Nicolaus Coppernicus aus Thorn über die Kreisbewegungen der Weltkörper/Fünftes Buch Teil A

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Nicolaus Coppernicus aus Thorn über die Kreisbewegungen der Weltkörper (1879) von Nicolaus Copernicus

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Nicolaus Copernicus’ Kreisbewegungen.

Fünftes Buch.

Bisher haben wir nach unsern Kräften die Kreisbewegungen der Erde um die Sonne, und des Mondes um die Erde abgehandelt. Wir gehen nun zu den Bewegungen der fünf Planeten über, mit deren Reihenfolge und Grössen ihrer Bahnen eben jene Bewegung der Erde in wunderbarem Einklange und zuverlässigem Ebenmaasse steht; wie wir das im ersten Buche im Allgemeinen besprachen, als wir zeigten, dass jene Bahnen nicht sowohl an der Erde, sondern vielmehr an der Sonne ihre Mittelpunkte hätten. Es bleibt uns also noch übrig, Alles dies im Einzelnen und deutlicher nachzuweisen, und so unserm Versprechen, so viel an uns ist, nachzukommen: indem wir vorzüglich Beobachtungen von Erscheinungen benutzen, wie wir sie sowohl aus alten als auch aus unsern Zeiten entnommen haben, und durch dieselben das Verhältniss jener Bewegungen sicherer begründen.^[1] Diese fünf Gestirne werden beim Timäus des Plato, jedes nach seiner besonderen Beschaffenheit benannt: Saturn, der Scheinende, φαίνων, gleichsam der helle oder sichtbare, denn er ist die kürzeste Zeit hindurch verborgen und erscheint schneller als die übrigen wieder, wenn er von der Sonne verdeckt worden ist; Jupiter, der Glänzende, φαέθων, von seinem Glanze; Mars, der Feurige, πυρόεις, von seinem feurigen Scheine; Venus, bald Morgenstern, φωσφόρος, bald Abendstern, ἕσπερος, insofern derselbe entweder Morgens oder Abends leuchtet; endlich Merkur, der Funkelnde, στίλβων, von seinem funkelnden und zitternden Lichte. — Alle diese bewegen sich mit grösseren Abweichungen in Länge und Breite als der Mond.

Capitel 1.

Ueber die Kreisbewegungen der Planeten und ihre mittleren Bewegungen.

Zwei sehr verschiedene Bewegungen der Länge kommen an den Planeten zur Erscheinung: die eine rührt von der besprochenen Bewegung der Erde her, die andere ist jedem von ihnen eigenthümlich. Die Erste hat man nicht mit Unrecht die Bewegung der Parallaxe genannt, weil sie es ist, welche bei allen Planeten die Stillstände und die rechtläufigen und rückläufigen Bewegungen in der Erscheinung hervorbringt, nicht weil der Planet selbst dieselben an sich hat, denn derselbe ist in seiner eigenen Bewegung immer rechtläufig; sondern weil dies nach Maassgabe der Parallaxe so erscheint, wie es die Bewegung der Erde, je nach der Verschiedenheit und der Grösse jener Bahnen, bedingt. Es ergiebt sich daher, dass die wahren Oerter des Saturn, des Jupiter und des Mars nur dann für uns wahrnehmbar sind, wenn sie des Abends aufgehen, was ungefähr in der Mitte ihrer rückläufigen Bewegungen eintritt; dann stehen sie nämlich mit dem mittleren Orte der Sonne in grader Linie und sind von jener Parallaxe frei. Bei der Venus und dem Merkur ist das Verhältniss ein anderes. Diese sind nämlich, wenn sie im vollen Lichte stehen, unsichtbar, und zeigen sich nur in ihren Abweichungen, welche sie von der Sonne nach der einen oder nach der andern Seite machen, so dass sie nie frei von jener Parallaxe gefunden werden. Es kommt also jedem Planeten sein besonderer parallactischer Umlauf zu, ich nenne dies die Bewegung der Erde in Bezug auf den Planeten^[2], und die Planeten zeigen dieselbe an einander. Wir behaupten nämlich, dass die parallactische Bewegung nichts anderes sei, als diejenige Differenz, um welche die mittlere Bewegung der Erde die Bewegung der Planeten übertrifft, wie beim Saturn, Jupiter und Mars; oder von letzterer übertroffen wird, wie bei Venus und Merkur. Da aber diese Perioden der Parallaxen um einen merklichen Unterschied ungleich befunden werden: so glaubten die Alten, dass auch die Bewegungen der Planeten ungleichmässig wären, und dass ihre Bahnen Absiden besässen, an denen ihre Ungleichmässigkeiten wiederkehrten, und dass dieselben ihre unabänderlichen Oerter in der Fixsternsphäre hätten. Hierdurch war der Weg eröffnet, um die mittleren Bewegungen der Planeten und ihre gleichmässigen Perioden zu erforschen. Denn, wenn man den Ort irgend eines derselben, nach seinem bestimmten Abstande von der Sonne und einem Fixsterne überliefert erhalten hatte, und erkannte, dass der Planet nach einem gewissen Zeitraume, bei gleichem Abstande von der Sonne zu demselben Orte zurückgekehrt sei: so schien der Planet alle seine Ungleichmässigkeiten durchlaufen zu haben, und durch alle diese hindurch in seine frühere Stellung zur Erde zurückgekehrt zu sein. Und so berechnete man aus der Zeit, welche verlaufen war, die Anzahl der ganzen, gleichmässigen Umläufe, und aus diesen die besonderen Bewegungen des Gestirns. Ptolomäus bearbeitete diese Umläufe, soweit er dieselben von Hipparch erhalten zu haben angiebt, nach Sonnenjahren von Neuem^[3]. Unter Sonnenjahren will er solche verstanden wissen, die vom Nachtgleichenpunkte oder vom Solstitium gerechnet werden. Es hat sich aber schon ergeben, dass solche Jahre nicht ganz gleich sind; deshalb bedienen wir uns derjenigen, welche nach den Fixsternen gerechnet werden, und nach diesen sind also die Bewegungen jener fünf Gestirne von uns verbessert hergestellt, sofern wir gefunden haben, dass dieselben zu unserer Zeit in Vergleich zu jenen etwas verloren oder gewonnen haben, und zwar folgendermaassen. In Bezug auf Saturn legt die Erde die von uns sogenannte parallactische Bewegung in nahezu 69 unserer Sonnenjahre. 1^d 6^I 48^II siebenundfünfzigmal zurück, und in derselben Zeit macht dieser Stern in seiner eigenen Bewegung zwei Umläufe und nahezu 1° 6′ 6″. Jupiter wird von der Erde 65 mal eingeholt in 71 Sonnenjahren, an denen 5^d 45^I 27^II fehlen, in welcher Zeit der Stern sechs Umläufe macht, an denen 5° 41′ 2½″ fehlen. Der parallactischen Umläufe des Mars sind 37 in 79 Sonnenjahren 2^d 27^I 3^II, in welcher Zeit der Stern in eigener Bewegung 42 ganze Umläufe und 2° 24′ 56″ vollendet. Venus überholt die Bewegung der Erde fünfmal in 8 Sonnenjahren weniger 2^d 26^I 46^II, und zwar macht sie in dieser Zeit 13 Umläufe um die Sonne weniger 2° 24′ 40″. Merkur endlich macht 145 parallactische Umläufe in 46 Sonnenjahren und 0^d 34^I 23^II, und in dieser Zeit überholt er die Bewegung der Erde, mit welcher er sich um die Sonne dreht, 191 mal und legt dazu noch zurück 33′ 23″. Es sind also die einzelnen parallactischen Umläufe für jeden Planeten folgende:

für Saturn	378d	05I	32II	11III
für Jupiter	398	23	02	56
für Mars	779	56	19	07
für Venus	583	55	17	34
für Merkur	115	52	42	12

Verwandeln wir diese Angaben in Grade des Kreises, indem wir 360° mit 365^d multipliciren, und dies Product durch obige Anzahlen von Tagen und ihren Theilen dividiren: so erhalten wir als jährliche Bewegung des

Saturn	347°	32′	02″	54‴	12⁗
Jupiter	329	25	08	15	06
Mars	168	28	29	13	12
Venus	225	01	48	54	30
Merkur 3 Umläufe und	053	56	46	54	40

Der 365ste Theil hiervon ist die tägliche Bewegung, also bei

Saturn	0°	57′	07″	44‴	00⁗
Jupiter	0	54	09	03	49
Mars	0	27	41	40	08
Venus	0	36	49	28	35
Merkur	3	03	24	07	43

Und dies ist in einer Tafel, welche hier folgt, nach dem Muster derjenigen über die mittleren Bewegungen der Sonne und des Mondes, dargestellt. Die eigenen Bewegungen der Planeten aber ebenso auszuführen, haben wir für überflüssig gehalten; sie ergeben sich nämlich durch Subtraction dieser mittleren von der mittleren Bewegung der Sonne, da jene, wie gesagt, diese zusammensetzen. Sollte sich aber Jemand hiermit nicht beruhigen, so kann er es nach seinem Gefallen ausführen. Die eigene jährliche Bewegung in Bezug auf die Fixsternsphäre beträgt nämlich beim

Saturn	012°	12′	46″	12‴	52⁗
Jupiter	030	19	40	51	58
Mars	191	16	19	53	52

Bei Venus aber und bei Merkur gebrauchen wir die Bewegung der Sonne selbst, wenn sie für uns nicht sichtbar sind, und ergänzen sie nur um diejenige, durch welche ihre Erscheinungen erkannt und erwiesen werden, wie weiter unten gezeigt werden soll.^[4]

PARALLACTISCHE BEWEGUNG DES SATURN VON JAHR ZU JAHR UND VON SECHZIG ZU SECHZIG JAHREN.

Aegypt. Jahre	Bewegung					Ort Christi 205° 49′ Bch. V. Cap. 8.	Aegypt. Jahre	Bewegung
	Sechzig	Grad	Min.	Secund.	Tertien			Sechzig	Grad	Min.	Secund.	Tertien
01	5	47	32	03	09		31	5	33	33	37	59
02	5	35	04	06	19		32	5	21	05	41	09
03	5	22	36	09	29		33	5	08	37	44	19
0
04	5	10	08	12	38		34	4	56	09	47	28
05	4	57	40	15	48		35	4	43	41	50	38
06	4	45	12	18	58		36	4	31	13	53	48
0
07	4	32	44	22	07		37	4	18	45	56	57
08	4	20	16	25	17		38	4	06	18	00	07
09	4	07	48	28	27		39	3	53	50	03	17
0
10	3	55	20	31	36		40	3	41	22	06	26
11	3	42	52	34	46		41	3	28	54	09	36
12	3	30	24	37	56		42	3	16	26	12	46
0
13	3	17	56	41	05		43	3	03	58	15	55
14	3	05	28	44	15		44	2	51	30	19	05
15	2	53	00	47	25		45	2	39	02	22	15
0
16	2	40	32	50	34		46	2	26	34	25	24
17	2	28	04	53	44		47	2	14	06	28	34
18	2	15	36	56	54		48	2	01	38	31	44
0
19	2	03	09	00	03		49	1	49	10	34	53
20	1	50	41	03	13		50	1	36	42	38	03
21	1	38	13	06	23		51	1	24	14	41	13
0
22	1	25	45	09	32		52	1	11	46	44	22
23	1	13	17	12	42		53	0	59	18	47	32
24	1	00	49	15	52		54	0	46	50	50	42
0
25	0	48	21	19	01		55	0	34	22	53	51
26	0	35	53	22	11		56	0	21	54	57	01
27	0	23	25	25	21		57	0	09	27	00	11
0
28	0	10	57	28	30		58	5	56	59	03	20
29	5	58	29	31	40		59	5	44	31	06	30
30	5	46	01	34	50		60	5	32	03	09	40

PARALLACTISCHE BEWEGUNG DES SATURN VON TAGE ZU TAGE UND VON SECHZIG ZU SECHZIG TAGEN.

Tage	Bewegung					Ort Christi 205° 49′ Bch. V. Cap. 8.	Tage	Bewegung
	Sechzig	Grad	Min.	Secund.	Tertien			Sechzig	Grad	Min.	Secund.	Tertien
01	0	00	57	07	44		31	0	29	30	59	46
02	0	01	54	15	28		32	0	30	28	07	30
03	0	02	51	23	12		33	0	31	25	15	14
0
04	0	03	48	30	56		34	0	32	22	22	58
05	0	04	45	38	40		35	0	33	19	30	42
06	0	05	42	46	24		36	0	34	16	38	26
0
07	0	06	39	54	08		37	0	35	13	46	01
08	0	07	37	01	52		38	0	36	10	53	55
09	0	08	34	09	36		39	0	37	08	01	39
0
10	0	09	31	17	20		40	0	38	05	09	23
11	0	10	28	25	04		41	0	39	02	17	07
12	0	11	25	32	49		42	0	39	59	24	51
0
13	0	12	22	40	33		43	0	40	56	32	35
14	0	13	19	48	17		44	0	41	53	40	19
15	0	14	16	56	01		45	0	42	50	48	03
0
16	0	15	14	03	45		46	0	43	47	55	47
17	0	16	11	11	29		47	0	44	45	03	31
18	0	17	08	19	13		48	0	45	42	11	16
0
19	0	18	05	26	57		49	0	46	39	19	00
20	0	19	02	34	41		50	0	47	36	26	44
21	0	19	59	42	25		51	0	48	33	34	28
0
22	0	20	56	50	09		52	0	49	30	42	12
23	0	21	53	57	53		53	0	50	27	49	56
24	0	22	51	05	38		54	0	51	24	57	40
0
25	0	23	48	13	22		55	0	52	22	05	24
26	0	24	45	21	06		56	0	53	19	13	08
27	0	25	42	28	50		57	0	54	16	20	52
0
28	0	26	39	36	34		58	0	55	13	28	36
29	0	27	36	44	18		59	0	56	10	36	20
30	0	28	33	52	03		60	0	57	07	44	05

PARALLACTISCHE BEWEGUNG DES JUPITER VON JAHR ZU JAHR UND VON SECHZIG ZU SECHZIG JAHREN.

Aegypt. Jahre	Bewegung					Ort Christi 98° 16′ Bch. V. Cap. 13.	Aegypt. Jahre	Bewegung
	Sechzig	Grad	Min.	Secund.	Tertien			Sechzig	Grad	Min.	Secund.	Tertien
01	5	29	25	08	15		31	2	11	59	15	48
02	4	58	50	16	30		32	1	41	24	24	03
03	4	28	15	24	45		33	1	10	49	32	18
0
04	3	57	40	33	00		34	0	40	14	40	33
05	3	27	05	41	15		35	0	09	39	48	48
06	2	56	30	49	30		36	5	39	04	57	03
0
07	2	25	55	57	45		37	5	08	30	05	18
08	1	55	21	06	00		38	4	37	55	13	33
09	1	24	46	14	15		39	4	07	20	21	48
0
10	0	54	11	22	31		40	3	36	45	30	04
11	0	23	36	30	46		41	3	06	10	38	19
12	5	53	01	39	01		42	2	35	35	46	34
0
13	5	22	26	47	16		43	2	05	00	54	49
14	4	51	51	55	31		44	1	34	26	03	04
15	4	21	17	03	46		45	1	03	51	11	19
0
16	3	50	42	12	01		46	0	33	16	19	34
17	3	20	07	20	16		47	0	02	41	27	49
18	2	49	32	28	31		48	5	32	06	36	04
0
19	2	18	57	36	46		49	5	01	31	44	19
20	1	48	22	45	02		50	4	30	56	52	34
21	1	17	47	53	17		51	4	00	22	00	50
0
22	0	47	13	01	32		52	3	29	47	09	05
23	0	16	38	09	47		53	2	59	12	17	20
24	5	46	03	18	02		54	2	28	37	25	35
0
25	5	15	28	26	17		55	1	58	02	33	50
26	4	44	53	34	32		56	1	27	27	42	05
27	4	14	18	42	47		57	0	56	52	50	20
0
28	3	43	43	51	02		58	0	26	17	58	35
29	3	13	08	59	17		59	5	55	43	06	50
30	2	42	34	07	33		60	5	25	08	15	06

PARALLACTISCHE BEWEGUNG DES JUPITER VON TAGE ZU TAGE UND VON SECHZIG ZU SECHZIG TAGEN.

