Nicolaus Coppernicus aus Thorn über die Kreisbewegungen der Weltkörper/Viertes Buch

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Drittes Buch Teil B Nicolaus Coppernicus aus Thorn über die Kreisbewegungen der Weltkörper (1879)
von Nicolaus Copernicus
Fünftes Buch Teil A


[193]
Nicolaus Copernicus’ Kreisbewegungen.
Viertes Buch.

Nachdem wir in dem vorigen Buche, soviel unsere schwache Kraft vermochte, die Erscheinungen auseinander gesetzt haben, welche wegen der Bewegung der Erde um die Sonne stattfinden; und da es nun unsere Aufgabe ist, die Bewegungen aller Wandelsterne aus derselben Ursache herzuleiten: so mag jetzt der Lauf des Mondes zur Sprache kommen, und zwar deswegen, weil durch ihn, der am Tage und an der Nacht betheiligt ist, die Oerter der Sterne vorzüglich gemessen und untersucht werden; ferner weil von Allen er allein seine, freilich gleichfalls ungleichmässigen, Bewegungen im Ganzen auf den Mittelpunkt der Erde bezieht, und der Erde am verwandtesten ist, und daher an ihm, nichts von der Bewegung der Erde, ausser etwa der täglichen, bemerkt wird; so dass man aus diesem Grunde um so mehr geglaubt hat, die Erde sei der Mittelpunkt der Welt, und der gemeinsame Mittelpunkt aller Bewegungen. Wir werden zwar bei der Ableitung des Mondlaufes, insofern er um die Erde vor sich geht, von den Meinungen der Alten uns nicht entfernen, müssen aber noch einiges Andere anführen, was wir von den Alten nicht empfangen haben, was mehr im Einklange steht, und wodurch wir die Mondbewegung, so viel als möglich sicherer feststellen.

Capitel 1.
Die Hypothesen der Mondkreise nach der Ansicht der Alten.

Der Mondlauf hat das Eigenthümliche, dass er nicht den mittleren Kreis der Zeichen beschreibt, sondern einen eignen geneigten Kreis, welcher jenen in zwei gleiche Hälften theilt, und von jenem wiederum selbst geschnitten wird, wodurch er in beide Breiten übergeht. Dies verhält sich fast so, wie die Sonnenwenden bei der jährlichen Bewegung, so dass das, was für die Sonne das Jahr, für den Mond der Monat ist. Die mittleren Schnittpunkte der Ekliptik werden von Einigen Knoten genannt, und die Conjunctionen und Oppositionen von Sonne und Mond, wenn sie mit diesen zusammentreffen, heissen ekliptische; es sind beiden Kreisen keine andern

[194] Punkte als diese gemeinsam, und in diesen können Sonnen- und Mond-Finsternisse eintreten. In den andern Punkten bewirkt die Abweichung des Mondes, dass sie sich gegenseitig nicht verfinstern, noch im Vorbeigehn sich verdecken. Diese schiefe Mondbahn bewegt sich mit ihren vier Hauptpunkten gleichmässig um den Mittelpunkt der Erde, täglich um ungefähr 3′, und vollendet in 19 Jahren ihren Umlauf. In dieser Bahn und in dieser Ebene sieht man den Mond sich immer rechtläufig bewegen, aber bald sehr langsam, bald sehr geschwind. Nämlich um so langsamer, je entfernter, und um so geschwinder, je näher er der Erde ist, was an ihm leichter, als an irgend einem andern Gestirne, eben wegen seiner Nähe, erkannt werden konnte. Man nahm daher an, dass dies durch einen Epicykel entstände, indem der Mond, beim Durchlaufen desselben, in dem obern Bogen in seiner gleichförmigen Bewegung verzögert, in dem untern aber beschleunigt würde. Dass nun dasjenige, was durch den Epicykel geschieht, auch durch einen excentrischen Kreis geschehen kann, ist nachgewiesen[1]; man zog den Epicykel deswegen vor, weil der Mond eine doppelte Ungleichmässigkeit zu haben schien. Wenn er nämlich in der grössten oder kleinsten Abside des Epicykels stand: so trat eine Abweichung von der gleichmässigen Bewegung gar nicht, an den Schnittpunkten des Epicykels dagegen nicht in gleicher Weise hervor, dieselbe war nämlich weit grösser bei den Vierteln des zunehmenden oder abnehmenden Mondes, als wenn er voll oder neu war, und dies in einer bestimmten und regelmässigen Aufeinanderfolge. Deshalb nahm man an, der Kreis, in welchem der Epicykel sich bewege, habe mit der Erde nicht denselben Mittelpunkt; sondern der Mond bewege sich in einem excentrischen Epicykel nach dem Gesetze, dass bei allen mittleren Oppositionen und Conjunctionen der Sonne und des Mondes der Epicykel im Apogeum des excentrischen Kreises, bei den dazwischenliegenden Quadraturen aber in dessen Perigeum stehe.
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Man stellte sich also vor, dass zwei einander entgegengesetzte und gleichmässige Bewegungen um den Mittelpunkt der Erde stattfänden, nämlich dass der Epicykel rechtläufig und der Mittelpunkt des excentrischen Kreises oder seine Absiden rückläufig sich bewegten, während die Linie des mittleren Ortes der Sonne immer zwischen beiden in der Mitte läge. Auf diese Weise durchliefe also der Epicykel den excentrischen Kreis in jedem Monate zweimal. Um dies dem Auge darzustellen, sei der schiefe Kreis des Mondes mit dem Erdmittelpunkte homocentrisch und durch die Durchmesser und in vier Quadranten getheilt, sei der Mittelpunkt der Erde. Es liege aber in der Linie die mittlere Conjunction der Sonne und des Mondes, und in demselben Orte und zu derselben Zeit das Apogeum des excentrischen Kreises, dessen Mittelpunkt sei, und zugleich der

[195] Mittelpunkt des Epicykels . Nun bewege sich das Apogeum des excentrischen Kreises rückläufig, der Epicykel aber rechtläufig, beide gleicherweise um in gleichmässigen und monatlichen Umläufen in Bezug auf die mittleren Conjunctionen oder Oppositionen, und die Linie des mittleren Ortes der Sonne bleibe immer in der Mitte zwischen Beiden. Der Mond aber gehe wieder rückläufig von dem Apogeum des Epicykels. Wenn dies so festgesetzt wäre, meinen sie, stimme die Erscheinung damit überein. Wenn nämlich der Epicykel in einem halben Jahre zwar von der Sonne einen Halbkreis, vom Apogeum aber einen ganzen Umlauf vollendet: so folgt, dass in der Mitte dieser Zeit, d. h um die Zeit der Quadratur, beide in dem Durchmesser sich einander gegenüberstehen, und der Epicykel im excentrischen Kreise perigeisch wird, wie im Punkte , wo er, der Erde näher gekommen, grössere Unterschiede der Ungleichmässigkeit hervorbringt. Denn wenn gleiche Grössen in ungleichen Entfernungen sich befinden, so erscheinen die dem Auge näheren, grösser. Sie waren also, als der Epicykel in stand, am kleinsten, in dagegen am grössten, weil das Verhältniss des Durchmessers des Epicykels zur Linie am kleinsten, zu am grössten von allen Uebrigen an andern Oertern ist, indem die kürzeste, gleich die längste von allen Linien ist, welche vom Mittelpunkte der Erde nach dem excentrischen Kreise gezogen werden können.

Capitel 2.
Ueber die Schwäche dieser Annahmen.
Eine solche Zusammensetzung von Kreisen nehmen, als den Erscheinungen des Mondes entsprechend, die Alten wirklich an[2]. Aber wenn wir diesen Gegenstand sorgfältiger erwägen: so werden wir die Hypothese weder angemessen noch ausreichend finden, was wir durch Berechnung und Anschauung erweisen können. Während man nämlich anerkennt, dass die Bewegung des Mittelpunkts des Epicykels um den Mittelpunkt der Erde gleichmässig sei, muss man zugleich zugeben, dass dieselbe in dem Kreise, welchen sie wirklich beschreibt, ungleichmassig sei.
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Wenn man nämlich z. B den Winkel zu 45° oder zu einem halben Rechten, und dem gleich annimmt, so dass der ganze ein Rechter ist, den Mittelpunkt des Epicykels in setzt, und zieht: so ist klar, dass der Aussenwinkel grösser ist, als der innere gegenüberliegende . Deshalb werden die ungleichen Bogen und beide in derselben Zeit beschrieben; und da ein Quadrant ist, so wäre , welchen inzwischen der Mittelpunkt des Epicykels beschrieben hat, grösser als ein Quadrant. Es stand aber

[196] fest, dass bei der Quadratur des Mondes jeder von beiden Bogen, und , ein Halbkreis ist: folglich ist die Bewegung des Epicykels auf seinem excentrischen Kreise, welchen er beschreibt, ungleichmässig. Wenn dies aber so wäre, was sollten wir dann zu dem Grundsatze sagen, dass die Bewegung der himmlischen Körper gleichmässig ist, auch wenn sie ungleichmässig erscheint? Wenn nun die Bewegung des Epicykels gleichmässig erschiene, so müsste sie in der That ungleichmässig sein; es würde also das grade Gegentheil von dem zu Grunde gelegten und angenommenen Principe stattfinden. Wenn man aber einwenden wollte, dass sich der Mittelpunkt des Epicykels um den Mittelpunkt der Erde gleichmässig bewege, und dies hinreiche, um die Gleichmässigkeit zu wahren: so fragen wir, wie kommt jene Gleichmässigkeit in einen andern Kreis, da doch in diesem seine Bewegung nicht stattfindet, sondern in dem excentrischen? Ebenso setzt uns auch das mit Recht in Verwunderung, dass man die Gleichmässigkeit des Mondes selbst in dessen Epicykel, nicht in Beziehung auf den Mittelpunkt der Erde, also durch die Linie , auf welche doch die Gleichmässigkeit eigentlich bezogen werden müsste, indem dieselbe mit dem Mittelpunkte des Epicykels zusammenstimmt, erkannt wissen will; sondern in Bezug auf einen beliebigen andern Punkt, und dass man behauptet, zwischen diesem und dem Mittelpunkte des excentrischen Kreises stehe die Erde in der Mitte, und die Linie sei gleichsam ein Index der Gleichmässigkeit des Mondes im Epicykel, was ebenfalls in der That hinreicht, diese Bewegung als ungleichmässig zu erweisen. Die Erscheinungen, welche zum Theil aus dieser Hypothese folgen, nöthigen zu diesem Eingeständniss. Ebenso gut könnten wir auch untersuchen, wie die Beweisführung ausfallen würde, wenn wir, indem der Mond seinen Epicykel ungleichmässig durchliefe, die ungleichmässige Erscheinung aus der ungleichmässigen Bewegung erklären wollten. Was würden wir Anderes thun, als Denen eine Handhabe darbieten, welche unsere Wissenschaft herabsetzen? Ferner belehren uns die Erfahrung und selbst die Anschauung, dass die Parallaxen des Mondes, welche die Berechnung jener Kreise ergiebt, nicht damit im Einklange stehen. Es entstehen nämlich die Parallaxen, welche man Commutationen nennt, aus der im Vergleich zur Entfernung des Mondes sehr bemerkbaren Grösse der Erde. Wenn man nämlich von der Oberfläche und vom Mittelpunkte der Erde nach dem Monde grade Linien zieht, so werden dieselben nicht parallel erscheinen, sondern sich unter einem merklichen Winkel im Mondkörper schneiden. Dies muss nothwendig eine Verschiedenheit in der Erscheinung des Mondes bewirken, so dass derselbe denen, die ihn von der Oberfläche der Erde in schräger Richtung beobachten, an einer andern Stelle erscheint, als Denen, welche ihn vom Mittelpunkte aus, also in ihrem Scheitel erblicken. Diese Commutationen sind nach Verhältniss der Entfernung des Mondes von der Erde verschieden. Nach Uebereinstimmung aller Mathematiker ist die grösste Entfernung 641/6 Erdhalbmesser; nach dem Maasse Jener aber müsste die kleinste 3311/20 betragen, so dass der Mond fast auf die halbe Entfernung [197] sich uns näherte, und nach folgerichtigem Schlusse müssten sich die Parallaxen in der kleinsten und grössten Entfernung um ungefähr das Doppelte von einander unterscheiden. Wir sehen aber, dass die Parallaxen, welche den Quadraturen des zunehmenden und abnehmenden Mondes entsprechen, selbst im Perigeum des Epicykels, sich sehr wenig oder gar nicht unterscheiden, von denen, welche bei Sonnen- und Mond-Finsternissen eintreten, wie wir an seiner Stelle hinlänglich erweisen werden. Am meisten beweist den Irrthum der Körper des Mondes selbst, welcher aus gleichem Grunde, seinem Durchmesser nach doppelt so gross oder doppelt so klein gesehen werden müsste. Da sich aber die Kreise wie die Quadrate ihrer Durchmesser verhalten, so müsste der Mond, wenn er in den Quadraturen der Erde am nächsten stände, viermal so gross erscheinen, als wenn er in seiner Opposition mit der Sonne voll wäre; und wenn er mit seiner Hälfte schiene, müsste er nichts desto weniger zweimal so hell scheinen, als wenn er voll wäre. Wenn Jemand, obgleich das Gegentheil hiervon für sich klar ist, dennoch mit dem blossen Augenscheine sich nicht begnügen, sondern dies durch das Hipparchische Diopter, oder durch andere Instrumente, mittelst welcher der Durchmesser des Mondes gemessen wird, untersuchen wollte, der würde finden, dass sich derselbe nur um so viel unterscheidet, als es der Epicykel, ohne jenen excentrischen Kreis verlangt. Deshalb nahmen Menelaus und Timochares bei ihren Untersuchungen der Fixsterne durch den Ort des Mondes keinen Anstand, immer denselben Durchmesser des Mondes anzuwenden, nämlich die Hälfte eines Grades, indem der Mond meist so viel einzunehmen scheint.

Capitel 3.
Eine andre Ansicht von der Bewegung des Mondes.

So scheint denn in der That der Kreis, durch welchen der Epicykel grösser oder kleiner erscheint, kein excentrischer zu sein, sondern einer andern Art von Kreisen anzugehören. Es sei nämlich ein Epicykel, welchen wir den ersten und grössern nennen wollen, sein Mittelpunkt ; von dem Mittelpunkte der Erde, welcher in liegt, werde die grade Linie bis zur grössten Abside des Epicykels verlängert; um diesen Punkt werde ein anderer kleinerer Epicykel beschrieben; und Alles dies liege in derselben Ebene der schiefen Mondbahn. Es bewege sich rechtläufig, dagegen rückläufig, und der Mond von aus im oberen Theile von wieder rechtläufig; und zwar nach der Regel, dass, während die Linie mit dem mittleren Orte der Sonne zusammenfällt, der Mond immer dem Mittelpunkte am nächsten, d. h. in sich befindet, in den Quadraturen dagegen am entferntesten, also in . Wenn man dies zum Grunde legt, so behaupte ich, stehen die Monderscheinungen damit im Einklange. Es ergiebt sich nämlich, dass der Mond den kleinen Epicykel zweimal in einem Monate durchläuft, in welcher Zeit einmal zur Sonne zurückkehrt; und der Neu-

[198]
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und Vollmond scheinen den kleinsten Kreis, dessen Halbmesser ist, zu beschreiben, das erste und letzte Viertel aber den grössten Kreis, mit dem Halbmesser . So bringt der Mond durch die ähnlichen aber ungleichen Bogen um den Mittelpunkt , dort die kleinsten, hier die grössten Unterschiede zwischen der Gleichmässigkeit und der Erscheinung hervor. Da nun der Mittelpunkt des Epicykels immer in dem mit der Erde homocentrischen Kreise bleibt, so bewirkt er nicht so sehr verschiedene, sondern lediglich dem Epicykel entsprechende Parallaxen; und es ergiebt sich auch sogleich der Grund, warum der Körper des Mondes gewissermassen sich ähnlich zu bleiben scheint, nebst allem Uebrigen, was beim Mondlauf beobachtet wird; dies wollen wir der Reihe nach aus dieser unsrer Annahme nachweisen: gleichwohl kann dasselbe auch wieder durch excentrische Kreise ausgeführt werden, wenn man die erforderlichen Verhältnisse beachtet, wie wir das bei der Sonne ausgeführt haben. Wir wollen aber mit den gleichmässigen Bewegungen anfangen, wie wir es früher machten; denn ohne diese kann die ungleichmässige nicht begriffen werden. Hier tritt nun, wegen der vorhin erwähnten Parallaxe eine grosse Schwierigkeit auf, denn wegen derselben ist der Ort des Mondes durch Astrolabien oder andere Instrumente nicht zu beobachten. Aber die Güte der Natur ist auch in diesem Punkte dem menschlichen Wunsche zuvorgekommen, so dass der Ort des Mondes sicherer, als durch die Anwendung von Instrumenten, und frei vom Verdachte eines Fehlers, durch die Verfinsterungen desselben gefunden werden kann. Während nämlich die ganze übrige Welt hell ist und erfüllt vom Tageslichte, besteht die Nacht in nichts Anderem, als in dem Schatten der Erde, welcher in kegelförmiger Figur aufsteigt und in einer Spitze endigt; so dass der Mond, wenn er in denselben eintritt, verdunkelt wird: und wenn er in der Mitte des Schattens angekommen ist: so ist klar, dass er in dem, der Sonne entgegengesetzten Orte steht. Die Sonnenfinsternisse aber, welche durch das Dazwischentreten des Mondes entstehen, gewähren keinen sichern Nachweis des Ortes des Mondes. Denn dabei ereignet es sich, dass von uns zwar eine Conjunction der Sonne und des Mondes gesehen wird, welche aber in Bezug auf den Mittelpunkt der Erde entweder schon vorüber, oder noch nicht eingetreten ist, eben wegen der besprochenen Parallaxe. Deshalb sehen wir dieselbe Sonnenfinsterniss nicht in allen Ländern gleich an Grösse und Dauer, noch ähnlich in ihren Phasen. Bei den Mondfinsternissen tritt aber kein solches Hinderniss ein, sondern sie sind überall sich gleich, weil die Axe des verdunkelnden Schattens der Erde in der Richtung

[199] von der Sonne durch den Mittelpunkt der Erde liegt. Deswegen sind die Mondfinsternisse am geeignetsten, um durch sie auf die sicherste Weise den Lauf des Mondes zu bestimmen.

Capitel 4.
Ueber die Kreisläufe des Mondes und dessen besondere Bewegungen.

