so geschnitten wird, dass der eine Abschnitt nicht kleiner ist, als die ihm anliegende Seite: so ist das Verhältniss dieses Abschnittes zu dem andern grösser, als das umgekehrte Verhältniss der Winkel, welche an der geschnittenen Seite anliegen.
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Es sei also in dem Dreiecke , die grössere Seite; wenn wir auf derselben nicht kleiner nehmen als , so behaupte ich, dass zu ein grösseres Verhältniss habe, als der Winkel zu dem Winkel . Dies wird folgendermaassen bewiesen. Man vollende das Parallelogramm , und verlängere und , bis sie sich im Punkte treffen. Da nun nicht kleiner ist, als , so wird ein um den Mittelpunkt , mit dem Radius beschriebener Kreis, entweder durch oder darüber hinausgehen. Zunächst gehe derselbe durch , und sei . Da nun das Dreieck grösser ist als der Sector , das Dreieck aber kleiner ist als der Sector : so hat das Dreieck zu ein grösseres Verhältniss, als der Sector zum Sector . Aber wie sich das Dreieck zu verhält: so verhält sich die Grundlinie zu ; folglich ist das Verhältniss von zu grösser als das Verhältniss der Winkel zu . Wie sich aber zu verhält, so verhält sich auch zu , der Winkel ist gleich , der Winkel gleich . Also hat auch zu ein grösseres Verhältniss, als der Winkel zu . Es ist aber offenbar, dass dies Verhältniss noch viel grösser wäre, wenn oder nicht gleich , sondern grösser als genommen würde. — Nun sei die Bahn der Venus oder des Merkur, um den Mittelpunkt ; ausserhalb dieses Kreises sei die Erde um denselben Mittelpunkt beweglich; von , als von unserm Auge, werde eine grade Linie durch den Mittelpunkt des Kreises gezogen, sei der von der Erde entfernteste Ort, der nächste, und es sei das Verhältniss zu grösser, als das der Bewegung des Auges zu der Geschwindigkeit des Planeten. Es ist also möglich, eine Linie der Art zu [333] ziehen, dass die Hälfte von zu sich verhält, wie die Bewegung des Auges zu der Bewegung des Planeten.
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Da diese Linie vom Mittelpunkte entfernt liegt, so nimmt dieselbe in zu und in ab, bis das verlangte Verhältniss eintritt. Ich behaupte, dass der im Punkte befindliche Planet uns den Anblick des Stillstandes darbietet, und wie klein wir auch einen Bogen zu beiden Seiten von annehmen: so finden wir die Bewegung in dem nach dem Apogeum hin gelegenen Bogen rechtläufig, diejenige in dem zum Perigeum hin gelegenen aber rückläufig. Um dies zu beweisen, nehmen wir zuerst den nach dem Apogeum hin gelegenen Bogen , und ziehen , , und . Da nun in dem Dreiecke der Abschnitt der grösseren Seite grösser ist als , so hat und ein grösseres Verhältniss als der Winkel zu dem Winkel . Folglich ist auch das Verhältniss der Hälfte von zu grösser als dasjenige des Winkels zu dem Doppelten des Winkels , d. h. zu dem Winkel . Aber das Verhältniss der Hälfte von zu ist gleich demjenigen der Bewegung der Erde zu der Geschwindigkeit des Planeten; also ist das Verhältniss des Winkels zu kleiner als dasjenige der Geschwindigkeit der Erde zu der des Planeten. Folglich ist der Winkel, welcher zu dasselbe Verhältniss hat, als die Bewegung der Erde zu der des Planeten, grösser als der Winkel ; derselbe sei gleich : in derselben Zeit also, in welcher der Planet den Bogen seiner Bahn durchläuft, scheint er für unser Auge einen diesem entgegengesetzten Raum zu durchlaufen, nämlich von nach . Es ist also klar, dass in derjenigen Zeit, in welcher der Planet für unser Auge den Bogen in rückläufiger Bewegung unter dem kleineren Winkel zurückzulegen scheint, die Bewegung der Erde ihn um den grösseren Winkel im rechtläufigen Sinne versetzt; und dass also der Planet noch um die Winkeldifferenz sich zu bewegen, also noch nicht still zu stehen scheint. Ebenso offenbar ist es aber auch, dass auf dieselbe Weise das Umgekehrte bewiesen wird; wenn wir in derselben Figur annehmen, dass die Hälfte von zu dasselbe Verhältniss habe, wie die Bewegung der Erde zu der Geschwindigkeit des Planeten. — Wir nehmen also den Bogen von der graden Linie aus zum Perigeum hin und ziehen , wodurch ein Dreieck gebildet wird, in welchem grösser als ist; folglich ist zu ein kleineres Verhältniss, als dasjenige des Winkels zu . Ebenso ist auch das Verhältniss der Hälfte von zu kleiner, als dasjenige des Winkels zu dem Doppelten von , d. h.