Tage	Bewegung					Ort Christi 98° 16′ Bch. V. Cap. 13.	Tage	Bewegung
	Sechzig	Grad	Min.	Secund.	Tertien			Sechzig	Grad	Min.	Secund.	Tertien
01	0	00	54	09	03		31	0	27	58	40	58
02	0	01	49	18	07		32	0	28	52	50	02
03	0	02	42	27	11		33	0	29	46	59	05
0
04	0	03	36	36	15		34	0	30	41	08	09
05	0	04	30	45	19		35	0	31	35	17	13
06	0	05	24	54	22		36	0	32	29	26	17
0
07	0	06	19	03	26		37	0	33	23	35	21
08	0	07	13	12	30		38	0	34	17	44	25
09	0	08	07	21	34		39	0	35	11	53	29
0
10	0	09	01	30	38		40	0	36	06	02	32
11	0	09	55	39	41		41	0	37	00	11	36
12	0	10	49	48	45		42	0	37	54	20	40
0
13	0	11	43	57	49		43	0	38	48	29	44
14	0	12	38	06	53		44	0	39	42	38	47
15	0	13	32	15	57		45	0	40	36	47	51
0
16	0	14	26	25	01		46	0	41	30	56	55
17	0	15	20	34	04		47	0	42	25	05	59
18	0	16	14	43	08		48	0	43	19	15	03
0
19	0	17	08	52	12		49	0	44	13	24	06
20	0	18	03	01	16		50	0	45	07	33	10
21	0	18	57	10	20		51	0	46	01	42	14
0
22	0	19	51	19	23		52	0	46	55	51	18
23	0	20	45	28	27		53	0	47	50	00	22
24	0	21	39	37	31		54	0	48	44	09	26
0
25	0	22	33	46	35		55	0	49	38	18	29
26	0	23	27	55	39		56	0	50	32	27	33
27	0	24	22	04	43		57	0	51	26	36	37
0
28	0	25	16	13	46		58	0	52	20	45	41
29	0	26	10	22	50		59	0	53	14	54	45
30	0	27	04	31	54		60	0	54	09	03	49

PARALLACTISCHE BEWEGUNG DES MARS VON JAHR ZU JAHR, UND VON SECHZIG ZU SECHZIG JAHREN.

Aegypt. Jahre	Bewegung					Ort Christi 238° 33′ Bch. V. Cap. 18.	Aegypt. Jahre	Bewegung
	Sechzig	Grad	Min.	Secund.	Tertien			Sechzig	Grad	Min.	Secund.	Tertien
01	2	48	28	30	36		31	3	02	43	48	38
02	5	36	57	01	12		32	5	51	12	19	14
03	2	25	25	31	48		33	2	39	40	49	50
0
04	5	13	54	02	24		34	5	28	09	20	26
05	2	02	22	33	00		35	2	16	37	51	02
06	4	50	51	03	36		36	5	05	06	21	38
0
07	1	39	19	34	12		37	1	53	34	52	14
08	4	27	48	04	48		38	4	42	03	22	50
09	1	16	16	35	24		39	1	30	31	53	26
0
10	4	04	45	06	00		40	4	19	00	24	02
11	0	53	13	36	36		41	1	07	28	54	38
12	3	41	42	07	12		42	3	55	57	25	14
0
13	0	30	10	37	48		43	0	44	25	55	50
14	3	18	39	08	24		44	3	32	54	26	26
15	0	07	07	39	01		45	0	21	22	57	03
0
16	2	55	36	09	37		46	3	09	51	27	39
17	5	44	04	40	13		47	5	58	19	58	15
18	2	32	33	10	49		48	2	46	48	28	51
0
19	5	21	01	41	25		49	5	35	16	59	27
20	2	09	30	12	01		50	2	23	45	30	03
21	4	57	58	42	37		51	5	12	14	00	39
0
22	1	46	27	13	13		52	2	00	42	31	15
23	4	34	55	43	49		53	4	49	11	01	51
24	1	23	24	14	25		54	1	37	39	32	27
0
25	4	11	52	45	01		55	4	26	08	03	03
26	1	00	21	15	37		56	1	14	36	33	39
27	3	48	49	46	13		57	4	03	05	04	15
0
28	0	37	18	16	49		58	0	51	33	34	51
29	3	25	46	47	25		59	3	40	02	05	27
30	0	14	15	18	02		60	0	28	30	36	04

PARALLACTISCHE BEWEGUNG DES MARS VON TAGE ZU TAGE UND VON SECHZIG ZU SECHZIG TAGEN.

Tage	Bewegung					Ort Christi 238° 33′ Bch. V. Cap. 18.	Tage	Bewegung
	Sechzig	Grad	Min.	Secund.	Tertien			Sechzig	Grad	Min.	Secund.	Tertien
01	0	00	27	41	40		31	0	14	18	31	51
02	0	00	55	23	20		32	0	14	46	13	31
03	0	01	23	05	01		33	0	15	14	55	12
0
04	0	01	50	46	41		34	0	15	41	36	52
05	0	02	18	28	21		35	0	16	09	18	32
06	0	02	46	10	02		36	0	16	37	00	13
0
07	0	03	13	51	42		37	0	17	04	41	53
08	0	03	41	33	22		38	0	17	32	23	33
09	0	04	09	15	03		39	0	18	00	05	14
0
10	0	04	36	56	43		40	0	18	27	46	54
11	0	05	04	38	24		41	0	18	55	28	35
12	0	05	32	20	04		42	0	19	23	10	15
0
13	0	06	00	01	44		43	0	19	50	51	55
14	0	06	27	43	25		44	0	20	18	33	36
15	0	06	55	25	05		45	0	20	46	15	16
0
16	0	07	23	06	45		46	0	21	13	56	56
17	0	07	50	48	26		47	0	21	41	38	37
18	0	08	18	30	06		48	0	22	09	20	17
0
19	0	08	46	11	47		49	0	22	37	01	57
20	0	09	13	53	27		50	0	23	04	43	38
21	0	09	41	35	07		51	0	23	32	25	18
0
22	0	10	09	16	48		52	0	24	00	06	59
23	0	10	36	58	28		53	0	24	27	48	39
24	0	11	04	40	08		54	0	24	55	30	19
0
25	0	11	32	21	49		55	0	25	23	12	00
26	0	12	06	03	29		56	0	25	50	53	40
27	0	12	27	45	09		57	0	26	18	35	20
0
28	0	12	55	26	49		58	0	26	46	17	01
29	0	13	23	08	30		59	0	27	13	58	41
30	0	13	50	50	11		60	0	27	41	40	22

PARALLACTISCHE BEWEGUNG DER VENUS VON JAHR ZU JAHR UND VON SECHZIG ZU SECHZIG JAHREN.

Aegyptische Jahre	Bewegung								Ort Christi 126° 45′ Buch V. Cap. 24.	Aegyptische Jahre	Bewegung
	Sechzig	Grad	alte Ausgaben			Manuscript					Sechzig	Grad	alte Ausgaben			Manuscript
			Min.	Sec.	Tert.	Min.	Sec.	Tert.					Min.	Sec.	Tert.	Min.	Sec.	Tert.
01	3	45	01	45	03	01	50	11		31	2	15	54	16	53	56	55	48
02	1	30	03	30	07	03	40	22		32	0	00	56	01	57	58	46	00
03	5	15	05	15	11	05	30	33		33	3	45	57	47	01	00	36	11
0
04	3	00	07	00	14	07	20	45		34	1	30	59	32	04	02	26	22
05	0	45	08	45	18	09	10	50		35	5	16	01	17	08	04	16	33
06	4	30	10	30	22	11	01	07		36	3	01	03	02	12	06	06	45
0
07	2	15	12	15	25	12	51	18		37	0	46	04	47	15	07	56	56
08	0	00	14	00	29	14	41	30		38	4	31	06	32	19	09	47	07
09	3	45	15	45	33	16	31	41		39	2	16	08	17	23	11	37	18
0
10	1	30	17	30	36	18	21	52		40	0	01	10	02	26	13	27	30
11	5	15	19	15	40	20	12	03		41	3	46	11	47	30	15	17	41
12	3	00	21	00	44	22	02	15		42	1	31	13	32	34	17	07	52
0
13	0	45	22	45	47	23	52	26		43	5	16	15	17	37	18	58	03
14	4	30	24	30	51	25	42	37		44	3	01	17	02	41	20	48	15
15	2	15	26	15	55	27	32	48		45	0	46	18	47	45	22	38	26
0
16	0	00	28	00	58	29	23	00		46	1	31	20	32	48	24	28	37
17	3	45	29	46	02	31	13	11		47	2	16	22	17	52	26	18	48
18	1	30	31	31	06	33	03	22		48	0	01	24	02	56	28	09	00
0
19	5	15	33	16	09	34	53	33		49	3	46	25	47	59	29	59	11
20	3	00	35	01	13	36	43	45		50	1	31	27	33	03	31	49	22
21	0	45	36	46	17	38	33	56		51	5	16	29	18	07	33	39	33
0
22	1	30	38	31	20	40	24	07		52	3	01	31	03	10	35	29	45
23	2	15	40	16	24	42	14	18		53	0	46	32	48	14	37	19	56
24	0	00	42	01	28	44	04	30		54	4	31	34	33	18	30	10	07
0
25	3	45	43	46	31	45	54	41		55	2	16	36	18	21	41	00	18
26	1	30	45	31	35	47	44	52		56	0	01	38	03	25	42	50	30
27	5	15	47	16	39	49	35	03		57	3	46	39	48	29	44	40	41
0
28	3	00	49	01	42	51	25	15		58	1	31	41	33	32	46	30	52
29	0	45	50	46	46	53	15	26		59	5	16	43	18	16	48	21	03
30	4	30	52	31	50	55	05	37		60	3	01	45	03	40	50	11	15

PARALLACTISCHE BEWEGUNG DER VENUS VON TAGE ZU TAGE UND VON SECHZIG ZU SECHZIG TAGEN.

Tage	Bewegung							Ort Christi 126° 45′ Buch V. Cap. 24.	Tage	Bewegung
	Sechzig	Grad	Min.	alte Ausg.		Mnscrpt.				Sechzig	Grad	Min.	alte Ausg.		Mnscrpt.
				Sec.	Tert.	Sec.	Tert.						Sec.	Tert.	Sec.	Tert.
01	0	00	36	59	28	59	28		31	0	19	06	43	46	43	52
02	0	01	13	58	57	58	57		32	0	19	43	43	14	43	21
03	0	01	50	58	25	58	25		33	0	20	20	42	43	42	50
0
04	0	02	27	57	54	57	55		34	0	20	57	42	11	42	19
05	0	03	04	57	22	57	24		35	0	21	34	41	40	41	48
06	0	03	41	56	51	56	52		36	0	22	11	41	09	41	16
0
07	0	04	18	56	20	56	21		37	0	22	48	40	37	40	45
08	0	04	55	55	48	55	50		38	0	23	25	40	06	40	14
09	0	05	32	55	17	55	19		39	0	24	02	39	34	39	43
0
10	0	06	00	54	45	54	48		40	0	24	39	39	03	39	12
11	0	06	46	54	14	54	16		41	0	25	16	38	31	38	40
12	0	07	23	53	43	53	45		42	0	25	53	38	00	38	09
0
13	0	08	00	53	11	53	14		43	0	26	30	37	29	37	38
14	0	08	37	52	40	52	43		44	0	27	07	36	57	37	07
15	0	09	14	52	08	52	12		45	0	27	44	36	26	36	36
0
16	0	09	51	51	37	51	40		46	0	28	21	35	54	36	04
17	0	10	28	51	05	51	09		47	0	28	58	35	23	35	33
18	0	11	05	50	84	50	38		48	0	29	35	34	52	35	02
0
19	0	11	42	50	02	50	07		49	0	30	12	34	20	34	31
20	0	12	19	49	31	49	36		50	0	30	49	33	49	34	00
21	0	12	56	48	59	49	04		51	0	31	26	33	17	33	28
0
22	0	13	33	48	28	48	33		52	0	32	03	32	46	32	57
23	0	14	10	47	57	48	02		53	0	32	40	32	14	32	26
24	0	14	47	47	26	47	31		54	0	33	17	31	43	31	55
0
25	0	15	24	46	54	47	00		55	0	33	54	31	12	31	24
26	0	16	01	46	23	46	28		56	0	34	31	30	40	30	52
27	0	16	38	45	61	45	57		57	0	35	08	30	09	30	21
0
28	0	17	15	45	20	45	26		58	0	35	45	29	37	29	50
29	0	17	52	44	48	44	55		59	0	36	22	29	06	29	19
30	0	18	29	44	17	44	24		60	0	36	59	28	35	28	48

PARALLACTISCHE BEWEGUNG DES MERKUR VON JAHR ZU JAHR UND VON SECHZIG ZU SECHZIG JAHREN.

Aegypt. Jahre	Bewegung					Ort Christi 46° 24′ Bch. V. Cap. 31.	Aegypt. Jahre	Bewegung
	Sechzig	Grad	Min.	Secund.	Tertien			Sechzig	Grad	Min.	Secund.	Tertien
01	0	53	57	23	06		31	3	52	38	56	21
02	1	47	54	46	13		32	4	46	36	19	28
03	2	41	52	09	19		33	5	40	33	42	34
0
04	3	35	49	32	26		34	0	34	31	05	41
05	4	29	46	55	32		35	1	28	28	28	47
06	5	23	44	18	39		36	2	22	25	51	54
0
07	0	17	41	41	45		37	3	16	23	15	00
08	1	11	39	04	52		38	4	10	20	38	07
09	2	05	36	27	58		39	5	04	18	01	13
0
10	2	59	33	51	05		40	5	58	15	24	20
11	3	53	31	14	11		41	0	52	12	47	26
12	4	47	28	37	18		42	1	46	10	10	33
0
13	5	41	26	00	24		43	2	40	07	33	39
14	0	35	23	23	31		44	3	34	04	56	46
15	1	29	20	46	37		45	4	28	02	19	52
0
16	2	23	18	09	44		46	5	21	59	42	59
17	3	17	15	32	50		47	0	15	57	06	05
18	4	11	12	55	57		48	1	09	54	29	12
0
19	5	05	10	19	03		49	2	03	51	52	18
20	5	59	07	42	10		50	2	57	49	15	25
21	0	53	05	05	16		51	3	51	46	38	31
0
22	1	47	02	28	23		52	4	45	44	01	38
23	2	40	59	51	29		53	5	39	41	24	44
24	3	34	57	14	36		54	0	33	38	47	51
0
25	4	28	54	37	42		55	1	27	36	10	57
26	5	22	52	00	49		56	2	21	33	34	04
27	0	16	49	23	55		57	3	15	30	57	10
0
28	1	10	46	47	02		58	4	09	28	20	17
29	2	04	44	10	08		59	5	03	25	43	23
30	2	58	41	33	15		60	5	57	23	06	30

PARALLACTISCHE BEWEGUNG DES MERKUR VON TAGE ZU TAGE UND VON SECHZIG ZU SECHZIG TAGEN.