Unter den Aeltesten, denen es am Herzen lag, der Nachwelt über diesen Gegenstand Zahlenangaben zu überliefern, findet sich der Athenienser Meton, welcher um die sieben und dreissigste Olympiade blühete. Dieser gab an, dass in 19 Sonnenjahren 235 Monate ablaufen, deswegen wird dieses grosse Jahr die Meton’sche Enneadekateris, d. h. neunzehnjährige Periode, genannt. Die Zahl fand so grossen Beifall, dass sie zu Athen und in andern ausgezeichneten Städten auf dem Markte angeschlagen wurde, wie dieselbe denn auch bis auf die Gegenwart im gewöhnlichen Leben angenommen wird, weil man glaubt, dass durch sie der Anfang und das Ende der Monate nach einer sichern Regel festständen. Es ist auch das Sonnenjahr von 365 ¼ Tagen dieser Anzahl von Monaten commensurabel. Hiervon rührt jene Callippische Periode von 76 Jahren her, in welcher neunzehnmal ein Tag eingeschaltet wird, und welche man das Callippische Jahr genannt hat. Aber das Genie Hipparch’s fand, dass in 304 Jahren ein ganzer Tag zu viel entstände, und dass dies nur dadurch corrigirt würde, wenn man das Sonnenjahr um den 300sten Theil eines Tages verkleinerte. Daher ist dieser Zeitraum von Einigen[3] das grosse Jahr des Hipparch genannt worden, in welchem 3760 Monate ablaufen. Dies ist aber oberflächlich und ohne Genauigkeit gesagt, deshalb hat derselbe Hipparch über die Zeit, in welcher die Anomalie mit der Breite zugleich wiederkehrt, eine nähere Untersuchung angestellt, und, — nach Vergleichung seiner Aufzeichnungen über die von ihm sehr sorgfältig angestellten Beobachtungen der Mondfinsternisse, mit denen der Chaldäer, — die Zeit, in welcher die monatlichen Bewegungen mit denen der Anomalie zugleich wiederkehren, zu 345 ägyptischen Jahren 82 Tagen und 1 Stunde bestimmt, und in dieser Zeit sollten 4267 Monate, aber 4573 Umläufe der Anomalie vollendet werden. Wenn daher durch die Zahl der Monate, die Anzahl der Tage, welche 126007 Tage und 1 Stunde beträgt, dividirt wird: so erhält man einen Monat gleich 29 Tage 31I 50II 8III 9IV 20V [4]. Hiernach ergab sich die Bewegung für jede beliebige Zeit. Denn dividirt man die 360° eines monatlichen Umlaufs durch die Dauer eines Monats, so ergiebt sich der tägliche Lauf des Mondes gegen die Sonne zu 12° 11′ 26″ 41‴ 20IV 18V [5]. Dies 365 mal genommen, ergiebt die jährliche Bewegung zu 12 ganzen Umläufen 129° 37′ 21″ 28‴ 29⁗[6]. Da ferner 4267 Monate und 4573 Umläufe der Anomalie den gemeinsamen Factor 17 enthalten: so ist ihr Verhältniss in den kleinsten Zahlen ausgedrückt 251 zu 269, in welchem Verhältnisse wir [200] also, nach dem 15ten Satze des 5ten Buches von Euklid, dasjenige des Mondlaufs zur Bewegung der Anomalie haben. So dass, wenn wir die Bewegung des Mondes mit 269 multipliciren und das Produkt mit 251 dividiren, die jährliche Bewegung der Anomalie sich ergiebt zu: 13 ganzen Umläufen 88° 43′ 8″ 40‴ 20⁗[7] und daraus die tägliche zu 13° 3′ 53″ 56‴ 29⁗[7]. Der Umlauf der Breite hat aber ein anderes Verhältniss und trifft nicht mit der Zeit zusammen, in welcher die Anomalie wiederkehrt, sondern nur dann sieht man die Breite des Mondes wiederkehren, wenn eine spätere Mondfinsterniss einer früheren in Allem ähnlich und gleich ist, wenn also bei beiden von derselben Seite her, sowohl der Grösse als auch der Dauer nach, gleiche Verfinsterungen stattfinden; was der Fall ist, wenn der Mond von der grössten oder von der kleinsten Abside gleiche Abstände hat. Denn alsdann ist klar, dass der Mond gleiche Schatten in gleicher Zeit durchläuft. Eine solche Wiederkehr ereignet sich nach Hipparch in 5458 Monaten, denen 5923 Umläufe der Breite entsprechen. Nach diesem Verhältnisse sind die besondern Bewegungen für Jahre und Tage, wie früher berechnet. Wenn wir nämlich die Bewegung des Mondes von der Sonne mit 5923 multipliciren und das Produkt durch 5458 dividiren: so erhalten wir als Bewegung der Breite des Mondes für ein Jahr: 13 Umläufe 148° 42′ 46″ 49‴ 3⁗[8] und für einen Tag: 13° 13′ 45″ 39‴ 40⁗[9]. Auf diese Weise ermittelte Hipparch die gleichmässigen Bewegungen des Mondes, und Niemand kam denselben näher, als er. Dass man jedoch bei allen diesen Zahlen noch etwas übersehen hatte, haben die spätern Jahrhunderte erwiesen. Ptolemäus nämlich fand zwar dieselbe mittlere Bewegung des Mondes von der Sonne, wie Hipparch, aber die jährliche Bewegung der Anomalie fand er um 1″ 11‴ 39⁗[10] kleiner, die jährliche Bewegung der Breite aber um 53‴ 41⁗ grösser. Wir aber haben, nach dem Verlaufe einer sehr grossen Zeit, die mittlere jährliche Bewegung des Hipparch um 1″ 2‴ 49⁗ zu klein gefunden, der Bewegung der Anomalie Hipparchs aber fehlen nur 24‴ 49⁗. Die Bewegung der Breite Hipparchs ist aber zu gross um 1″ 1‴ 44⁗. Dadurch wird dasjenige, um was die jährliche gleichmässige Bewegung des Mondes sich von der jährlichen Bewegung der Erde unterscheidet 129° 37′ 22″ 32‴ 40⁗, die Bewegung der Anomalie 88° 43′ 9″ 5‴ 9⁗, die Bewegung der Breite 148° 42′ 45″ 17‴ 21⁗ [11].

[201]
BEWEGUNG DES MONDES VON JAHR ZU JAHR, UND VON SECHZIG ZU SECHZIG JAHREN.
Aegyptische Jahre Bewegung Ort Christi 3 S. 29° 58′ Cap. 7. Aegyptische Jahre Bewegung
Sechzig Grad Min. Secund. Tertien Manuscript Sechzig Grad Min. Secund. Tertien Manuscript
Sec. Tert. Sec. Tert.
01 2 09 37 22 36 22 32 31 0 58 18 40 48 38 52
02 4 19 14 45 12 45 05 32 3 07 56 03 25 01 25
03 0 28 52 07 49 07 38 33 5 17 33 26 01 23 58
0
04 2 38 29 30 25 30 10 34 1 27 10 48 38 46 30
05 4 48 06 53 02 53 43 35 3 36 48 11 14 09 03
06 0 57 44 15 38 15 16 36 5 46 25 33 51 31 36
0
07 3 07 21 38 14 37 48 37 1 56 02 56 27 54 08
08 5 16 59 00 51 00 21 38 4 05 40 19 03 16 41
09 1 26 36 23 27 22 54 39 0 15 17 41 40 39 14
0
10 3 36 13 46 04 45 26 40 2 24 55 04 16 01 46
11 5 45 51 08 40 07 59 41 4 34 32 26 53 24 19
12 1 55 28 31 17 31 32 42 0 44 09 49 29 46 52
0
13 4 05 05 53 53 53 04 43 2 53 47 12 05 09 24
14 0 14 43 16 29 15 37 44 5 03 24 34 42 31 57
15 2 24 20 39 06 38 10 45 1 13 01 57 18 54 30
0
16 4 33 58 01 42 00 42 46 3 22 39 19 55 17 02
17 0 43 35 24 19 23 15 47 5 32 16 42 31 39 35
18 2 53 12 46 55 45 48 48 1 41 54 05 08 02 08
0
19 5 02 50 09 31 08 20 59 3 51 31 27 44 24 40
20 1 12 27 32 08 30 53 50 0 01 08 50 20 47 13
21 3 22 04 54 14 53 26 51 2 10 46 12 57 09 46
0
22 5 31 42 17 21 15 58 52 4 20 23 35 33 32 18
23 1 41 19 39 57 38 31 53 0 30 00 58 10 54 51
24 3 50 57 02 34 01 04 54 2 39 38 20 46 17 24
0
25 0 00 34 25 10 23 36 55 4 49 15 43 22 39 56
26 2 10 11 47 46 46 09 56 0 58 53 05 59 02 29
27 4 19 49 10 23 08 42 57 3 08 30 28 35 25 02
0
28 0 29 26 32 59 31 14 58 5 18 07 51 12 47 34
29 2 39 03 55 36 53 47 59 1 27 45 13 48 00 07
30 4 48 41 18 12 16 20 60 3 37 22 36 25 32 40
[202]
BEWEGUNG DES MONDES VON TAGE ZU TAGE, UND VON SECHZIG ZU SECHZIG TAGEN.
Tage Bewegung Ort Christi 3 S. 29° 58′ Cap. 7. Tage Bewegung
Sechzig Grad Min. Secund. Tertien Sechzig Grad Min. Secund. Tertien
01 0 12 11 26 41 31 6 17 54 47 26
02 0 24 22 53 23 32 6 30 06 14 08
03 0 36 34 20 04 33 6 42 17 40 49
0
04 0 48 45 46 46 34 6 54 29 07 31
05 1 00 57 13 27 35 7 06 40 34 12
06 1 13 08 40 09 36 7 18 52 00 54
0
07 1 25 20 06 50 37 7 31 03 27 35
08 1 37 31 33 32 38 7 43 14 54 17
09 1 49 43 00 13 39 7 55 26 20 58
0
10 2 01 54 26 55 40 8 07 37 47 40
11 2 14 05 53 36 41 8 19 49 14 21
12 2 26 17 20 18 42 8 32 00 41 03
0
13 2 38 28 47 00 43 8 44 12 07 44
14 2 50 40 13 41 44 8 56 23 34 26
15 3 02 51 40 22 45 9 08 35 01 07
0
16 3 15 03 07 04 46 9 20 46 27 49
17 3 27 14 33 45 47 9 32 57 54 30
18 3 39 26 00 27 48 9 45 09 21 12
0
19 3 51 37 27 08 49 9 57 20 47 53
20 4 03 48 53 50 50 10 09 32 14 35
21 4 16 00 20 31 51 10 21 43 41 16
0
22 4 28 11 47 13 52 10 33 55 07 58
23 4 40 23 13 54 53 10 46 06 34 40
24 4 52 34 40 36 54 10 58 18 01 21
0
25 5 04 46 07 17 55 11 10 29 28 02
26 5 16 57 33 59 56 11 22 40 54 43
27 5 29 09 00 40 57 11 34 52 21 25
0
28 5 41 20 27 22 58 11 47 03 48 07
29 5 53 31 54 03 59 11 59 15 14 48
30 6 05 43 20 45 60 12 11 26 41 31
[203]
BEWEGUNG DER ANOMALIE DES MONDES VON JAHR ZU JAHR UND VON SECHZIG ZU SECHZIG JAHREN.
Aegyptische Jahre Bewegung Ort Christi 3 S. 27° 7′ Cap. 7 Aegyptische Jahre Bewegung
Sechzig Grad Min. Secund. Tertien Manuscript Sechzig Grad Min. Secund. Tertien Manuscript
Sec. Tert. Sec. Tert.
01 1 28 43 09 07 09 05 31 3 50 17 42 44 41 39
02 2 57 26 18 14 18 10 32 5 19 00 51 52 50 44
03 4 26 09 27 21 27 15 33 0 47 43 00 59 59 49
0
04 5 54 52 36 29 36 20 34 2 16 27 10 06 08 55
05 1 23 35 45 36 45 25 35 3 45 10 19 13 18 00
06 2 52 18 54 43 54 30 36 5 13 53 28 21 27 05
0
07 4 21 02 03 59 03 36 37 0 42 36 37 28 36 10
08 5 49 45 12 58 12 41 38 2 11 19 46 35 45 15
09 1 18 28 22 05 21 46 39 3 40 02 55 42 54 20
0
10 2 47 11 31 12 30 51 40 5 08 46 04 50 03 26
11 4 15 54 40 19 39 56 41 0 37 29 13 57 12 31
12 5 44 37 49 27 49 01 42 2 06 12 23 04 21 36
0
13 1 13 20 58 34 58 06 43 3 34 55 32 11 30 41
14 2 42 04 07 41 07 12 44 5 03 38 41 19 39 46
15 4 10 47 16 48 16 17 45 0 32 21 50 26 48 51
0
16 5 39 30 25 56 25 22 46 2 01 04 59 33 57 56
17 1 08 13 35 03 34 27 47 3 29 48 08 40 07 02
18 2 36 56 44 10 43 32 48 4 58 31 17 48 16 07
0
19 4 05 39 53 17 52 37 59 0 27 14 26 55 25 12
20 5 34 23 02 25 01 43 50 1 55 57 36 02 34 17
21 1 03 06 11 32 10 48 51 3 24 40 45 09 43 22
0
22 2 31 49 20 39 19 53 52 4 53 23 54 17 52 27
23 4 00 32 29 46 28 58 53 0 22 07 03 24 01 32
24 5 29 15 38 54 38 03 54 1 50 50 12 31 10 38
0
25 0 57 58 48 01 47 08 55 3 19 33 21 38 19 43
26 2 26 41 57 08 56 13 56 4 48 16 30 46 28 48
27 3 55 25 06 15 05 19 57 0 16 59 39 53 37 53
0
28 5 24 08 15 23 14 24 58 1 45 42 49 00 46 58
29 0 52 51 24 30 23 29 59 3 14 25 58 07 56 03
30 2 21 34 33 37 32 34 60 4 43 09 07 15 05 09
[204]
BEWEGUNG DER ANOMALIE DES MONDES VON TAGE ZU TAGE UND VON SECHZIG ZU SECHZIG TAGEN.
Tage Bewegung Ort Christi 3 S. 27° 7′ Cap. 7 Tage Bewegung
Sechzig Grad Min. Secund. Tertien Sechzig Grad Min. Secund. Tertien
01 0 13 03 53 56 31 6 45 00 52 11
02 0 26 07 47 53 32 6 58 04 46 08
03 0 39 11 41 49 33 7 11 08 40 04
0
04 0 52 15 35 46 34 7 24 12 34 01
05 1 05 19 29 42 35 7 37 16 27 57
06 1 18 23 23 39 36 7 50 20 21 54
0
07 1 31 27 17 35 37 8 03 24 15 50
08 1 44 31 11 32 38 8 16 28 09 47
09 1 57 35 05 28 39 8 29 32 03 43
0
10 2 10 38 59 25 40 8 42 35 57 40
11 2 23 42 53 21 41 8 55 39 51 36
12 2 36 46 47 18 42 9 08 43 45 33
0
13 2 49 50 41 14 43 9 21 47 39 29
14 3 02 54 35 11 44 9 34 51 33 26
15 3 15 58 29 07 45 9 47 55 27 22
0
16 3 29 02 23 04 46 10 00 59 21 19
17 3 42 06 17 00 47 10 14 03 15 15
18 3 55 10 10 57 48 10 27 07 09 12
0
19 4 08 14 04 53 49 10 40 11 03 08
20 4 21 17 58 50 50 10 53 14 57 05
21 4 34 21 52 46 51 11 06 18 51 01
0
22 4 47 25 46 43 52 11 19 22 44 58
23 5 00 29 40 39 53 11 32 26 38 54
24 5 13 33 34 36 54 11 45 30 32 51
0
25 5 26 37 28 32 55 11 58 34 26 47
26 5 39 41 22 29 56 12 11 38 20 44
27 5 52 45 16 25 57 12 24 42 14 40
0
28 6 05 49 10 22 58 12 37 46 08 37
29 6 18 53 04 18 59 12 50 50 02 33
30 6 31 56 58 15 60 13 03 53 56 30
[205]
BEWEGUNG DER BREITE DES MONDES VON JAHR ZU JAHR UND VON SECHZIG ZU SECHZIG JAHREN.
Aegyptische Jahre Bewegung Ort Christi 2. S. 9° 45′ Cap. 14. Aegyptische Jahre Bewegung
Sechzig Grad Min. Secund. Tertien Manuscript Sechzig Grad Min. Secund. Tertien Manuscript
Sec. Tert. Sec. Tert.
01 2 28 42 45 17 44 31 31 4 50 05 23 57 00 04
02 4 57 25 30 34 29 02 32 1 18 48 09 14 44 35
03 1 26 08 15 52 13 33 33 3 47 30 54 32 29 06
0
04 3 54 51 01 09 58 04 34 0 16 13 39 48 13 37
05 0 23 33 46 26 42 35 35 2 44 56 25 06 58 08
06 2 52 16 31 44 27 06 36 5 13 39 10 24 42 39
0
07 5 20 59 17 01 11 37 37 1 42 21 55 41 27 10
08 1 49 42 02 18 56 08 38 4 11 04 40 58 11 41
09 4 18 24 47 36 40 39 39 0 39 47 26 16 56 12
0
10 0 47 07 32 53 25 11 40 3 08 30 11 33 40 44
11 3 15 50 18 10 09 42 41 5 37 12 56 50 25 15
12 5 44 33 03 28 51 13 42 2 05 55 42 08 09 46
0
13 2 13 15 48 45 38 44 43 4 34 38 27 25 54 17
14 4 41 58 34 02 23 15 44 1 03 21 12 42 38 48
15 1 10 41 19 20 07 46 45 3 32 03 58 00 23 19
0
16 3 39 24 04 37 52 17 46 0 00 46 43 17 07 50
17 0 08 06 49 54 36 48 47 2 29 29 28 34 57 21
18 2 36 49 35 12 21 19 48 4 58 12 13 52 36 52
0
19 5 05 32 20 29 05 50 49 1 26 54 59 08 21 23
20 1 34 15 05 46 50 22 50 3 55 37 44 26 05 55
21 4 02 57 51 04 34 53 51 0 24 29 29 44 50 26
0
22 0 31 40 36 21 19 24 52 2 53 03 15 01 34 57
23 3 00 23 21 38 03 55 53 5 21 46 00 18 19 28
24 5 29 06 06 56 48 26 54 1 50 28 45 36 03 59
0
25 1 57 48 52 13 32 57 55 4 19 11 30 53 18 30
26 4 26 31 37 30 17 28 56 0 47 54 16 10 33 01
27 0 55 14 22 48 01 59 57 3 16 37 01 28 17 32
0
28 3 23 57 08 05 46 30 58 5 45 19 46 45 02 03
29 5 52 39 53 22 31 01 59 2 14 02 32 02 46 34
30 2 21 12 38 40 15 33 60 4 42 45 17 21 31 06
[206]
BEWEGUNG DER BREITE DES MONDES VON TAGE ZU TAGE UND VON SECHZIG ZU SECHZIG TAGEN.
Tage Bewegung Ort Christi 2. S. 9° 45′ Cap. 14. Tage Bewegung
Sechzig Grad Min. Secund. Tertien Sechzig Grad Min. Secund. Tertien
01 0 13 13 45 39 31 6 50 06 35 20
02 0 26 27 31 18 32 7 03 20 20 59
03 0 39 41 16 58 33 7 16 34 06 39
0
04 0 52 55 02 37 34 7 29 47 52 18
05 1 06 08 48 16 35 7 43 01 37 58
06 1 19 22 33 56 36 7 56 15 23 37
0
07 1 32 36 19 35 37 8 09 29 09 16
08 1 45 50 05 14 38 8 22 42 54 56
09 1 59 03 50 54 39 8 35 56 40 35
0
10 2 12 17 36 33 40 8 49 10 26 14
11 2 25 31 22 13 41 9 02 24 11 54
12 2 38 45 07 52 42 9 15 37 57 33
0
13 2 51 58 53 31 43 9 28 51 43 13
14 3 05 12 39 11 44 9 42 05 28 52
15 3 18 26 24 50 45 9 55 19 14 31
0
16 3 31 40 10 29 46 10 08 33 00 11
17 3 44 53 56 09 47 10 21 46 45 50
18 3 58 07 41 48 48 10 35 00 31 29
0
19 4 11 21 27 28 49 10 48 14 17 09
20 4 24 35 13 07 50 11 01 28 02 48
21 4 37 48 58 46 51 11 14 41 48 28
0
22 4 51 02 44 26 52 11 27 55 34 07
23 5 04 16 30 05 53 11 41 09 19 46
24 5 17 30 15 44 54 11 54 23 05 26
0
25 5 30 44 01 24 55 12 07 36 51 05
26 5 43 57 47 03 56 12 20 50 36 44
27 5 57 11 32 43 57 12 34 04 22 24
0
28 6 10 25 18 22 58 12 47 18 08 03
29 6 23 39 04 01 59 13 00 31 53 43
30 6 36 25 49 41 60 13 13 45 39 22
[207]
Capitel 5.
Entwickelung der ersten Ungleichmässigkeit des Mondes, welche beim Neu- und Vollmonde eintritt.