[334] wiederum zu dem Winkel , wie vorhin gezeigt wurde. Und daraus geht hervor, dass der Winkel zu dem Winkel ein kleineres Verhältniss habe, als die Geschwindigkeit des Planeten zu der Geschwindigkeit des Auges. Sind dagegen diese beiden Verhältnisse gleich, so ist der Winkel grösser als der Winkel , und der Planet macht also auch eine grössere rückgängige Bewegung als ein Vorrücken erfordert. Hiernach ist auch klar, dass wenn wir die Bogen und [60] gleich machen, im Punkte ein zweiter Stillstand stattfindet. Denn ziehen wir die Linie , so verhält sich die Hälfte von zu , wie die Geschwindigkeit der Erde zu derjenigen des Planeten; ebenso wie sich auch die Hälfte von zu verhält, und folglich stellen die beiden Punkte und die beiden Stillstände dar, und bestimmen den ganzen Bogen als einen rückläufigen, der Rest des Kreises ist dann rechtläufig. Auch folgt, dass, wenn die Entfernungen der Art sind, dass zu kein grösseres Verhältniss darstellt, als dasjenige der Geschwindigkeit der Erde zu der Geschwindigkeit des Planeten, es dann auch nicht möglich ist, eine andere gerade Linie zu ziehen, welche dieses Verhältniss darstellt, und also auch der Planet weder einen Stillstand noch eine rückläufige Bewegung zeigen wird. Denn da in dem Dreiecke die grade Linie nicht kleiner als angenommen ist: so wird auch der Winkel zum Winkel ein kleineres Verhältniss, als die Grade zu haben. Das Verhältniss von zu ist aber nicht grösser als die Geschwindigkeit der Erde zu der Geschwindigkeit des Planeten; also hat der Winkel zu dem Winkel ein kleineres Verhältniss, als die Geschwindigkeit der Erde zu der Geschwindigkeit des Planeten. Ist aber dies der Fall, so ist der Planet rechtläufig, und wir werden nirgend in der Bahn des Planeten einen Bogen finden, in welchem er rückläufig erschiene. Dies gilt von der Venus und dem Merkur, welche innerhalb der Erdbahn sich befinden. Von den übrigen dreien Aeusseren wird dies auf dieselbe Weise und auch an derselben Figur[61] bewiesen; nur dass die Namen sich ändern, so dass nun die Bahn der Erde oder unseres Auges, und den Planeten bedeutet, dessen Bewegung in seiner Bahn kleiner ist, als die Geschwindigkeit unseres Auges in der Erdbahn. Im Uebrigen verläuft der Beweis ganz so wie vorhin.

Capitel 36.
Wie man die Zeiten, Oerter und Bogen der rückläufigen Bewegungen bestimmt.[62]

Wenn nun die Bahnen, in denen sich die Planeten bewegen, mit der Erdbahn concentrisch wä