Tage	Bewegung					Ort Christi 46° 24′ Bch. V. Cap. 31.	Tage	Bewegung
	Sechzig	Grad	Min.	Secund.	Tertien			Sechzig	Grad	Min.	Secund.	Tertien
01	0	03	06	24	13		31	1	36	18	31	03
02	0	06	12	48	27		32	1	39	24	55	17
03	0	09	19	12	41		33	1	42	31	19	31
0
04	0	12	25	36	54		34	1	45	37	43	44
05	0	15	32	01	08		35	1	48	44	07	58
06	0	18	38	25	22		36	1	51	50	32	12
0
07	0	21	44	49	35		37	1	54	56	56	25
08	0	24	51	13	49		38	1	58	03	20	39
09	0	27	57	38	03		39	2	01	09	44	53
0
10	0	31	04	02	16		40	2	04	16	09	06
11	0	34	10	26	30		41	2	07	22	33	20
12	0	37	16	50	44		42	2	10	28	57	34
0
13	0	40	23	14	57		43	2	13	35	21	47
14	0	43	29	39	11		44	2	16	41	46	01
15	0	46	36	03	25		45	2	19	48	10	15
0
16	0	49	42	27	38		46	2	22	54	34	28
17	0	52	48	51	52		47	2	26	00	58	42
18	0	55	55	16	06		48	2	29	07	22	56
0
19	0	59	01	40	19		49	2	32	13	47	09
20	1	02	08	04	33		50	2	33	20	11	23
21	1	05	14	28	47		51	2	38	26	35	37
0
22	1	08	20	53	00		52	2	41	32	59	50
23	1	11	27	17	14		53	2	44	39	24	04
24	1	14	33	41	28		54	2	47	45	48	18
0
25	1	17	40	05	41		55	2	50	52	12	31
26	1	20	46	29	55		56	2	53	58	36	45
27	1	23	52	54	09		57	2	57	05	00	59
0
28	1	26	59	18	22		58	3	00	11	25	12
29	1	30	05	42	36		59	3	03	17	49	26
30	1	33	12	06	50		60	3	06	24	13	40

Capitel 2.

Darstellung der gleichmässigen und der scheinbaren Bewegung der Planeten nach der Ansicht der Alten.

So verhalten sich also die mittleren Bewegungen der Planeten; wir wenden uns nun zu den erscheinenden und ungleichmässigen. Die alten Mathematiker, welche die Erde für unbeweglich hielten, stellten sich für Saturn, Jupiter, Mars und Venus excentrische Epicykeln und ausserdem noch einen excentrischen Kreis vor, in Bezug auf welchen der Epicykel sich gleichmässig fortbewegte, wie der Planet im Epicykel.

Es sei zum Beispiel $ab$ der excentrische Kreis, $c$ sein Mittelpunkt, $acb$ sein Durchmesser; der Mittelpunkt der Erde liege in $d$, so dass $a$ das Apogeum, $b$ das Perigeum ist; $dc$ werde in $e$ halbirt, und um $e$ ein zweiter, mit dem ersten gleicher aber excentrischer Kreis $fg$ beschrieben; in der Peripherie desselben nehme man irgend einen Punkt $h$ zum Mittelpunkte, und beschreibe um denselben den Epicykel $ik$, ziehe durch dessen Mittelpunkt die Graden $ihkc$ und $lhme$. Man denke sich aber die Ebene des excentrischen Kreises gegen diejenige der Ekliptik und auch die Ebene des Epicykels gegen die Ebene des excentrischen Kreises geneigt, gemäss der Breite, welche der Planet zeigt. Zur Bequemlichkeit der Darstellung mögen beide Kreise zunächst in einer und derselben Ebene liegen. Nun behauptet man, dass diese ganze Ebene mit den Punkten $e$ und $c$ sich um den Mittelpunkt $d$ der Ekliptik, und zwar der Bewegung der Fixsterne folgend, drehe. So will man es aufgefasst wissen, dass jene Punkte $e$ und $c$ die gedachten Oerter in der Fixsternsphäre haben. Der Epicykel soll in der Peripherie des Kreises $fhg$, ebenfalls der Bewegung der Fixsterne folgend, aber nach Maassgabe der Linie $ihc$ fortrücken, in Bezug auf welche der Planet in dem Epicykel $ik$ gleichmässig umläuft. Es ist aber gewiss, dass die gleichmässige Bewegung des Epicykels in Bezug auf den Mittelpunkt $e$ seines Leitkreises, und der Umlauf des Planeten in Bezug auf die Linie $lme$ vor sich gehen muss. Man gestattet also, dass hier eine gleichmässige Kreisbewegung um einen fremden, nicht eigenen, Mittelpunkt existiren könne. Aehnlich soll dies auch beim Merkur noch mehr zutreffen, es ist dies aber schon beim Monde^[5] hinreichend widerlegt. Dieses und Aehnliches hat uns darauf geführt, eine Bewegung der Erde und eine andere Ableitungsart anzunehmen, bei welcher die Gleichmässigkeit und die Grundlage der Wissenschaft erhalten und die Ursache der Ungleichmässigkeit in der Erscheinung zuverlässiger gestaltet wird.

Capitel 3.

Allgemeine Darstellung der durch die Bewegung der Erde in die Erscheinung tretenden Ungleichmässigkeit.

Da es also zwei Ursachen giebt, aus denen die gleichmässige Bewegung eines Planeten ungleichmässig erscheint, nämlich die Bewegung der Erde und die eigene Bewegung: so wollen wir jede derselben im Allgemeinen und getrennt, durch eine Darstellung für das Auge, erklären, damit sie dadurch besser von einander unterschieden werden; und beginnen mit derjenigen, welche wegen der Bewegung der Erde bei Allen vorkommt und zwar zuerst in Bezug auf Venus und Merkur, welche von der Kreisbahn der Erde eingeschlossen werden.

Es sei der Kreis $ab$ excentrisch zur Sonne, und diesen beschreibe der Mittelpunkt der Erde in jährlichem Umlauf in der früher angegebenen Weise, $c$ sei dessen Mittelpunkt. Zunächst nehmen wir nun an, dass der Planet keine andere Ungleichmässigkeit habe, als diejenige, welche eintreten wird, wenn die Kreisbahn $de$, der Venus oder des Merkur, concentrisch mit $ab$ ist. Es muss dieselbe wegen der Breite zwar gegen $ab$ geneigt sein, aber der bequemeren Darstellung wegen, stellen wir uns dieselbe, als in derselben Ebene mit $ab$ liegend, vor: und nehmen an, die Erde befinde sich in $a$, ziehen von diesem Punkte die Absehenslinien $afl$ und $agm$, welche die Bahn des Planeten in den Punkten $f$ und $g$ berühren, und ausserdem noch den, beiden gemeinsamen, Durchmesser $acb$. Die Bewegung Beider, der Erde und des Planeten, finde nach derselben Seite, d. h. rechtläufig statt, und diejenige des Planeten sei geschwinder als die der Erde. Einem Auge, welches sich in $a$ befindet, wird der Punkt $c$, und also auch die Linie $acb$, übereinstimmend mit der mittleren Bewegung der Sonne sich zu bewegen scheinen, der Planet aber in dem Kreise $dfg$, wie in einem Epicykel, in längerer Zeit den Bogen $fdg$ rechtläufig, in kürzerer den Bogen $gcf$ rückläufig zurücklegen; dort hat man den ganzen Winkel $fag$ zu der mittleren Bewegung der Sonne zu addiren, hier denselben davon abzuziehen. Wenn nun die abzuziehende Bewegung des Planeten, namentlich in der Gegend des Perigeums $e$, grösser wird, als die zu addirende des Punktes $c$, so scheint er für den Punkt $a$, gemäss der geschwinderen Bewegung zurückzugehen; dies kommt bei den hier betrachteten Planeten deshalb vor, weil bei ihnen das Verhältniss der Linie $ce$ zu $ae$ grösser ist, als die Bewegung in $a$ zu der Bewegung des Planeten; nach den Sätzen des Apollonius von Perga^{[6][WS 1]}, wie weiter unten gezeigt werden soll. Wenn aber die abzuziehende Bewegung gleich ist der zu addirenden, so gleichen sie sich gegenseitig aus, und der Planet scheint still zu stehen, was Alles bei den Erscheinungen vorkommt. Wenn also keine andere Ungleichmässigkeit in der Bewegung des Planeten existirte, wie Apollonius meinte, so könnte dies hinreichen. Aber die grössten Elongationen dieser Planeten von der Sonne, welche durch die Winkel $fae$ und $gae$ des Morgens oder des Abends gemessen werden, zeigen sich nicht immer gleich, weder die zu beiden Seiten, noch ihre Summen, noch die auf einer Seite unter sich; woraus offenbar zu vermuthen ist, dass ihre Umläufe nicht in, mit der Erdbahn concentrischen, Kreisen vor sich gehen, sondern in gewissen anderen, durch welche sie eine zweite Ungleichmässigkeit verursachen. Dasselbe lässt sich auch von den oberen Planeten, dem Saturn, Jupiter und Mars beweisen, welche nach allen Seiten hin sich um die Erde bewegen.

Um den abermals construirten Kreis der Erde, werde der äussere concentrische Kreis $dc$ beschrieben, und zwar zunächst in derselben Ebene, und in demselben in einem beliebigen Punkte $d$ der Ort des Planeten angenommen; von diesem werden die graden Linien $df$ und $dg$ gezogen, welche die Bahn der Erde in den Punkten $f$ und $g$ berühren; $dacbe$ sei der gemeinschaftliche Durchmesser. Offenbar erscheint, von $a$ aus gesehen, der wahre Ort des Planeten nur dann in der Linie $de$, wenn er des Abends aufgeht und der Erde am nächsten steht; denn von dem entgegengesetzten Punkte $b$ aus gesehen, kommt er, obgleich er in derselben Linie und im vollen Lichte steht, wegen der Dazwischenkunft der Sonne im Punkte $c$, gar nicht zur Erscheinung. Da aber die Geschwindigkeit der Erde grösser ist, als die des Planeten, so scheint dieselbe in dem apogeischen Bogen $fgb$ die Bewegung des Planeten um den ganzen Winkel $gdf$ zu beschleunigen und in dem andern Bogen $gaf$ zu verlangsamen, und zwar eine kürzere Zeit hindurch in dem kleineren Bogen $gaf$. Und wenn die abzuziehende Bewegung der Erde grösser ist, als die entsprechende Bewegung des Planeten, namentlich in der Gegend des Punktes $a$, so scheint der Planet von der Erde verschoben zu werden, sich rückläufig zu bewegen, und da still zu stehn, wo für das Auge die Differenz dieser beiden entgegengesetzten Bewegungen am kleinsten wird. So zeigt sich wieder klar, dass durch die eine Bewegung der Erde Alles das eintritt, was die Alten durch Epicykeln für die Einzelnen abzuleiten suchten. Da aber, gegen die Meinung des Apollonius und der Alten, die Bewegung eines Planeten nicht gleichförmig befunden wird, indem die ungleichmässige Bahnbewegung der Erde sich auf den Planeten überträgt, so bewegen sich die Planeten nicht in concentrischen Kreisen, sondern in anderer Weise, die wir auch sogleich darstellen wollen.

Capitel 4.

Auf welche Weise die eigenen Bewegungen der Planeten ungleichmässig erscheinen.

Da die eigenen Bewegungen der Planeten in Beziehung auf die Länge, mit Ausnahme des Merkur, welcher sich von den übrigen unterscheidet, fast demselben Gesetze folgen, so sollen jene Viere zusammen abgehandelt werden; dem Merkur aber ist eine andere Stelle angewiesen. Das, was die Alten für eine einzige Bewegung in zwei excentrischen Kreisen hielten, wie wir beleuchtet haben, erachten wir für zwei gleichmässige Bewegungen, aus denen sich die scheinbare Ungleichmässigkeit zusammensetzt, und zwar entweder in einem excentrischen Kreise eines excentrischen Kreises, oder in einem Epicykel eines Epicykels, oder auch in einem excentrischen Epicykel, welche alle dieselbe Ungleichmässigkeit bewirken können, wie wir das früher an der Sonne und am Monde nachgewiesen haben.

Es sei $ab$ ein excentrischer Kreis um den Mittelpunkt $c$, sein Durchmesser $acb$ sei die Linie des mittleren Ortes der Sonne durch die grösste und kleinste Abside des Planeten, und in dieser Linie sei $d$ der Mittelpunkt der Erdbahn, so dass $a$ die grösste Abside ist. Mit dem dritten Theile des Abstandes $cd$ werde der Epicykel $ef$ construirt, in dessen Perigeum $f$ der Planet stehen mag. Die Bewegung des Epicykels gehe aber in dem excentrischen Kreise $ab$ rechtläufig vor sich, die des Planeten in dem oberen Bogen des Epicykels ebenfalls rechtläufig, in dem andern rückläufig,

und zwar beide, nämlich die des Epicykels und des Planeten, in miteinander übereinstimmenden Umläufen. So wird es kommen, dass, während der Epicykel in der grössten Abside des excentrischen Kreises und der Planet im Perigeum des Epicykels steht, — an der andern Seite sie sich gegenseitig in der entgegengesetzten Stellung befinden, wenn jeder von Beiden seinen Halbkreis zurückgelegt hat. In den zwischen Beiden liegenden Quadranten, wird jeder von Beiden seine mittlere Abside haben. Nur in den ersten beiden Stellungen liegen die Durchmesser des Epicykels in der Linie $ab$, in den beiden Letzteren hingegen stehen sie senkrecht gegen $ab$, an den übrigen Punkten werden sie sich gegen $ab$ unter einem spitzen oder stumpfen Winkel neigen, was Alles leicht aus ihren Bewegungen gefolgert werden kann. Hieraus ergiebt sich auch, dass der Planet in dieser zusammengesetzten Bewegung nicht, wie die alten Mathematiker meinten, einen vollkommenen Kreis mit unmerklicher Abweichung beschreibt. Zu diesem Ende werde derselbe Epicykel um den Mittelpunkt $b$ construirt, derselbe sei $kl$; ebenso um den Punkt $g$, welcher von $a$ aus um einen Quadranten absteht, der Epicykel $hi$, endlich sei $cm$ der dritte Theil von $cd$ und gleich $gi$. Man ziehe noch $gc$ und $im$, welche sich in $q$ schneiden. Da nun, nach der Annahme, der Bogen $ag$ dem Bogen $hi$ ähnlich ist, der Winkel $acg$ aber einen Rechten beträgt, so ist auch der Winkel $hgi$ ein Rechter. Die Scheitelwinkel bei $q$ sind ebenfalls gleich, also sind die Dreiecke $giq$ und $qcm$ gleichwinklig, aber auch in den Seiten übereinstimmend, weil $gi$ gleich $cm$ gemacht ist: folglich sind auch $qi$ und $gq$ beziehlich gleich $qm$ und $qc$, von denen $qi$ und $qm$ dem grösseren Winkel gegenüberliegen, daher ist auch die ganze Linie $iqm$ grösser als die ganze $gqc$. Es sind aber $fm$, $ml$, $ac$ und $cg$ einander gleich. Beschreibt man nun einen Kreis um den Mittelpunkt $m$ durch die Punkte $f$ und $l$, der also dem Kreise $ab$ gleich ist: so schneidet derselbe die Linie $im$. Dasselbe ergiebt sich auf der andern Seite im andern Quadranten. Der Planet beschreibt also vermöge der gleichmässigen Bewegung des Epicykels auf dem excentrischen Kreise, und seiner selbst auf den Epicykel keinen vollkommenen Kreis, sondern nur annähernd, was zu beweisen war^{[7][WS 2]}. Nun werde um den Mittelpunkt $d$ die Jahresbahn $no$ der Erde beschrieben, $id$ bis $r$ verlängert und $pds$ parallel mit $cg$ gezogen: so ist $idr$ die grade Linie der wahren Bewegung des Planeten, $gc$ die der mittleren und gleichmässigen, in $r$ das wahre Apogeum der Erde in Bezug auf den Planeten, in $s$ das mittlere. Der Winkel $rds$ oder $idp$ ist also die Differenz zwischen der mittleren und der scheinbaren Bewegung, nämlich zwischen den Winkeln $acg$ und $cdi$. Wenn wir aber statt des excentrischen Kreises $ab$, einen diesem gleichen concentrischen Kreis um $d$ nähmen, auf dessen Peripherie ein Epicykel vom Radius $dc$ sich bewegte, und auf diesem noch ein zweiter Epicykel von einem Durchmesser gleich der Hälfte von $cd$; — der erste Epicykel aber rechtläufig, der zweite rückläufig, und auf dem Letzteren endlich der Planet mit doppelter Geschwindigkeit rückläufig wäre: — so würde dasselbe folgen, was wir schon gesagt haben; nicht viel anders, als beim Monde, wenn auch mit einiger Abänderung des dort Gesagten. Wir haben aber hier darum den Epicykel des excentrischen Kreises gewählt, weil, während der Abstand zwischen der Sonne und dem Mittelpunkte $c$ sich gleich bleibt, $d$ als veränderlich gefunden wird, wie das bei der scheinbaren Bewegung der Sonne gezeigt ist. Während sich das Uebrige nach dieser Veränderung nicht in gleichem Maasse richtet, so muss für dasselbe daraus eine Differenz folgen, welche, obgleich sehr gering, doch bei Mars und Venus wahrgenommen wird. Dass nun diese Annahmen für die Erscheinungen ausreichen, wollen wir noch aus den Beobachtungen nachweisen; und zwar zuerst für Saturn, Jupiter und Mars, bei denen die Auffindung des Ortes des Apogeums und der Entfernung $cd$ am wichtigsten und am schwierigsten zugleich ist, während dieselben bei den übrigen leicht ermittelt werden können. Hierbei wollen wir uns ungefähr derselben Methode bedienen, wie wir sie beim Monde angewendet haben; nämlich durch Vergleichung dreier alten Oppositionen mit der Sonne, welche die Griechen die abendlichen Aufgänge, wir aber die mitternächtlichen Culminationen nennen, mit eben so vielen neueren. Wenn nämlich der Planet, in Opposition mit der Sonne, in die grade Linie der mittleren Bewegung der Sonne tritt, so verschwindet jede Differenz, welche die Bewegung der Erde verursacht. Diese Oerter werden unter Hinzuziehung der Berechnung der Sonne mit dem Astrolabium beobachtet, wie oben beschrieben ist, bis sich ergiebt, dass der Planet in seine Opposition mit derselben gelangt ist.