Soweit die gleichmässigen Bewegungen des Mondes bis jetzt sich erkennen lassen konnten, haben wir dieselben dargelegt. Nun müssen wir die Ungleichmässigkeit entwickeln, was wir durch die Methode des Epicykels thun wollen: und zwar zuerst bei derjenigen, welche beim Neu- und Vollmonde eintritt, und in Bezug auf welche die alten Mathematiker bei Discussion dreier Mondfinsternisse einen bewunderungswürdigen Scharfsinn entwickelt haben. Wir wollen den so von Jenen uns geebneten Weg verfolgen, und mit den von Ptolemäus sorgfältig beobachteten Finsternissen, drei andere mit nicht geringerer Sorgfalt aufgezeichnete vergleichen, um zu prüfen, ob die schon dargelegten gleichmässigen Bewegungen sich richtig so verhalten. Wir bedienen uns aber bei der Darstellung derselben, nach dem Beispiele der Alten, der mittleren Bewegungen der Sonne und des Mondes vom Orte der Frühlingsnachtgleiche, als gleichmässiger; da die Ungleichmässigkeit, welche wegen der ungleichmässigen Präcession der Nachtgleichen eintritt, in so kurzer Zeit, und wenn sie selbst zehn Jahre betrüge, nicht bemerkt wird. Ptolemäus[12] führt an, dass die erste Finsterniss nach ägyptischer Zeitrechnung im Jahre 17 des Kaisers Hadrian eintrat, nachdem der zwanzigste Payni verflossen war, das war das 133ste Jahr Christi den 6ten Mai[13]. Die Finsterniss war total, und die Zeit ihrer Mitte war drei viertel mittlere Stunden vor Mitternacht alexandrinischer Zeit; also nach der Zeit von Frauenburg oder Krakau[14] 1¾ Stunden vor der Mitternacht, welcher der 7te Mai folgte. Die Sonne stand 12° 15′ des Stiers[15], nach der mittleren Bewegung aber 12° 21′ des Stier’s[16]. Die zweite soll stattgefunden haben im Jahre 19 Hadrians, nach Ablauf zweier Tage des Monats Chöak, des vierten ägyptischen Monats, das war im Jahre Christi 134 October 20[17]. Die Finsterniss betrug fünf Sechstel des Durchmessers des Mondes von Norden, und die Zeit ihrer Mitte war eine mittlere Stunde vor Mitternacht alexandriner Zeit: also nach der Zeit von Krakau zwei Stunden vor Mitternacht[18]. Die Sonne stand in 25° 10′[WS 3] der Waage, nach der mittleren Bewegung aber in 26° 43′ der Waage[19]. Die dritte Finsterniss fand statt im Jahre 20 Hadrians nach Ablauf von 19 Tagen des Monats Pharmuthi, des achten ägyptischen Monats, oder nach Ablauf von 135 Jahren Christi und 6 Tagen des März[20]. Die Finsterniss betrug die Hälfte des Durchmessers wieder von Norden, und die Zeit ihrer Mitte war vier mittlere Stunden nach Mitternacht alexandriner Zeit; also nach der Zeit von Krakau 3 Stunden nach Mitternacht[21], am Morgen des 7ten März. Die Sonne stand in 14° 5′ der Fische, nach mittlerer Bewegung aber in 11° 44′ der Fische [22]. Es ergiebt sich also, dass der Mond in dem Zeitraum zwischen der ersten und zweiten Finsterniss so viel durchlaufen hatte, als die Sonne

[208] in ihrer scheinbaren Bewegung, nämlich, wenn wir die ganzen Umläufe weglassen, 161° 55′[23], und von der zweiten zur dritten 138° 55′[WS 3][24]. Es lagen aber in dem ersten Zeitraume 1 Jahr 166 Tage 23¾ Stunden scheinbare Sonnenzeit[25], also 235/8 Stunden mittlere Sonnen-Zeit[26]; im zweiten Zeitraum 1 Jahr 137 Tage 5 Stunden[27], also 5½ Stunden mittlere Sonnenzeit[28]. Es war die gemeinsame gleichmässige Bewegung von Sonne und Mond im ersten Zeitraume, wenn die ganzen Umläufe weggelassen werden, 169° 37′[29] und die Anomalie 110° 21′[30]; im zweiten Zeitraume die gleichmässige Bewegung von Sonne und Mond 137° 33′[31] und die Anomalie 81° 36′[32]. Es ergiebt sich also, dass in dem ersten Zeitraume 110° 21′ des Epicykels von der mittleren Bewegung des Mondes 7° 42′[33] abziehen, im zweiten 81° 36′[WS 3] des Epicykels zu der mittleren Bewegung des Mondes 1° 21′[34] addiren.
Coppernicus 069.svg
Dies so vorausgeschickt, werde der Mond-Epicykel construirt, in welchem die erste Finsterniss in , die zweite in und die dritte in stattgefunden haben mag, in welcher Ordnung auch der obige rückläufige Gang des Mondes gedacht wird. Der Bogen von 110° 21′ bewirke eine Verzögerung, wie gesagt, von 7° 42′, der Bogen von 81° 36′ eine Beschleunigung von 1° 21′, dann wird der noch übrige Bogen von 168° 3′ eine Beschleunigung von 6° 21′ bewirken. Da aber die grösste Abside des Epicykels in den Bogen und nicht liegt, weil sie beide beschleunigen und dabei kleiner als ein Halbkreis sind: so muss sich dieselbe nothwendig in befinden. Nehmen wir als den Mittelpunkt der Erde, um welchen der Epicykel sich gleichmässig bewegt, ziehen die Linien nach den Punkten der Finsternisse , , und verbinden , und . Da nun der Bogen in der Ekliptik 7° 42′ beträgt, so ist der Winkel 7° 42′, von denen 180° zwei Rechte sind, aber 15° 24′, wenn 360° zwei Rechte bedeuten; und der Winkel ist der Peripheriewinkel von 110° 21′[WS 3], und der Aussenwinkel des Dreiecks . Es ergiebt sich also der Winkel zu 94° 57′[WS 3]. Die Seiten aber eines Dreiecks von gegebenen Winkeln sind gegeben, und es ist 147396, 26798, wenn der Durchmesser des um das Dreieck beschriebenen Kreises 200000 beträgt. Da ferner der Bogen in der Ekliptik 6° 21′ umfasst: so beträgt der Winkel 6° 21′, von denen 180° gleich zweien Rechten, aber 12° 42′ wenn 360° zwei Rechte bedeuten; unter der letzteren Bedingung beträgt der Winkel 191° 57′,

[209] und da er Aussenwinkel zu dem Dreiecke ist: so erhält man nach Abzug des Winkels den dritten als Rest zu 179° 15′. Es ergeben sich daraus die Seite gleich 199996, gleich 22120, wenn der Durchmesser des umschriebenen Kreises 200000 beträgt. Wenn aber gleich 147396 und gleich 26798: so ist gleich 16302. Da hierdurch wiederum in dem Dreiecke die beiden Seiten und gegeben sind, und der Peripheriewinkel dem Bogen von 81° 36′ angehört: so erhalten wir auch die dritte Seite nach den Sätzen über die ebenen Dreiecke zu 17960 eben jener Theile. Wenn aber der Durchmesser des Epicykels 200000 Theile betrüge: so wäre als Sehne von 81° 36′ gleich 130684 und die Uebrigen nach dem gegebenen Verhältnisse = 1072684 und = 118637 und der Bogen selbst = 72° 46′ 10″. Der Bogen betrug aber nach der Berechnung 168° 3′ folglich der Rest = 95° 16′ 50″, und dessen Sehne 147786. Hiernach beträgt die ganze Linie 1220470 derselben Theile. Da aber der Abschnitt kleiner als der Halbkreis ist, so liegt in demselben nicht der Mittelpunkt des Epicykels, sondern in dem Reste . Derselbe möge nun sein und durch beide Absiden möge die Linie gezogen werden, sei die grösste, die kleinste Abside. Nach dem 35sten Satze[35] des 3ten Buches von Euklid ist das Rechteck = . Da aber der Durchmesser des Kreises in halbirt ist, und in seiner gradlinigen Verlängerung liegt: so ist das Quadrat von um das Quadrat von grösser als das Rechteck [36]. Daraus ergiebt sich zu 1148556, wenn 100000 beträgt, und daraus folgt, dass der Radius des Epicykels gleich 8706, wenn gleich 100000. Nach diesen Feststellungen werde senkrecht gegen gezogen. Da nun das gegenseitige Verhältniss von , und in solchen Theilen gegeben ist, von denen 100000 enthält, und die Hälfte von ist: so beträgt 73893, und die Ganze den 1146577. Nun sind aber in dem Dreiecke die beiden Seiten und gegeben und der Winkel ein Rechter. Es beträgt also der Centriwinkel 86° 38½′, und so viel beträgt auch der Bogen , und als Rest vom Halbkreise der Bogen 93° 21½′, davon der Bogen als die Hälfte des Bogens = 47° 38½′ abgezogen, giebt als Rest = 45° 43′, und dies ist der Abstand des Mondes von der grössten Abside im Epicykel bei der ersten Finsterniss, oder die Anomalie. Der ganze Bogen betrug aber 110° 21′, folglich beträgt der Rest , als Anomalie bei der zweiten Finsterniss 64° 38′, und der ganze Bogen , bei welchem die dritte Finsterniss eintrat, 146° 14′. Nun ist auch klar, dass, da der Winkel = 86° 38½′ ist, wobei 360° = 4 Rechten, — der Winkel , als Rest von einem Rechten, 3° 21½′ beträgt; und dies ist die Prosthaphärese, welche die Anomalie bei der ersten Finsterniss hinzuaddirt. Der ganze Winkel betrug aber 7° 42′, der Rest also 4° 20½′, und diese werden bei der zweiten Finsterniss von der gleichmässigen Bewegung des Mondes auf dem Bogen , abgezogen. Und da der Winkel 1° 21′ betrug: so bleibt als Rest = 2° 59′ 30″, als die bei der dritten Finsterniss [210] wegen des Bogens abzuziehende Prohthaphärese. Es war also der mittlere Ort des Mondes, d. h. der Mittelpunkt bei der ersten Finsterniss in 9° 53′ des Skorpions, weil sein scheinbarer Ort in 13° 15′ des Skorpions lag, nämlich so viel als die Sonne in dem diametral gegenüberliegenden Punkte des Stiers einnahm. Und ebenso war der mittlere Ort des Mondes bei der zweiten Finsterniss in 29½° des Widders. Bei der dritten in 17° 4′ der Jungfrau. Die mittleren Abstände des Mondes von der Sonne waren bei der ersten Finsterniss 177° 33′, bei der zweiten 182° 47′, bei der letzten 185° 20′[37]. In dieser Weise Ptolomäus. Seinem Beispiele folgend, gehen wir nun zu einer andern Dreizahl von Mondfinsternissen über, welche von uns ebenfalls sehr sorgfältig beobachtet worden sind. Die erste ereignete sich im Jahre Christi 1511 nach Ablauf von 6 Tagen des Monats October. Der Mond begann sich zu verfinstern 1⅛ Stunden mittlere Zeit vor Mitternacht, und war wieder ganz hell 2⅓ Stunden nach Mitternacht. Die Mitte der Verfinsterung war also ½ + 1/12 Stunden nach Mitternacht, am Morgen des 7ten Octobers. Der Mond wurde total verfinstert[WS 6], während die Sonne in 22° 25′ der Waage stand, aber ihr mittlerer Ort war in 24° 13′ der Waage. Die zweite ebenfalls totale Finsterniss haben wir notirt im Jahre Christi 1522 im Monat September, nachdem 5 Tage desselben verstrichen waren; der Anfang war ⅖ mittlere Stunden vor Mitternacht, ihre Mitte aber 1⅓ Stunden nach Mitternacht, welcher der 6te September folgte. Die Sonne stand in 22⅕° der Jungfrau, ihr mittlerer Ort war aber in 23° 59′ der Jungfrau. Die dritte war im Jahre Christi 1523 nach Ablauf von 25 Tagen des Monats August und begann 2⅘ Stunden nach Mitternacht, und die Mitte dieser ebenfalls totalen Finsterniss war 45/12 Stunden nach Mitternacht, also schon am 26sten August, wo die Sonne in 11° 21′ der Jungfrau, nach mittlerer Bewegung aber in 13° 2′ der Jungfrau stand. Hieraus ist klar, dass der Unterschied der wahren Oerter der Sonne und des Mondes bei der ersten und zweiten Finsterniss 329° 47′, bei der zweiten und dritten aber 349° 9′ betrug. Die Zwischenzeit zwischen der ersten und zweiten Finsterniss war 10 ägyptische Jahre 337 Tage und 45 Minuten, nach scheinbarer Zeit, nach der genauen Gleichmässigkeit aber waren es 48 Minuten. Zwischen der zweiten und dritten lagen 354 Tage 3 Stunden 5 Minuten, aber nach gleichmässiger Zeit 3 Stunden 9 Minuten. Im ersten Zeitraume beträgt die mittlere Bewegung der Sonne und des Mondes zusammengenommen und mit Weglassung der ganzen Kreise 334° 47′[38], die der Anomalie 250° 36′[39], und das von der gleichmässigen Bewegung Abzuziehende ungefähr 5°[40]. Im zweiten Zeitraume beträgt die mittlere Bewegung der Sonne und des Mondes 346° 10′, die der Anomalie 306° 43′, und das zu der gleichmässigen Bewegung zu addirende 2° 59′. Nun sei der Epicykel, und der Ort des Mondes bei der Mitte der ersten Finsterniss, bei der zweiten, bei der dritten. Die Bewegung des Epicykels gehe von nach und von nach , d. h. oben rückläufig, unten rechtläufig. Der Bogen betrage 250° 36′, durch welchen von der mittleren

[211] Bewegung des Mondes, wie gesagt, in dem ersten Zeitraume 5° abgezogen werden.
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Der Bogen betrage aber 306° 43′, durch welchen der mittleren Bewegung des Mondes 2° 59′[41] hinzugefügt werden und der Rest gleich 197° 19′[42] bringe die übrigen 2° 1′ zum Abzug. Da aber der Bogen grösser als ein Halbkreis ist, und die mittlere Bewegung verkleinert, so muss er nothwendig die grösste Abside enthalten und dieselbe kann weder in dem Bogen noch in liegen, weil diese einen Wachsthum bedingen, und beide kleiner als ein Halbkreis sind. Dieser grössten Abside gegenüber werde als Mittelpunkt der Erde genommen, und die Linien , , , , , gezogen. Da nun der Aussenwinkel des Dreiecks über dem Bogen als Rest, wenn vom Kreise abgezogen wird, mit 53° 17′ gegeben ist, und der Winkel als Centriwinkel 2° 59′, als Peripheriewinkel aber 5° 58′ beträgt: so ist der Rest 47° 19′. Daher ist die Seite = 1042 und die Seite = 8024 solcher Theile, von denen auf den Radius des umschriebenen Kreises 10000 kommen. In gleicher Weise ergiebt sich der Winkel als der Peripheriewinkel des Bogens zu 197° 19′. Der Winkel ist als Centriwinkel 2° 1′, also als Peripheriewinkel 4° 2′. Folglich ist der andere Winkel in diesem Dreiecke 193° 17′, wenn 360° zwei Rechte ausmachen. Es sind also auch die Seiten in solchen Theilen gegeben, von denen auf den Radius des das Dreieck umschreibenden Kreises 10000 kommen, nämlich = 702, = 19865. Solcher Theile aber, von denen 8024 enthält, gehen auf 283, und von diesen kommen auf 1042. Wir haben also wieder ein Dreieck , in welchem die beiden Seiten und gegeben sind, und der Winkel = 250° 36′ ist, wenn 360° = zweien Rechten. Daher beträgt nach den Sätzen über die ebenen Dreiecke, ab 1227 solcher Theile, von denen auf 1042 gehen. So haben wir also das Verhältniss der drei Linien , und erlangt, nach welchem sie auch in solchen Theilen, von denen 10000 auf den Radius des Epicykels gehen, ausgedrückt, enthalten: 16323, 106751 und 13853. Daraus ergiebt sich auch der Bogen zu 87° 41′ und dies zu addirt, ergiebt den ganzen Bogen zu 140° 58′, dessen Sehne = 18851, also die ganze gerade Linie = 125602. Ferner ergiebt sich, dass der Mittelpunkt des Epicykels nothwendig in das Segment fallen muss, weil dasselbe grösser als der Halbkreis ist, derselbe sei , man ziehe in gerader [212] Linie durch beide Absiden, deren kleinste und deren grösste ist.
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Es ist wieder klar, dass das Rechteck mal gleich ist dem mal , aber . Daraus ergiebt sich = 116226, wenn 10000 beträgt; aber beträgt 8604 solcher Theile. von denen 100000 auf gehen. Wir haben gefunden, dass dies mit dem übereinstimmt, was mehrere Andere, welche seit Ptolomäus uns vorausgingen, überliefert haben. Nun werde vom Mittelpunkte aus auf das Loth gefällt und bis verlängert, dieses halbirt im Punkte . Da nun die gerade Linie = 106751 und die Hälfte von , d. h. = 9426: so ist = 116177 solcher Theile, von denen 10000 und 116226 enthält. Von dem rechtwinkligen Dreiecke sind also die beiden Seiten und gegeben, daraus ergiebt sich der Winkel = 88° 21′ und der Rest = 1° 39′, also der Bogen ebenfalls zu 88° 21′ und als die Hälfte des Bogens zu zu 70° 29′ also zu 158° 50′ und der Rest vom Halbkreise zu 21° 10′. Dies war der Abstand des Mondes vom Apogeum des Epicykels, oder der Ort der Anomalie bei der dritten Finsterniss, ebenso bei der zweiten = 74° 27′, und bei der ersten gleich 183° 51′. Bei der dritten Finsterniss ist der Winkel als Centriwinkel 1° 39′ die abzuziehende Prosthaphärese, und der ganze Winkel bei der zweiten 4° 38′ die abzuziehende Prosthaphärese, und da = 1° 39′ und = 2° 59′ sind: so ist der Rest von dem ganzen , welcher 5° beträgt, also = 22′, was zur gleichmässigen Bewegung bei der ersten Finsterniss hinzukommt. Also war der gleichmässige Ort des Mondes bei der ersten Finsterniss in 22° 3′ des Widders, der scheinbare aber in 22° 25′ des Widders, natürlich nahm die Sonne dem gegenüber ebensoviel in der Waage ein. Ebenso war auch bei der zweiten Finsterniss der mittlere Ort des Mondes in 26° 50′ der Fische, bei der dritten in 13° der Fische. Die mittlere Bewegung des Mondes unterscheidet sich von der jährlichen der Erde bei der ersten Finsterniss um 177° 50′, bei der zweiten um 182° 51′ und bei der dritten um 179° 58′.

[213]
Capitel 6.
Bestätigung dessen, was über die gleichmässigen Bewegungen der Länge und Anomalie des Mondes gesagt worden ist.

Aus dem, was an den Monfinsternissen entwickelt ist, lässt sich auch beurtheilen, ob es mit den gleichmässigen Bewegungen des Mondes, welche wir früher entwickelt haben, seine Richtigkeit hat. Es ist nämlich gezeigt, dass bei der zweiten der ersten Finsternisse der Abstand des Mondes von der Sonne 182° 47′[43], die Anomalie 64° 38′ betrug. Bei der zweiten der späteren Finsternisse aus unserer Zeit war der Abstand des Mondes von der Sonne 182° 51′, und die Anomalie 74° 27′. Es liegen aber in der Zwischenzeit 17166 volle Monate und überdies 4′, und die Bewegung der Anomalie beträgt mit Weglassung der ganzen Kreise 9° 49′. Die Zeit aber, welche verstrich vom 19ten Jahre Hadrians, den zweiten Chöak 2 Stunden vor Mitternacht, welcher der 3te Tag desselben Monats folgte, bis zum Jahre Christi 1522 den 5ten September 1⅓ Uhr wahre Zeit, beträgt, wenn Alles auf mittlere Zeit reducirt ist, 1388 ägyptische Jahre 302 Tage 3⅓ Stunden, was auf mittlere Zeit reducirt 3h 34m nach Mitternacht giebt.[44] Und in dieser Zeit wäre die Bewegung des Mondes ausser 17165 voller Umläufe oder gleicher Monate, nach Hipparch und Ptolomäus gewesen 359° 38′[45]. Bei der Anomalie aber nach Hipparch 9° 37′, nach Ptolomäus dagegen 9° 11′[46]. Es fehlen also der Bewegung des Mondes seit jenen Beiden 26′[47], der Anomalie 38′[48], welche bei den unsrigen hinzukommen, und dies stimmt mit den Zahlen, welche wir entwickelt haben.

Capitel 7.
Ueber die Oerter der Länge und der Anomalie des Mondes.

Nunmehr müssen auch hier, wie früher, die Oerter oder die bestimmten Anfangspunkte für die Jahre der Olympiaden, Alexanders, Cäsars, Christi und wenn sonst noch welche zu wünschen wären, festgestellt werden. Wenn wir zu dem Ende die zweite von den dreien alten Finsternissen berücksichtigen, welche im 19ten Jahre Hadrians, am 2ten Chöak der Aegypter eine Stunde vor Mitternacht zu Alexandrien, für uns aber unter dem Meridian von Krakau zwei Stunden vor Mitternacht sich zugetragen hat: so finden wir vom Anfange der Jahre Christi bis zu diesem Augenblicke 133 ägyptische Jahre 325 Tage 22 Stunden, genauer aber 21 Stunden 37 Minuten. In dieser Zeit ist die Bewegung des Mondes nach unserer Berechnung 332° 49′[49], die der Anomalie 217° 30′[50]. Wenn man diese Grössen beziehlich von denjenigen abzieht, welche bei der Finsterniss gefunden sind: so bleibt als mittlerer Ort des Mondes von der Sonne 209° 58′[51] und für die Anomalie 207° 7′[52] für den Anfang der Jahre Christi um Mitternacht den 1sten Januar. Nun sind es wieder bis zum Anfange der Jahre Christi 193 [214] Olympiaden 2 Jahre und 184½[53] Tage, welche 775 ägyptische Jahre 12½ Tage oder genauer 12 Stunden 11 Minuten ausmachen. Ebenso rechnet man vom Tode Alexanders bis Christi Geburt 323 Jahre ägyptisch 130½ Tage[54] wahre Zeit, genau aber 12h 16m. Und von Cäsar bis Christus sind es 45 ägyptische Jahre und 12 Tage, bei welchen Beiden die mittlere mit den wahren Zeiten übereinstimmen. Wenn wir also die Bewegungen, welche diesen Zeitdifferenzen entsprechen, von den Oertern Christi abziehen: so erhalten wir für den Mittag des ersten Hekatombäon der ersten Olympiade als mittleren Abstand des Mondes von der Sonne 39° 48′[55] und als Anomalie 46° 20′[56]. Für den Mittag des ersten Thoth der Jahre Alexanders: Mond von der Sonne 310° 44′[57], Anomalie 85° 41′[58]. Für Mitternacht des ersten Januars der Jahre Cäsars: Mond von der Sonne 350° 39′[59], Anomalie 17° 58′[60]. Alles dieses gilt für den Meridian von Krakau, da Frauenburg, wo wir meistens unsere Beobachtungen gemacht haben, an der Mündung der Baude gelegen, diesem Meridiane angehört, wie uns die an beiden Orten zugleich beobachteten Sonnen- und Mondfinsternisse gelehrt haben; unter diesem Meridian liegt auch das macedonische Dyrrhachium, welches vor Alters Epidamnum hiess[61].

Capitel 8.
Ueber die zweite Ungleichmässigkeit des Mondes, und welches Verhältniss der erste Epicykel zu dem zweiten hat.

So ist also die gleichmässige Bewegung des Mondes, nebst ihrer ersten Ungleichmässigkeit entwickelt. Nunmehr haben wir zu untersuchen, in welchem Verhältniss der erste Epicykel zu dem zweiten, und jeder von Beiden zu der Entfernung von dem Mittelpunkte der Erde steht. Es findet sich aber, wie gesagt, die grösste Ungleichmässigkeit in den mittleren Quadraturen, wenn der zunehmende oder abnehmende Mond halb ist, und sie dehnt sich auf 7⅔° aus, wie das auch die Alten angemerkt haben[62]. Sie beobachteten nämlich die Zeit, zu welcher das Mondviertel nahe mit der mittleren Entfernung des Epicykels zusammentraf, und zwar in der Gegend des Berührungspunktes mit der vom Mittelpunkte der Erde gezogenen geraden Linie. Diese Zeit konnte durch die oben entwickelte Berechnung leicht ermittelt werden. Da nun zu dieser Zeit der Mond in der Gegend des 90sten Grades der Ekliptik, von Osten nach Westen gerechnet, steht: so vermieden sie den Fehler, welchen die Parallaxe für die Länge herbeiführen konnte. Denn alsdann schneidet der Vertikalkreis die Ekliptik rechtwinklig, und lässt keine Aenderung der Länge zu, sondern die ganze Aenderung fällt auf die Breite. Nun massen sie mit Hülfe des Astrolabiums den Ort des Mondes bezogen auf die Sonne, und fanden bei angestellter Vergleichung, wie gesagt, den Mond um 7° 40′ anstatt um 5° abweichend von dem mittleren Orte. Man construire den Epicykel , sein Mittelpunkt sei ; von

[215]
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dem Mittelpunkte der Erde werde die grade Linie gezogen, das Apogeum des Epicykels sei , das Perigeum , sei eine Tangente an den Epicykel, man verbinde mit . In der Tangente findet die grösste Prosthaphärese statt, und diese ist in dem vorliegenden Falle 7° 40′ = dem Winkel . Der Winkel aber ist wegen der Tangente ein Rechter. Deshalb ist = 1334 solcher Theile, von denen 10000 auf gehen. Dieser Abstand war aber beim vollen und neuen Monde weit kleiner, nämlich ungefähr 860[63] derselben Theile. Schneidet man auf das Stück = 860 ab: so stellt den Punkt dar, welchen der neue oder volle Mond bei seinem Umlaufe erreicht, und der Rest = 474 ist der Durchmesser des zweiten Epicykels. Halbirt man denselben in dem Mittelpunkte : so ist = 1097 der Radius desjenigen Kreises, welchen der Mittelpunkt des zweiten Epicykels beschreibt. Folglich ergiebt sich das Verhältniss von zu wie 1097 zu 237, wenn 10000 solcher Theile enthält.
Capitel 9.
Ueber eine andere Ungleichmässigkeit, mit welcher der Mond von der grössten Abside des Epicykels ungleichmässig sich zu bewegen scheint.

Aus dieser Ableitung lässt sich auch erkennen, wie der Mond in seinem ersten Epicykel sich ungleichmässig bewegt, wobei die grösste Differenz dann eintritt, wenn er sichelförmig oder höckerig oder auch halbvoll ist. Es sei wiederum jener erste Epicykel, welchen der Mittelpunkt des zweiten Epicykels beschreibt; sein Mittelpunkt , die grösste Abside , die kleinste . Irgendwo in der Peripherie werde der Punkt angenommen, und gezogen. Es verhalte sich aber zu wie 1097 zu 237. Um den Mittelpunkt werde mit dem Radius der zweite Epicykel beschrieben, und die beiden Tangenten und gezogen. Die Bewegung des kleinen Epicykels gehe von nach vor sich, d. h. oben rückläufig. Der Mond aber bewege sich von nach ebenfalls rückläufig. Es ergiebt sich also, dass, während die Bewegung gleichmässig ist, der zweite Epicykel, durch seine Bewegung eben jene Gleichmässigkeit um den Bogen vergrössert, und durch vermindert. Nun ist aber in dem Dreiecke , der Winkel bei ein rechter, und enthält 237 solcher Theile, von denen auf 1097

[216]
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kommen, und wenn selber 10000 Theile enthält: so kommen auf 2160; dies ist die halbe Sehne des doppelten Winkels , der nach dem Verzeichnisse 7° 28′ fasst und dem Winkel gleich ist, weil die Dreiecke ähnlich und gleich sind. Und so gross ist also der grösste Unterschied, um welchen der Mond von der grössten Abside des ersten Epicykels abweicht. Dies tritt aber ein, wenn der Mond nach der einen oder andern Seite von der Linie der mittleren Bewegung der Erde um 38° 46′ absteht. Folglich ist klar, dass bei einem mittleren Abstande des Mondes von der Sonne um 38° 46′, und um ebensoviel zu beiden Seiten der mittleren Opposition, jene grössten Prosthaphäresen eintreten.
Capitel 10.
Wie die erscheinende Bewegung des Mondes aus den gegebenen gleichmässigen abgeleitet wird.

Nachdem dies Alles so vorausgeschickt ist, wollen wir nun zeigen, wie aus jenen gegebenen gleichmässigen Bewegungen des Mondes die erscheinende und gleichmässige Bewegung auf dem Wege der Construction abgeleitet wird; indem wir ein Beispiel aus den Beobachtungen des Hipparch nehmen, an welchem die Ableitung zugleich durch den Versuch bewiesen wird. Im Jahre 197 nach Alexanders Tode also, am 17ten Pauni, des zehnten ägyptischen Monats, nach Ablauf von 9⅓ Tagesstunden, fand Hipparch[64] in Rhodos bei der Beobachtung der Sonne und des Mondes mittelst des Astrolabiums, dass sie um 48⅒° von einander abstanden, und der Mond der Sonne um so viel nachfolgte. Da er nun den Ort der Sonne auf 11° weniger ⅒° des Krebses[65] bestimmte: so folgte, dass der Mond in 29° des Löwen[66] stand. Um dieselbe Zeit ging der 29ste Grad des Skorpions auf, während der 10te Grad der Jungfrau durch den Meridian von Rhodos ging, und der Nordpol 36° Höhe hatte[67]. Hienaus ergiebt sich, dass der Mond, welcher damals um 90° in der Ekliptik von dem Horizonte entfernt war, keine oder wenigstens eine unmerkliche Parallaxe in der Länge erlitt. Da aber diese Beobachtung an jenem siebenzehnten Tage 3⅓ Stunden, welchen für Rhodos 4 Aequinoctialstunden entsprechen[68], Nachmittags angestellt wurde[69], so waren diese für Krakau 3⅙ Aequinoctialstunden, weil Rhodos um ⅙ Stunde uns näher liegt als Alexandrien. Es waren also seit Alexanders Tode 196 Jahre 286 Tage 3 Stunden 10 Minuten nach einfacher Rechnung; genau aber 3 Stunden 20 Minuten verflossen. In dieser Zeit kam die Sonne in mittlerer

[217]
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Bewegung nach 12° 3′ des Krebses, in der erscheinenden aber nach 10° 40′ des Krebses, woraus hervorgeht, dass der Mond in der That in 28° 37′ des Löwen stand. Es war aber die gleichmässige Bewegung des Mondes nach der monatlichen Umdrehung 45° 5′, die Bewegung der Anomalie von der grössten Abside nach unserer Berechnung 333°. Nach der Vorschrift dieses Beispiels beschreiben wir den ersten Epicykel , dessen Mittelpunkt sei, der Durchmesser werde bis zum Mittelpunkte der Erde gradlinig verlängert und sei . Nun nehmen wir auf dem Epicykel den Bogen zu 333°, ziehen und theilen diese Linie in so, dass 237 solcher Theile enthält, von denen auf 1097 gehen. Um als Mittelpunkt beschreiben wir mit dem Radius den Epicykel des Epicykels. Der Mond befinde sich im Punkte . Der Bogen sei 90° 10′, doppelt so gross als die gleichmässige Bewegung von der Sonne, welche 45° 5′ betrug. Man ziehe , und . Da nun von dem Dreiecke die beiden Seiten = 1097 und = 237 = , und der Winkel = 90° 10′ gegeben sind: so ergiebt sich auch nach den Sätzen der ebenen Dreiecke die dritte Seite = 1123 und der Winkel = 12° 11′, woraus auch der Bogen , als die zu addirende Prosthaphärese der Anomalie, bekannt ist. Es wird also der ganze Bogen 345° 11′ und als Rest der Winkel 14° 49′ als wahrer Abstand des Mondes von der grössten Abside des Epicykels , und der Winkel = 165° 11′. Hierdurch sind auch in dem Dreiecke die beiden Seiten = 1123 und = 10000 und der Winkel = 165° 11′ gegeben. Hieraus erhalten wir den Winkel = 1° 29′ und die Prosthaphärese, welche zur mittleren Bewegung des Mondes addirt werden muss, damit sie zum wahren Abstande des Mondes vom mittleren Orte der Sonne = 46° 34′ wird. Und sein scheinbarer Ort, 28° 37′ des Löwen, stand vom wahren Orte der Sonne um 47° 57′ ab, was nur um 9′ von der Beobachtung des Hipparch abweicht[70]. Damit aber Niemand wähne, dass entweder die Beobachtung Jenes, oder unsere Berechnung wenigstens in geringem Grade falsch sei, wollen wir doch zeigen, dass weder Jener noch wir einen Fehler begangen haben, sondern dass Alles so richtig ist. Denn, wenn wir uns erinnern, dass die Mondbahn geneigt ist: so werden wir auch zugestehen, dass dies in der Ekliptik eine kleine Aenderung in der Länge bewirkt, vorzüglich in der Gegend der mittleren Oerter, welche zwischen den nördlichsten und südlichsten Punkten und den beiden Knoten liegen, und zwar in der Weise wie bei der schiefen Ekliptik und dem Aequator, und wie wir in Bezug auf die Ungleichmässigkeit

[218] des natürlichen Tages auseinandergesetzt haben. Ebenso finden wir auch, wenn wir die Berechnung auf die Mondbahn, von der Ptolomäus gelehrt hat, dass sie gegen die Ekliptik geneigt sei, übertragen: dass der Unterschied der Länge für jene Oerter in Bezug auf die Ekliptik 7′ beträgt, welcher Unterschied verdoppelt zu 14 Minuten wird, und so in entsprechendem Wachsen und Abnehmen auftritt. Stehen also Sonne und Mond um einen Viertelkreis auseinander, und befindet sich die nördliche und südliche Grenze der Breite in der Mitte zwischen denselben: so ist der eingeschlossene Bogen der Ekliptik um 14 Minuten grösser als der Quadrant der Mondbahn, und die Kreise durch die Pole der Ekliptik schliessen in den übrigen Quadranten, welche durch die Knoten halbirt werden, ebenso viel weniger als der Quadrant ein; und so auch hier. Da der Mond etwa in der Mitte zwischen der südlichen Grenze und dem aufsteigenden Knoten, welchen die Neueren den Drachenkopf nennen, stand; und die Sonne schon an dem andern, absteigenden Knoten, welchen Jene den Schwanz nennen, vorüber war: so kann es nicht befremden, wenn jene Monddistanz von 47° 57′ in seiner schiefen Bahn, auf die Ekliptik reducirt, sich vergrösserte um wenigstens 7′; abgesehen davon, dass auch die Sonne bei ihrem Untergange die Erscheinung etwas verkleinerte, worüber bei der Entwickelung der Parallaxen deutlicher gehandelt werden soll. So stimmt jene Monddistanz, welche Hipparch durch sein Instrument auf 48° 6′ bestimmt hat, in bewunderungswürdiger Weise, wie nach einer Verabredung, mit unserer Berechnung überein.

Capitel 11.
Ableitung des Verzeichnisses der Prosthaphäresen oder der Mondgleichungen.

An diesem Beispiele, glaube ich, kann die Methode, die Mondbewegungen zu berechnen, im Allgemeinen eingesehen werden. Die beiden Seiten und des Dreiecks bleiben immer dieselben; nach dem Winkel , welcher sich fortwährend ändert, aber doch immer gegeben ist, berechnen wir die dritte Seite nebst dem Winkel , welcher die Prosthaphärese zur Ausgleichung der Anomalie liefert. Wenn ferner in dem Dreiecke die beiden Seiten und nebst dem Winkel in Zahlen gegeben sind: so ergiebt sich in derselben Weise der Winkel zwischen der gleichmässigen und der wahren Bewegung am Mittelpunkt der Erde. Um dies noch zu erleichtern, wollen wir ein Verzeichniss dieser Prosthaphäresen aufstellen, welches sechs Spalten enthält. Auf die beiden gemeinsamen Zahlenangaben des Kreises folgen in dritter Reihe die Prosthaphäresen, welche von dem kleinen Epicykel herrührend, in zweimonatlicher Bewegung, die Gleichmässigkeit der ersten Anomalie ändern. Die darauf folgende Spalte bleibt noch leer und künftigen Zahlen vorbehalten. Die fünfte Spalte nehmen wir zu den Prosthaphäresen des ersten und grösseren Epicykels, welche in den

[219]
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mittleren Conjunctionen und Oppositionen der Sonne und des Mondes verschwinden, und deren grösster Werth 4° 56′[71] ist. In die vorletzte Spalte werden die Zahlen gesetzt, um welche die Prosthaphäresen, die bei den Mondvierteln entstehen, jene früheren übertreffen; ihr grösster Werth ist 2° 44′[72]. Um aber auch alle übrigen Abweichungen schätzen zu können, sind Proportionalminuten aufgestellt, deren Bedeutung folgende ist. Die 2° 44′ wurden als 60 genommen, und diese ändern sich bei jeder beliebigen andern Abweichung des Epicykels entsprechend. In demselben Beispiele, wo wir die Linie zu 1123 solcher Theile nahmen, von denen 10000 auf gehen, wird beim Zusammentreffen des Epicykels die grösste Prosthaphärese zu 6° 29′[73], welche jene erstere um 1° 33′[74] übertrifft. Nun verhalten sich aber 2° 44′ zu 1° 33′ wie 60 zu 34[75] und hieran haben wir das Verhältniss der Abweichung, welche in dem Halbkreise des kleinen Epicykels eintritt, zu derjenigen, welche für den gegebenen Bogen von 90° 18′ gilt. Wir werden also in der Tafel 34′ in die Gegend von 90° schreiben. Auf diese Weise finden wir für die einzelnen, im Verzeichnisse vorgeschriebenen Bogen desselben Kreises die Proportionaltheile, welche in die leergelassene vierte Spalte eingetragen werden müssen. In der letzten Spalte endlich haben wir die Grade der nördlichen und südlichen Breite hinzugefügt, über welche wir weiter unten sprechen werden. Denn die Bequemlichkeit und die Praxis der Rechnung lehrte uns, dass wir dieselben in dieser Ordnung aufstellen mussten. [220]
TAFEL DER MOND-PROSTHAPHÄRESEN ODER MONDGLEICHUNGEN.[75]
Gemeinschaftliche Zahlen Prostaphäresen des kleinen Epicykels Proportional-Minuten Prostaphäresen des grossen Epicykels Abweichung Nördliche Breite
Grade Grade Grad Min. Grad Min. Grad Min. Grad Min.
003 357 00 51 00 0 14 0 07 4 59
006 354 01 40 00 0 28 0 14 4 58
009 351 02 28 01 0 43 0 21 4 56
0
012 348 03 15 01 0 57 0 28 4 53
015 345 04 01 02 1 11 0 35 4 50
018 342 04 47 03 1 24 0 43 4 45
0
021 339 05 31 03 1 38 0 50 4 40
024 336 06 13 04 1 51 0 56 4 34
027 333 06 54 05 2 05 1 04 4 27
0
030 330 07 34 05 2 17 1 12 4 20
033 327 08 10 06 2 30 1 18 4 12
036 324 08 44 07 2 42 1 25 4 03
0
039 321 09 16 08 2 54 1 30 3 53
042 318 09 47 10 3 06 1 37 3 43
045 315 10 14 11 3 17 1 42 3 32
0
048 312 10 30 12 3 27 1 48 3 20
051 309 11 00 13 3 38 1 52 3 08
054 306 11 21 15 3 47 1 57 2 56
0
057 303 11 38 16 3 56 2 02 2 44
060 300 11 50 18 4 05 2 06 2 30
063 297 12 02 19 4 13 2 10 2 16
0
066 294 12 12 21 4 20 2 15 2 02
069 291 12 18 22 4 27 2 18 1 47
072 288 12 23 24 4 33 2 21 1 33
0
075 285 12 27 25 4 39 2 25 1 18
078 282 12 28 27 4 43 2 28 1 02
081 279 12 26 28 4 47 2 30 0 47
0
084 276 12 23 30 4 51 2 34 0 31
087 273 12 17 32 4 53 2 37 0 16
090 270 12 12 34 4 55 2 40 0 00
[221]
TAFEL DER MOND-PROSTHAPHÄRESEN ODER MONDGLEICHUNGEN.
Gemeinschaftliche Zahlen Prostaphäresen des kleinen Epicykels Proportional-Minuten Prostaphäresen des grossen Epicykels Abweichung Südliche Breite[76]
Grade Grade Grad Min. Grad Min. Grad Min. Grad Min.
093 267 12 03 35 4 56 2 42 0 16
096 264 11 53 37 4 56 2 42 0 31
099 261 11 41 38 4 55 2 43 0 47
0
102 258 11 27 39 4 54 2 43 1 02
105 255 11 10 41 4 51 2 44 1 18
108 252 10 52 42 4 48 2 44 1 33
0
111 249 10 35 43 4 44 2 43 1 47
114 246 10 17 45 4 39 2 41 2 02
117 243 09 57 46 4 34 2 38 2 16
0
120 240 09 35 47 4 27 2 35 2 30
123 237 09 13 48 4 20 2 31 2 44
126 234 08 50 49 4 11 2 27 2 56
0
129 231 08 25 50 4 02 2 22 3 09
132 228 07 59 51 3 53 2 18 3 21
135 225 07 33 52 3 42 2 13 3 32
0
138 222 07 07 53 3 31 2 08 3 43
141 219 06 38 54 3 19 2 01 3 53
144 216 06 09 55 3 07 1 53 4 03
0
147 213 05 40 56 2 53 1 46 4 12
150 210 05 11 57 2 40 1 37 4 20
153 207 04 42 57 2 25 1 28 4 27
0
156 204 04 11 58 2 10 1 20 4 34
159 201 03 41 58 1 55 1 12 4 40
162 198 03 10 59 1 39 1 04 4 45
0
165 195 02 39 59 1 23 0 53 4 50
168 192 02 07 59 1 07 0 43 4 53
171 189 01 36 60 0 51 0 33 4 56
0
174 186 01 04 60 0 34 0 22 4 58
177 183 00 32 60 0 17 0 11 4 59
180 180 00 00 60 0 00 0 00 5 00
[222]
Capitel 12.
Ueber die Berechnung des Mondlaufes.