Capitel 5.

Darlegung der Bewegung des Saturn.

Wir beginnen also mit dem Saturn, und nehmen drei von Ptolemäus einst beobachtete Oppositionsörter desselben. Die erste Opposition trat im elften Jahre Hadrians im Monat Pachon^[8], am 7ten Tage desselben, um die erste Stunde der Nacht ein; dies ist im Jahre 127 nach Christus den 26sten März, 17 gleichmässige Stunden nach Mitternacht, auf den Krakauer Meridian reducirt, den wir um eine Stunde von Alexandrien abweichend gefunden haben. Der Ort des Sterns wurde gefunden 174° 40′^[9] nach der Fixsternsphäre gerechnet, auf welche wir Alles, als auf den Anfang der Gleichmässigkeit, zurückführen wollen; während die Sonne nach ihrer einfachen Bewegung damals auf der entgegengesetzten Seite in 354° 40′ vom Horn des Widders, als Anfang genommen, stand. Die zweite Opposition trat ein im siebenzehnten Jahre Hadrians, im Monat Epiphy, am 18ten Tage desselben nach ägyptischer Zeitrechnung; das war nach römischer Zeitrechnung: im Jahre 133 nach Christus den 3ten Juni, 15 Aequinoctialstunden nach Mitternacht^[10]. Er fand den Stern in 243° 3′^[11], während die Sonne nach mittlerer Bewegung in 63° 3′, um 15 Stunden nach Mitternacht, stand. Die dritte Beobachtung endlich, giebt er an im zwanzigsten Jahre Hadrians,

im Monat Mesori, am 24sten Tage desselben, nach ägyptischer Zeitrechnung, das war im Jahre 136 nach Christus den 8ten Juli, 11 Stunden nach Mitternacht Krakauer Zeit. Der Stern stand in 277° 37′^[12], während die Sonne nach mittlerer Bewegung in 97° 37′ stand. Im ersten Zeitintervall liegen 6 Jahre 70 Tage 55^I[13], in welcher Zeit die scheinbare Bewegung des Sterns 68° 23′^[14] war, und die mittlere Bewegung der Erde liefert in Bezug auf Saturn eine Parallaxe von 352° 44′^[15], was diesem an einem vollen Kreise fehlt, also 7° 16′, wächst der mittleren Bewegung des Sterns zu, welche dadurch zu 75° 39′^[15] wird. In dem zweiten Zeitraume liegen drei ägyptische Jahre 35 Tage 50^I[13], die scheinbare Bewegung des Planeten beträgt 34° 34′^[14], die Bewegung der Parallaxe 356° 43′,^[16] woraus sich als Rest des Kreises ergiebt 3° 17′, welche zu der scheinbaren Bewegung des Planeten hinzukommen, so dass seine mittlere Bewegung ist 37° 51′^[17].

Nachdem dies so geordnet ist, werde der excentrische Kreis $abc$ des Planeten beschrieben, $d$ sei dessen Mittelpunkt, $fdg$ der Durchmesser, in welchem der Mittelpunkt $e$ der Erdbahn liegt. Nun sei $a$ der Mittelpunkt des Epicykels bei der ersten Opposition, $b$ bei der zweiten, $c$ bei der dritten, um welche Punkte derselbe Epicykel mit dem dritten Theile des Abstandes $de$ beschrieben wird. Die Mittelpunkte $a$, $b$ und $c$ werden mit $d$ und $e$ durch grade Linien verbunden, welche die Peripherien der Epicykeln in den Punkten $k$, $l$ und $m$ schneiden. Nun wird der Bogen $kn$ ähnlich $af$, $lo$ ähnlich $bf$ und $mp$ ähnlich $fbc$ gemacht, und $en$, $eo$ und $ep$ gezogen. Der Bogen $ab$ ist nach der Berechnung 75° 39′, $bc$ gleich 37° 51′. Der erscheinende Winkel $neo$ ist gleich 68° 23′ und $oep$ gleich 34° 34′. Es sollen nun die Oerter der grössten und kleinsten Abside, d. h. der Punkt $f$ und $g$, nebst dem Abstande der Mittelpunkte $d$ und $e$, zuerst berechnet werden, da

ohne dieselben es keinen Weg giebt, die gleiclimässige und die erscheinende Bewegung von einander zu unterscheiden. Hier begegnet uns aber eine Schwierigkeit, welche nicht kleiner ist, als die des Ptolomäus bei dieser Gelegenheit. Wenn nämlich der gegebene Winkel $neo$ den gegebenen Bogen $ab$, und ebenso der Winkel $oep$ den Bogen $bc$ einschlösse: so stände der Weg schon offen, das abzuleiten, was wir suchen. Aber der bekannte Bogen $ab$ spannt den noch unbekannten Winkel $aeb$, und ebenso ist zwar der Bogen $bc$ aber nicht der Winkel $bec$ bekannt. Die Bekanntschaft beider ist aber erforderlich, und doch können nicht einmal die Winkeldifferenzen $aen$, $beo$ und $cep$ gefunden werden, wenn nicht zuvor die Bogen $af$, $fb$ und $fbc$, welche denen der Epicykeln ähnlich sind, feststehen. Diese sind so sehr gegenseitig von einander abhängig, dass sie mit einander unbekannt sind und mit einander bekannt werden. Im Stiche gelassen von den Mitteln der Ableitung, haben Jene sich bemüht, a posteriori und durch Umwege das zu finden, zu welchem der Zugang auf gradem Wege und a priori nicht offen stand. So verbreitet sich Ptolomäus bei dieser Untersuchung in weitschweifigen Worten und in einer ungeheuren Menge von Zahlen, welche zu prüfen ich für lästig und auch für überflüssig halte; zumal wir in dem, was gleich folgt, ungefähr dieselbe Methode nachgeahmt haben. Er fand endlich bei der Uebersicht der Zahlen, dass der Bogen $af$ 57° 1′, $fb$ 18° 37′ und $fbc$ 56° 30′ betrage ^[17]. Die Entfernung der Mittelpunkte aber fand er zu 6. 50^I solcher Theile, von denen $df$ 60 enthält^[18], und da bei uns $df$ gleich 10000: so ist die Entfernung der Mittelpunkte gleich 1139^[19]. Hiervon drei Viertel ergiebt $de$ gleich 854 und das übrige Viertel, gleich 285, rechnen wir als Radius des Epicykels. Dass aber diese so angenommenen und umgeformten Zahlen, bei unserer Annahme, mit den beobachteten Erscheinungen übereinstimmen, wollen wir nachweisen. Da bei der ersten Beobachtung im Dreiecke $ade$ die Seite $ad$ gleich 10000, $de$ gleich 854 und der Winkel $ade$ als Nebenwinkel von $adf$ gegeben sind, so erweist sich nach den Sätzen über die ebenen Dreiecke $ae$ gleich 10489, und die andern beiden Winkel $dea$ gleich 53° 6′, $dae$ gleich 3° 55′, wobei vier Rechte gleich 360° sind. Winkel $kan$ ist aber gleich $adf$, und also gleich 57° 1′, folglich der ganze Winkel $nae$ gleich 60° 56′. In dem Dreiecke $nae$ sind also die beiden Seiten $ae$ gleich 10489 und $na$ gleich 285, wo $ad$ = 10000, nebst dem Winkel $nae$ gegeben, es ergiebt sich also auch der Winkel $aen$ gleich 1° 22′ und als Rest $ned$ gleich 51° 44′ wenn 360° = 4 Rechten. Ebenso ist bei der zweiten Opposition im Dreiecke $bde$ die Seite $de$ gleich 854, $bd$ gleich 10000 und der Winkel $bde$, als Nebenwinkel von $bdf$, gleich 161° 22′; daraus ergiebt sich auch $be$ gleich 10812, wenn $bd$ = 10000 ist, und der Winkel $dbe$ gleich 1° 27′ und $bed$, als Rest, gleich 17° 11′. Aber der Winkel $obl$ war gleich $bdf$, gleich 18° 38′^[20]; also der ganze Winkel $ebo$ gleich 20° 5′. In dem Dreiecke $ebo$ sind also die Seite $be$ gleich 10812, $bo$ gleich 285 und der Winkel $ebo$ gegeben, daraus ergiebt sich nach den Sätzen der ebenen Dreiecke, auch der Winkel $beo$ gleich 32′; es bleibt also

für $bed$ noch 16° 39′. Bei der dritten Opposition sind in dem Dreiecke $cde$ die beiden Seiten $cd$ und $de$ wie früher gegeben und der Winkel $cde$ gleich 56° 29′, nach dem vierten Satze der ebenen Dreiecke ergiebt sich die Basis $ce$ gleich 10512, wenn $cd$ = 10000 ist, und der Winkel $dce$ gleich 3° 53′ und der Winkel $ced$ gleich 52° 36′, also der ganze Winkel $ecp$ gleich 60° 22′, wenn 360° = 4 Rechten. Ebenso sind auch im Dreiecke $ecp$ zwei Seiten und der Winkel $ecp$ gegeben, es ergiebt sich der Winkel $cep$ gleich 1° 22′ und daraus Winkel $ped$ gleich 51° 14′. Hieraus erhält man also die erscheinenden Winkel $oen$ gleich 68° 23′ und $oep$ gleich 34° 35′, was mit den Beobachtungen übereinstimmt. Der Ort $f$ der grössten Abside des excentrischen Kreises liegt 226° 20′ vom Kopfe des Widders; addirt man dazu die damals stattfindende Präcession des Frühlingsnachtgleichenpunktes mit 6° 40′, so erhält man 23° des Scorpions, der Angabe des Ptolomäus gemäss. Es war nämlich der scheinbare Ort des Sterns bei der dritten Beobachtung, wie angegeben, 277° 34′^[12] und zieht man hiervon den abgeleiteten erscheinenden Winkel $pdf$ mit 51° 14′ ab: so bleibt der Ort der grössten Abside des excentrischen Kreises gleich 226° 23′.

Es werde nun auch der Kreis der Erdbahn $rst$ beschrieben, welcher die Linie $pe$ im Punkte $r$ schneidet, und der Durchmesser $set$, parallel mit der Linie $cd$ der mittleren Bewegung des Planeten, gezogen: so ist der Winkel $sed$ gleich $cdf$, der Winkel $ser$ die Differenz und also die Prosthaphärese zwischen der scheinbaren und mittleren Bewegung, d. h. zwischen den Winkeln $cdf$ und $ped$ gleich 5° 16′; und dasselbe zwischen der mittleren und wahren parallactischen Bewegung, welche durch Subtraction vom Halbkreise, den Bogen $rl$ gleich 174° 44′, als gleichmässige parallactische Bewegung von dem angenommenen Anfangspunkte $l$, d. h. von der mittleren Conjunction der Sonne und des Sterns an, bis zu dieser dritten mitternächtlichen Culmination, d. h. bis zur wahren Opposition der Sonne^[21] und des Sterns, ergiebt.

Wir haben also das Resultat, dass um die Stunde dieser Beobachtung, nämlich im zwanzigsten Jahre Hadrians oder im Jahre 136 nach Chr. am 8ten Juli 11 Uhr nach Mitternacht, die Anomalie des Saturn von der grössten Abside seines excentrischen Kreises 56° 30′, und die mittlere parallactische Bewegung 174° 44′ beträgt. Dieses erwiesen zu haben, ist für die Folge von Wichtigkeit.

Capitel 6.

Ueber drei andere neuerlich beobachtete Oppositionen des Saturn.

Da aber die von Ptolomäus angegebene Berechnung der Bewegung des Saturn zu unserer Zeit nicht wenig abweicht, und es nicht sogleich eingesehen werden möchte, wo der Fehler stecke: so sahen wir uns genöthigt, neue Beobachtungen anzustellen, aus denen wir wieder drei mitternächtliche Culminationen erhalten haben. Die erste fand statt Im Jahre Christi 1514 den 5ten Mai 1⅕ Stunden vor Mitternacht, und Saturn stand in 205° 24′. Die zweite war im Jahre Christi 1520 den 13ten^[22] Juli um Mittag, Saturn stand in 273° 25′^[23]. Die dritte war im Jahre Christi 1527 den 10ten October 6⅖ Stunden nach Mitternacht, Saturn stand in 0° 7′ vom Horn des Widders. Es liegen also zwischen der ersten und zweiten Opposition 6 ägyptische Jahre 70 Tage 33^I, und in dieser Zeit ist die erscheinende Bewegung Saturns 68° 1′. Von der zweiten bis zur dritten Opposition sind es 7 ägyptische Jahre 89 Tage 46^I, und die erscheinende Bewegung des Sterns war 86° 42′. Die mittlere Bewegung Saturns betrug im ersten Zeitraume 75° 39′^[24], im zweiten 88° 29′^[25]. Nun ist, nach der Vorschrift des Ptolomäus, bei der Aufsuchung der grössten Abside und der Excentricität, so zu verfahren, als ob der Planet in einfachem excentrischen Kreise sich bewegte. Obgleich dies nicht hinreichen wird, so werden wir uns doch der Wahrheit nähern, und endlich zu ihr selbst gelangen.