Die Methode, nach welcher die erscheinende Mondbewegung berechnet wird, ergiebt sich aus dem Dargelegten, und ist folgende. Die gegebene Zeit, für welche wir den Ort des Mondes suchen, reduciren wir auf die gleichmässige; durch diese leiten wir die mittleren Bewegungen der Länge, Anomalie und Breite, welche Letztere wir auch bald bestimmen wollen, in derselben Weise her, wie wir es bei der Sonne gethan haben, von dem gegebenen Anfange Christi oder einem andern an gerechnet; und stellen die Oerter der einzelnen Bestimmungen für die gegebene Zeit fest. Darauf suchen wir die gleichmässige Länge des Mondes, oder seine doppelte Distanz von der Sonne in der Tafel, und notiren die in der dritten Spalte danebenstehende Prosthaphärese nebst den darauf folgenden Proportionaltheilen. Wenn nun die Zahl, mit welcher wir in die Tafel eingegangen sind, in der ersten Spalte steht oder kleiner als 180° ist: so addiren wir die Prosthaphärese zu der Mond-Anomalie, wenn sie aber grösser als 180° ist, und in der zweiten Spalte steht, so ziehen wir sie davon ab, und erhalten die ausgeglichene Anomalie des Mondes, als seine wahre Distanz von der grössten Abside, mit welcher wir wieder in die Tafel eingehen, und die entsprechende Prosthaphärese der fünften Spalte, nebst der Abweichung, welche in der sechsten Spalte folgt, entnehmen; diese Abweichung vergrössert der zweite Epicykel an dem ersten; der hierzu gehörende Proportionaltheil wird nach dem Verhältniss der gefundenen Proportionaltheile zu 60 berechnet, und immer zu dieser Prosthaphärese addirt. Diese Summe wird von der mittleren Bewegung der Länge und Breite abgezogen, so lange die ausgeglichene Anomalie kleiner als 180° oder als der Halbkreis ist: und addirt, wenn die Anomalie grösser ist. Auf diese Weise erhalten wir den wahren Abstand des Mondes von dem mittleren Orte der Sonne, und die ausgeglichene Bewegung der Breite. Daraus ist denn auch der wahre Ort des Mondes, sowohl vom ersten Sterne des Widders durch die einfache Bewegung der Sonne, als auch vom Frühlingsnachtgleichenpunkte durch die zusammengesetzte, nämlich durch die wegen der Präcession desselben corrigirte. Durch die ausgeglichene Bewegung der Breite endlich erhalten wir aus der siebenten und letzten Spalte des Verzeichnisses die Grade der Breite, um welche der Mond von der Ekliptik absteht. Diese Breite wird aber dann nördlich sein, wenn die Bewegung der Länge[77] auf der ersten Seite der Tafel steht, d. h. wenn sie kleiner als 90° oder grösser als 270° ist; sonst ergiebt sich eine südliche Breite. Und demnach steigt der Mond von Norden herab bis 180°, und erhebt sich von jener südlichen Grenze, bis er die andere Hälfte des Kreises durchlaufen hat. Auf diese Weise hat der erscheinende Mondlauf gewissermaassen ebensoviel um den Mittelpunkt der Erde auszuführen, als der Mittelpunkt der Erde um die Sonne.

[223]
Capitel 13.
Wie die Bewegung der Mondbreite untersucht und abgeleitet wird.

Nun muss auch die Berechnung der Bewegung der Mondbreite entwickelt werden, welche deswegen schwieriger zu finden zu sein scheint, weil sie von mehr Umständen abhängt. Denn, wie wir oben gesagt haben, wenn zwei Mondfinsternisse in Allem ähnlich und gleich sind, d. h. wenn die verdunkelten Theile dieselben nördlichen oder südlichen Lagen haben, und an demselben aufsteigenden oder absteigenden Knoten stattfinden, und auch die Entfernung des Mondes von der Erde und von der grössten Abside dieselbe ist: so lässt sich wohl erkennen, dass der Mond, bei Eintritt jener Uebereinstimmung, in seiner wahren Bewegung ganze Umläufe seiner Breite zurückgelegt hat; und da der Schatten der Erde ein Kegel ist, und — wenn ein grader Kegel durch eine mit der Basis parallele Ebene geschnitten wird — der Schnittkreis kleiner in grösserer, grösser in kleinerer und folglich gleich in gleicher Entfernung von der Basis ist: so wird auch der Mond in gleichen Entfernungen von der Erde gleiche Schattenkreise passiren und uns bei den Beobachtungen gleiche Scheiben seiner selbst darbieten. Hieraus folgt, dass der Mond, wenn er an derselben Stelle und in gleicher Entfernung von dem Mittelpunkte des Schattens um gleiche Theile hervorragt, uns seiner gleichen Breite versichert, woraus geschlossen werden muss, dass er, an den früheren Ort der Breite zurückgekehrt, von demselben Punkte der Ekliptik um gleiche Bogen abstehe; — namentlich wenn auch der Ort für beide Körper übereinstimmt: — denn sowohl sein eigenes Nähern und Entfernen, als auch dasjenige der Erde ändert die ganze Grösse des Schattens, und zwar in einem Maasse, welches kaum ermittelt werden kann. Jemehr also die Zeit für beide übereinstimmt, desto bestimmter können wir die Bewegung der Mondbreite erhalten, wie das schon bei der Sonne erwähnt ist. Da es aber selten vorkommt, dass man zwei in diesen Beziehungen übereinstimmende Finsternisse findet, — uns sind wenigstens bis heute keine solche begegnet, — so wollen wir zeigen, dass es auch einen andern Weg giebt, auf welchem man dasselbe erreichen kann. Wenn nämlich der Mond, während die übrigen Bedingungen bleiben, auf entgegengesetzten Seiten, und an entgegengesetzten Knoten verfinstert wird: so beweist dies, dass der Mond bei der zweiten Finsterniss an einen dem früheren diametral entgegengesetzten Ort gelangt ist, und ausser ganzen Umläufen, einen Halbkreis beschrieben hat. Dies scheint zur Untersuchung dieses Gegenstandes auszureichen. Wir haben nämlich zwei Finsternisse gefunden, welche diesen Bedingungen nahe kommen: die Erste, im 7ten Jahre des Ptolomäus Philometor, welches das 150ste Alexanders war, nachdem, wie Claudius[78] sagt, 27 Tage des siebenten ägyptischen Monats Phamenoth verstrichen war, in der Nacht, auf welche der 28ste folgte. Der Mond wurde vom Anfange der 8ten Stunde bis zum Ende der 10ten Stunde in nächtlichen Zeitstunden Alexandriens, im Maximum um 7 Zoll des Monddurchmessers von Norden [224] her bei absteigendem Knoten verfinstert. Die Mitte der Verfinsterungszeit war zwei Zeitstunden (wie er sagt) nach Mitternacht, welche 2⅓ Aequinoctialstunden ausmachen, während die Sonne im sechsten Grade des Stiers stand, in Krakau wäre es eine und ⅓ Stunde gewesen. Die Zweite haben wir unter dem Meridiane von Krakau im Jahre Christi 1509 den 2ten Juni, als die Sonne im 21sten Grade der Zwillinge stand, beobachtet; ihre Mitte fiel 11⅗ Aequinoctialstunden nach dem Mittage jenes Tages, wobei ungefähr 8 Zoll des Monddurchmessers von Süden her beim aufsteigenden Knoten verfinstert wurden. Es sind also vom Anfange der Jahre Alexanders 149 ägyptische Jahre 206 Tage 14⅓ Stunden Alexandriner Zeit, aber 13⅓ Stunden scheinbare Krakauer Zeit, genau 13½ Stunden. Zu dieser Zeit war der Ort der gleichmässigen Anomalie nach unserer Rechnung 163° 33′, was mit Ptolomäus[79] ungefähr stimmt, und die Prosthaphärese betrug 1° 23′, um welche der wahre Ort des Mondes kleiner war, als der gleichmässige. Für die zweite Finsterniss waren es aber seit demselben Anfange der Jahre Alexanders 1832 ägyptische Jahre 295 Tage 11 Stunden 45 Minuten scheinbare Zeit, gleichmässige aber 11 Stunden 55 Minuten. Daher betrug die gleichmässige Bewegung des Mondes 182° 18′, der Ort der Anomalie 159° 55′, die ausgeglichene aber 159° 13′, die Prosthaphärese, um welche die gleichmässige Bewegung kleiner war, als die scheinbare, 1° 44′. Es ergiebt sich also, dass bei beiden Finsternissen die Entfernung des Mondes von der Erde gleich, und die Sonne bei beiden im Apogeum gewesen ist; aber in der Verfinsterung bestand ein Unterschied von einem Zoll. Da aber der Durchmesser des Mondes ungefähr einen halben Grad einzunehmen pflegt, wie wir später beweisen werden: so beträgt sein zwölfter Theil, für einen Zoll, 2½ Minuten, denen für den schiefen Kreis des Mondes in der Nähe des Knoten fast ein halber Grad entspricht, um welchen bei der zweiten Finsterniss der Mond von dem aufsteigenden Knoten mehr entfernt war, als bei der ersten von dem absteigenden Knoten, woraus klar ist, dass die wahre Bewegung der Mondbreite ausser den vollen Umläufen 179½° betragen hat. Aber zu der gleichmässigen Anomalie des Mondes zwischen der ersten und zweiten Finsterniss kommen 21 Minuten hinzu, um welche die Prosthaphäresen unter sich verschieden sind. Wir haben also die gleichmässige Bewegung der Mondbreite ausser den ganzen Umläufen = 179° 51′. Die Zeit zwischen beiden Finsternissen betrug 1683 ägyptische Jahre 88 Tage 22 Stunden 35 Minuten scheinbarer Zeit, welche mit der gleichmässigen übereinstimmt. In dieser Zeit sind 22577 Umläufe 179° 51′ vollendet, und dies stimmt mit dem, was wir schon entwickelt haben.

Capitel 14.
Ueber die Oerter der Anomalie der Breite des Mondes.

Um aber auch die Oerter dieser Bewegung für die früher angenommenen Anfänge festzustellen, haben wir noch zwei Mondfinsternisse hinzugenommen,

[225] nicht an demselben Knoten, auch nicht, wie im Vorhergehenden, in diametral entgegengesetzten, sondern in denselben, nördlichen oder südlichen Punkten; während nach der Vorschrift des Ptolomäus[80] alle übrigen Umstände, wie wir dieselben angegeben haben, gewahrt bleiben; und durch diese werden wir unsern Zweck fehlerfrei erreichen. Die erste Finsterniss, deren wir uns schon bei der Untersuchung der anderen Bewegungen des Mondes bedient haben[81], war diejenige von der wir gesagt haben, dass sie von Cl. Ptolomäus beobachtet ist, und zwar im 19ten Jahre Hadrian’s, nachdem zwei Tage des Monats Choiak verflossen waren, um eine Aequinoctialstunde Alexandriner Zeit vor Mitternacht, also nach Krakauer Zeit zwei Stunden vor Mitternacht, auf welche der dritte Tag folgte. Der Mond wurde um die Mitte der Finsterniss auf zehn Zwölftel des Durchmessers, d. h. zehn Zoll von Norden verfinstert, während die Sonne in 25° 10′ der Waage stand; der Ort der Anomalie des Mondes war 64° 38′ und ihre abzuziehende Prosthaphärese betrug 4° 20′ in der Gegend des absteigenden Knoten. Die zweite haben wir wieder mit grosser Sorgfalt zu Rom beobachtet, im Jahre Christi 1500 den 6ten November zwei Stunden nach der Mitternacht, welche den 6ten November anfing. Zu Krakau, das 5 Grade östlich liegt, war es zwei und zweifünftel Stunden nach Mitternacht, während die Sonne in 23° 16′[82] des Skorpions stand; es wurden wieder von Norden her 10 Zoll verfinstert. Dies sind also vom Tode Alexander’s 1824 ägyptische Jahre 84 Tage 14 Stunden 20 Minuten scheinbare, oder 14 Stunden 16 Minuten gleichmässige Zeit. Also war die mittlere Bewegung des Mondes 174° 14′, die Anomalie des Mondes 294° 40′, die ausgeglichene 291° 35′, die zu addirende Prosthaphärese 4° 28′. Es ist offenbar, dass der Mond bei diesen beiden Finsternissen auch einen gleichen Abstand von der grössten Abside hatte, auch war die Sonne bei beiden ungefähr in ihrer mittleren Abside, und die Grössen der Finsternisse waren gleich. Dies beweist, dass die südliche Breite des Mondes auch gleich war, und dass der Mond also gleiche Abstände von den Knoten hatte, aber hier aufsteigend, dort absteigend war. Es liegen nun zwischen beiden Finsternissen 1366 ägyptische Jahre 358 Tage 4 Stunden 20 Minuten scheinbare Zeit, gleichmässige aber 4 Stunden 24 Minuten, in welcher Zeit die mittlere Bewegung der Breite 159° 55′ beträgt.
Coppernicus 076.svg
Es sei nun der schiefe Kreis des Mondes, sein Durchmesser sei der gemeinschaftliche Schnitt mit der Ekliptik, in befinde sich die nördliche, in die südl. Grenze, sei der absteigende, der aufsteigende Knoten. Es mögen nun die beiden Bogen und auf der südlichen Hälfte gleich angenommen werden. Die erste Finsterniss fand im Punkte , die zweite in statt. Ferner sei die abzuziehende Prosthaphärese bei der ersten Finsterniss, die zu addirende bei der zweiten. Der Bogen enthält nun 159° 55′, wenn zu diesem = 4° 20′

[226] und = 4° 28′ hinzuaddirt wird: so wird der ganze Bogen = 168° 43′; der Rest des Halbkreises ist also 11° 17′ und dessen Hälfte 5° 39′ gleich gleich , nämlich gleich den wahren Abständen des Mondes von der Knotenlinie , und folglich ist = 9° 59′. Daraus ergiebt sich auch der mittlere Ort der Breite von der nördlichen Grenze, d. h. zu 99° 59′. Es sind aber bis zu diesem Orte und bis zu der Zeit der Ptolomäischen Beobachtung vom Tode Alexander’s 457 ägyptische Jahre 91 Tage 10 Stunden scheinbare, also 9 Stunden 54 Minuten gleichmässige Zeit verflossen, während welcher die Bewegung der Breite 50° 59′ betrug; wenn diese von 99° 59′ abgezogen werden, so bleiben 49° für den Mittag des ersten Tages des ersten ägyptischen Monats Thoth, zu Anfange der Jahre Alexanders. Dies ist aber auf den Meridian von Krakau bezogen. Hieraus sind auch für die übrigen Epochen, den Zeitdifferenzen gemäss, die Oerter der Breite des Mondes, von der nördlichen Grenze an gerechnet, gegeben und davon leiten wir die Bewegung selbst ab. Von der ersten Olympiade bis zum Tode Alexanders sind es 451 ägyptische Jahre 247 Tage, wovon zur Ausgleichung der Zeit 7 Minuten abgezogen werden. Zu dieser Zeit war der Ort der Breite 136° 57′. Von der ersten Olympiade bis auf Cäsar sind es 730 ägyptische Jahre 12 Stunden, denen zur Ausgleichung der Zeit 10 Minuten hinzugefügt werden. Zu dieser Zeit ist der gleichmässige Ort 206° 53′. Dann bis Christus 45 Jahre 12 Tage[83]. Wenn wieder von jenen 49° abgezogen werden 136° 57′, nachdem 360° hinzugefügt sind, so bleiben 272° 3′ für den Mittag des ersten Tages des Hekatombäon der ersten Olympiade. Wenn hierzu wieder 206° 53′ addirt werden, so kommen 118° 56′ für die Mitternacht des ersten Januar der julianischen Jahre; werden endlich 10° 49′ hinzuaddirt: so ergiebt sich der Ort Christi, ebenfalls um Mitternacht des ersten Januars, zu 129° 45′.

Capitel 15.
Coustruction des parallactischen Instrumentes.[84]

Dass die grösste Breite des Mondes, dem Neigungswinkel seiner Bahn gegen die Ekliptik entsprechend, fünf Grade beträgt, von denen 360 auf einen Kreis gehen, dies zu beobachten, hat uns das Schicksal nicht dieselbe Gelegenheit geboten, wie dem Cl. Ptolemäus, weil uns die Parallaxen des Mondes hinderlich waren. Dieser nämlich beobachtete zu Alexandrien, wo der Nordpol eine Höhe von 30° 58′ hat, bis zu welchem Grade der Mond sich dem Zenith am meisten näherte, also wenn er im Anfange des Krebses und in seiner nördlichen Grenze stand, was er schon durch die Rechnung vorauswissen konnte. Er fand nun damals mittelst eines Instrumentes, — welches er das parallactische nennt, und welches dazu eingerichtet war, die Parallaxen des Mondes zu messen, — den kleinsten Abstand des Mondes vom Zenith zu 2⅛°, bei welchem die Parallaxe, wenn überhaupt eine solche [227] stattfand, eben wegen dieses so kleinen Abstandes, eine nur sehr mässige[WS 10] sein musste. Zieht man 2⅛° von 30° 58′ ab, so bleiben 28° 51½′, was die grösste Schiefe der Ekliptik, die damals 23° 51′ 20″[85] betrug, um ungefähr 5 volle Grade übertrifft, und diese Breite des Mondes findet sich nach den übrigen Einzelnheiten bis heute übereinstimmend. Das parallactische Instrument besteht aus dreien Linealen, von denen zwei gleich und wenigstens vier Ellen lang sind, das dritte aber länger ist. Dieses und das eine der beiden anderen sind mit den beiden Enden des dritten durch kunstgerechte Durchbohrungen und dazu passende Axen oder Stifte so verbunden, dass sie sich in einer und derselben Ebene drehen, aber in jenen Gelenken durchaus nicht zittern können. Auf dem längeren Lineale ist, von dem Mittelpunkte seines Gelenkes, seiner ganzen Länge nach eine grade Linie eingeschnitten, auf welcher ein, dem so genau als möglich gemessenen Abstande der Gelenke gleiches Stück abgetragen ist. Dieses wird in tausend, oder wo möglich in mehr gleiche Theile getheilt, und diese Theilung auf der Verlängerung in gleicher Weise fortgesetzt, bis das Ganze 1414 Theile enthält. Dies ist die Länge der Seite eines Quadrates, welches in einen Kreis eingezeichnet werden kann, dessen Radius 1000 Theile enthält. Das Uebrige, um was dieses Lineal länger ist, kann als überflüssig abgeschnitten werden. Auch auf dem andern Lineale wird, von dem Mittelpunkte des Gelenkes aus, eine Linie gezeichnet, welche tausend jener Theile enthält, also dem Abschnitte zwischen den Mittelpunkten der Gelenke auf dem ersten Lineale gleich ist. Dasselbe trägt an der Seite Oeffnungen, wie es beim Diopter üblich ist, durch welche gesehen wird, und die so abgepasst sind, dass die Absehenslinie gegen die Linie, welche auf der Länge des Lineales gezeichnet ist, sich durchaus nicht neigt, sondern von derselben überall gleich weit absteht. Es ist auch dafür gesorgt, dass diese Linie, welche mit ihrem Ende an das längere Lineal reicht, die getheilte Linie treffen kann; so dass auf diese Weise aus den Linealen ein gleichschenkliges Dreieck gebildet wird, dessen Basis aus Theilen der eingetheilten Linie besteht. Hierauf wird ein sehr gut gekanteter und polirter Pfahl aufgerichtet und befestigt, an welchen das Instrument mit demjenigen Lineale, welches die beiden Gelenke trägt, mittelst einiger Hespen angefügt wird, in denen es sich wie eine Thür drehen kann; so zwar, dass die grade Linie, welche durch die Mittelpunkte der Gelenke des Lineales geht, immer senkrecht steht und auf das Zenith, wie die Axe des Horizontes, gerichtet ist. Will man nun die Zenithdistanz irgend eines Sternes finden, so sieht man, nachdem das Gestirn durch die Diopter des Lineals richtig visirt und das Lineal mit der getheilten Linie unterhalb beobachtet ist, wie viele Theile den Winkel spannen, welcher zwischen der Absehenslinie und der Axe des Horizontes liegt. Von diesen Theilen enthält der Durchmesser des Kreises 2000°, und man erhält aus dem Verzeichnisse den verlangten Bogen des grössten Kreises zwischen dem Gestirn und dem Zenith.

[228]
Capitel 16.
Wie man die Parallaxen des Mondes erhält.[86]

Durch dieses Instrument erhielt, wie gesagt, Ptolemäus die grösste Breite des Mondes zu 5°. Hierauf wandte er sich zur Bestimmung der Parallaxe desselben, und sagt, dass er dieselbe in Alexandrien zu 1° 7′ gefunden habe, während die Sonne in 5° 28′ der Waage stand, die mittlere Distanz des Mondes und der Sonne 78° 13′, die gleichmässige Anomalie 262° 20′, die Bewegung der Breite 354° 40′, die zu addirende Prosthaphärese 7° 26′ und folglich der Ort des Mondes in 3° 9′ des Steinbocks war. Die gleichmässige Bewegung der Breite betrug 2° 6′, die nördliche Breite des Mondes 4° 59′, seine Declination vom Aequator 23° 49′, die Breite von Alexandrien 30° 58′. Es stand aber, wie er sagt, der Mond ungefähr im Meridiane und, nach der Beobachtung durch das Instrument, 50° 55′ vom Zenith, d. h. um 1° 7′ mehr als die Rechnung ergab. Hieraus beweist er, nach der Ansicht der Alten vom excentrischen Kreise und dem Epicykel, dass der Abstand des Mondes vom Mittelpunkte der Erde 3945/60 solcher Theile betrug, von denen der Erdhalbmesser einen darstellt, — und folgert weiter aus der Bewegung derselben Kreise, dass die grösste Entfernung des Mondes von der Erde, welche, wie man behauptet, im Apogeum des Epicykels beim Neu- und Vollmonde eintritt, 64⅙ derselben Theile, — die kleinste aber, welche bei den Quadraturen der Mondviertel und im Perigeum des Epicykels stattfinde, 3333/60 solcher Theile betrage. Hieraus ermittelte er auch die Parallaxen, welche bei 90° vom Zenith eintreten, und zwar die kleinste zu 53′ 34″, die grösste zu 1° 43′, wie man dies weiter aus dem ersehen kann, was er hierüber entwickelt hat. Es ist aber für den, der sehen will, schon von vornherein klar, dass sich dies weit anders verhält, wie wir uns vielfältig überzeugt haben. Zwei Beobachtungen wollen wir aber wieder besonders untersuchen, aus denen hervorgeht, dass unsere Annahmen über den Mond um so gewisser sind als jene, je mehr dieselben mit den Erscheinungen übereinstimmen, und keinerlei Zweifel übrig lassen. Im Jahre Christi 1522 den 27sten September nach Ablauf von 5⅔ gleichmässigen Stunden, Nachmittags bei Sonnenuntergänge fanden wir nämlich zu Frauenburg durch das parallactische Instrument den Abstand des Mittelpunktes des Mondes vom Zenith im Meridiane zu 82° 50′. Es waren mithin vom Anfange der Jahre Christi bis zu dieser Stunde 1522 ägyptische Jahre 284 Tage 17⅔ Stunden scheinbarer Zeit, also 17 Stunden 34 Minuten gleichmässiger Zeit verflossen. Nach der Rechnung war daher der scheinbare Ort der Sonne in 13° 29′ der Waage, die gleichmässige Bewegung des Mondes von der Sonne 87° 6′, die gleichmässige Anomalie 357° 39′, die wahre 358° 40′, die zu addirende Prosthaphärese 7′. Also war der wahre Ort des Mondes in 12° 33′ des Steinbocks. Die mittlere Bewegung der Breite von der nördlichen Grenze betrug 197° 1′, die wahre 197° 8′, die südliche Breite des Mondes 4° 47′, die Declination vom Aequator 27° 41′, die Breite unsres [229] Beobachtungsortes 54° 19′, welche mit der Declination des Mondes zusammen den wahren Abstand vom Zenith zu 82° ergiebt. Folglich kamen die übrigen 50′ auf die Parallaxe, welche nach der Ueberlieferung des Ptolemäus 1° 17′ hätte sein müssen. Die zweite Beobachtung haben wir wieder an demselben Orte angestellt im Jahre Christi 1524 den 7ten August nach Ablauf von 6 Stunden Nachmittags, und durch dasselbe Instrument den Mond um 81° 55′ vom Zenith entfernt gefunden. Es waren also vom Anfange der Jahre Christi bis zu dieser Stunde 1524 ägyptische Jahre 234 Tage 18 scheinbare Stunden, welche auch 18 gleichmässige Stunden waren, verflossen. Nun war der Ort der Sonne nach der Berechnung in 24° 14′ des Löwen, die mittlere Bewegung des Mondes von der Sonne 97° 6′, die gleichmässige Anomalie 242° 10′, die ausgeglichene 239° 40′, die zu der mittleren Bewegung hinzuzuaddirende Prosthaphärese nahe 7°. Also war der wahre Ort des Mondes in 9° 39′ des Schützen. Die mittlere Bewegung der Breite betrug 193° 19′, die wahre 200° 17′, die südliche Breite des Mondes 4° 41′, die südliche Declination 26° 36′, welche mit der Breite des Beobachtungsortes, nämlich 54° 19′, als Zenithdistanz des Mondes 80° 55′ ergiebt; die scheinbare Zenithdistanz war aber 82°, also kam der Ueberschuss von 1° 5′ auf die Parallaxe des Mondes, welche nach Ptolemäus und der Meinung der Früheren 1° 38′ hätte sein müssen, weil das harmonische Verhältniss, welches aus ihrer Annahme folgt, dies verlangt.

Capitel 17.
Die Entfernung des Mondes von der Erde, und Nachweis darüber, in welchem Verhältnisse dieselbe zu dem Erdradius steht.
Hieraus ergiebt sich nun, wie gross die Entfernung des Mondes von der Erde ist, ohne welche kein bestimmtes Verhältniss der Parallaxe angegeben werden kann, denn Beide stehen in Wechselbeziehung, und dies erklärt sich folgendermaassen.
Coppernicus 077.svg
Es sei ein grösster Kreis der Erde, ihr Mittelpunkt, um welchen noch ein zweiter Kreis beschrieben werde, im Verhältniss zu welchem die Erde eine merkliche Grösse habe, dieser sei und sei der Pol des Horizontes. In stehe der Mittelpunkt des Mondes, dessen bekannte Zenithdistanz sei. Nun war also der Winkel bei der ersten Beobachtung 82° 50′ und nach der Berechnung nur 82°, also ihre Differenz = 50′, welche auf die Parallaxe kamen. In dem Dreiecke sind die Winkel gegeben, und also auch die Seiten. Wegen des gegebenen Winkels nämlich enthält die Seite 99219 solcher Theile, von denen der Durchmesser des dem Dreiecke umschriebenen Kreises 100000 enthält, und 1454, was für nahezu 68 solcher Theile ergiebt, [230] von denen als Erdradius einen Theil ausmacht. Und dies war bei der ersten Beobachtung die Entfernung des Mondes vom Mittelpunkte der Erde. Bei der zweiten Beobachtung war aber der beobachtete Winkel 82°, der berechnete Winkel aber 80° 55′ und der Rest, also , 65′. Folglich enthielt 99027 und 1894 solcher Theile, von denen 100000 auf den Durchmesser des dem Dreiecke umschriebenen Kreises kommen; und es war die Entfernung des Mondes 5642/60 solcher Theile, von denen der Erdradius einen enthielt. —
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Jetzt sei der grössere Epicykel des Mondes, dessen Mittelpunkt und der Mittelpunkt der Erde, von wo die grade Linie so gezogen sei, dass das Apogeum und das Perigeum ist. Der Bogen werde nach der berechneten gleichmässigen Anomalie des Mondes gleich 242° 10′ gemacht, und der zweite Epicykel beschrieben, dessen Bogen , als die doppelte Distanz des Mondes von der Sonne, gleich 194° 10′ sei. Man ziehe die Linie , welche von der Anomalie 2° 27′ abschneidet, und den Winkel der ausgeglichenen Anomalie zu 59° 43′ ergiebt, da der ganze Winkel 62° 10′ betrug, um welchen die Anomalie grösser als der Halbkreis war. Der Winkel war aber 12°. Die Winkel des Dreiecks sind also in Theilen, von denen 180 zwei Rechte betragen, gegeben, folglich ergiebt sich auch das Verhältniss der Seiten, = 91856 und = 86354 solcher Theile, von denen auf den Durchmesser des um das Dreieck umschriebenen Kreises 100000 kommen. Aber von solchen Theilen, deren 100000 enthält, beträgt 94010. Früher ist gezeigt, dass 8600 und die ganze Linie 13340 solcher Theile enthält. Da nun , wie bewiesen ist, 5642/60 Erdradien enthält, so folgt nach dem eben gegebenen Verhältnisse, dass 6018/60, 511/60, 82/60 und folglich auch die ganze Linie , in eine grade Linie ausgestreckt, als grösste Entfernung des Mondviertels, 68⅓ beträgt; und dass, wenn man von abzieht, der Rest als kleinste Entfernung 5217/60 ebensolcher Theile enthält. Ebenso kommen auch auf die ganze Linie , welche die grösste Entfernung des Voll- und Neumondes ist, 65½ und, wenn man abzieht, auf die kleinste 558/60 Erdradien. Es darf uns nicht beirren, dass Andere, — zumal Solche, denen die Parallaxen des Mondes, wegen der Lage ihrer Beobachtungsörter, nur zum Theil bekannt werden konnten, — die grösste Entfernung des Voll- und Neumondes auf 69⅙ Erdradien schätzen. Uns gestattete die grössere Nähe des Mondes

[231] in Bezug auf den Horizont, an welchem die Parallaxen bekanntlich ihre volle Grösse erhalten, dieselben vollständiger zu messen, und doch fanden wir, dass die Parallaxen um nicht mehr, als um eine Minute verschieden sind.

Capitel 18.
Ueber den Durchmesser des Mondes und des Erdschattens an der Stelle des Durchganges des Mondes.[87]

Neben der Entfernung des Mondes von der Erde sind auch die scheinbaren Durchmesser des Mondes und des Schattens veränderlich, weshalb wir auch von diesen reden müssen. Obgleich die Durchmesser der Sonne und des Mondes mittelst des Diopters des Hipparch richtig gemessen werden, so glaubt man doch, dies beim Monde viel genauer erreichen zu können mit Hülfe einiger auserwählter Mondfinsternisse, bei denen der Mond um gleich viel von seiner grössten und kleinsten Abside absteht; zumal wenn alsdann die Sonne in gleicher Weise sich dem so anschliesst, dass der Schattenkreis, welchen der Mond bei jeder derselben zu durchlaufen hat, gleich befunden wird; nur dass die Finsternisse sich auf ungleiche Theile erstrecken. Es ist nämlich offenbar, dass der Unterschied zwischen den verfinsterten Theilen und den entsprechenden Breiten des Mondes auf die Grösse des Bogens eines um den Mittelpunkt der Erde beschriebenen Kreises schliessen lässt, welchen der Durchmesser des Mondes einnimmt; — kennt man aber diesen, so findet man auch bald den Halbmesser des Schattens. Dies mag an einem Beispiele deutlicher gemacht werden. Wenn also zur Zeit der Mitte einer früheren Finsterniss drei Zoll vom Halbmesser des Mondes verfinstert sind, während seine Breite 47′ 54″ beträgt, und bei einer späteren, bei welcher die Breite 29′ 37″ war, zehn Zoll verfinstert wurden, so ist der Unterschied zwischen den Grössen der Finsternisse sieben Zoll, und derjenige zwischen den Breiten 18′ 17″, während 31′ 20″, als der scheinbare Durchmesser des Mondes, zwölf Zollen entsprechen. Es ergiebt sich also, dass der Mittelpunkt des Mondes zur Zeit der Mitte der ersten Finsterniss um den vierten Theil des Durchmessers desselben aus dem Schatten hervorragte, diesem entsprechen 7′ 50″ der Breite; und zieht man diese von den 47′ 54″ der ganzen Breite ab, so bleiben 40′ 4″ für den Halbmesser des Schattens. Ebenso reichte bei der zweiten Finsterniss der Schatten um den dritten Theil des Monddurchmessers, also um eine Breite von 10′ 27″, über den Mittelpunkt des Mondes hinaus; addirt man diese zu den 29′ 37″, so erhält man ebenfalls 40′ 4″ für den Halbmesser des Schattens[88]. Freilich ist des Ptolemäus’ Meinung, dass, während Sonne und Mond bei ihrer Conjunction und Opposition in ihren grössten Entfernungen von der Erde stehen, der Durchmesser des Mondes 31′ 20″ beträgt, und ebenso gross, behauptet er, den Durchmesser der Sonne durch das Diopter des Hipparch gefunden zu haben. Der Durchmesser des Schattens soll aber 1° 21′ 20″ sein, [232] und er glaubte, dass diese Grössen sich zu einander wie 13 zu 5 verhielten, so dass der Durchmesser des Schattens 2⅗ mal so gross sei, als derjenige des Mondes und der Sonne.

Capitel 19.
Wie man die Entfernungen der Sonne und des Mondes von der Erde, die Durchmesser derselben und des Schattens an der Stelle des Durchganges des Mondes und die Axe des Schattens zugleich ableitet.
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Nun hat aber auch die Sonne eine Parallaxe, welche wegen ihrer Kleinheit nicht ebenso leicht und nur dadurch erkannt wird, dass die Entfernung der Sonne und des Mondes von der Erde, die Durchmesser derselben und des Schattens an der Durchgangsstelle des Mondes, und die Axe des Schattens unter sich in gegenseitiger Abhängigkeit stehen: deshalb ergeben sie sich gegenseitig in ungezwungener Entwickelung. Zuerst wollen wir die Ansichten, welche Ptolomäus hierüber hegte[89], und wie er dieselben bewies, untersuchen, und daraus dasjenige, was als wirklich wahr erscheint, schöpfen. Er nimmt den scheinbaren Durchmesser der Sonne zu 31′ 20″ an, und bedient sich desselben ohne Unterschied; den Durchmesser des Voll- und Neumondes, welche im Apogeum eintreten sollen, setzt er jenem gleich, und behauptet, dass der Mond alsdann 64⅙ Erdhalbmesser von der Erde entfernt sei. Hieraus leitet er das Uebrige folgendermassen ab. Es sei der Umfang der Sonne , ihr Mittelpunkt ; der Umfang der Erde in ihrer grössten Entfernung von der Sonne, ihr Mittelpunkt ; die graden Linien und seien die gemeinschaftlichen Tangenten, welche verlängert in der Spitze des Schattens zusammentreffen: durch den Mittelpunkt der Sonne und der Erde werde , und ausserdem noch die Linien , , und gezogen, welche beiden Letzteren, wegen der ungeheuren Entfernung, von den Durchmessern nicht unterschieden sind. Auf der Linie werden die gleichen Stücke und abgeschnitten, den Entfernungen entsprechend, welche nach seiner Meinung der volle und der neue Mond im Apogeum hat, und welche 64⅙ solcher Theile

[233] betragen, von denen die Einheit ist; sei der Durchmesser des Schattens an der Stelle des Durchganges des Mondes, sei der Durchmesser des Mondes, rechtwinklig gegen und werde bis verlängert. Zuerst soll nun das Verhältniss von zu gefunden werden. Da der Winkel 31′ 20″ beträgt, so ist die Hälfte gleich 15′ 40″ und der Winkel bei ist ein Rechter. In dem Dreiecke sind also die Winkel gegeben, und folglich auch das Verhältniss der Seiten zu , und seiner Länge nach 1733/60 Sechzigstel solcher Theile, von denen 64⅙ oder einen Theil enthält; und weil sich zu verhalten soll wie 5 zu 13: so enthält 4538/60 Sechzigstel derselben Theile. Da aber und in gleichen Abständen mit parallel sind: so ist und zusammen doppelt so gross als ; zieht man davon und ab: so bleibt gleich 5649/60 Sechzigstel. Nach dem zweiten Lehrsatze des sechsten Buches Euklid’s verhalten sich zu , zu und zu wie zu , d. h. wie 60 zu 5649/60[90]. Ebenso ergiebt sich zu 5649/60, wenn 60 ist, und der Rest zu 311/60. Insofern aber 64⅙ solcher Theile enthält, deren einer ist: so kommen auf 1210. Nun hat sich schon gezeigt, dass 4538/60 Sechzigstel solcher Theile enthält, und es besteht das Verhältniss zu wie zu , folglich enthält auch 1422/60 Sechzigstel von ; und umgekehrt, wenn 64⅙ enthält: so kommen auf , als auf die Axe des Schattens, 268.[91]. So Ptolomäus. Andere aber, nach Ptolomäus, stellten, als sie fanden, dass dies den Erscheinungen nicht genügend entspreche, gewisse andere Annahmen auf. Nichts desto weniger behaupten sie, dass die grösste Entfernung des vollen und neuen Mondes von der Erde 64⅙ Erdradien sei, der scheinbare Durchmesser der Sonne im Apogeum 31′ 20″ betrage und sich zu dem Durchmesser des Schattens an der Stelle des Durchgangs des Mondes verhalte, wie 13 zu 5, ganz wie Ptolomäus selbst. Sie sagen jedoch, dass der scheinbare Durchmesser des Mondes alsdann nicht grösser sei als 29½′, setzen deshalb den Durchmesser des Schattens gleich 1° 16′ 45″, glauben, dass hieraus die Entfernung der Sonne von der Erde gleich 1146 und die Axe des Schattens gleich 254 Erdradien folge, und schreiben diese Entdeckung, welche jedoch nicht begründet werden kann, jenem aratäischen Philosophen[92] zu. Wir haben aber dies so in Ordnung bringen und verbessern müssen, dass wir den scheinbaren Durchmesser der Sonne im Apogeum zu 31′ 40″ ansetzten, (er muss nämlich gegenwärtig etwas grösser sein, als vor Ptolomäus); denjenigen des vollen und neuen Mondes aber, und zwar in seiner grössten Abside, zu 30′ und denjenigen des Schattens an der Stelle des Durchganges des Mondes zu 80′ 36″: denn es passt besser, dass dies Verhältniss wie 150 zu 403, also etwas grösser ist, als 5 zu 13. Die ganze Sonnenscheibe kann aber vom Monde nur dann bedeckt werden, wenn dieser von der Erde um 62 Erdhalbmesser absteht. Wenn man dies so annimmt, so scheint es sowohl unter sich als auch mit dem Uebrigen in zuverlässiger Weise zusammenzuhängen und mit den Erscheinungen der Sonnen- und Mondfinsternisse übereinzustimmen. Wenn wir [234] nach den vorangegangenen Entwickelungen Alles in ganzen und sechzigsteln Erdradien ausdrücken: so erhalten wir gleich 178/60 Sechzigstel, daher gleich 461/60 Sechzigstel, folglich gleich 5651/60 Sechzigstel und die ganze Linie gleich 1179 ganze Theile, als Entfernung der Sonne von der Erde im Apogeum, und die Axe des Schattens gleich 265 ganze Theile.