Es möge aber $abc$ der Kreis sein, in welchem der Planet sich gleichmässig bewegt, und es finde in dem Punkte $a$ die erste, in $b$ die zweite und in $c$ die dritte Opposition statt; in $d$ mag der Mittelpunkt der Erde angenommen werden. Man ziehe die Linien $ad$, $bd$ und $cd$, verlängere eine beliebige derselben z. B. $cd$ bis zur gegenüberliegenden Peripherie nach $e$ und ziehe noch $ae$ und $be$. Da nun der Winkel $bdc$ gleich 86° 42′ gegeben ist: so ist sein Nebenwinkel $bde$ gleich 93° 18′, wobei 180° zwei Rechte ausmachen, sind aber 360° zwei Rechte, so ist $bde$ gleich 186° 36′ und $bed$ entsprechend dem Bogen $bc$ gleich 88° 29′^[25], folglich ist der Rest $dbe$ gleich 84° 55′. Da also in dem Dreiecke $bde$ die Winkel bekannt sind, so ergeben sich die Seiten aus dem Verzeichnisse: $be$

gleich 19953^[26] und $de$ gleich 13501^[27], wenn der Durchmesser des umschriebenen Kreises gleich 20000 ist. Ebenso ist in dem Dreiecke $ade$, weil der Winkel $adc$ gleich 154° 43′^[28], der Winkel $ade$, als dessen Nebenwinkel, gleich 25° 17′; wenn 180° zwei Rechte sind, betragen aber 360° zwei Rechte, so wird $adc$ gleich 50° 34′ und unter derselben Bedingung ist der Winkel $aed$, der dem Bogen $abc$ entspricht, gleich 164° 8′^[29], und der Rest $dac$ gleich 145° 18′. Folglich sind auch die Seiten bekannt, nämlich $de$ gleich 19090 und $ae$ gleich 8542, wenn der Durchmesser des dem Dreiecke $ade$ umschriebenen Kreises gleich 20000 ist; — wenn aber $de$, wie vorhin, gleich 13501: so wird $ae$ gleich 6043, wobei $be$ gleich 19953. Es sind daher auch in dem Dreiecke $abe$ diese beiden Seiten, $be$ und $ea$ nebst dem Winkel $aeb$, welcher, dem Bogen $ab$ entsprechend, gleich 75° 38′ ist, gegeben. Nach den Sätzen über die ebenen Dreiecke ist daher $ab$ gleich 15647 solcher Theile, von denen auf $be$ 19968 kommen. Da aber $ab$ 1226 solcher Theile enthält, von denen auf den Durchmesser des excentrischen Kreises 20000 kommen, so enthält $eb$ 15664 und $de$ 10599 ebensolcher Theile. Aus der Sehne $be$ ergiebt sich auch der Bogen $bae$ gleich 103° 7′, folglich der ganze Bogen $eabc$ gleich 191° 36′, und der Rest des Kreises $ce$ gleich 168° 24′, und daraus wieder die Sehne $cde$ gleich 19898, und der Rest $cd$ gleich 9299. Nun ist offenbar, dass, wenn $cde$ selbst der Durchmesser des excentrischen Kreises wäre, in dieselbe Linie auch die Oerter der grössten und kleinsten Abside fielen, und die Entfernung der Mittelpunkte gegeben wäre. Aber da $eabc$ das grössere Segment ist, so liegt auch in demselben der Mittelpunkt, derselbe möge $f$ sein, durch diesen und durch $d$ ziehe man den Durchmesser $gfdh$ und senkrecht auf $cde$ den Halbmesser $fkl$. Nun ist aber das Rechteck $cd$ mal $de$ gleich dem $gd$ mal $dh$. Die Summe des Rechtecks $gd$ mal $dh$ und des Quadrates von $fd$ ist aber gleich dem Quadrate der Hälfte von $gdh$, d. h. der Linie $fdh$. Zieht man also das Quadrat des Halbmessers von dem Rechtecke $gd$ mal $dh$ oder von, dem ihm gleichen, $cd$ mal $de$ ab: so bleibt das Quadrat von $fd$. Folglich ist die Länge $fd$ selbst gegeben, und sie beträgt 1200 solcher Theile, von denen auf den Radius $gf$ 10000 kommen; rechnet man aber $gf$ zu 60 Theilen: so enthält $fd$ 7^p 12^I solcher Theile, was wenig von des Ptolemäus Angabe abweicht^[30]. Da aber $cdk$, als Hälfte von $cde$, 9949 Theile beträgt, und $cd$ zu 9299 nachgewiesen ist, so ist $dk$ gleich 650, von denen $gf$ 10000 enthält und wobei $fd$ gleich 1200 gesetzt werden muss; wenn aber $fd$ gleich 10000, so wird $dk$ gleich 5411, und für diese Hälfte der Sehne des doppelten Winkels $dfk$, ergiebt sich dieser Winkel selbst zu 32° 45′, wobei vier Rechte gleich 360° sind; und diesen Winkel, als Centriwinkel, spannt der Bogen $hl$. Der ganze Bogen $chl$ ist, als Hälfte von $cle$, gleich 84° 13′, folglich der Rest $ch$, als Abstand des Ortes des Planeten bei der dritten Opposition vom Perigeum, gleich 51° 28′. Zieht man dies von dem Halbkreise ab, so bleibt der Bogen $cbg$ gleich 128° 32′, als Abstand des Ortes des Planeten bei der dritten Opposition von der grössten Abside. Da aber der Bogen

$cb$ gleich 88° 29′: so ist der Rest $bg$ gleich 40° 3′, als Abstand des Ortes des Planeten bei der zweiten Opposition von der grössten Abside. Ferner war der folgende Bogen $bga$ gleich 75° 39′^[31] und also der Rest $ag$, als Abstand des Ortes des Planeten bei der ersten Opposition von der grössten Abside $g$, gleich 35° 36′.

Nun sei $abc$ der Kreis, $fdeg$ dessen Durchmesser, $d$ sein Mittelpunkt, $f$ das Apogeum, $g$ das Perigeum, der Bogen $af$ = 35° 36′, $fb$ gleich 40° 3′, $fbc$ gleich 128° 32′. Von der bereits gefundenen Entfernung der Mittelpunkte $de$ werden drei Viertel gleich 900 und also ein Viertel gleich 300 genommen, wobei der Radius $fd$ gleich 10000. Mit dem einen Viertel werden um die Mittelpunkte $a$, $b$ und $c$ Epicykel beschrieben und die Figur im Sinne der dargelegten Annahmen ausgeführt. Wenn wir nach diesen Feststellungen auf die oben ausgeführte, und sogleich zu wiederholende Weise die beobachteten Oerter des Saturn ableiten wollen, so finden wir einige Differenzen. Und um übersichtlich zu sprechen, damit wir den Leser nicht zu sehr beschweren, noch zum Nachweise jener Differenzen mehr auf Umwegen als unmittelbar auf dem zu zeigenden graden Wege gethan zu haben scheinen, so führen die Sätze über die Dreiecke nothwendig darauf, dass der Winkel $neo$ gleich 67° 35′ und $oem$ gleich 87° 12′ sind; also ist der letztere Winkel um einen halben Grad grösser, der erstere um 26′ kleiner als die erscheinenden; und wir sehen dieselben erst dann mit einander übereinstimmen, wenn wir das Apogeum etwas vorrücken, so dass $af$ gleich 38° 50′ und folglich $fb$ gleich 36° 49′, $fbc$ gleich 125° 18′ werden. Die Entfernung $de$ der Mittelpunkte muss man gleich 854, und den Radius der Epicykel gleich 285 solcher Theile machen, von denen 10000 auf $fd$ gehen, so dass sie mit denen des Ptolemäus, wie sie oben dargethan sind, nahe übereinstimmen. Dass diese Grössen den Erscheinungen der drei beobachteten Oppositionen entsprechen,

ergiebt sich daraus, dass, bei der ersten Opposition, im Dreiecke $ade$ die Seite $de$ gleich 854 wenn $ad$ gleich 10000, der Winkel $ade$ gleich 141° 10′ wird, welcher am Mittelpunkte $d$ mit dem Winkel $adf$ zwei Rechte ausmacht. Hieraus folgt die dritte Seite $ae$ gleich 10679, wenn der Radius $fd$ gleich 10000; und die übrigen Winkel $dae$ gleich 2° 52′ und $dea$ gleich 35° 58′. Ebenso zeigt sich im Dreiecke $aen$, da Winkel $kan$ gleich dem Winkel $adf$, der ganze Winkel $ean$ gleich 41° 42′ und die Seite $an$ gleich 285, wobei $ae$ gleich 10679: dass der Winkel $aen$ gleich 1° 3′ ist; aber der ganze Winkel $dea$ ist gleich 35° 58′ also der Rest $den$ gleich 34° 55′. Bei der zweiten Opposition sind in dem Dreiecke $bed$ die beiden Seiten $de$ gleich 854, $db$ gleich 10000 und der Winkel $bed$ gegeben, danach wird $be$ gleich 10697 derselben Theile, Winkel $dbe$ gleich 2° 45′ und der andere $bed$ gleich 34° 4′. Da aber Winkel $lbo$ gleich $bdf$: so ist der ganze Centriwinkel $ebo$ gleich 39° 34′, diesen schliessen aber die beiden Seiten $bo$ gleich 285 und $be$ gleich 10697 ein. Hieraus ergiebt sich, dass $beo$ gleich 59′ ist; zieht man diesen von dem Winkel $bed$ ab, so bleibt $oed$ gleich 33° 5′. Nun ist aber schon bei der ersten Opposition gezeigt, dass der Winkel $den$ gleich 34° 55′ sei, also ist der ganze Winkel $oen$ gleich 68°, um welchen die erste Opposition von der zweiten entfernt erscheinen muss, was den Beobachtungen entspricht. Ebenso ist die Ableitung bei der dritten Opposition. In dem Dreiecke $cde$ ist der Winkel $cde$ gleich 54° 42′ und die Seiten $cd$ und $de$ von früher her gegeben, daraus erweist sich die dritte Seite als gleich 9732 derselben Theile, und die übrigen Winkel $ced$ gleich 121° 5′, $dce$ gleich 4° 13′, der ganze Winkel $pce$ also gleich 129° 31′. Wiederum sind in dem Dreiecke $epc$ die beiden Seiten $pc$ und $ce$ nebst dem Winkel $pce$ gegeben, woraus sich ergiebt, dass Winkel $pec$ gleich 1° 18′; zieht man diesen von $ced$ ab, so bleibt der Winkel $ped$ gleich 119° 47′ zwischen der grössten Abside und dem Orte des Planeten bei der dritten Opposition. Es waren aber, wie gezeigt ist, bei der zweiten Opposition 33° 5′, folglich bleiben zwischen der zweiten und dritten Opposition Saturns 86° 42′, was ebenfalls mit den Beobachtungen übereinstimmt. Der Ort Saturns war aber damals durch Beobachtung 8′ vom ersten Stern des Widders gefunden, und der Winkel zwischen ihm und der kleinsten Abside des excentrischen Kreises ist gleich 60° 13′ nachgewiesen, folglich ergiebt sich die kleinste Abside zu 60⅓°, und der Ort der grössten Abside zu 240⅓°. Nun werde die Bahn der Erde $rst$ um den Mittelpunkt $e$ beschrieben, deren Durchmesser $set$ parallel mit $cd$, der Linie der mittleren Bewegung, gezogen sei; also ist Winkel $cdf$ gleich dem Winkel $des$. Die Erde und unser Auge befinden sich also in der Linie $pe$, im Punkte $r$, Winkel $pes$, oder der Bogen $rs$, um welchen, sich $fdc$ von $dep$, d. h. die gleichmässige von der erscheinenden Bewegung, unterscheidet, hat sich erwiesen als gleich 5° 31′. Zieht man dieses von dem Halbkreise ab, so bleibt der Bogen $rt$ gleich 174° 29′ als der Abstand des Planeten vom Apogeum $t$ der Erdbahn, als von dem mittleren Orte der Sonne. Und so haben wir bewiesen, dass im Jahre Christi 1527 am 10ten October 6⅖ Stunden nach Mitternacht Saturn’s Bewegung der Anomalie von der grössten Abside des excentrischen Kreises gleich 125° 18′ seine parallactische Bewegung aber gleich 174° 29′ betrug und der Ort der grössten Abside um 240° 21′ vom ersten Sterne des Widders der Fixsternsphäre abstand.

Capitel 7.

Ueber die Prüfung der Saturns-Bewegung.

Es ist gezeigt, dass Saturn zur Zeit der letzten von den dreien Beobachtungen des Ptolemäus, gemäss seiner mittleren parallactischen Bewegung, in 174° 44′ stand. Der Ort der grössten Abside des excentrischen Kreises lag aber in 226° 23′ vom Kopfe des Widders. Es ist also offenbar, dass in der Zwischenzeit zwischen beiden Beobachtungen^[32] Saturn 1344 Umläufe seiner gleichmässigen parallactischen Bewegung vollendet hat, weniger ¼ Grad. Zwischen dem 20sten Jahre Hadrian’s den 24sten Mesori der Aegypter, eine Stunde vor Mittag, und dem 1527sten Jahre Christi den 10ten October 6 Stunden nach Mitternacht, unserer Beobachtung, liegen 1392 ägyptische Jahre 75 Tage 48^I[33]. Wenn wir für diese Zeit die Bewegung aus den Tafeln entnehmen wollen, so finden wir fünfmal je sechzig und 59° 48′^[34], welche über 1343 Umläufe der parallactischen Bewegung hinaus zurückgelegt sind. Also ist das, was wir über die mittlere Bewegung des Saturn entwickelt haben, richtig. Weil nun in dieser Zeit die einfache Bewegung der Sonne 82° 30′ beträgt: so bleiben, wenn man hiervon jene 359° 15′ abzieht, 82° 45′^[35] für die mittlere Bewegung des Saturn, welche schon bei seinem 47sten Umlaufe^[36], der Berechnung gemäss, erwachsen. Während dem ist auch der Ort der grössten Abside um 13° 58′^[37] gegen die Fixsternsphäre vorgerückt. Ptolemäus hielt diesen Ort ebenfalls für feststehend, aber jetzt ergiebt sich, dass derselbe in hundert Jahren ungefähr um 1° sich fortbewegt.

Capitel 8.

Ueber die Feststellung der Oerter Saturns.

Vom Anfange der Jahre Christi bis zum zwanzigsten Hadrian’s den 24sten Mesori eine Stunde vor Mittag, wo die Beobachtung des Ptolemäus stattfand, sind 135 ägyptische Jahre 222 Tage 27^I[38] verstrichen. In dieser Zeit beträgt die parallactische Bewegung Saturns 328° 55′^[39], dies von 174° 44′ abgezogen, lässt den Rest 205° 49′ als Ort des Abstandes des mittleren Orts der Sonne von dem mittleren des Saturn, und dies ist die parallactische Bewegung des Letzteren um Mitternacht, mit welcher der erste Januar beginnt. Von der ersten Olympiade bis zu diesem Zeitpunkte beträgt die Bewegung für 745 ägyptische Jahre 12½ Tage, ausser den ganzen Umläufen, 70° 55′, dies von jenen 205° 49′ abgezogen, lässt den Rest 134° 54′ für den Anfang der Olympiaden um Mittag des 1sten Hekatombäon. Von da in 351 ägyptischen Jahren 247 Tagen beträgt dieselbe Bewegung, ausser den ganzen Umläufen, 13° 7′, dies zu dem Vorigen addirt, giebt 148° 1′, als Ort für den Anfang der Jahre Alexanders des Grossen um Mittag des 1sten Thoth der Aegypter. Und bis auf Cäsar beträgt in 278 ägyptischen Jahren 11 8½ Tagen die Bewegung 247° 20′ und also der Ort 35° 21′, um Mitternacht, mit welcher der erste Januar beginnt.

Capitel 9.

Ueber die Parallaxen des Saturn, welche von der Jahresbahn der Erde herrühren, und wie gross seine Entfernung ist.

Die gleichmässigen und erscheinenden Bewegungen der Länge Saturns sind auf diese Weise dargelegt. Die übrigen Erscheinungen, welche bei demselben eintreten, sind, wie gesagt, Parallaxen, die von der Jahresbahn der Erde herrühren. Wie nämlich der Umfang der Erde in Bezug auf die Entfernung des Mondes parallactisch wirkt, so muss auch ihre Bahn, in welcher sie jährlich umläuft, auf die fünf Planeten wirken; nur sind diese letzteren Parallaxen, wegen der Grösse der Bahn, weit merklicher. Solche Parallaxen können aber nicht anders bestimmt werden, als wenn vorher die Entfernung des Planeten ermittelt ist. Diese kann jedoch schon durch eine einzige beliebige Beobachtung der Parallaxe erhalten werden. Eine solche Beobachtung des Saturn haben wir im Jahre Christi 1514 den 25sten Februar 5 Aequinoctial-Stunden nach Mitternacht angestellt. Saturn wurde in der graden Linie der Sterne gesehen, welche sich an der Stirn des Scorpion befinden, also des ersten und zweiten, welche gleiche Länge, nämlich 209°, in Bezug auf die Fixsternsphäre^[40] haben. Der Ort Saturns war also durch diese Sterne gegeben. Es sind aber vom Anfange der Jahre Christi bis zur Stunde der Beobachtung 1514 ägyptische Jahre 67 Tage 13^I[41], und daher der berechnete mittlere Ort der Sonne gleich 315° 41′^[42], die parallactische

Bewegung^[43] Saturns 116° 31′ und deshalb der mittlere Ort Saturns 199° 10′^[44], und der Ort der grössten Abside des excentrischen Kreises gleich 240° 20′^[45].