Capitel 20.
Ueber die Grösse der drei Weltkörper Sonne, Mond und Erde, nebst ihrer Vergleichung mit einander.
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Weiter ist nun auch offenbar, dass achtzehnmal in enthalten ist, und in demselben Verhältnisse steht zu . Achtzehnmal macht aber ungefähr 527/60 Erdradien aus, oder, weil sich zu , d. h. 265 zu 1 verhält, wie die ganze Linie zu , oder wie 1444 zu 527/60 sich verhält: so ist dieses das Verhältniss der Durchmesser der Sonne und der Erde. Da aber die Kugeln sich verhalten wie die Würfel ihrer Durchmesser, und der Würfel von 527/60 gleich ist 161⅞: so ist die Sonne so viel mal so gross, als die Erdkugel. Da ferner der Halbmesser des Mondes 179/60 Sechzigstel des Erdradius beträgt, indem der Durchmesser der Erde sich zu dem des Mondes verhält wie 7 zu 2, d. h. wie 3½ zu 1: so zeigt sich, wenn man dies zum Würfel erhebt, dass die Erde 42⅞ mal so gross ist, als der Mond, und folglich ist auch die Sonne 6937 mal so gross, als der Mond.
Capitel 21.
Ueber den scheinbaren Durchmesser und die Parallaxe der Sonne.

Da aber dieselben Grössen in grösserer Entfernung kleiner erscheinen, als in der Nähe: so verändern sich Sonne, Mond und Erdschatten nach ihren verschiedenen Entfernungen von der Erde nicht weniger, als die Parallaxen; und Alles dies wird nach dem Vorhergehenden leicht für jede beliebige Entfernung berechnet. Zuerst ist dies bei der Sonne offenbar. Da wir nämlich gezeigt haben, dass die Erde bei ihrer grössten Entfernung von der Sonne um 10323 solcher Theile absteht, [235] von denen der Halbmesser des jährlichen Umlaufkreises 10000 enthält, und bei ihrer grössten Nähe 9678: so beträgt die grösste Abside 1179 Erdradien, also die kleinste 1105 und folglich die mittlere 1142. Wenn wir nun mit 1179 in eine Million dividiren: so erhalten wir 848 als die Kathete, welche in dem rechtwinkeligen Dreiecke dem kleinsten Winkel gegenüberliegt, und dieser ist daher 2′ 55″ als die grösste Parallaxe, welche am Horizonte eintritt. Dividirt man ebenso mit der kleinsten Entfernung, also mit 1105 in eine Million: so kommen 905 heraus, und dies ergiebt für den Winkel der grössten Parallaxe bei der kleinsten Abside 3′ 7″. Es ist aber gezeigt, dass der Durchmesser der Sonne 527/60 Erddurchmesser beträgt, welche Grösse in der grössten Abside unter einem Winkel von 31′ 48″ erscheint. Denn 1179 verhält sich zu 527/60 wie 200000 zu 9245, welches die Sehne für einen Winkel von 31′ 48″ ist. Es folgt daraus, dass der Sonnendurchmesser in der kleinsten Entfernung von 1105 Erdradien unter einem Winkel von 33′ 54″ erscheint. Die Differenz hiervon beträgt 2′ 6″, diejenige der Parallaxen aber nur 12″. Ptolemäus ist der Meinung, dass beide wegen ihrer Kleinheit zu vernachlässigen wären, in Anbetracht, dass eine oder zwei Minuten nicht leicht mit dem Auge aufgefasst wird, und dies bei Secunden noch viel weniger möglich ist. Wenn wir daher die grösste Parallaxe von 3′ überall beibehalten: so werden wir keinen Fehler zu begehen scheinen. Die mittleren scheinbaren Durchmesser der Sonne erhalten wir aber aus den mittleren Abständen, oder, wie Einige, aus der scheinbaren stündlichen Bewegung der Sonne, deren Verhältniss zu ihrem Durchmesser sie auf 5 : 66 oder 1 zu 14⅕ schätzen. Die stündliche Bewegung der Sonne ist aber ihrer Entfernung nahezu proportional.

Capitel 22.
Ueber die ungleich erscheinenden Durchmesser und die Parallaxen des Mondes.

Beide Unterschiede erscheinen beim Monde, als dem näheren Gestirne, grösser. Denn während die grösste Entfernung von der Erde bei Neu- und Vollmond 65½ beträgt, ist nach den obigen[93] Entwickelungen, die kleinste 558/60; bei den Mondvierteln beträgt aber die grösste Entfernung 6821/60 und die kleinste 5217/60. Aus diesen vier Zahlenbestimmungen erhalten wir die Parallaxen des auf- oder untergehenden Mondes, wenn wir den Erdradius durch die Entfernung des Mondes von der Erde dividiren; und zwar ergiebt sich für die grösste Entfernung des Mondviertels 50′ 18″, für diejenige des Voll- und Neumondes 52′ 24″; für die kleinste Entfernung des Voll- und Neumondes 62′ 21″ und für die kleinste des Mondviertels 65′ 45″. Hieraus ergeben sich denn auch die scheinbaren Durchmesser des Mondes. Es ist nämlich nachgewiesen, dass der Durchmesser der Erde sich zu dem des Mondes verhält wie 7 zu 2, also verhält sich der Erdradius zu dem Durchmesser [236] des Mondes wie 7 zu 4, und in diesem Verhältnisse stehen auch die Parallaxen zu den Winkeln der scheinbaren Durchmesser des Mondes. Da nun das Verhältniss der graden Linien, welche die Winkel der Parallaxen einschliessen, zu den scheinbaren Durchmessern, bei demselben Durchgange des Mondes, sich gar nicht ändert, und die Winkel ihren gradlinigen Sehnen nahe proportional sind, so bleibt ihre Veränderung für die Beobachtung unmerklich. Berücksichtigt man dieselben daher nicht, so ist klar, dass bei der ersten Grenze[94] der eben dargelegten Parallaxen, der scheinbare Durchmesser des Mondes 28′ 45″, bei der zweiten nahe 30′, bei der dritten 35′ 38″ und bei der letzten 37′ 34″ beträgt. Diese Letztere würde nach der Annahme des Ptolomäus und Anderer nahe einen Grad betragen, und es müsste sich dann ereignen, dass der zu jener Zeit mit halbem Lichte leuchtende Mond ebensoviel Licht zur Erde sendete, als der volle Mond.

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Capitel 23.
Wie man den Unterschied des Erdschattens berechnet.

Wir haben schon[95] nachgewiesen, dass sich der Durchmesser des Schattens zum Durchmesser des Mondes verhalte, wie 403 zu 150, und deshalb wird derselbe beim Voll- und Neumonde, während die Sonne im Apogeum steht, am kleinsten, nämlich gleich 80⅗′, und am grössten gleich 95′ 44″ gefunden, und die grösste Differenz beträgt 15′ 8″[96]. Es verändert sich aber der Erdschatten, bei sich gleichbleibendem Durchgange des Mondes, wegen der ungleichen Entfernung der Erde von der Sonne in folgender Weise: Man nehme wieder, wie in der vorigen Figur, als die durch die Mittelpunkte der Sonne und der Erde gelegte grade Linie , ziehe die Tangente , und die beiden graden und . Nun ist bewiesen, dass, während die Entfernung 1179 Erdradien beträgt, und deren 62 enthält, der Halbmesser des Schattens 461/60 Sechzigstel Erdradien, und, nachdem gezogen ist, der Winkel des scheinbaren Halbmessers 42′ 32″ und die Axe des Schattens gleich 265 Erdradien ist. Wenn aber die Erde der Sonne am nächsten steht, wo gleich 1105 Erdradien ist, werden wir den Schatten der Erde bei sich gleichbleibendem Durchgange des Mondes, auf folgende Weise berechnen. Es werde parallel zu gezogen; dann verhält sich zu wie zu ; nun ist aber gleich 427/60, und gleich 1105 Erdradien, denn in dem Parallelogramm ist gleich und gleich : folglich ist gleich 24819/60 Erdradien. Aber betrug 62 derselben Theile, und folglich [237] der Rest 18619/60. Da sich aber verhalten zu , wie zu : so ist auch gleich 451/60 Sechzigstel Erdradius, und dann ist der Winkel des scheinbaren Halbmessers gleich 41′ 35″. Durch die grössere oder geringere Entfernung der Sonne von der Erde tritt also bei gleichem Durchgange des Mondes in dem Durchmesser des Schattens eine grösste Differenz von einem Sechzigstel Erdradius ein, oder im Winkel des scheinbaren Durchmessers eine solche von 1′ 54″, d. h. von 57″ wenn 360° gleich vier Rechten sind. Ferner ist das Verhältniss des Schattendurchmessers zum Durchmesser des Mondes nur wenig dort grösser, hier kleiner, als das mittlere vom 13 zu 5, deswegen werden wir einen nur geringen Fehler begehen, wenn wir, um Arbeit zu ersparen, dasselbe überall anwenden, indem wir der Ansicht der Alten folgen.

Capitel 24.
Ableitung des Verzeichnisses von den einzelnen Parallaxen der Sonne und des Mondes im Verticalkreise.
Jetzt wird es auch nicht mehr schwierig sein, jede beliebige einzelne Parallaxe der Sonne und des Mondes zu erhalten.
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Es werde wieder als Bogen des Erdumfanges genommen, welcher durch den Mittelpunkt und durch das Zenith geht, und in derselben Ebene als Kreisbahn des Mondes, als diejenige der Sonne. Ferner werde die grade Linie durch das Zenith und gezogen, in welcher die wahren Oerter der Sonne und des Mondes gedacht werden sollen; diese Oerter verbinden die graden Linien und mit dem Auge des Beobachters. Es ist also die Parallaxe der Sonne durch den Winkel , und diejenige des Mondes durch bezeichnet. Die Differenz zwischen den Parallaxen der Sonne und des Mondes ist durch den Winkel dargestellt, den man erhält, wenn man von abzieht. Jetzt legen wir den Winkel zum Grunde, und wollen mit demselben jene Differenz vergleichen; sei z. B. 30°, so ist aus der Lehre von den ebenen Dreiecken bekannt, dass, wenn wir die Linie gleich 1142 Erdradien setzen, der Winkel , um welchen sich die wahre von der scheinbaren Höhe der Sonne unterscheidet, gleich 1′ 30″ wird. Wenn aber der Winkel gleich 60° wäre, so würde Winkel gleich 2′ 36″[97], und in dieser Weise könnte man fortfahren; ebenso in Bezug auf den Mond für seine vier Grenzen. Indem wir. — bei der Annahme, dass für die grösste Entfernung von der Erde, bei welcher wie gesagt, 6821/60 Erdradien beträgt, der Winkel oder dessen Bogen 30° misst — , das Dreieck [238] erhalten, in welchem die beiden Seiten und nebst dem Winkel gegeben sind, aus denen wir den Winkel der Parallaxe gleich 25′ 28″ finden. Und wenn gleich 65½, so ist der Winkel gleich 26′ 36″. Ebenso bei der dritten Grenze, wenn gleich 558/60, wird der Winkel gleich 31′ 42″; und endlich in der kleinsten Entfernung, wenn gleich 5217/60 ist, wird der Winkel gleich 33′ 27″. – Nimmt man den Bogen zu 60°, so werden die Parallaxen in derselben Ordnung: die erste 43′ 55″, die zweite 45′ 51″, die dritte 54′ 30″, die vierte 57′ 30″. Dies haben wir Alles in dem nachfolgenden Verzeichnisse geordnet, und dasselbe zum bequemen Gebrauche, nach dem Muster der Früheren auf 30 Zeilen ausgedehnt, die aber von 6 zu 6 Graden fortschreiten, welche das Zweifache der Zahlen darstellen, die vom Zenith an gerechnet höchstens bis 90° anwachsen. Das Verzeichniss haben wir in neun Spalten getheilt.
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Die erste und zweite enthalten die gemeinschaftlichen Zahlen des Kreises, die dritte die Parallaxen der Sonne; dann folgen die Parallaxen des Mondes; und zwar in der vierten Spalte die Differenzen, in der fünften die kleinsten Parallaxen, welche bei den Mondvierteln und im Apogeum stattfinden; nun fehlen die folgenden beim Voll- und Neumonde. Die sechste Spalte enthält diejenigen Parallaxen, welche der volle und der neue Mond im Perigeum zeigt. Was dann folgt sind die Minuten und Secunden, um welche die Parallaxen, welche bei den Mondvierteln und im Perigeum eintreten, die nächst vorhergehenden übertreffen. Die beiden letzten noch übrigen Spalten sind für die Proportionaltheile bestimmt, durch welche die zwischen diesen vier Grenzen liegenden Parallaxen ausgerechnet werden können, wie wir auch noch zeigen wollen, und zwar zuerst für das Apogeum und zwischen den beiden ersten Grenzen in folgender Weise. Es sei der Kreis der erste Epicykel des Mondes, dessen Mittelpunkt, der Mittelpunkt der Erde; man ziehe die grade Linie , und um das Apogeum beschreibe man den zweiten Epicykel , mache den Bogen gleich 60° und ziehe und . Da nun in dem Früheren bewiesen ist, dass die Linie 511/60, 6018/60 und 251/60 Erdhalbmesser enthält: so ist in dem Dreiecke die Seite gleich 125/60, gleich 636/60 und der von ihnen eingeschlossene Winkel gegeben. Daher ergiebt sich nach den Sätzen über die ebenen Dreiecke die Seite gleich 67/60 Erdradien. Die Summe aber, in eine grade Linie gelegt, oder die ihr gleiche wird gleich 6625/60; nun ist aber gleich 65½, es bleibt also als Rest gleich nahezu 55½ Sechzigstel [239] des Erdradius. Und nach dem so gegebenen Verhältnisse wird, wenn gleich 60 ist, gleich 237/60 und gleich 46/60: wenn aber gleich 60/60 wäre, so wäre die Differenz ungefähr gleich 18/60. Dies haben wir in dem Verzeichnisse in die achte Spalte in die Zeile von 60° geschrieben. Dasselbe wollen wir noch am Perigeum zeigen: Man beschreibe um den zweiten Epicykel und mache den Winkel gleich 60°: so entsteht das Dreieck , dessen Seiten und Winkel, wie vorhin, gegeben sind, und die Differenz wird ebenso gleich 55½ Sechzigstel des Erdradius gefunden. Da aber gleich 558/60 Erdradien ist: so wird, wenn man dies gleich 60 nimmt, gleich 37/60 und die Differenz gleich 55/60. Es verhalten sich aber nahezu 38/60 zu 55/60 wie 60 zu 18, also ebenso wie vorhin, der Unterschied besteht nur in wenigen Sechzigsteln. So haben wir es auch mit den Uebrigen gemacht, und damit die achte Spalte des Verzeichnisses ausgefüllt.
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Wenn wir statt dieser Grössen, diejenigen anwenden, welche in dem Verzeichnisse der Prosthaphäresen enthalten sind, so werden wir keinen Fehler begehen, denn sie sind fast dieselben und um sehr wenig unterschieden. Es sind noch diejenigen Proportionaltheile übrig, welche den mittleren Grenzen, nämlich der zweiten und dritten entsprechen. Es sei der vom vollen und neuen Monde beschriebene erste Epicykel, sein Mittelpunkt, der Mittelpunkt der Erde; man ziehe die grade Linie , nehme von dem Apogeum aus, irgend einen Bogen z. B. gleich 60° und ziehe und : so erhalten wir ein Dreieck , in welchem die Seiten gleich 6019/60 und gleich 511/60 Erdradien gegeben sind. Der innere Winkel bleibt von zweien Rechten übrig, wenn davon abgezogen wird. Es wird also nach den Sätzen über die Dreiecke gleich 634/60 Erdradien. Die ganze Linie war aber 65½ und übertrifft also um 226/60. Nun verhält sich aber , d. h. 1022/60 zu 226/60 wie 60 zu 14, und dies schreiben wir in dem Verzeichnisse neben 60°. Nach diesem Beispiele haben wir das Uebrige durchgeführt, und so die Tafel vollendet, welche hier folgt. Auch haben wir noch eine zweite über die Halbmesser der Sonne, des Mondes und des Erdschattens, hinzugefügt, damit man daran, soviel als möglich, das Entwickelte besitze.

[240]

TAFEL DER SONNEN- UND MOND-PARALLAXEN.
Gemeinschaftliche Zahlen Sonnen-Parallaxen Abzuziehende Differenz der Mondparallaxe 1. u. 2. Grenze Mondparallaxe der 2. Grenze Mondparallaxe der 3. Grenze Zu addirende Differenz der Mondparallaxe 3. u. 4. Grenze Proportional-Minuten
Grad Grad Min. Sec. Min. Sec. Min. Sec. Min. Sec. Min. Sec. des kleinen Epicykels des grossen Epicykels
006 354 00 10 00 07 02 46 03 18 00 12 00 00
012 348 00 19 00 14 05 33 06 36 00 23 01 00
018 342 00 29 00 21 08 19 09 53 00 34 03 01
0
024 336 00 38 00 28 11 04 13 10 00 45 04 02
030 330 00 47 00 35 13 49 16 26 00 56 05 03
036 324 00 56 00 42 16 32 19 40 01 06 07 05
0
042 318 01 05 00 48 19 05 22 47 01 16 10 07
048 312 01 13 00 55 21 39 25 47 01 26 12 09
054 306 01 22 01 01 24 09 28 49 01 35 15 12
0
060 300 01 31 01 08 26 36 31 42 01 45 18 14
066 294 01 39 01 14 28 57 34 31 01 54 21 17
072 288 01 40 01 19 31 14 37 14 02 03 24 20
0
078 282 01 53 01 24 33 25 39 50 02 11 27 23
084 276 02 00 01 29 35 31 42 19 02 19 30 26
090 270 02 07 01 34 37 31 44 40 02 26 34 29
0
096 264 02 13 01 39 39 24 46 54 02 33 37 32
102 258 02 20 01 44 41 10 49 00 02 40 39 35
108 252 02 26 01 48 42 50 50 59 02 46 42 38
0
114 246 02 31 01 52 44 24 52 49 02 53 45 41
120 240 02 36 01 56 45 51 54 30 03 00 47 44
126 234 02 40 02 00 47 08 56 02 03 06 49 47
0
132 228 02 44 02 02 48 15 57 23 03 11 51 49
138 222 02 49 02 03 49 15 58 36 03 14 53 52
144 216 02 52 02 04 50 10 59 39 03 17 55 54
0
150 210 02 54 02 04 50 55 60 31 03 20 57 56
156 204 02 56 02 05 51 29 61 12 03 22 58 57
162 198 02 58 02 05 51 56 61 47 03 23 59 58
0
168 192 02 59 02 06 52 13 62 09 03 23 59 59
174 186 03 00 02 06 52 22 62 19 03 24 60 60
180 180 03 00 02 06 52 24 62 21 03 24 60 60

[241]

TAFEL DER HALBMESSER DER SONNE, DES MONDES UND DES SCHATTENS.
Gemeinschaftliche Zahlen Halbmesser der Sonne Halbmesser des Mondes Halbmesser des Schattens nach dem Manuscript Halbmesser des Schattens nach den Ausgaben Veränderung des Schattens nach dem Manuscript. Veränderung des Schattens nach den Ausgaben.
Grad Grad Min. Sec. Min. Sec. Min. Sec. Min. Sec. Minuten Minuten
006 354 15 50 15 00 39 30 40 18 00 00
012 348 15 50 15 01 39 32 40 21 00 00
018 342 15 51 15 03 39 37 40 26 01 01
0
024 336 15 52 15 06 39 48 40 34 02 02
030 330 15 53 15 09 39 52 40 42 03 03
036 324 15 55 15 14 40 07 40 56 04 04
0
042 318 15 57 15 19 40 23 41 10 06 06
048 312 16 00 15 25 40 40 41 26 08 09
054 306 16 03 15 32 40 58 41 44 10 11
0
060 300 16 06 15 39 41 16 42 02 12 14
066 294 16 09 15 47 41 36 42 24 14 16
072 288 16 12 15 56 41 58 42 40 17 19
0
078 282 16 15 16 05 42 21 43 13 19 22
084 276 16 19 16 13 42 43 43 34 22 25
090 270 16 22 16 22 43 05 43 58 24 27
0
096 264 16 26 16 30 43 27 44 20 27 31
102 258 16 29 16 39 43 50 44 44 29 33
108 252 16 32 16 47 44 12 45 06 32 36
0
114 246 16 36 16 55 44 34 45 20 34 39
120 240 16 39 17 04 44 56 45 52 37 42
126 234 16 42 17 12 45 16 46 13 39 45
0
132 228 16 45 17 19 45 36 46 32 41 47
138 222 16 48 17 26 45 54 46 51 43 49
144 216 16 50 17 32 46 10 47 07 45 51
0
150 210 16 53 17 38 46 24 47 23 47 53
156 204 16 54 17 41 46 33 47 31 48 54
162 198 16 55 17 44 46 41 47 39 48 55
0
168 192 16 56 17 46 46 48 47 44 49 56
174 186 16 57 17 48 46 53 47 49 49 56
180 180 16 57 17 49 46 55 47 52 50 57
[242]
Capitel 25.
Ueber die Berechnung der Sonnen- und Mond-Parallaxen.

Wir wollen noch das Verfahren, wie die Sonnen- und Mond-Parallaxen aus der Tafel zu berechnen sind, kurz auseinandersetzen. Mittelst der doppelten Zenithdistanz der Sonne und des Mondes entnehmen wir die daneben stehenden Parallaxen, und zwar bei der Sonne einfach, beim Monde aber für seine vier Grenzen; und mittelst der doppelten Bewegung des Mondes, oder seines doppelten Abstandes von der Sonne, die ersten Proportionaltheile. Diese Letzteren verhalten sich zu 60 wie die zu findende Correction zu der Differenz der ersten und zweiten oder der dritten und vierten Grenze; dadurch ergeben sich die Correctionen, deren erste wir von der nächst folgenden Parallaxe der zweiten Grenze immer abziehen; deren zweite wir aber zu der nächst vorangehenden Parallaxe der dritten Grenze immer addiren. So erhalten wir die rectificirten beiden Mondparallaxen für das Apogeum und Perigeum, welche der kleine Epicykel vermehrt oder vermindert. Hierauf nehmen wir mit der ausgeglichenen einfachen Anomalie des Mondes die letzten Proportionaltheile und diese verhalten sich zu 60 wie die zu findende Correction zu der Differenz der eben gefundenen rectificirten beiden Mondparallaxen; hieraus ergiebt sich die Correction, welche wir zu der ersten rectificirten Parallaxe, die im Apogeum eintritt, immer addiren; von der zweiten rectificirten Parallaxe dagegen, die im Perigeum stattfindet, immer abziehen: und so erhält man die verlangte Parallaxe für Ort und Zeit, wie in dem folgenden Beispiele. Es sei die Zenithdistanz des Mondes 54°, die mittlere Bewegung des Mondes 15°, seine ausgeglichene Anomalie 100°; hieraus will ich durch die Tafel die Mondparallaxe finden. Die doppelte Zenithdistanz ist 108°, dieser entspricht die Differenz zwischen den Parallaxen der ersten und zweiten Grenze gleich 1′ 48″, die Parallaxe der zweiten Grenze ist gleich 42′ 50″, die Parallaxe der dritten Grenze 50′ 59″, die Differenz der Parallaxen der dritten und vierten Grenze 2′ 46″, was ich jedes besonders notire. Die doppelte Bewegung des Mondes ergiebt 30°, hiermit finde ich die ersten Proportionaltlieile gleich 5; nun verhält sich 5 zu 60 wie die zu findende Correction zu der Differenz der Parallaxen der ersten und zweiten Grenze, d. h. zu 108″; dies ergiebt die zu findende Correction gleich 9″, welche ich von den 42′ 50″ der Parallaxe zweiter Grenze abziehe, es bleiben, als rectificirte Parallaxe, 42′ 41″. Ebenso verhält sich 5 zu 60, wie die zu findende Correction zu der Differenz der Parallaxen der dritten und vierten Grenze, d. h. zu 166″; dies ergiebt die zu findende Correction gleich 14″, welche ich zu den 50′ 59″ der Parallaxe dritter Grenze addire, es werden als rectificirte Parallaxe 51′ 13″. Die Differenz dieser beiden rectificirten Parallaxen beträgt 8′ 32″. Hierauf nehme ich mit der einfachen ausgeglichenen Anomalie die letzten Proportionaltheile gleich 34; nun verhält sich 34 zu 60 wie die zu findende Correction zu der Differenz [243] der beiden rectificirten Parallaxen, d. h. zu 512″; dies ergiebt die zu findende Correction gleich 4′ 50″; dies addire ich zu der ersten ausgeglichenen Parallaxe und erhalte 47′ 31″, und dies ist die verlangte Parallaxe des Mondes im Verticalkreise.[98] Da aber die übrigen Mondparallaxen von denjenigen, welche beim vollen und neuen Monde stattfinden, so wenig verschieden sind, so scheint es auszureichen, wenn wir uns immer zwischen den mittleren Grenzen halten, welche wir zur Vorausbestimmung der Finsternisse am meisten gebrauchen. Im Uebrigen bedarf es nicht einer so grossen Genauigkeit, da sie vielleicht weniger der Anwendung als der Neugier dienen möchte.

Capitel 26.
Wie die Parallaxen der Länge und der Breite unterschieden werden.
Die Parallaxe wird aber einfach nach Länge und Breite unterschieden, d. h. der Abstand zwischen Sonne und Mond wird in Bogen oder Winkel der sich schneidenden Kreise, der Ekliptik und des Verticalkreises, zerlegt. Wenn nun der Vertikalkreis senkrecht gegen die Ekliptik steht: so giebt es keine Längenparallaxe, sondern die ganze Parallaxe überträgt sich auf die Breite, da der Vertical- und Breitenkreis zusammenfallen. Wenn es sich aber trifft, dass die Ekliptik den Horizont senkrecht schneidet und also mit dem Verticalkreise zusammenfällt, und der Mond in der Ekliptik steht: so giebt es ausschliesslich eine Längenparallaxe. Weicht der Mond von der Ekliptik ab, so fehlt ihm dadurch die Längenparallaxe nicht ganz.
Coppernicus 085.svg
Wenn zum Beispiel die Ekliptik ist, welche auf dem Horizonte, dessen Pol sei, senkrecht steht, so ist auch der Verticalkreis des Mondes, dem keine Breite zukommt. Sein Ort sei und seine ganze Parallaxe fällt in die Länge. Wenn der Mond aber ausserdem noch eine Breite hat, so legen wir den Kreis durch die Pole der Ekliptik, und dann mag oder die Breite des Mondes sein. Nun ist offenbar: dass weder oder gleich , noch die Winkel bei und rechte sind, denn und gehen nicht durch die Pole von ; und die Parallaxe wird um so mehr an der Breite betheiligt sein, je näher der Mond dem Zenith steht: denn wenn die Basis des Dreiecks dieselbe bleibt, so werden die Seiten und desto spitzere Winkel mit der Basis bilden, je kürzer sie sind; — und je weiter der Mond vom Zenith absteht, desto mehr werden dieselben Winkel dem rechten ähnlich. — Nun stehe der Verticalkreis des Mondes schief gegen die Ekliptik , und der Mond habe keine Breite, sondern stehe im Punkte der Ekliptik; die Parallaxe im Verticalkreise sei . Wir construiren den Bogen eines Kreises, der durch die Pole von geht: so ist in dem Dreiecke der Winkel , [244] wie früher gezeigt ist, gegeben, der Winkel bei ist ein rechter, und die Seite ist ebenfalls gegeben.
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Nach den Sätzen über die sphärischen Dreiecke sind daher die beiden andern Seiten und gegeben, von welchen diese in der Breite, jene in der Länge dem Bogen entspricht. Da aber , und , wegen ihrer Kleinheit, sich sehr wenig und unmerklich von graden Linien unterscheiden: so werden wir keinen Fehler begehen, wenn wir das rechtwinklige Dreieck zur Erleichterung der Rechnung als ein gradliniges betrachten. Schwieriger gestaltet es sich, wenn der Mond eine Breite hat. Es sei wiederum die Ekliptik, welche der Verticalkreis schiefwinklig schneidet, sei der Ort des Mondes seiner Länge nach, sei seine nördliche, oder seine südliche Breite. Vom Zenith werden die Verticalkreise und des Mondes construirt, und in denselben seien und die Parallaxen. Die wahren Oerter des Mondes sind also nach Länge und Breite in den Punkten und ; die scheinbaren aber in und .
Coppernicus 087.svg
Durch diese Letzteren werden die Bogen und rechtwinklig gegen die Ekliptik gelegt. Da nun die Länge und Breite des Mondes, nebst der Breite des Zeniths bekannt sind: so sind in dem Dreiecke die beiden Seiten und nebst dem Neigungswinkel , und dem um einen Rechten vergrösserten Winkel , bekannt; und daraus ergiebt sich auch die dritte Seite nebst dem Winkel . Ebenso ergiebt sich in dem Dreiecke , aus den bekannten Seiten und und dem Winkel , welcher übrig bleibt, wenn man den Neigungswinkel von einem Rechten abzieht, die Seite nebst dem Winkel . Für die beiden Bogen und werden aber aus der Tafel die Parallaxen und gefunden; und da und die wahren Zenithdistanzen des Mondes sind: so hat man auch die scheinbaren und . In dem Dreiecke , in welchem sich mit der Ekliptik im Punkte schneidet, ist der Winkel und der Rechte nebst der Basis gegeben: man kennt also auch den Winkel und die beiden anderen Seiten und . Ebenso erhält man in dem ganzen Dreiecke . aus den gegebenen Winkeln und und der ganzen Seite , die Basis , als die scheinbare südliche Breite, deren Ueberschuss über die Seite die Parallaxe der Breite ist, und die dritte Seite , von welcher nach Abzug der , als Parallaxe der Länge übrig bleibt. Ebenso ist in dem nördlichen Dreiecke , die Seite der Winkel und der Rechte bei bekannt: es ergeben sich also die übrigen Seiten und nebst dem dritten Winkel bei . Und zieht man von ab: so bleibt als bekannte Seite im Dreieck , in welchem

[245] noch der Winkel und der Rechte gegeben sind. Daraus erhalten wir die übrigen Seiten und , und daraus wieder, wenn man von abzieht, als Parallaxe der Länge, und, wenn man die scheinbare Breite von der wahren Breite abzieht, als Rest die Parallaxe der Breite. Indessen bietet, wie man sieht, die Rechnung mehr Arbeit als Früchte dar, da es sich um sehr kleine Grössen handelt. Es wird daher genügen, wenn wir statt des Winkels den Winkel , und statt des Winkels den Winkel anwenden, und einfach, wie früher, für die Bogen und , mit Vernachlässigung der Breite des Mondes, immer den mittleren Bogen setzen. Daraus wird kein Fehler entstehen, zumal in den Gegenden der nördlichen Seite; in sehr südlichen Gegenden, wo dem Zenith nahe kommt, beträgt die Differenz bei der grössten Breite von fünf Graden, und wenn der Mond in seiner grössten Erdnähe steht, nahe sechs Minuten. Bei Sonnenfinsternissen jedoch, bei welchen der Mond nicht über anderthalb Grad abweichen darf, kann die Differenz nur zu 1¾ Minuten anwachsen. Hieraus ist also klar, dass die Parallaxe der Länge, wenn der Mund im östlichen Quadranten der Ekliptik steht, zu dem wahren Orte des Mondes immer addirt wird; liegt aber der wahre Ort des Mondes in dem andern Quadranten der Ekliptik: so wird die Parallaxe der Länge von demselben abgezogen, um die scheinbare Länge des Mondes zu erhalten. Auch die scheinbare Breite erhalten wir aus der Parallaxe der Breite, indem wir letztere addiren, wenn sie auf derselben Seite liegt; liegen beide aber auf verschiedenen Seiten: so zieht man die kleinere von der grösseren ab, und was übrig bleibt ist die scheinbare Breite, nach derjenigen Seite hin, auf welcher die grössere von beiden liegt.

Capitel 27.
Bestätigung dessen, was über die Parallaxe des Mondes entwickelt ist.

Dass nun die so entwickelten Parallaxen des Mondes mit den Erscheinungen übereinstimmen, können wir durch mehrere andere Beobachtungen bestätigen. Eine solche haben wir zu Bologna am 9ten März nach Sonnenuntergang im Jahre Christi 1497 angestellt. Wir beobachteten nämlich den Mond, bei seiner bevorstehenden Bedeckung des glänzenden Sternes der Hyaden, welchen die Römer Palilicium[99] nennen, und sahen bei diesem Abwarten am Ende der 5ten Stunde der Nacht den Stern dicht an dem dunkeln Theile des Mondkörpers zwischen den Hörnern des Mondes eben verschwinden, um den dritten Theil des Monddurchmessers dem südlichen Horne näher. Und da der Stern nach der Berechnung in 2° 52′ der Zwillinge stand, bei einer südlichen Breite von 5⅙°, so war klar, dass der Mittelpunkt des Mondes dem Sterne scheinbar um den halben Durchmesser voraus, und deshalb sein scheinbarer Ort in Länge 2° 36′ und in Breite nahezu 5° 6′ war. Vom Anfange der Jahre Christi waren nun 1497 ägyptische [246] Jahre 76 Tage 23 Stunden Bologner Zeit verflossen, und da Krakau fast 9° östlicher liegt: so war die Krakauer Zeit 23 Stunden 36 Minuten, denen die Ausgleichung noch 4 Minuten hinzufügt. Die Sonne stand in 28½° der Fische, die gleichmässige Bewegung des Mondes von der Sonne war 74°, die ausgeglichene Anomalie 111° 10′, der wahre Ort des Mondes in 3° 24′ der Zwillinge, die südliche Breite 4° 35′, die wahre Bewegung der Breite 203° 41′. Damals ging zu Bologna der 26ste Grad des Skorpions unter einem Winkel von 59½° auf, und die Zenithdistanz des Mondes betrug 83°, der Neigungswinkel des Verticalkreises und der Ekliptik war ungefähr 29°, die Parallaxe des Mondes in der Länge war 1° 51′, in der Breite 30′, was so sehr der Beobachtung entspricht, dass man um so weniger an der Richtigkeit unserer Annahmen und dessen, was daraus folgt, zweifeln darf.

Capitel 28.
Ueber die mittlere Conjunction und Opposition der Sonne und des Mondes.

Aus dem, was bisher über die Bewegung des Mondes und der Sonne gesagt ist, ergiebt sich auch der Weg, ihre Conjunctionen und Oppositionen zu untersuchen. Für die Zeit nämlich, welche derjenigen einer Conjunction oder Opposition nach der Schätzung nahe liegt, suchen wir die gleichmässige Bewegung des Mondes; ergiebt sich dieselbe grade so gross als der ganze Kreis, so erkennen wir die Conjunction; der Halbkreis ergiebt uns den Vollmond. Da aber dies nur selten zutreffen wird: so muss der Abstand zwischen beiden beobachtet und dieser durch die tägliche Bewegung des Mondes dividirt werden, um zu erfahren, um wie viel Zeit eine von beiden Erscheinungen vergangen oder bevorstehend ist, je nachdem die Bewegung sich grösser oder kleiner ergiebt. Für diese Zeit suchen wir nun die Bewegungen und die Oerter, berechnen durch dieselben die wahren Neu- und Vollmonde, und unterscheiden die Finsternisse von den übrigen, wie wir weiter unten angeben wollen. Wenn wir dies einmal festgestellt haben: so lässt sich dasselbe auf beliebige andere Zeitpunkte und also auch auf eine Anzahl Jahre hinaus anwenden; und zwar mit Hülfe der Tafel, welche die Zeiten der zwölf Monate und der gleichmässigen Bewegungen der Anomalie der Sonne und des Mondes und der Breite des Mondes enthält, deren jede Einzelne mit den einzelnen schon früher gefundenen gleichmässigen Bewegungen zu verbinden ist. Wir fügen aber die ausgeglichene Anomalie der Sonne hinzu, damit wir dieselbe gleich zur Hand haben; ihre Aenderung wird nämlich wegen der Langsamkeit ihres Anfanges, d. h. der grössten Abside, in einem oder einigen Jahren nicht bemerkt.

[247]

TAFEL DER CONJUNCTION UND OPPOSITION DER SONNE UND DES MONDES.
Monate Zeiten Bewegung der Anomalie des Mondes Bewegung der Breite des Mondes
Tage nach Mnscrpt. nach Ausgab. Sechzig Grad Minuten Sec. nach Manuscript Sec. nach Ausgaben Sechzig Grad Minuten Sec. nach Manuscript Sec. nach Ausgaben
01 029 31 50 08 09 0 25 49 0 0 0 30 40 13 14
02 059 03 40 16 18 0 51 38 0 0 1 01 20 27 28
03 088 35 30 24 27 1 17 27 0 1 1 32 00 41 42
0
04 118 07 20 32 36 1 43 16 0 1 2 02 40 55 56
05 147 39 10 40 45 2 09 05 0 2 2 33 21 09 10
06 177 11 00 48 54 2 34 54 0 2 3 04 01 23 24
0
07 206 42 50 57 03 3 00 43 0 2 3 34 41 36 38
08 236 14 41 05 12 3 26 32 0 3 4 05 21 50 52
09 265 46 31 13 21 3 52 21 0 3 4 36 02 04 06
0
10 295 21 21 21 30 4 18 10 0 3 5 06 42 18 20
11 324 11 11 29 39 4 43 59 0 4 5 37 22 32 34
12 354 01 01 37 48 5 09 48 0 4 0 08 02 46 48
0
FÜR EINEN HALBEN MONAT ZWISCHEN VOLLMOND UND NEUMOND.
0½ 014 45 55 04 3 12 54 30 30 3 15 20 06 07
BEWEGUNG DER ANOMALIE DER SONNE.
Monate Sechzig Grad Minuten Sec. nach Manuscript Sec. nach Ausgaben Monate Sechzig Grad Minuten Sec. nach Manuscript Sec. nach Ausgaben
1 0 29 06 18 18 07 3