Es sei dem Vorstehenden gemäss $abc$ der excentrische Kreis, dessen Mittelpunkt in $d$, in dessen Durchmesser $bdc$ das Apogeum in $b$, das Perigeum in $c$, und der Mittelpunkt der Erdbahn in $e$ liegt. Man ziehe $ad$ und $ae$ und beschreibe um den Mittelpunkt $a$ mit dem dritten Theile von $de$ den Epicykel, in welchem $f$ der Ort des Planeten sei, wobei der Winkel $daf$ gleich $adb$. Durch den Mittelpunkt $e$ der Erdbahn ziehe man $hi$, vorläufig in derselben Ebene des Kreises $abc$, und parallel mit $ad$, so dass in $h$ das Apogeum und in $i$ das Perigeum in Bezug auf den Planeten liegt. Man schneide aber auf demselben Kreise den Bogen $hl$ zu 116° 31′ nach der Berechnung der Anomalie der Parallaxe ab, und ziehe $fl$, $el$ und $fkem$, welche Letztere die Peripherie der Bahn zu beiden Seiten schneidet. Da nun der Winkel $adb$ gleich 40° 10′, und nach der Voraussetzung gleich dem Winkel $daf$ ist: so ist der Nebenwinkel $ade$ gleich 138° 50′ und $de$ ist gleich 854, wenn $ad$ gleich 10000; hierdurch erweist sich in dem Dreiecke $ade$ die dritte Seite $ae$ zu 10667 derselben Theile, der Winkel $dea$ zu 38° 9′ und der noch übrige Winkel $ead$ zu 3° 1′, folglich der ganze Winkel $eaf$ zu 44° 11′. So ist wieder in dem Dreiecke $fae$ die Seite $fa$ gleich 285 und $ae$ gegeben, und es erweist sich die dritte Seite $fke$ zu 10465 derselben Theile und der Winkel $aef$ zu 1° 5′. Folglich ist klar, dass die ganze Differenz, oder die Prosthaphärese, zwischen dem mittleren und wahren Orte des Planeten gleich ist 4° 6′, als die Summe der Winkel $dae$ und $aef$. Daher würde, wenn die Erde in $k$ oder $m$ gestanden hätte, Saturn in 203° 16′ vom ersten Sterne des Widders abstehend erschienen sein, ebenso wie sein Ort vom Mittelpunkt $e$ aus gesehen sein würde. Da aber die Erde in $l$ steht, so wird er in 209° gesehen. Die Differenz von 5° 44′ ist die Parallaxe gemäss dem Winkel $kfl$. Nun ist aber der Bogen $hl$, nach der Gleichmässigkeit berechnet, gleich 116° 33′^[46], zieht man davon die Prosthaphärese $hm$ ab, so bleibt $ml$ gleich 112° 25′, und folglich die Ergänzung $lik$ gleich 67° 31′^[47], durch welche dann auch der Winkel $kel$ bekannt ist. Deshalb sind im Dreiecke $fel$, dessen Seiten und Winkel gegeben sind, auch die Verhältnisse gegeben, wonach $ef$ gleich 10465, $el$ gleich 1090 ist, wenn $ad$ oder $bd$ 10000 beträgt. Wenn aber $bd$, nach altem Brauche, 60^p ist, so wird $el$ gleich 6^p 32^I, was sich wahrlich wenig

von dem unterscheidet, welches Ptolemäus angiebt^[48]. Die ganze Linie $bde$ ist aber gleich 10854 und der Rest $ce$ des Durchmessers, gleich 9146. Da aber der Epicykel in $b$ die Entfernung des Planeten immer um 285, d. h. um seinen Halbmesser, verkleinert: in $c$ aber um ebensoviel vergrössert: so wird deshalb die grösste Entfernung Saturns vom Mittelpunkte $c$ gleich 10569, die kleinste gleich 9431, wenn $bd$ gleich 10000. Nach diesem Verhältnisse kommen auf Saturns Apogeum 9^p 42^I, wenn der Radius der Erdbahn 1^p ist, und auf das Perigeum 8^p 39^I. Hieraus kann man schon schliessen, dass die Parallaxen Saturns nach dem Maasse grösser sind, welches beim Monde über dessen geringe Parallaxen entwickelt ist. Die grössten betragen, wenn Saturn im Apogeum steht, 5° 55′, wenn im Perigeum, 6° 39′. Ihre Differenz beträgt also 44′, und sie treten ein, wenn die vom Planeten her gezogenen Linien die Erdbahn berühren. Bei diesem Beispiele finden sich einige Abweichungen in der Bewegung Saturns, welche wir nachher auf einmal, und in Verbindung mit den übrigen vier Planeten entwickeln wollen.

Capitel 10.

Darlegungen der Bewegung des Jupiter.

Nachdem wir den Saturn abgehandelt haben, wollen wir uns bei der Bewegung Jupiters derselben Methode und Anordnung der Ableitung bedienen, indem wir zuerst drei von Ptolemäus überlieferte und berechnete Oerter vornehmen, und dieselben durch die oben gezeigte Umwandlung der Kreise, entweder übereinstimmend, oder nicht viel von einander abweichend, wiederherstellen. Die erste Opposition fand statt im Jahre 17 Hadrian’s, am ersten Tage des ägyptischen Monats Epiphi, eine Stunde vor Mitternacht des folgenden Tages, und, wie er sagt, in 23° 11′^[49] des Scorpion. Zieht man hiervon die Präcession der Nachtgleichen ab, so bleiben 226° 33′. Die zweite Beobachtung hat er aufgezeichnet im Jahre 21 Hadrian’s, am 13ten Tage des ägyptischen Monats Phaophi, zwei Stunden vor Mitternacht des folgenden Tages, in 6° 54′^[50] der Fische, aber in Bezug auf die Fixsternsphäre in 331° 16′. Die dritte Beobachtung war im ersten Jahre des Antoninus in der Nacht vom 20sten auf den 21sten Tag des Monats Athyr, 5 Stunden nach Mitternacht in 7° 45′ der Fixsternsphäre^[51]. Es sind also von der ersten bis zur zweiten Beobachtung 3 ägyptische Jahre 106 Tage 23 Stunden^[52] verstrichen, und die erscheinende Bewegung des Planeten betrug während dem 104° 43′^[53]; zwischen der zweiten und dritten Beobachtung liegen aber 1 Jahr 37 Tage 7 Stunden ^[52] und die scheinbare Bewegung des Planeten ist 36° 29′^[53]. In dem ersten Zeitraume ist die mittlere Bewegung 99° 55′^[54], im zweiten 33° 26′^[55]. Er fand aber den Bogen des excentrischen Kreises von der grössten Abside bis zur ersten Opposition zu 77° 15′, den folgenden Bogen von der zweiten Opposition bis zur kleinsten Abside zu 2° 50′, und von da bis zur dritten Opposition 30°

36′. Die Excentricität war 5½ solcher Theile, von denen der Radius des Kreises 60 enthielt; beträgt letzterer dagegen 10000, so ist die Excentricität 917, was Alles den Beobachtungen sehr nahe entspricht.

Es sei $abc$ der Kreis, dessen Bogen $ab$ von der ersten zur zweiten Opposition 99° 55′, $bc$ 33° 26′ enthalten, und es werde durch den Mittelpunkt $d$ der Durchmesser $fdg$ gezogen, so dass $f$ die grösste Abside und der Bogen $fa$ gleich 77° 15′, $fab$ gleich 177° 10′ und $gc$ gleich 30° 36′ sei. Der Mittelpunkt der Erdbahn sei $e$ und die Entfernung de betrage 687, als drei Viertel von jenen 917 Theilen; mit dem vierten Theile gleich 229 beschreibe man die Epicykel um die Punkte $a$, $b$ und $c$, ziehe $ad$, $bd$, $cd$, $ae$, $be$, $ce$, und in den Epicykeln $ak$, $bl$, und $cm$, so dass die Winkel $dak$, $dbl$, und $dcm$ beziehlich gleich sind den Winkeln $adf$, $fdb$ und $fdc$; endlich verbinde man die Punkte $k$, $l$ und $m$ durch grade Linien mit $e$. Da nun in dem Dreiecke $ade$, wegen des gegebenen Winkels $adf$, der Winkel $ade$ gleich 102° 45′ und die Seite $de$ gleich 687, wenn $ad$ gleich 10000: so ergiebt sich auch die dritte Seite $ae$ gleich 10174 derselben Theile, Winkel $dae$ gleich 3° 48′ und, als Rest, Winkel $aed$ gleich 73° 27′, und der ganze Winkel $eak$ gleich 81° 3′. Folglich sind auch in dem Dreiecke $aek$ zwei Seiten, $ea$ gleich 10174 und $ak$ gleich 229, und der Winkel $eak$ gegeben, daraus ergiebt sich der Winkel $aek$ gleich 1° 17′, folglich der dritte, $ked$ als Rest gleich 72° 10′. Ebenso verfährt man im Dreiecke $bed$; denn es bleiben die Seiten $bd$ und $de$ immer den früheren gleich, der Winkel $bde$ ist aber gleich 2° 50′ gegeben; folglich ist $be$ gleich 9314, wenn $db$ gleich 10000 und der Winkel $dbe$ gleich 12′. So erweist sich auch in dem Dreiecke $elb$, in welchem zwei Seiten und der Winkel $ebl$ gleich 177° 22′ gegeben sind, der Winkel $leb$ gleich 4′. Zieht man die Summe 16′ von dem Winkel $fdb$ ab; so bleiben 176° 54′ gleich dem Winkel $fel$; zieht man davon $ked$ gleich 72° 10′ ab, so bleiben 104° 44′ für den Winkel $kel$, was mit dem erscheinenden Winkel zwischen der ersten und zweiten Beobachtung nahe übereinstimmt. Ebenso erweist sich bei dem dritten Orte aus dem Dreiecke $cde$, dessen Seiten $cd$ und $de$ nebst dem Winkel $cde$ gleich 30° 36′ gegeben sind, die Basis $ec$ gleich 9410, und der Winkel $dcc$ gleich 2° 8′, und daraus der ganze $ecm$ gleich 147° 44′, welcher in dem Dreiecke $ecm$ liegend, den Winkel $cem$ gleich 39′ ergiebt, also den Aussenwinkel $dxe$, als gleich den beiden inneren gegenüberliegenden $ecx$ und $cex$, gleich 2° 47′; um diesen Winkel ist $dem$ kleiner als $fdc$, so dass $gem$, als Rest, gleich 33° 23′; folglich ist der ganze Winkel $lem$ gleich 36° 29′, welches mit dem, zwischen der zweiten und dritten Opposition beobachteten auch übereinstimmt. Da aber der Planet bei dieser dritten Opposition in 7° 45′ stand, und dieselbe, wie abgeleitet ist, um 33° 23′ von der kleinsten Abside entfernt liegt, so zeigt sich, dass der Ort der grössten Abside, als Ergänzung zum Halbkreise in 154° 22′ liegt.

Nun werde um $e$ die Jahresbahn der Erde $rst$ beschrieben, und der Durchmesser $set$ parallel mit $dc$ gezogen. Es war aber der Winkel $gdc$ gleich 30° 36′, diesem ist $ges$ gleich, und weil der Winkel $dxe$ gleich $res$, so ist der Bogen $rs$ gleich 2° 47′, als Abstand des Planeten vom mittleren Perigeum der Erdbahn; also steht er von der grössten Abside der Bahn um den ganzen Bogen $tsr$ gleich 182° 47′ ab. Hierdurch wird also festgestellt, dass um die Stunde der im ersten Jahre des Antoninus am 20sten Tage des ägyptischen Monats Athyr, 5 Stunden nach Mitternacht aufgezeichneten Opposition des Jupiter, der Planet Jupiter, gemäss seiner parallactischen Anomalie in 182° 47′ stand. Sein gleichmässiger Ort war in Länge 4° 58′ und der Ort der grössten Abside des excentrischen Kreises lag in 154° 22′. Alles dieses stimmt mit unsrer Annahme von der Bewegung der Erde und von der Gleichmässigkeit auf das Vollkommenste überein.

Capitel 11.

Ueber drei andere neuerlich beobachtete Oppositionen des Jupiter.

Den dreien damals verzeichneten und auf diese Weise untersuchten Oertern des Jupiter wollen wir drei andere an die Seite stellen, welche wir ebenfalls mit der grössten Sorgfalt bei den Oppositionen des Jupiter beobachtet haben. Erstens im Jahre Christi 1520 den 30sten April 11 Stunden nach der vorhergehenden Mitternacht in 200° 18′ der Fixstern-Sphäre. Zweitens im Jahre Christi 1526 den 28sten November 3 Stunden nach Mitternacht in 48° 34′. Drittens im Jahre Christi 1529 den 1sten Februar 19 Stunden nach

Mitternacht in 113° 44′. Von der ersten bis zur zweiten Beobachtung sind es 6 ägyptische Jahre 212 Tage 40^I[56], in welcher Zeit eine Bewegung des Jupiter von 208° 16′^[57] beobachtet ist. Zwischen der zweiten und dritten liegen 2 ägyptische Jahre 66 Tage 39^I[56] und eine scheinbare Bewegung des Planeten von 65° 10′^[57]. Die gleichmässige Bewegung ist aber im ersten Zeitraume 199° 40′^[58], im zweiten 66° 10′^[59].

Für dieses Beispiel werde der excentrische Kreis $abc$ beschrieben, in welchem wir uns den Planeten einfach und gleichmässig sich bewegend denken. Die drei beobachteten Oerter werden durch die Ordnung der Buchstaben $a$, $b$ und $c$ bezeichnet, so dass der Bogen $ab$ gleich 199° 40′, $bc$ gleich 66° 10′ und folglich der Rest $ac$ gleich 94° 10′ ist. Ferner sei $d$ der Mittelpunkt der Jahresbahn der Erde; man ziehe $ad$, $bd$ und $cd$, von denen irgend eine z. B. $db$, bis zum entgegengesetzten Bogen der Peripherie verlängert wird, das sei $bde$; man ziehe nun noch $ac$, $ae$ und $ce$. Da nun der beobachtete Winkel $bdc$ gleich 65° 10′, von denen 360° auf vier Rechte am Mittelpunkte kommen: so ist auch der Rest $cde$ gleich 114° 50′. Kommen aber 360° auf zwei Rechte, wie an der Peripherie, so ist derselbe 229° 40′, und der Winkel ced auf den Bogen $bc$ gleich 66° 10′, und folglich der Winkel $dce$ gleich 64° 10′. In dem Dreiecke $cde$ von gegebenen Winkeln, ergeben sich also die Seiten: $ce$ gleich 18150 und $ed$ gleich 10918, wenn der Durchmesser des um das Dreieck beschriebenen Kreises gleich 20000 ist. Da ebenso der Winkel $adb$ gleich 151° 54′, als Rest, welcher bleibt, wenn man den beobachteten Abstand der ersten von der zweiten Opposition, vom ganzen Kreise abzieht, — gegeben ist: so ist in dem Dreiecke $ade$ der Winkel $ade$ 28° 6′, als Winkel am Mittelpunkte, dagegen als an der Peripherie 56° 12′; und zieht man die Summe von $ade$ gleich 56° 12′ und von $bca$ gleich 160° 20′ von 360° ab, so bleibt als Rest $ead$ gleich 143° 28′, woraus sich die Seiten: $ae$ gleich 9420 und $ed$ gleich 18992 ergeben, wenn der Durchmesser des um das Dreieck $ade$ beschriebenen Kreises gleich 20000 ist. Wenn aber $ed$ gleich 10918, so wird $ae$ gleich 5415 solcher Theile, von denen $ce$ 18150 enthält. Wir haben also wieder in dem Dreiecke $eac$ die Seiten $ea$ und $ec$, so wie den Winkel $aec$, durch den Bogen $ac$, gleich 94° 10′ gegeben. Daraus ergiebt sich der Winkel $ace$, als über dem Bogen $ae$, gleich 30° 40′, welcher mit $ac$ die Summe 124° 50′ giebt, dessen Sehne $ce$ gleich 17727 solcher Theile wird, deren der Durchmesser des excentrischen Kreises 20000 enthält. Und nach dem vorhin gegebenen Verhältnisse wird $de$ gleich 10665 derselben Theile; der ganze Bogen $bcae$ aber ist gleich 191°, folglich der Rest des Kreises, $eb$ gleich 169°, und dazu die ganze Sehne $bde$ gleich 19908, während $bd$ gleich 9243 ist. Da also das Segment $bcae$ das grössere ist: so enthält es den Mittelpunkt, welcher in $f$ liegen mag. Nun werde der Durchmesser $gfdh$ gezogen,

und es ist das Rechteck $ed$ mal $db$ gleich $gd$ mal $dh$, welches letztere hierdurch gegeben ist. Weil aber $gd$ mal $dh$ nebst dem Quadrate von $fd$ gleich ist dem Quadrate von $fdh$, so bleibt, wenn man von diesem das Rechteck $gd$ mal $dh$ abzieht, das Quadrat von $fd$. Hiernach ist die Länge von $fd$ gleich 1193 Theilen, von denen auf $fg$ 10000 kommen; wäre aber $fg$ gleich 60, so würde $fd$ gleich 7.9^I. Nun halbiren wir $be$ in $k$ und ziehen $fkl$, so steht dieselbe auf $be$ rechtwinkelig, und weil die Hälfte $bdk$ gleich 9954 und $db$ gleich 9243: so bleibt $dk$ gleich 711. In dem Dreiecke $dfk$, dessen Seiten gegeben sind, ist also der Winkel $dfk$ gleich 36° 35′ und der Bogen $lh$ also ebenfalls gleich 36° 35′. Der ganze Bogen $lhb$ ist aber 84° 30′, folglich $bh$ gleich 47° 55′, als Abstand des zweiten Ortes vom Perigeum und der Rest, also der Abstand vom Apogeum, $bcg$ gleich 132° 5′; zieht man hiervon $bc$ gleich 65° 10′ ab: so bleibt $cg$ gleich 66° 55′ als Abstand des dritten Ortes vom Apogeum; dies von $ac$ gleich 94° 10′, bleibt 27° 15′, als Abstand des ersten Ortes des Epicykels vom Apogeum. Dies stimmt freilich wenig mit den Erscheinungen, da der Planet nicht in dem angenommenen excentrischen Kreise sich bewegt, so dass diese Ableitungsmethode, weil sie sich auf ein unrichtiges Princip stützt, nichts Richtiges liefern kann. Dafür ist unter Andern auch dies ein Zeichen, dass dieselbe beim Ptolemäus für den Saturn eine Distanz der Mittelpunkte ergiebt, welche grösser als die wahre ist, für den Jupiter eine kleinere; bei uns dagegen auch für diesen eine grössere, woraus deutlich hervorgeht, dass wenn man bei einem und demselben Planeten immer andere Kreisbogen nimmt, das Gesuchte sich nicht in derselben Weise ergiebt. Es war nicht anders möglich, die gleichmässige und die erscheinende Bewegung des Jupiter für die drei vorliegenden und später für jeden Punkt zu construiren, als wenn wir die ganze Abweichung der Excentricität der Mittelpunkte so annahmen, wie sie vom Ptolemäus überliefert ist, nämlich gleich 5^p 30^I, wenn der Radius des excentrischen Kreises gleich 60^p, oder gleich 917, wenn der Radius gleich 10000 ist, und dass die Bogen: von der grössten Abside bis zur ersten Opposition gleich 45° 2′, von der kleinsten Abside bis zur zweiten gleich 64° 42′ und von der dritten Opposition bis zur grössten Abside gleich 49° 8′ genommen wurden. Nun construire man wieder die frühere excentrisch-epicyklische Figur, mit den Abänderungen jedoch, welche unser Beispiel erheischt. Nach unserer Annahme werden nun drei Viertel der ganzen Entfernung der Mittelpunkte, also 687 Theile, auf $de$ kommen, und das letzte Viertel, also 229, auf den Radius des Epicykels, während $fd$ gleich 10000 ist. Da nun der Winkel $adf$ gleich 45° 2′, so sind in dem Dreiecke $ade$ zwei Seiten, $ad$ und $de$, nebst dem Winkel $ade$ gegeben, woraus die dritte Seite $ae$ gleich 10496, während $ad$ gleich 10000, und der Winkel $dae$ gleich 2° 39′ hervorgehen. Da ferner der Winkel $dak$ gleich $adf$ vorausgesetzt ist, so wird der ganze Winkel $eak$ gleich 47° 34′; und dieser nebst den beiden gegebenen Seiten $ak$ und $ae$, ergeben in dem Dreiecke $aek$ den Winkel $aek$ gleich 57′. Zieht man denselben und auch noch den Winkel $dae$ von $adf$ ab, so

bleibt $ked$ gleich 41° 26′ für die erste Opposition.

Ebenso erweist sich in dem Dreiecke $bde$, in welchem die Seiten $bd$ und $de$ nebst dem Winkel $bde$ gleich 64° 42′ gegeben sind, die dritte Seite $be$ gleich 9725, wenn $bd$ gleich 10000, und der Winkel $bde$ gleich 3° 40′. Ferner in dem Dreiecke $bel$, dessen Seiten $be$ und $bl$, nebst dem ganzen Winkel $ebl$ gleich 118° 58′ gegeben sind, ist der Winkel $bel$ gleich 1° 10′ und hieraus der Winkel $del$ gleich 110° 28′. Es war aber $aed$ gleich 41° 26′, folglich ist der ganze Winkel $kel$ gleich 151° 54′, und was hiervon an vier Rechten oder 360° fehlt, nämlich 208° 6′, ist der erscheinende Winkel zwischen der ersten und zweiten Opposition, was mit den Beobachtungen übereinstimmt. In derselben Weise sind, für den dritten Ort, in dem Dreiecke $cde$ die beiden Seiten $dc$ und $de$ nebst dem Winkel $cde$ gleich 130° 52′, wegen des Winkels $fdc$, gegeben; daraus geht die dritte Seite de gleich 10463, wenn $cd$ gleich 10000, und der Winkel $dce$ gleich 2° 51′ hervor. Folglich ist der ganze Winkel $ecm$ gleich 51° 59′. Ferner sind auch in dem Dreiecke $ecm$ die beiden Seiten $cm$ und $ce$ nebst dem Winkel $mce$ gegeben, daraus ergiebt sich $mec$ gleich 1° und die Summe von diesem nebst dem früher gefundenen $dce$ ist gleich der Differenz zwischen den Winkeln $fdc$ und $dem$, d. h. zwischen den Winkeln der gleichmässigen und der erscheinenden Bewegung; folglich ist der Winkel $dem$ selbst gleich 45° 17′ für die dritte Opposition. Es ist aber schon gezeigt, dass $del$ gleich 110° 28′, also ist der Rest $lem$ gleich 65° 10′, als der Winkel zwischen der zweiten und dritten Opposition, welches ebenfalls mit den Beobachtungen übereinstimmt. Da aber der dritte Ort Jupiters in 113° 44′ der Fixsternsphäre beobachtet ist, so liegt der Ort der grössten Abside Jupiters etwa in 159°. Construiren wir um den Punkt $e$ die Erdbahn $rst$, deren Durchmesser $res$ parallel $dc$ ist: so ist klar, dass der Winkel $fdx$ gleich 49° 8′ gleich $des$, und dass in $r$ das Apogeum für die gleichmässige parallactische Bewegung ist.

Wenn nun die Erde den Halbkreis und den Bogen $st$ durchlaufen hat, so tritt sie in Conjunction mit dem Jupiter, der also in Opposition mit der Sonne steht. Dieser Bogen $st$ ist aber gleich 3° 51′, weil der Winkel $set$ als von dieser Grösse erwiesen ist. Hieraus ist also klar, dass im Jahre Christi 1529 den 1sten Februar 19 Stunden nach Mitternacht der Ort der gleichmässigen parallactischen Anomalie Jupiters in 183° 51′, der Ort seiner eigenen Bewegung aber in 109° 52′ lag und das Apogeum des excentrischen Kreises um etwa 159° vom Horn des Widders abstand, was wir suchten.

Capitel 12.

Bestätigung der gleichmässigen Bewegung des Jupiter.

Es ist aber weiter oben schon gesehen, dass bei der letzten der drei von Ptolemäus beobachteten Oppositionen, der Planet Jupiter, seiner mittleren Bewegung nach, in 4° 58′, und seiner parallactischen Anomalie nach, in 182° 47′ stand. Hieraus geht hervor, dass in der Zwischenzeit zwischen den beiden Beobachtungen^[60] bei der parallactischen Bewegung Jupiters, ausser den ganzen Umläufen, noch 1° 5′, und bei seiner eigenen Bewegung ungefähr 104° 54′ erwuchsen. Die Zeit aber, welche von dem ersten Jahre des Antoninus den 20sten des ägyptischen Monats Athyr 5 Stunden nach Mitternacht bis zum Jahre Christi 1529 den 1sten Februar 19 Stunden nach Mitternacht verflossen ist, beträgt 1392 ägyptische Jahre 99 Tage 37^I[61]; und diese Zeit entspricht nach der oben dargelegten Berechnung 1° 5′, ausser den ganzen Umläufen, bei welchen die Erde den Jupiter 1276^[62] mal überholt hat; hieran haben wir also die sichere und geprüfte Zahl, welche mit den Beobachtungen übereinstimmt. In derselben Zeit ist aber sowohl die grösste, als auch die kleinste Abside des excentrischen Kreises um 4° 30′^[63] vorgerückt. Vertheilt man dies gleichmässig, so ergiebt sich in 300 Jahren ungefähr 1°.

Capitel 13.

Feststellung der Oerter für die Bewegung des Jupiter.

Nun beträgt aber die Zeit von der dritten Beobachtung, im ersten Jahre des Antoninus den 20sten Athyr 4 Stunden nach Mitternacht, rückwärts bis auf den Anfang der Jahre Christi gerechnet, 136 ägyptische Jahre 314 Tage 10^I[64] während derselben war die mittlere parallactische Bewegung 84° 31′^[65], zieht man diese von 182° 47′ ab: so bleiben 98° 16′ für die Mitternacht des ersten Januar am Anfange der Jahre Christi. Von da bis zum Anfange der Olympiaden berechnet sich in 775 ägyptischen Jahren 12 Tagen 12 Stunden die Bewegung ausser den ganzen Umläufen auf 70° 58′; zieht man diese von 98° 16′ ab, so bleiben 27° 18′ als Ort der Olympiaden. Von da erwachsen in 451 Jahren 247 Tagen. 110° 52′, diese zu dem Orte der Olympiaden addirt, geben 138° 10′, als Ort Alexanders um Mittag des ersten Thoth der Aegypter; und auf dieselbe Weise ergeben sich die Oerter für jede beliebige Epoche.

Capitel 14.

Ueber die Ermittelung der Parallaxen Jupiters, und seiner Entfernung im Vergleiche zu dem Radius der Erdbahn.

Um aber auch die übrigen Erscheinungen in Bezug auf den Jupiter zu ermitteln, welche von der Parallaxe abhängen, haben wir im Jahre Christi 1520 den 18ten Februar 6 Stunden vor Mittag seinen Ort auf das Sorgfältigste beobachtet. Wir fanden durch das Instrument, dass Jupiter dem helleren ersten Sterne an der Stirn des Scorpion^[66] um 4° 31′ voraus war, und da der Ort dieses Fixsterns 209° 40′ ist, so ergiebt sich der Ort Jupiters zu 205° 9′ in Bezug auf die Fixsternsphäre.

Es sind aber vom Anfange der Jahre Christi 1520 gleichmässige Jahre 62 Tage 15^I bis zur Stunde dieser Beobachtung verflossen, woraus sich die mittlere Bewegung der Sonne zu 309° 16′, die parallactische Anomalie aber zu 111° 15′ berechnet, wodurch der mittlere Ort des Planeten Jupiter in 198° 1′ gefunden wird. Und da der Ort der grössten Abside des excentrischen Kreises zu unserer Zeit in 159° sich ergeben hat, so betrug die Anomalie des excentrischen Kreises des Jupiter 39° 1′. Für dieses Beispiel werde der excentrische Kreis $abc$ um den Mittelpunkt $d$ beschrieben, und der Durchmesser $adc$ gezogen, $a$ sei das Apogeum, $c$ das Perigeum, und deshalb liege der Mittelpunkt der Erdbahn in $e$. Der Bogen $ab$ werde gleich 39° 1′ gemacht und um den Mittelpunkt $b$ der Epicykel beschrieben, so dass $bf$ den dritten Theil des Abstandes $de$ beträgt. Auch werde der Winkel $dbf$ gleich $adb$ gemacht und die Linien $bd$, $be$ und

$fe$ gezogen. In dem Dreiecke $bde$ sind also die Seite $de$ gleich 687, $bd$ gleich 10000, und der von ihnen eingeschlossene Winkel $bde$ gleich 140° 59′ gegeben. Hieraus berechnet sich die Basis $be$ zu 10543 derselben Theile und der Winkel $dbe$ zu 2° 21′, um welchen der Winkel $bed$ vom Winkel $adb$ verschieden ist. Folglich ist der ganze Winkel $ebf$ gleich 41° 22′. Daher ist in dem Dreiecke $ebf$ der Winkel $ebf$ nebst den ihn einschliessenden Seiten $eb$ gleich 10543 und $bf$ gleich 229, als dem dritten Theile des Abstandes $de$, bekannt, während $bd$ gleich 10000 ist. Es ergiebt sich hieraus die dritte Seite $fe$ gleich 10373 und der Winkel $bef$ gleich 50′. Da sich aber die Linien $bd$ und $fe$ in $x$ schneiden, so ist der Winkel $dxe$ die Differenz zwischen $fed$ und $bda$, d. h. der mittleren und der wahren Bewegung. Zieht man die Summe der Winkel $dbe$ und $bef$, also 3° 11′, von 39° 1′ ab: so bleibt der Winkel $fed$ gleich 35° 50′, als Abstand des Planeten von der grössten Abside. Der Ort der grössten Abside war aber 159°, dies addirt, giebt 194° 50′. Dies war der wahre Ort Jupiters in Bezug auf den Mittelpunkt $e$; gesehen wurde er aber in 205° 9′, die Differenz von 10° 19′ machte also die Parallaxe aus. Nun werde die Erdbahn $rst$ um den Mittelpunkt $e$ construirt, und der Durchmesser $ret$ parallel mit $db$ gezogen so dass $r$ das parallactische Apogeum ist. Der Bogen $rs$ werde nach Maassgabe der mittleren parallactischen Anomalie gleich 111° 15′ gemacht, und $fe$ über $e$ hinaus bis $v$ im entgegengesetzten Bogen der Erdbahn verlängert, dann wird in $v$ das wahre Apogeum des Planeten sein, und die Winkeldifferenz $rev$, gleich $dxe$, ergiebt den ganzen Bogen $vrs$ zu 114° 26′ und das Supplement $fes$ gleich 65° 34′. Da aber $efs$ gleich 10° 19′ gefunden ist, so ist $fse$ gleich 104° 7′. Da also in dem Dreiecke $efs$ die Winkel gegeben sind, so ist auch das Verhältniss der Seiten bekannt, nämlich $fe$ zu $es$ wie 9698 zu 1791; ist also $fe$ gleich 10373, so ist es gleich 1916, während $bd$ gleich 10000. Ptolemäus aber fand $es$ gleich 11. 30^I, wenn der Radius gleich 60 war, dies ist auch ungefähr das Verhältniss von 10000 zu 1916, und deshalb besteht zwischen ihm und uns keine Differenz. Der Durchmesser $adc$ verhält sich also zum Durchmesser $ret$ wie 5.13^I zu 1. Ebenso verhält sich $ad$ zu $es$ oder zu $re$ wie 5. 13^I 9^II zu 1., folglich ist $de$ gleich 21^I 29^II und $bf$ gleich 7^I 10^II. Also verhält sich die ganze Linie $ade$ weniger $bf$, d. h. die Entfernung Jupiters im Apogeum, zum Halbmesser der Erdbahn, wie 5. 27^I 29^II zu 1., und die Summe von $ec$ und $bf$, als Entfernung im Perigeum, ist 4. 58^I 49^II", und für die mittleren Oerter je nach Maassgabe derselben. Hieraus ergiebt sich auch, dass die grösste Parallaxe Jupiters im Apogeum gleich 10° 35′, im Perigeum gleich 11° 35′ ist. Zwischen beiden besteht ein Unterschied von 1°. Hiermit sind sowohl die gleichmässigen als auch die erscheinenden Bewegungen Jupiters entwickelt.

Anmerkungen [des Übersetzers]

1. ³³⁸) Im Manuscripte waren, nach der Säc.-Ausg., hier die einleitenden Worte dieses Buches abgeschlossen, und das erste Capitel, unter derselben Ueberschrift, welche, wie in den übrigen Ausgaben, so auch in der Uebersetzung beibehalten ist, begann mit folgenden Worten: „Da nun die Planeten in verschiedenen Weisen nach Länge und Breite sich bewegen, und ihre Abweichungen nach beiden Seiten hin ungleichmässig und scheinbar sind, so war es der Mühe werth, ihre mittleren und gleichmässigen Bewegungen zu entwickeln, um aus denselben den Unterschied der Ungleichmässigkeit ableiten zu können. Um aber die Gleichmässigkeit zu erfahren, muss man die Umlaufszeiten kennen, in welchen die einer vorhergehenden ähnliche Ungleichmässigkeit wiederkehrt, wie wir das bei der Sonne und dem Monde ausgeführt haben.“ Vergl, Säc.-Ausg. pag. 307. Anm.
2. ³³⁹) An dieser Stelle fährt das Manuscript so fort: „und die unter einander so zusammenhängenden Bewegungen beider verrathen und ergeben die einfache Bewegung der Erde, die man der Sonne zuschreibt, sintemal man in dem ganzen Werke und hier besonders eingedenk sein muss, dass das, was man im gemeinen Leben von der Bewegung der Sonne sagt, immer von der Bewegung der Erde zu verstehen ist.“ Vergl. Säc.-Ausg. pag. 308.
3. ³⁴⁰) Almagest IX. 3.
4. ³⁴¹) Die Zahlen der hier folgenden Tafeln stimmen mit den aus dem Manuscripte in das erste Capitel dieses Buches übertragenen nicht in allen Theilen überein. Die alten Ausgaben haben diese Zahlen aus den Tafeln in den Text aufgenommen, die Säc.-Ausg. hat sich an das Manuscript gehalten, und die vorliegende Uebersetzung ist darin der Säc.-Ausg. gefolgt.
5. ³⁴²) Buch IV. Cap. 2.
6. ³⁴³) Die Sätze des Apollonius von Perga, auf welche Copernicus sich hier bezieht, finden sich: Almagest XII. 1.
7. ³⁴⁴⁾ Die hier nachgewiesene Abweichung vom Kreise erinnert an die Ellipse, und Kepler sagt darüber in seinem Werke De motibus stellae Martis I Cap. 4, wo er überhaupt dies ganze Capitel des Copernicus bespricht: „Hanc exorbitationem itineris planetarii a perfectione circuli Ptolemaeus Copernico jure objecerit: ego non objicio. Nam infra demonstrabitur parte quarta, physicis duabus virtutibus potestate simplicibus ad movendum planetam concurrentibus necessario effici, ut planeta a circulo parumper deflectat, non excurrendo quidem, ut in hac hypothesi Copernicana, sed contrariam in plagam ad centrum, sc. ingrediendo.“
8. ³⁴⁵) Die hier benutzten alten Beobachtungen finden sich im Almagest XI. 5. Das Datum der ersten ist in dem lateinischen Texte aller Ausgaben des Copernicus auf den 7ten Mechyr angegeben, während im Almagest a. a. O. der 7te Pachon gelesen wird. Legt man diese Lesart des Almagest zu Grunde, und reducirt auf das christliche Datum: so hat man, weil die Epoche der Aera Nabonassar’s (vergl. Ideler, historische Untersuchungen über die Beobachtungen der Alten pag. 22) im Jahre 747 vor Christo am 26sten Februar 12^h Mittags Alexandriner Zeit fällt:

   	746a	309d	römisch vor Christo
   dazu die Schalttage		186d
   ergiebt	747a	130d	ägyptisch vor Christo.

   Vom Anfange der Aere Nabonassers bis Hadrian sind verflossen	863a	ägyptisch
   die Beobachtung liegt im 11ten Jahre Hadrians, also kommen hinzu	010	„
   ergiebt	873a	ägyptisch.
   Der Monat Pachon ist der 9te, es sind also verflossen 8 Monate =		240d
   und vom Monat Pachon noch		006d
   ergiebt	873a	246d	ägyptisch.

   Man hat also von Nabonassar bis zur Beobachtung	873a	246d
   davon ab von Nabonassar bis Christus	747	130
   bleiben	126a	246d	ägyptisch,
   davon ab die Schalttage		031
   bleiben	126a	085d	römisch

   von Christus bis zur Beobachtung, d. h. die Beobachtung fand statt im Jahre Christi 127 den 26sten März. Und auf dieses christliche Datum hat Copernicus auch die erste Beobachtung des Ptolemäus reducirt, folglich hat ihm das ägyptische Datum, wie es sich im Almagest findet, vorgelegen, und der Monatsname Mechyr für Pachon ist ein Schreibfehler, der auch in das Original-Manuscript, welches der Säc.-Ausg. zu Grunde liegt, übergegangen ist.

9. ³⁴⁶)

   Ptolemäus giebt a. a. O. den Ort des Saturn in 1° 13′ ♎︎ an, d. h.	181° 13′
   vom Frühlingsnachtgleichenpunkte, dieser Punkt steht von γ des Widders für Ptolemäus um	006° 40	ab,
   also war der Ort Saturns zur Zeit dieser Opposition von γ des Widders gerechnet	174° 33′,

   wofür im Text 174° 40′ gelesen wird.

10. ³⁴⁷) Im Almagest a. a. O. ist gesagt: „post meridiem diei 18 quatuor horis“, dies ergiebt nach Abzug von einer Stunde, wodurch Copernicus die Alexandriner Zeit auf Krakauer zu reduciren pflegt, 3 Uhr Nachmittags, also 15 Stunden nach Mitternacht Krakauer Zeit. Dies stimmt auch mit der ferneren Rechnung sowohl des Ptolemäus, als auch des Copernicus überein, welche zwischen der ersten und zweiten Beobachtung ausser den Jahren und Tagen 22 Stunden ansetzen. Nun ist aber 17 + 22 = 39 und davon ab 24 ergiebt 15 Stunden nach Mitternacht. — Im Texte des Copernicus Säc.-Ausg. pag. 328 linea 14 muss also quindecim statt undecim gelesen werden, was sich auch zwei Zeilen später in allen Ausgaben bestätigt.
11. ³⁴⁸)

    Ptolemäus a. a. O. hat für diesen Ort Saturns ♐︎ 9° 40′ d. h.	249° 40′	vom ♈︎,
    davon ab die Länge von γ des Widders nach Ptolemäus, nämlich	006° 40′
    giebt den Abstand Saturns bei der zweiten Opposition von γ des Widders	243° 00′,
    wofür im Texte aller Ausgaben 243° 3′ steht.

12. ³⁴⁹)

    Ptolemäus giebt diesen Ort Saturns ♑︎ 14° 14′ an d. h.	284° 14′	vom ♈︎,
    davon ab die Länge von γ des Widders	006° 40
    giebt den Abstand Saturns bei der dritten Opposition von γ des Widders	277° 34′,
    wofür im Texte aller Ausgaben 277° 37′ steht.

13. ³⁵⁰) Die Zeiten aller drei Oppositionen liegen nach der Nabonassarischen Aere, in ägyptischen Jahren ausgedrückt:

    1, 873a 246d 6h 2, 879a 317d 4h 3, 882a 353d 0h

    Differenz 6a 70d 22h oder 55I Differenz 3a 35d 20h oder 50I

14. ³⁵¹) Die Oerter des Saturn bei allen drei Oppositionen sind nach den Aufstellungen des Copernicus

    1, 174° 40′ 2, 243° 03 3, 277° 37

    Differenz 68° 23′, die Baseler Ausgabe hat hier fälschlich 58° 23′ Differenz 34° 34′

15. ³⁵²) Nach der Tafel über die parallactische Bewegung des Saturn Buch V Cap. 1 erhält man für

    6a	285° 12′ 18″ 58‴
    60d	057° 07′ 44″ 05
    10d	009° 31′ 17″ 20
    55I	000° 52′ 22″ 05‴ 24⁗
    zusammen	352° 43′ 42″ 28‴ 24⁗,	wofür im Texte 352° 44′ steht, dies von 360° abgezogen,
    giebt	007° 16′ 17″ 31‴ 36⁗,	hierzu die Differenz aus Anm. 351)
    	068° 23′
    giebt	075° 39′, wie im Text.

16. ³⁵³) In derselben Weise, wie in Anm. ³⁵²) ergiebt sich die parallactische Bewegung des Saturn für

    3a	322° 36′ 09″ 29‴
    35d	033° 19′ 30″ 42
    50I	000° 47′ 36″ 26‴ 44⁗
    zusammen	356° 43′ 16″ 37‴ 44⁗,	wofür im Texte 356° 43′ steht, dies von 360° abgezogen,
    giebt	003° 16′ 43″ 22‴ 16⁗,	hierzu die Differenz aus Anm. 351)
    	034° 34
    giebt	037° 50′ 43″ dafür im Text 37° 51′.

17. ³⁵⁴) Diese Angaben finden sich im Almagest XI. 5. gegen Ende, lauten aber dort in derselben Reihenfolge so: 57° 5′, 18° 38′, 59° 30′.
18. ³⁵⁵) Almagest XI. 6.
19. ³⁵⁶) Für diese Zahl steht im Manuscript und in der Nürnberger und Baseler Ausgabe 1016; die im Texte der Uebersetzung aufgenommene Angabe der Säc.-Ausg. 1139 ist aber die richtige, denn die Proportion 60 : 65/6 = 10000 : $x$ ergiebt $x$ = 1138,88… und nicht 1016. Auch beziehen sich die in den eben bezeichneten Ausgaben selbst gleich folgenden Zahlen auf den richtigen Werth $x$ = 1139, und passen nicht zu 1016, denn 3/4 $\times$ 1138,888… ist = 854,166… und 1/4 $\times$ 1138,88… ist = 284,722…, für welche letztere Zahl im Texte 285 gebraucht wird.
20. ³⁵⁷) In den alten Ausgaben steht hier 18° 26′, das Druckfehlerverzeichniss der Nürnberger Ausgabe, das Manuscript und die Säc.-Ausg. lesen 18° 36′, die Warschauer Ausgabe hat allein 18° 38′. Die übrigen Zahlenangaben über die hier zu berücksichtigenden Winkel lassen sich nur mit der letzteren Lesart vereinigen: denn der Nebenwinkel $bdf$ von dem Winkel $bde$, welcher 161° 22′ betragen soll, kann nur 18° 38′ sein, ebenso bedingen die inneren Winkel $ebd$ = 1° 27′ und $bed$ = 17° 11′ den Aussenwinkel $bdf$ = 18° 38′ u. s. w. Deshalb ist in dem Texte der Uebersetzung dieser Winkel = 18° 38′ gesetzt.
21. ³⁵⁸) In allen Ausgaben ohne Ausnahme steht zwar hier terrae statt solis, dennoch erfordert der Sinn der Stelle solis, und ist im Texte der Uebersetzung danach verfahren.
22. ³⁵⁹)

    Das erste Datum dieser Beobachtungen giebt	1513a	124d	22h	48m	römisch
    dazu die Schalttage		378
    giebt	1514a	137d	22h	48m	ägyptisch
    Die zweite Opposition soll um	0006	070	13	12	ägyptisch später
    fallen, also	1520a	208d	12h	00m	ägyptisch n. Chr.
    davon ab die Schalttage		379
    bleibt	1519a	194d	12h	00m	röm. n. Christus

    dies führt aber auf das Jahr Christi 1520 den 13ten Juli, oder tertio Idus Julii, wie im Texte steht. Die in den Anmerkungen der Säc.-Ausg. pag. 333 zu lin. 2 mitgetheilte Lesart des Original-Manuscripts: decimo Kalendis Augusti ante meridiem, würde den 23ten statt des 13ten Juli als Datum der zweiten Beobachtung bezeichnen, was mit den übrigen Zahlenangaben dieses Capitels nicht zu vereinbaren sein würde.

    Die dritte Opposition soll	0007a	089d	18h	24m	ägyptisch später
    fallen, als die zweite, addirt man also	1520	208	12	00	ägyptisch
    so erhält man	1527a	298d	06d	24m	ägyptisch
    davon ab die Schalttage		381
    bleibt	1526a	282d	06h	24m	römisch nach Christus

    und dies führt auf das Jahr Christi 1527 den 10ten October, was auch mit dem Texte: sexto Idus Octobris, übereinstimmt.

23. ³⁶⁰)

    Der erste Ort Saturns ist	205° 24′,	der zweite soll davon um
    	068° 01′	unterschieden sein, so liest die Säc.-Ausgabe p. 333 lin. 8. und das Druckfehlerverzeichniss der Nürnberger Ausgabe, während die Baseler Ausgabe den Druckfehler der Original-Ausgabe 78° 1′ beibehalten hat.
    Dies giebt	273° 25′,	wie in der Säcular-Ausgabe steht, die alten Ausgaben lesen fälschlich 272° 25′.
    Der dritte Ort Saturns ist um	086° 42′	davon unterschieden,
    dies giebt	360° 07′,	wie die Säcular-Ausgabe pag. 333 lin. 5 liest.

24. ³⁶¹) Nach den Tafeln der parallactischen Bewegung des Saturn Buch V. Cap. 1 erhält man

    für	6a		285° 12′ 18″ 58‴
    60d			057° 07′ 44″ 05
    10d			009° 31′ 17″ 20
    33I			000° 31′ 25″ 15‴ 14⁗
    zusammen			352° 22′ 45″ 38‴ 14⁗	als die parall. Bewegung
    dies abgezogen von			360°
    bleibt			007° 37′ 14″ 21‴ 46⁗
    dazu die erscheinende Bewegung			068° 01
    giebt als mittlere Bewegung			075° 38′, wofür im Texte 75° 39′ steht.

25. ³⁶²) Nach denselben Tafeln wie in vor. Anm. erhält man

    für	7a		272° 44′ 22″ 07‴
    60d			057° 07′ 44″ 05
    29d			027° 36′ 44″ 18
    46I			000° 43′ 47″ 55‴ 47⁗
    giebt als parall. Bew.			358° 12′ 38″ 25‴ 47⁗
    dies ab von			360
    bleibt			001° 47′ 21″ 34‴ 13⁗
    dazu die erscheinende Bew.			086° 42′
    giebt die mittlere Bewegung			088° 29′, mit dem Texte	übereinstimmend.

26. ³⁶³) Die Berechnung durch Logarithmen der Sinusse ergiebt:

    log sin 93° 18′ = log sin 86° 42′ =	9.99928-10
    dazu log 20000 =	4.30103
    	4.300